辽宁省沈阳市一二〇中学2023-2024学年高三上学期第四次质量监测数学试题含答案.pdf

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1、公众号：高中试卷君第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司沈阳市第沈阳市第 120 中学中学 20232024 学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题满分：满分：150 分分 时间：时间：120 分钟分钟 一、单选题（本题共一、单选题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1.设集合28150Ax xx，集合10Bx ax，若BA，则实数a取值集合的真子集的个数为（）A.2B.3C.7D.82.已知复数z满足(12i)32iz，则z的虚部为（）A 85B.85C.15D.153.若22nxx的展开式中，只有第

2、 6 项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）A.90B.-90C.180D.-1804.向量1ab，3c 且0abc，则cos,ac bc（）A.1314B.1314C.45D.455.在九章算术商功中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭在方亭1111ABCDABC D中，1122ABAB，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为3 3，则该方亭的体积为（）A.72B.76C.722D.7266.在数列 na中，11a，且函数 51sin233nnf xxaxax导函数有唯一零点，则9a的值为（）A.1021B.1022C.1023D.10247.已知点P是圆22:

3、(2)(2)2Mxy上的动点，线段AB是圆22:(1)(1)4Cxy的一条动弦，且|2 3AB，则|PAPB 的最大值是（）A.3 2B.8 2C.5 2D.8 22.的公众号：高中试卷君第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司8.已知三棱锥PABC的底面ABC为等腰直角三角形，其顶点 P 到底面 ABC 的距离为 3，体积为24，若该三棱锥的外接球 O 的半径为 5，则满足上述条件的顶点 P 的轨迹长度为（）A.6B.30C.92 21 D.62 21 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，共小题，共 20 分，每题选项全对给分，每题选项全对给 5 分，少选或漏选给分，少选

4、或漏选给 2 分，错选、多选和不选给分，错选、多选和不选给 0 分）分）9.下列命题正确的是（）A.在回归分析中，相关指数r越小，说明回归效果越好B.已知2(3.841)0.05P，若根据 22 列联表得到2的观测值为 4.1，则有 95%的把握认为两个分类变量有关C.已知由一组样本数据,iix y（1i，2，n）得到的回归直线方程为420yx，且1110niixn，则这组样本数据中一定有10,60D.若随机变量,4XN，则不论取何值，46PX为定值10.若函数 sincos2f xxx的图象关于直线6x对称，则（）A.3B.点2,03是曲线 yf x的一个对称中心C.直线3x 也是一条对称轴

5、D.函数 f x在区间,3 12上单调11.已知nS是数列 na的前n项和，且21nnSSn，则下列选项中正确的是（）.A.121nnaan（2n）B.22nnaaC.若10a，则1004950S公众号：高中试卷君第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司D.若数列 na单调递增，则1a的取值范围是1 1,4 312.若正实数ab，满足ab，且lnln0ab，则下列不等式一定成立的是（）A.log0ab B.11abbaC.122aba bD.11baab三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.若直线1l：90 xay与2

6、l：2330axya平行，则1l，2l间的距离是_14.已知锐角，满足sin21tancos211tan，则cos_.15.第 19 届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有 6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各 2 个，将这 6 个吉祥物排成前后两排，每排 3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有_.（用数字作答）16.在锐角ABC中，1cos4A，若点P为ABC的外心，且APxAByAC ，则xy的最大值为_.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，

7、共小题，共 70 分）分）17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscos2abbBAc（1）求tan A；（2）若17a，ABC面积为2 2，求ABC的周长18.已知点4,4,0,3AB，圆C的半径为 1.（1）若圆C的圆心坐标为3,2C，过点A 作圆C的切线，求此切线的方程；（2）若圆C的圆心C在直线:1l yx上，且圆C上存在点M，使2MBMO，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围.19.已知数列 na中，11a，nS是数列 na的前n项和，且32nnaSn.（1）求数列 na的通项公式：（2）证明：12123nnSSS的.公众号：高中试卷君第 4 页/共 4

8、页学科网（北京）股份有限公司20.已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和1CC的中点，D 为棱11AB上的点11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?21.在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得 5 分，选择错误得 0 分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选择错误的得 0 分.（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.

