厦门外国语学校2024届高三上学期第二次阶段联考数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 厦门外国语学校厦门外国语学校 20232024 学年第一学期高三第二次阶段联考学年第一学期高三第二次阶段联考 数学试题数学试题 一一单选题（共单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）要求）1.已知集合034,1,0,2,3AxxB=B.acb C.bac D.bca 7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：()222210,0 xyabab=的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M

2、是FN的中点，则双曲线的离心率为（）A.2 B.2 C.3 D.3 的.第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 8.已知：定义在R上可导函数()f x的图象关于点(,()a f a对称的充要条件是导函数()fx的图象关于直线xa=对称.任给实数m，n满足323510mmm+=，323550nnn+=，则mn+=A.1 B.2 C.3 D.4 二二多选题（共多选题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中至少有两项符合题在每小题给出的四个选项中至少有两项符合题目要求，有错选不得分，漏选得目要求，有错选不得分，漏选得 2 分，全部选对得分，全部选对

3、得 5 分）分）9.关于函数()sin 23f xx=+，xR，下列命题正确的是（）A.函数()yf x=的图象关于点,06对称 B.函数()yf x=在,6 6 上单调递增 C.函数()yf x=的表达式可改写为cos 26yx=D.函数()yf x=图像可先将sinyx=图像向左平移6，再把各点横坐标变为原来的12得到 10.已知斜率为3的直线l经过抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点F，与抛物线C交于点,A B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若8AB=，则以下结论正确的是（）A.32p=B.6AF=C.2BDBF=D.F为AD中点 11.已知函数()f x及其导函数(

4、)g x的定义域均为R，且()f x为非常数函数，()()26f xf x+=，()21gx+为奇函数，则下列结论中正确的是（）A.()10g=B.()()22g xgx+=C.()()2f xf x=+D.401()120if i=12.如图，E是正方体1111ABCDABC D棱1D D的中点，F是棱11C B上的动点，下列结论中正确的是（）的的 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.在平面1111DCBA内总存在与平面BEF平行的直线 B.存在点F使得直线CF与直线BE垂直 C.四面体EBFC的体积为定值 D.平面BEF截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形 三三填空题

5、（共填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.其中第其中第 15题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分）13.复数1 iiz+=（i为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为_.14.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字若数列 na是以黄金分割数为公比的等比数列，且202420252023aa+=，则2023a=_ 15.在长方体1111ABCDABC D中，已知122AAABAD=

6、，E、F分别为1BB、11DC的中点，则三棱锥1CCEF的外接球半径为_，平面11ABCD被三棱锥1CCEF外接球截得的截面圆面积为_ 16.设函数()()()elnxf xaxmaxx=（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得()0f x 的所有正整数n.21.已知函数()eln(1)1(1)xf xaxa=+（1）当ea=时，求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；（2）若()f x没有零点，求 a的取值范围 22.已知椭圆C：()222210 xyabab+=长轴长为2 6，且其离心率小于22，P为椭圆C上一点，1F、2F分别为椭圆C的左、右焦点，

7、12FPF的面积的最大值为2 2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）A为椭圆C的上顶点，过点()0,1D且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线1l为过点D且与AM平行的直线，设1l与直线52y=的交点为Q.证明：直线QN过定点.的 第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 厦门外国语学校厦门外国语学校 20232024 学年第一学期高三第二次阶段联考学年第一学期高三第二次阶段联考 数学试题数学试题 一一单选题（共单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）要求）1.已知集合

8、034,1,0,2,3AxxB=|，则AB=（）A.1,0,1,2,3 B.1,0,2,3 C.0,2,3 D.1,0,2【答案】D【解析】【分析】解不等式可得|13Axx=，再由交集运算即可求得结果.【详解】根据题意由034Axx=|可得|13Axx=B.acb C.bac D.bca 第4页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】根据题意可判断出1,(0,1)ab c，在比较,b c的大小，即比较33ln3与ln2的大小，即比较333与2的大小，由于30.6333=，30.63ln3ln3ln33b=，30.6550.60.63(3)27,232 273232ln3