9、已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率；（2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如AB、BCD等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由.22.设函数 21exxf xax，其中aR.（1）讨论 f x的单调性；（2）若 f x存在两个极值点，设极大值点为01,x x为

10、 f x的零点，求证：01ln2xx.的公众号：高中试卷君第 1 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司沈阳市第沈阳市第 120 中学中学 20232024 学年度上学期学年度上学期高三年级第四次质量监测高三年级第四次质量监测数学试题数学试题满分：满分：150 分分 时间：时间：120 分钟分钟 命题人：马健命题人：马健 于茂源于茂源 校对人：高越校对人：高越一、单选题（本题共一、单选题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1.设集合28150Ax xx，集合10Bx ax，若BA，则实数a取值集合的真子集的个数为（）A.2B.3C.7D.8【答案】C【解

11、析】【分析】先求出集合A，然后分0a 和0a 两种情况由BA可求出a的值，从而可求出实数a取值集合，进而可求出其真子集的个数.【详解】由28150 xx，得(3)(5)0 xx，解得3x 或5x，所以3,5A，当0a 时，B，满足BA，当0a 时，1Ba ，因为BA，所以13a或15a，得13a 或15a，综上，实数a取值的集合为1 10,3 5，所以实数a取值集合的真子集的个数为3217，故选：C2.已知复数z满足(12i)32iz，则z的虚部为（）A.85B.85C.15D.15【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得18i55z ，得到18i55z ，结合复数的定义，即可求解.

12、公众号：高中试卷君第 2 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由复数(12i)32iz，可得32i 1 2i32i18i12i12i 1 2i55z，所以18i55z ，所以复数z的虚部为85.故选：A.3.若22nxx的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）A.90B.-90C.180D.-180【答案】C【解析】【分析】由已知可知项数 n=10，再表示通项并令其中 x 的指数为零，求得指定项的系数即可.【详解】解：因为22nxx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数 n=10，即2102xx，则通项为10 510211021022rrr

13、rrrrxTxxCC，令105022rr，则223102180TC.故选：C.4.向量1ab，3c 且0abc，则cos,ac bc（）A.1314B.1314C.45D.45【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.【详解】由已知可得222122cabcaba ba b，又2,2acab bcba，所以2222222225213cos,14774444ababaa bbac bcaa bbba ba.故选：A公众号：高中试卷君第 3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司5.在九章算术商功中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭在方亭1111ABC

14、DABC D中，1122ABAB，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为3 3，则该方亭的体积为（）A.72B.76C.722D.726【答案】D【解析】【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到1AA的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可【详解】如图，过1A作1AEAB，垂足为E，由四个侧面的面积之和为3 3知，侧面11ABB A的面积为3 34，1113 341()2ABABAE（梯形的面积公式），则132AE 由题意得：1111()22AEABAB，在1RtAAE中，22221113()122AAAEAE连接AC，11AC，过1A作1AFAC，垂足为F，易

15、知四边形11ACC A为等腰梯形且2 2AC，112AC，则111222AFACAC，221122AFAAAF，该方亭的体积222271212(122)326V，（棱台的体积公式）故选：D 6.在数列 na中，11a，且函数 51sin233nnf xxaxax的导函数有唯一零点，则9a的值为（）A.1021B.1022C.1023D.1024公众号：高中试卷君第 4 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【答案】A【解析】【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断()fx为偶函数，根据有唯一零点知(0)0f，构造法有132(3)nnaa，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.【详解】由1

16、4()5cos23nnfxxaxa在R上有唯一零点，而4114()5()cos()235cos23()nnnnfxxaxaxaxafx，所以()fx为偶函数，则1(0)230nnfaa，故132(3)nnaa，且134a，所以3na 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则1134 22nnna，则109231021a.故选：A【点睛】关键点点睛：判断导函数()fx为偶函数，进而得到(0)0f 为关键.7.已知点P是圆22:(2)(2)2Mxy上的动点，线段AB是圆22:(1)(1)4Cxy的一条动弦，且|2 3AB，则|PAPB 的最大值是（）A.3 2B.8 2C.5 2D.8 22【答案

17、】D【解析】【分析】作出图象，过点C作CDAB，垂足为D，连接CB，则有|1CD，从而得点 D 的轨迹方程为2(1)(1)xy1，由向量的加法法则可得2PAPBPD ，根据圆与圆的位置关系求出max|PD 即可得答案.【详解】解：圆22:(2)(2)2Mxy的圆心为2,2M，半径为2，圆22:(1)(1)4Cxy的圆心为1,1C ，半径为 2，如图，过点C作CDAB，垂足为D，连接CB，公众号：高中试卷君第 5 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司 D为AB中点，即|3BD，又|2CB，22|431CDCBBD，点 D 的轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，点 D 的轨迹方程为2(1)

18、(1)xy1，D是 AB 中点，2PAPBPD ，22max|21(12)(12)214 21PDCM ，所以|PAPB 的最大值为2(4 21)8 22.故选：D.8.已知三棱锥PABC的底面ABC为等腰直角三角形，其顶点 P 到底面 ABC 的距离为 3，体积为24，若该三棱锥的外接球 O 的半径为 5，则满足上述条件的顶点 P 的轨迹长度为（）A.6B.30C.92 21 D.62 21【答案】D【解析】【分析】利用三棱锥PABC的体积，求解底边边长，求出ABC的外接圆半径，以及球心O到底面ABC的距离，判断顶点P的轨迹是两个不同截面圆的圆周，进而求解周长即可【详解】依题意得，设底面等腰

19、直角三角形ABC的边长为0 x x，三棱锥PABC的体积21 13243 2Vx 公众号：高中试卷君第 6 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司解得：4 3x=ABC的外接圆半径为112 4 32 62r 球心O到底面ABC的距离为221125241dRr，又顶点 P 到底面 ABC 的距离为 3，顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周当球心在底面ABC和截面圆之间时，球心O到该截面圆的距离为23 12d ，截面圆的半径为222225421rRd，顶点 P 的轨迹长度为222 21r；当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，球心O到该截面圆的距离为33 14d ，截面圆的半径为223325 163r

20、Rd，顶点 P 的轨迹长度为326r；综上所述，顶点 P轨迹的总长度为62 21 故选：D【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，共小题，共 20 分，每题选项全对给分，每题选项全对给 5 分，少选或漏选给分，少选或漏选给 2 分，错选、多选和不选给分，错选、多选和不选给 0 分）分）9.下列命题正确的是（）A.在回归分析中，相关指数r越小，说明回归效果越好B.已知2(3.841)0.05P，若根据 22 列联表得到2的观测值为 4.1，则有 95%的把握认为两个分类变量

21、有关C.已知由一组样本数据,iix y（1i，2，n）得到的回归直线方程为420yx，且的公众号：高中试卷君第 7 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司1110niixn，则这组样本数据中一定有10,60D.若随机变量,4XN，则不论取何值，46PX为定值【答案】BD【解析】【分析】A.由相关指数的意义判断；B.由临界值表判断；C.由样本数据和回归直线方程的关系判断；D.由正态曲线的3原则判断.【详解】A.在回归分析中，相关指数r越大，说明回归效果越好，故错误；B.已知2(3.841)0.05P若根据 22 列联表得到2的观测值为 4.1，且4.13.841，则有 95%的把握认为两个分

22、类变量有关，故正确；C.已知由一组样本数据,iix y（1i，2，n）得到的回归直线方程为420yx，由1110niixxn，得到60y，则10,60是样本点的中心，一定在直线上，但这组样本中数据不一定有10,60，故错误；D.若随机变量,4XN，则2，所以332246222PXPXPXPX，33220.99740.95440.975922PXPX，所以不论取何值，46PX为定值.故选：BD10.若函数 sincos2f xxx的图象关于直线6x对称，则（）A.3B.点2,03是曲线 yf x的一个对称中心C.直线3x 也是一条对称轴公众号：高中试卷君第 8 页/共 25 页学科网（北京）股份

23、有限公司D.函数 f x在区间,3 12上单调【答案】CD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数 f x，再根据三角函数性质进行求解即可.【详解】由题意函数 2sin42f xx ，其对称轴为0,()42kxkZ，即024kx，所以令06x，解得5212k，5,21212 对于选项 A,5,1212 因此A错误；对于选项 B，该函数没有对称中心，因此B错误；对于选项 C，令03x，解得212k，取0,122k，符合题意，因此 C 正确；对于选项 D，函数 f x在42kxk单调递增，即44kxk，当12时，函数 f x在区间,3 12上单调递增，当512 时，函数 f x在区间,3 12上单调

24、递减，因此选项 D 正确.故选：CD11.已知nS是数列 na的前n项和，且21nnSSn，则下列选项中正确的是（）.A.121nnaan（2n）B.22nnaaC.若10a，则1004950SD.若数列 na单调递增，则1a的取值范围是1 1,4 3【答案】AC【解析】【分析】对于 A，由 21nnSSn，多写一项，两式相减即可得出答案.对于 B，由 121nnaan（2n），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件2n.公众号：高中试卷君第 9 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司对于 C，由分析知22nnaa，所以 na奇数项是以10a 为首项，2 为公差的等差数列，偶数项是以21