9、ln2ln3ln2ba=.故选：B 7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：()222210,0 xyabab=的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为（）A.2 B.2 C.3 D.3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质结合等腰三角形的角度关系求解即可；【详解】如图所示，由题意可知，1AOFCOF=，又因为若M是FN的中点，OMFN,所以AOFAOC=,所以33AOFAOF=，根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：byxa=.第5页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 OFc=，tanbAOFa=

10、，所以3,ba=因为222+=abc，所以2212.cbeaa=+=故选：B.8.已知：定义在R上的可导函数()f x的图象关于点(,()a f a对称的充要条件是导函数()fx的图象关于直线xa=对称.任给实数m，n满足323510mmm+=，323550nnn+=，则mn+=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】设函数()3235f xxxx=+，由2()365fxxx=+关于1x=对称，可知()f x的图像关于点()()1,1f对称.结合函数的单调性以及()()32f mf n+=，可知点()(),m f m与点()(),n f n关于点()1,3对称【详解】设函数()

11、3235f xxxx=+，则2()365fxxx=+，其图像关于1x=对称，故原函数()f x的图像关于点()()1,1f对称，且()13f=，故对称点的坐标为()1,3 又由已知可得()1f m=，()5f n=，则()()32f mf n+=，又当xR时，()()23120fxx=+知()f x在xR上恒单调递增 故点()(),m f m与点()(),n f n关于点()1,3对称所以12mn+=即2mn+=故选：B【点睛】本题通过新定义的形式考查了函数的对称性，即若导函数为轴对称图形，则原函数为中心对称图形，且对称轴和对称中心的横坐标相同.结合已经熟悉的结论：对于中心对称的函数()f x

12、，若对称中心为(),a b，那么当函数单调时，2mna+=与()()2f mf nb+=是等价的.本题在得出()()32f mf n+=，以及()f x的图像关于点()1,3对称后，即可得出结果.二二多选题（共多选题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中至少有两项符合题在每小题给出的四个选项中至少有两项符合题 第6页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 目要求，有错选不得分，漏选得目要求，有错选不得分，漏选得 2 分，全部选对得分，全部选对得 5 分）分）9.关于函数()sin 23f xx=+，xR，下列命题正确的是（）A.函数()yf x

13、=的图象关于点,06对称 B.函数()yf x=在,6 6 上单调递增 C.函数()yf x=的表达式可改写为cos 26yx=D.函数()yf x=图像可先将sinyx=图像向左平移6，再把各点横坐标变为原来的12得到【答案】AC【解析】【分析】对选项 A，根据06f=即可判断 A正确；对选项 B，根据()sin 23f xx=+在区间,6 6 先增后减即可判断 B错误；对选项 C，根据()sin 2cos 236f xxx=+=即可判断 C正确；对选项 D，利用三角函数平移变换的性质即可判断 D 错误.【详解】对选项 A，()sin 23f xx=+，sin0633f=+=，故 A 正确.

14、对选项 B，因为66x，所以20233x+的焦点F，与抛物线C交于点,A B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若8AB=，则以下结论正确的是（）A.32p=B.6AF=C.2BDBF=D.F为AD中点【答案】BCD【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点,A B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则PFp=，由于直线l的斜率为3，其倾斜角为60，/AE x轴，60EAF=，由抛物线的定义可知，AEAF=，则AEF为等边三角形，60EFPAEF=，则30PEF=，设|BD

15、x=，由RtRtDBMDAE，则MBBDAEAD=，可得|2xBM=，|42xAE=+所以|2xBMBF=，|42xAEAF=+|44822xxABAFBFx=+=+=+=,解得4x=所以|2|,|6BFAF=,所以 B正确.第8页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 226AFEFPFp=，得3p=，A选项错误；所以|4BD=,满足|42|BDBF=,所以 C正确.而|426|DFBDBFAF=+=+=,所以 D 正确.故选：BCD 11.已知函数()f x及其导函数()g x的定义域均为R，且()f x为非常数函数，()()26f xf x+=，()21gx+为奇函数，则下列结论中正确的

16、是（）A.()10g=B.()()22g xgx+=C.()()2f xf x=+D.401()120if i=【答案】ABD【解析】【分析】由奇函数的性质得出()g x的图象关于点()1,0中心对称，且()10g=，判断 A，对()()26f xf x+=求导，得出()g x的对称性，从而判断 B，由对称性得出周期性判断 C，结合周期性求值判断 D【详解】因为()21gx+为奇函数，所以()()2121gxgx+=+，即()()11gxg x+=+，即()()110gxgx+=，所以()g x的图象关于点()1,0中心对称，且()10g=，故 A 正确；由()()26f xf x+=，两边求