25、a 为首项，2 为公差的等差数列，由等差数列得前n项和公式即可得出答案.对于 D，因为数列 na单调递增，根据1234naaaaa，即可求出1a取值范围.【详解】对于 A，因为21nnSSn，当2121nnnSSn，两式相减得：121nnaan（2n）,所以 A 正确.对于 B，因为121nnaan（2n）,所以+122+11=21nnaann，两式相减得：22nnaa（2n），所以 B 不正确.对于 C，21nnSSn，令1n，则211SS，1211aaa，因为10a，所以21a.令2n，则324SS，112324aaaaa ，所以32a.因为22nnaa（2n），而312aa，所以22nn

26、aa.所以 na奇数项是以10a 为首项，2 为公差的等差数列.偶数项是以21a 为首项，2 为公差的等差数列.则：10012399100139924100=+Saaaaaaaaaaa50 4950 4950 0250 12=495022 ，所以 C 正确.对于 D，21nnSSn，令1n，则211SS，1211aaa，则2121aa 又因为+12=21nnaan，令1n 则23=3aa，所以3211=332122aaaa，同理：4311=552223aaaa，5411=772324aaaa，因为数列 na单调递增，所以1234naaaaa，解12aa得：113a，解23aa得：114a ，解

27、34aa得：114a，的公众号：高中试卷君第 10 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司解45aa得：114a ，解56aa得：114a，所以1a的取值范围是1 1,4 4，所以 D 不正确.故选：AC.【点睛】本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用121nnaan，得出 na的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.12.若正实数ab，满足ab，且lnln0ab，则下列不等式一定成立的是（）A.log0ab B.11abbaC.122aba bD.11baab【答案】AD【解析】【分析】因为0ab，lnyx为单调递增函数，故lnlnab，由于

28、lnln0ab，故lnln0ab，或lnln0ba.对于 ABC，分lnln0ab、lnln0ba，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于 D，由11baab两边取自然对数得到1 ln1 lnbaab，即lnln11abab，构造函数()ln1xfxx=-（0 x 且1x），通过导数判断单调性即可判断.【详解】因为0ab，lnyx为单调递增函数，故lnlnab，由于lnln0ab，故lnln0ab，或lnln0ba，当lnln0ab时，1ab，此时log0ab；11110ababbaab，故11abba；1110aba bab，122aba b；当lnln0ba时，01ba，此时log0

29、ab，11110ababbaab，故11baab；1110aba bab，122aba b；对于 ABC，A 正确，BC 均错误；公众号：高中试卷君第 11 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司对于 D，11baab，两边取自然对数，1 ln1 lnbaab，因为不管1ab，还是01ba，均有110ab，所以lnln11abab，故只需证lnln11abab即可，设()ln1xfxx=-（0 x 且1x），则 211ln1xxfxx，令 11lng xxx（0 x 且1x），则 22111xgxxxx，当0,1x时，0gx，当1,x时，0gx，所以 10g xg，所以 0fx在0 x 且

30、1x 上恒成立，故()ln1xfxx=-（0 x 且1x）单调递减，因为ab，所以lnln11abab，结论得证，D 正确故选：AD【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.若直线1l：90 xay与2l：2330axya平行，则1l，2l间的距离是_【答案】4 2【解析】【分析】先根据两直线平行得出a的值，再根据平行线的距离公式计算即可.【详解】因为两直线平行可得1 32a a 且1

31、 392aa，解之得1a ，所以1:90lxy，2:333010lxyxy，故两直线的距离为229 14 211d.故答案为：4 2.14.已知锐角，满足sin21tancos211tan，则cos_.公众号：高中试卷君第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【答案】22【解析】【分析】根据二倍角公式与同角三角函数的关系可得tan1，进而可得cos.【详解】由题意，sin21tancos211tan，由二倍角公式与同角三角函数的关系可得22sincos1tan2sin1tan，即11tantan1tan，整理可得tantantantan1，故tantantan11tantan，又锐

32、角，故0,，34故32coscos42.故答案为：2215.第 19 届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有 6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各 2 个，将这 6 个吉祥物排成前后两排，每排 3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有_.（用数字作答）【答案】336【解析】【分析】考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求出排法数，根据分类加法计数原理即可得答案.【详解】由题意可分两种情形：前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从

33、“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选一个，有2232211222C C C C A24种排法；其次，后排有22A2种排法，故共有24 248种不同的排法；前排含有三种不同名称的吉祥物，有1113222348C C C A 种排法；后排有33A6种排法，此时共有48 6288种排法；因此，共有48288336种排法，公众号：高中试卷君第 13 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司故答案为：336【点睛】关键点睛：解答本题的关键是分类考虑，即考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求解即可.16.在锐角ABC中，1cos4A，若点P为ABC

34、的外心，且APxAByAC ，则xy的最大值为_.【答案】45#0.8【解析】【分析】通过向量的减法，把AB，AC转化为APPB 与APPC ，进行整理后再平方处理即可得解.【详解】APxAByACx APPBy APPC ，整理得：1xy APxPByPC 设锐角ABC外接圆的半径为R，所以APPBPCR ，则上式两边平方得：222222212cosxyRx Ry RxyRBPC，其中2BPCA，27cos2cos18BPCA 代入式，得：222714xyxyxy，整理得：422115xyxy，由基本不等式得：24xyxy，当且仅当xy时，等号成立即24221154xyxy，解得：43xy或

35、45xy当43xy时，此时23xy，2233APABAC ，此时 P 点在ABC 外部，ABC 为钝角三角形，与题干矛盾，所以43xy舍去，45xy成立故答案为：45四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分）分）17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscos2abbBAc（1）求tan A；（2）若17a，ABC的面积为2 2，求ABC的周长【答案】（1）tan2 2A （2）517【解析】公众号：高中试卷君第 14 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据正弦定理得1cos3A ，从而求得tan A；（2）根据面积公式和余

36、弦定理即可求得ABC周长.【小问 1 详解】因为coscos2abbBAc，所以由正弦定理可得sincos2sincossinsinABBABC又sinsinsincoscossinCABABAB，所以3sincossinBAB因为sin0B，所以1cos3A 又0,A，所以2 2sin3A，tan2 2A【小问 2 详解】ABC的面积n122 22si3ASbcbc，则6bc 由余弦定理：22222c23s2oabcbcbcbcA，得224253bcabc，所以5bc，故ABC的周长为51718.已知点4,4,0,3AB，圆C的半径为 1.（1）若圆C的圆心坐标为3,2C，过点A 作圆C的切

37、线，求此切线的方程；（2）若圆C的圆心C在直线:1l yx上，且圆C上存在点M，使2MBMO，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围.【答案】（1）4x 或3440 xy （2）23 222a或3 2222a.【解析】【分析】（1）根据圆心到直线距离分直线斜率存在与不存在求解；（2）由条件求出 M 所在圆，利用两圆相交求出a的取值范围.【小问 1 详解】由题意得圆C标准方程为22(3)(2)1xy，当切线的斜率存在时，设切线方程为44yk x，的的公众号：高中试卷君第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司由2211kdk，解得：34k，当切线的斜率不存在时，切线方程为4x，满足

38、题意；所以切线的方程为4x 或3440 xy.【小问 2 详解】由圆心C在直线:1l yx上，设,1C a a，设点,M x y，由2MBMO，得：2222(3)2xyxy，化简得：22(1)4xy，所以点M在以0,1D为圆心，2 为半径的圆上.又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则13CD，即2213aa，解得：23 222a或3 2222a.19.已知数列 na中，11a，nS是数列 na的前n项和，且32nnaSn.（1）求数列 na的通项公式：（2）证明：12123nnSSS.【答案】（1）12nn na （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用na与nS关系可推导得到111nna

39、nan，利用累乘法即可求得na；（2）由32nnaSn，结合na可得nS，并由此得到nnS；采用裂项相消法可整理得到公众号：高中试卷君第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司121211622nnSSSn，由102n可证得结论.【小问 1 详解】由32nnaSn得：32nnSna且0na；当2n 且nN时，1133321nnnnnaSSnana，整理可得：111nnnana，111nnanan，则122nnanan，2313nnanan，3242aa，2131aa，各式相乘得：111143123212nn nannnannn，又11a，12nn na.当1n 时成立，故12nn n

40、a.【小问 2 详解】由32nnaSn得：12236nnn nnnSa，61161212126nnnn nnSnnnn，1212111111116623341222nnSSSnnn，又102n，12121632nnSSS.20.已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和1CC的中点，D 为棱11AB上的点11BFAB 公众号：高中试卷君第 17 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D【解析】【分