17、导，得()()20fxfx+=，即()()20g xg x+=.由()g x的图象关于点()1,0中心对称，得()()20g xgx+=，因此()()22g xgx+=，故 B 正确；因为()g x为函数()f x的导函数，且()()11gxg x+=+，即()()11fxfx+=+，所以()()11fxf x+=+，即()()11fxf x+=+，所以()f x的图象关于直线1x=对称，所以()()2f xfx+=.又()()26f xf x+=，第9页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 所以()()6f xfx+=，所以()f x的图象关于点()0,3中心对称，(2)1(1)1(1)(

18、)6()f xfxfxfxf x+=+=+=，(4)6(2)66()()f xf xf xf x+=+=，所以()f x是周期函数，4 为它的一个周期，所以()()4f xf x=+，故C错误；由()()26f xf x+=，得()()136ff+=.又()()()()2,4f xfxf xf x+=+，所以()()()024fff=3，所以()()()()123412ffff+=，所以401()120if i=，故 D正确.故选：ABD.12.如图，E是正方体1111ABCDABC D的棱1D D的中点，F是棱11C B上的动点，下列结论中正确的是（）A.在平面1111DCBA内总存在与平面

19、BEF平行的直线 B.存在点F使得直线CF与直线BE垂直 C.四面体EBFC的体积为定值 D.平面BEF截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形【答案】ABC【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断 A 选项；利用线面垂直的性质定理可判断 B 选项；利用锥体的体积公式可判断 C选项；作出截面图形，可判断 D 选项.【详解】对于 A选项，连接BF、EF，过点E作/EH BF交11AD的延长线于点H，第10页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 则E、H、F、B四点共面，若l平面1111DCBA且/l FH，l 平面BEF，FH 平面BEF，所以，/l平面BEF，A对；对于 B选项，取

20、1CC的中点M，连接EM、BM，设BMCFN=，因为11/CCDD且11CCDD=，E、M分别为1DD、1CC的中点，则/DE CM且DECM=，所以，四边形CDEM为平行四边形，/EM CD，CD 平面11BBC C，EM平面11BBC C，CF 平面11BBC C，EMCF，当点F为线段11BC的中点时，1BCCC=，1CMC F=，190BCMCC F=，所以，1RtRtBCMCC F，1BMCCFC=，所以，11190C CFBMCC CFCFC+=+=，故90CNM=，即CFBM，EMBMM=，EM、BM平面BEM，CF平面BEM，BE 平面BEM，CFBE，故当点F为11BC的中点

21、时，CFBE，B对；第11页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C选项，设正方体1111ABCDABC D的棱长为a，由 B 选项可知EM 平面11BCC B，且EMCDa=，212BCFSa=，31136E BCFBCFVSEMa=，C 对；对于 D选项，当点F与点1B重合时，截面BEF截正方体1111ABCDABC D为四边形11BB D D；当点F与点1C重合时，连接1C E并延长交CD的延长线于点P，连接PB交AD于点Q，连接QE，此时，截面BEF截正方体1111ABCDABC D的截面为四边形1BC EQ；当点E在线段11BC（不包括端点）上运动时，延长BF、1CC交于点R

22、，设直线ER分别交直线11C D、CD于点S、T，连接BT交AD于点U，连接UE、SF，此时，截面BEF截正方体1111ABCDABC D所得截面为五边形BFSEU.综上所述，平面BEF截该正方体所得截面可能为四边形、五边形，D错.故选：ABC.第12页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：利用平面的性质确定截面形状的依据如下（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质 三三填空题（共填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.其中第其中第 15题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分）13.复

23、数1 iiz+=（i为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为_.【答案】2【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得z在复平面上对应的点为1,1，可得到原点的距离为2.【详解】易知1i1iiii1iiz，可得z在复平面上对应的点1,1，所以到原点的距离2.故答案为：2 14.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字若数列 na是以黄金分割数为公比的等比数列，且202420252023aa+=，则2023a=_【答案】2023【解析