41、析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）方法一方法一：几何法：几何法因为1 11 1,/BFAB ABAB，所以BFAB又因为1ABBB，1BFBBB，所以AB平面11BCC B又因为2ABBC，构造正方体1111ABCGABC G，如图所示，过 E 作AB的平行线分别与AGBC，交于其中点,M N，连接11,AM BN，因为 E，F 分别为AC和1CC的中点，所以N是 BC 的中点，易证1RtRtBCFB BN，则

42、1CBFBBN又因为1190BBNBNB，所以1190CBFBNBBFBN，公众号：高中试卷君第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司又因为1 111 11,BFAB BNABB，所以BF 平面11AMNB又因为ED 平面11AMNB，所以BFDE 方法二方法二【最优解】：向量法【最优解】：向量法因为三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，1BB底面ABC，1BBAB11/ABAB，11BFAB，BFAB，又1BBBFB，AB平面11BCC B所以1,BA BC BB两两垂直以B为坐标原点，分别以1,BA BC BB所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图0,0,0,2,0,

43、0,0,2,0,BAC1110,0,2,2,0,2,0,2,2BAC，1,1,0,0,2,1EF由题设,0,2D a（02a）因为0,2,1,1,1,2BFDEa，所以012 1 120BF DEa ，所以BFDE 方法三方法三：因为11BFAB，11/A BAB，所以BFAB，故110BF AB ，0BF AB ，所以11BF EDBFEBBBB D 11=BF B DBFEBBB 1BF EBBF BB 11122BFBABCBF BB 11122BF BABF BCBF BB 112BF BCBF BB 111coscos2BFBCFBCBFBBFBB 121=52520255 ，所以B

44、FED（2）方法一方法一【最优解】：向量法【最优解】：向量法设平面DFE的法向量为,mx y z，公众号：高中试卷君第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司因为1,1,1,1,1,2EFDEa ，所以00m EFm DE，即0120 xyza xyz 令2za，则3,1,2maa因为平面11BCC B的法向量为2,0,0BA ，设平面11BCC B与平面DEF的二面角的平面角为，则cosm BAmBA 2622214aa232214aa当12a 时，22214aa取最小值为272，此时cos取最大值为363272所以2min63sin133，此时112B D 方法二方法二：几何法：

45、几何法如图所示，延长EF交11AC的延长线于点 S，联结DS交11BC于点 T，则平面DFE 平面1 1BBCC FT作1BHFT，垂足为 H，因为1DB 平面11BBC C，联结DH，则1DHB为平面11BBC C与平面DFE所成二面角的平面角设1,B Dt0,2,t1BTs，过1C作11 1/CGAB交DS于点 G公众号：高中试卷君第 20 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司由111113C SC GSAAD得11(2)3C Gt又1111B DBTCGCT，即12(2)3tsst，所以31tst又111BHBTC FFT，即1211(2)B Hss，所以121(2)sB Hs所以

46、2211DHB HB D2221(2)sts2229225tttt则11sinB DDHBDH2229225ttttt219119222t，所以，当12t 时，1min3sin3DHB方法三方法三：投影法：投影法如图，联结1,FB FN，DEF在平面11BBC C的投影为1BNF，记面11BBC C与面DFE所成的二面角的平面角为，则1cosB NFDEFSS设1(02)BD tt，在1Rt DB F中，222115DFB DB Ft在Rt ECF中，223EFECFC，过 D 作1B N的平行线交EN于点 Q公众号：高中试卷君第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司在RtDEQ中

47、，2225(1)DEQDEQt在DEF中，由余弦定理得222cos2DFEFDEDFEDF EF22315(1)35ttt，222214sin35ttDFEt，1sin2DFESDF EFDFE2122142tt，13,2B NFS1cosB NFDFESS232214tt，29sin127tt，当12t，即112B D，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为33【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种

48、方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BBC C与面DFE所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE在面11BBC C上的投影三角形的面积与DFE面积之比即为面11BBC C与面DFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维21.在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得 5 分，选择错误得 0 分；多项选择题，每

49、道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选择错误的得 0 分.（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率；（2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题的四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如AB、BCD等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分

50、析，小明应选择何种方案，并说明理由.【答案】（1）45 （2）选择方案.公众号：高中试卷君第 22 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）根据全概率公式可求得该单项选择题回答正确的概率，由条件概率公式可求得结果；（2）分别计算方案的得分期望，比较大小即可.【小问 1 详解】记事件A 为“该单项选择题回答正确”，事件B为“小明知道该题的正确答案”，111512248P AP B P A BP B P A B，142558P ABP B AP A，即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，他知道这道单项选择题正确答案的概率为45.【小问 2 详解】方案单选：记小明