24、】【分析】先根据题意列方程求出黄金分割数，则可得等比数列的公比，然后根据等比数列的通项公式和黄金分割数的性质求解即可.【详解】由题意，设整体为 1，较大部分为x，则较小部分为1 x，则11xxx=，即210 xx+=，解得512x=（512x=舍去），故黄金分割数为512 令512q=，则210qq+=，即()210naqq+=，所以210nnnaaa+=，故2023202420252023aaa=+=故答案为：2023 第13页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 15.在长方体1111ABCDABC D中，已知122AAABAD=，E、F分别为1BB、11DC的中点，则三棱锥1CCEF的

25、外接球半径为_，平面11ABCD被三棱锥1CCEF外接球截得的截面圆面积为_【答案】.52 .98#1.125【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标，可以证明EFEC，取O为CF中点，有1EOOCFOC O=，因此点O为三棱锥1CCEF外接球的球心，则12RCF=，球心O到平面11ABCD的距离为114hC D=，勾股定理可得截面圆的半径为22rRh=，即得解【详解】解：以点D为原点建立空间直角坐标系如图所示：依题意得：()0,2,0C，()1,2,1E，()0,1,2F，则()1,0,1EC=，()1 11EF,=，所以1 0 10EC EF=+=，则EFEC 即EFEC；设O为C

26、F中点，因为EFEC，11C FC C，则1EOOCFOC O=，所以点O为三棱锥1CCEF外接球的球心，则三棱锥1CCEF外接球的半径为221215222RCF+=，设球心O到平面11ABCD的距离为h，又因为O为CF中点，第14页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 所以点F到平面11ABCD的距离为2h，由于221112222442hC D=+=，所以24h=，故截面圆的半径为2298rRh=，所以截面圆面积为298r=，故答案为：52；98 16.设函数()()()elnxf xaxmaxx=（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得()0f x 恒成立，则实数m的取值范围是_.【

27、答案】21,e+【解析】【分析】由题意可得eln()(0)xmxaaxx，令()lne,()xxmg xh xxx=，函数()yg x=和函数()yh x=的图象，一个在直线ya=上方，一个在直线ya=下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案【详解】函数()f x的定义域为(0,)+，由()0f x，得()(e)ln0 xaxmaxx，所以eln()(0)xmxaaxx，得21 ln()xg xx=，所以当()0,ex时，()()0,gxg x单调递增，当(e,)x+时，()()0,gxg x，得22eee(1)()xxxmxmmxh xxx=，当0m 单调递增，在(1

28、,)x+上()()0,h xh x时，在()0,1x上()()0,h xh x单调递增，所以min)()(1eh xhm=，所以()()e1hg即1eem，所以21em，即m的取值范围为21,e+故答案为：21,e+.【点睛】本题考查了利用导数求参数取值范围问题，其中涉及到利用导数求函数的最值问题，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.四四解答题（共解答题（共 6 小题，其中第小题，其中第 17 题题 10分，其他题各分，其他题各 12分，共分，共 70 分分.每题需写出相应的步每题需写出相应的步骤）骤）17.已知圆心为C的圆经过点()1,2A和()5,2B，且圆心C在直线20 xy+=

29、上（1）求圆C的方程；（2）过点()0,1D的动直线l与圆C相交于,M N两点，当2 15MN=时，求直线l的方程【答案】（1）22(1)(2)16xy+=（2）0 x=或4330 xy+=【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，解方程组从而得到方程；（2）根据直线l的斜率是否存在分类讨论，再结合MN求出直线方程.【小问 1 详解】的 第16页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 设圆C的方程为222()()xaybr+=，由已知可得方程组()()()()222222201252ababrabr+=+=+=，解得124abr=，圆C的方程为22(1)(2)16xy+=【小

30、问 2 详解】当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为0 x=，此时2 15MN=，符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为1ykx=+，即10kxy+=，则圆心到直线的距离为22 11kdk+=+，又22222 162 15MNrdd=，22 111kdk+=+，解得43k=，则直线l的方程为413yx=+，即4330 xy+=，综上可知直线l的方程为0 x=或4330 xy+=18.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若sin2sinaCA=且cos32cosaCA=.（1）求b的值；（2）若AD平分BAC，且交BC于点4,5D AD=，求A

31、BC的面积.【答案】（1）3 （2）4 23【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简sin2sinaCA=，可得2c=，利用余弦定理化简cos32cosaCA=，并 第17页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 把2c=代入即可求得b的值；（2）设2BAC=,利用BADDACBACSSS+=，结合三角形面积公式可求得1cos,3=继而可求得sin2的值，并进一步计算即可.【小问 1 详解】因为sin2sinaCA=，由正弦定理得：2,0aca a=，则2c=，又cos32cosaCA=，由余弦定理得：2222223222abcbcaaabbc+=化简为222222()62()abccbcbca

32、+=+，把2c=代入上式，并化简可得：3b=；【小问 2 详解】设2BAC=,因为AD平分BAC，且交BC于点D，则BADDACBACSSS+=，即111sinsinsin2222ABADACADABAC+=，又2c=，3b=，45AD=化简为2sin3sin2=，又sin0，所以1cos,3=则2224 2sin22sincossin1 cos,339=所以ABC的面积 114 24 2sin22 3.2293Sbc=19.已知四边形ABCD为矩形，2BCBE=，5AB=，且BC平面ABE，点F为CE上的点，且 第18页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 BF 平面ACE，点M为AB中点

33、.（1）求证：/MF平面DAE；（2）求BF与平面DCE所成线面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）33【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理及等腰三角形的三线合一定理，再利用三角形的中位线定理及平行的传递性，结合平行四边形的性质及线面平行的判定定理；（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，结合直线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解.【小问 1 详解】取DE中的Q，连接QF、QA，因为BF 平面CAE,CE 平面CAE,所以BFCE,因为BCBE=，BFCE，所以F为EC中点，Q为DE中点,所以12QFCD,又因为点M为AB中点，四边形ABCD

34、为矩形，所以12AMCD,所以,QFAM四边形AMFQ为平行四边形，所以/AQMF,AQ 平面DAE,MF 平面DAE，所以/MF平面DAE.【小问 2 详解】因为BF 平面CAE,AE 平面CAE,所以BFAE,第19页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 由（1）知，F为EC中点,因为BC平面BAE,AE 平面BAE，所以BCAE,又因为BFBCB=所以AE平面BCE，BE 平面BCE,所以AEBE.以B为坐标原点，BE为x轴，BC为z轴,建立空间直角坐标系Bxyz,如图所示 由题意可知，()()()()()0,0,0.0,0,2,2,1,2,2,0,0,1,0,1BCDEF,()()(

35、),ECCDBF=2 0 221 01 0 1 ,设平面DCE的法向量为(),nx y z=，则 00n ECn CD=,即xzxy=+=22020，令1x=，则2,1=yz，所以()1,2,1n=，设BF与平面DCE所成线面角为，则 2222221 12 0 1 13sincos,3121101n BFn BFn BF+=+,所以BF与平面DCE所成线面角的正弦值为33.20.设nS是数列 na的前n项和，已知111,1,22,.nnnan naaan n+=为奇数为偶数（1）求4a，并证明：22na是等比数列；（2）求满足20nS的所有正整数n.【答案】（1）474a=，证明见解析 （2）

36、1，2 第20页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）利用11a=代入计算即可求得474a=，由等比数列定义可求得()2221222nnaa+=，即可得出证明；（2）利用数列分组求和可得出2233123222nnSn=+，再利用二次函数及指数函数单调性即可求得结果.【小问 1 详解】由11a=可得2113122aa=+=，所以3252 22aa=，可得4317324aa=+=；由已知得()222122111214211222nnnnaananna+=+=+=+，所以()2221222nnaa+=，其中2231,2022aa=，所以22na是以12为首项，12为公比的等比数

37、列；【小问 2 详解】由（1）知1211222nna=，所以1221112,6422nnnnaan=+=，所以21218432nnnaan+=，所以()()()21234212nnnSaaaaaa=+()22111184 12326332222nnnnnn=+=+233123222nn=+，由二次函数及指数函数性质可知当2n 时，2nS单调递减，第21页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 其中2465721,248SSS=，所以满足20nS的所有正整数n为 1，2.21.已知函数()eln(1)1(1)xf xaxa=+（1）当ea=时，求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线与两坐

38、标轴所围成三角形的面积；（2）若()f x没有零点，求 a的取值范围【答案】（1）e 12S=（2）(1,)+【解析】【分析】（1）先求出切点，利用导数求得切线斜率，进而得到切线方程，再分别求出在x，y轴上的截距,最后利用直角三角形面积公式求得结果;（2）对a分1a=和1a 两种情况讨论，利用导数探究出函数的单调性，进而求得函数最值分析可得答案.【小问 1 详解】当ea=时，1()eln(1)1,(0)e 1xf xxf+=+=11()e,(0)e 11xfxfx+=+，故曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为(e 1)(e 1)yx=，即(e 1)e 1yx=+因为该切线在x，y

39、轴上的截距分别为1和e 1，所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积1e 11e 122S=【小问 2 详解】当1a=时，()eln(1)1(1)xf xxx=+，则1()e1xfxx=+，由图象可得，当(1,0)x 时，()0fx 所以()f x在(1,0)上单调递减，在(0,)+上单调递增，故(0)f为最小值，且(0)0f=所以此时()f x存在零点，不符合题意 第22页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 当1a 时，因为()ln(1)1exf xax=+，所以1e(1)1()e(1)11xxaxfxaxxx+=+，令()e(1)1(1)xg xaxx=+，则()e(2)xg xa

40、x=+，因为1,1ax，所以()0g x，()g x在(1,)+上单调递增，又(1)10,(0)10gga=，由零点存在定理得，()g x在(1,0)上有唯一的零点，即()0g=，因此有e(1)1a+=当(1,)x 时，()0g x，即()0fx，即()0fx 所以()f x在(1,)上单调递减，在(,)+上单调递增，故()f为最小值 由e(1)1a+=，得1e1a=+，ln(1)lna+=+，所以21()eln(1)11 lnln11faaa=+=+=+，因为1a，所以ln0a，又因为1，所以201+，所以()0f 所以()()0f xf，此时()f x没有零点 综上，a的取值范围是(1,)

41、+【点睛】方法点睛：利用导数求解零点问题的常用方法：（1）分离参数法：一般给出零点个数，求解参数范围，通常把参数分离出来，利用导数求解新函数的单 第23页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 调性，最值；结合零点个数，列出不等关系.（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类讨论的标准，利用导数求解单调性和最值，有时需要二次求导.22.已知椭圆C：()222210 xyabab+=的长轴长为2 6，且其离心率小于22，P为椭圆C上一点，1F、2F分别为椭圆C的左、右焦点，12FPF的面积的最大值为2 2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）A为椭圆C的上顶点，过点()0,1D且斜率为k的直线l与

42、椭圆C交于M，N两点，直线1l为过点D且与AM平行的直线，设1l与直线52y=的交点为Q.证明：直线QN过定点.【答案】（1）22164xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，将长轴长为2 6，12FPF的面积的最大值为2 2，转化为22 6a=，2 2bc=可得；（2）先设MN：1ykx=，联立椭圆C，得122122623923kxxkxxk+=+=+，根据1/ll，可得直线QN的方程，进而根据对称性可得QN过定点.【小问 1 详解】由题意可知：22222 62 2abcabc=+，因为22cea=，所以6a=，2b=，2c=，故椭圆C的标准方程为22164xy+=

43、.【小问 2 详解】第24页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 设()11,M x y，()22,N xy，MN：1ykx=.联立直线MN与椭圆C的方程可得：()2223690kxkx+=，则122122623923kxxkxxk+=+=+，所以()121223kx xxx=+，因为112AMDQykkx=，则1l：1121yyxx=，令52y=，解得11342xxy=，所以1135,422xQy，故直线QN的方程为：()22212152342yyyxxxxy=，根据对称性，直线QN所过的定点在y轴上，不妨令0 x=，则222211221122121510532334242xyxx yx yyyxxxx yxy+=+=+将111ykx=，221ykx=代入得()()()1212212121111053342kxkxxxxykxxxx+=+所以()()12122121212121212223182315236239kx xxxxkx xxxykx xxxkx xxxx+=+，第25页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 代入122623kxxk+=+，122923xxk=+得，2222222296231818232329692392323kkxxkkykxkxkk+=+，故直线QN过定点()0,2.