2024届高考数学专项同构携手放缩含答案.pdf

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1、1同构携手放缩专题阐述：同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的考法一：部分同构携手放缩法(同构放缩需有方，切放同构一起上)考法一：部分同构携手放缩法(同构放缩需有方，切放同构一起上)规律方法 在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a0且a1时，有x=alogax(2)当a0且a1时，有x=logaax再结合指数与对数运算

2、法则可以得到下述结论(其中x0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)xex=ex+lnx，x+lnx=ln xex(4)exx=ex-lnx，x-lnx=lnexx(6)xex=elnx-x，lnx-x=lnxex再结合常用的切线不等式：exx+1，exex，lnxx+1，lnxxe等可以得到更多的结论(7)xex=ex+lnxx+lnx+1，x+lnx=ln xexxex-1xex=ex+lnxe x+lnx，x+lnx=ln xexxexe=xex-1(8)exx=ex-lnxx-lnx+1，x-lnx=lnexxexx-1exx=ex-lnxe x-lnx，x-lnx=lnexxe

3、x-1x(9)xex=elnx-xlnx-x+1，lnx-x=lnxexxex-1xex=elnx-xe lnx-x，lnx-x=lnxexxex+12024届高考数学专项同构携手放缩21 1已知 f x=lnx+x-xex+1，则函数 f x的最大值为2 2已知函数 f x=xbex-alnx-x-1 x1，其中b0，若 f x0恒成立，则实数a与b的大小关系是3 3已知函数 f x=lnx+ax+1(1)若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若 f xxex恒成立，求实数a的取值范围【针对训练】【针对训练】1函数 f x=x2ex-2lnxx+1的最小值是2已知函数 f x=

4、aex-lnx-1，若 f x0恒成立，则实数a的取值范围是3已知函数 f x=xex-a x+lnx有两个零点，则实数a的取值范围是3考法二：整体同构携手脱衣法考法二：整体同构携手脱衣法规律方法 在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一个函数)，无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法如，若F x0能等价变形为f g x f h x，然后利用f x的单调性，如递增，再转化为g xh x，这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时，称为同构方程)，简称同构法1.1.地位同等同构(主

5、要针对双变量，合二为一泰山移)(1)f x1-f x2x1-x2k x1x2 f x1-f x2kx1-kx2 f x1-kx1 f x2-kx2y=f x-kx为增函数(2)f x1-f x2x1-x2kx1x2x1k x1-x2x1x2=kx2-kx1 f x1+kx1 f x2+kx2y=f x+kx为减函数含有地位同等的两个变量x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)2.2.指对跨阶同构(主要针对单变量，左同右同取对数)(1)积型：aeablnb三种同构方式

6、同左aea lnbelnb构造函数f x=xex同右ealneablnb构造函数f x=xlnx取对a+lnalnb+ln lnb构造函数f x=x+lnx如2x3lnxmemxx2lnx2mxemxx2lnx2emxlnemx后面的转化同(1)说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知，(2)商型：eaablnb三种同构方式同左eaaelnblnb构造函数f x=exx同右ealneablnb构造函数f x=xlnx取对a-lnablnb两种同构方式同左eaaelnblnb构造函数f x=exx同右ealneablnb构造函数f x=xlnx 如eax+a

7、xln x+1+x+1eax+axeln x+1+ln x+1axln x+13.3.无中生有同构(主要针对非上型，凑好形式是关键)(1)aeaxlnx同乘x 无中生有axeaxxlnx后面的转化同2(1)(2)exaln ax-a-a1aexlna x-1-1ex-lna-lnaln x-1-1同加x 无中生有ex-lna+x-lnaln x-1+x-1=eln x-1+ln x-1x-lnaln x-1(3)axlogaxexlnalnxlna xlnaexlnaxlnx后面的转化同2(1)4 4已知 f x=aln x+1-x2，在区间 1,2内任取两实数 p，q，且 pq，不等式f p

8、+1-f q+1p-q0，不等式a eax+12 x+1xlnx恒成立，则实数a的最小值为【针对训练】【针对训练】4对于x0，不等式axlogax(a0，且a1)恒成立，则a的取值范围是5已知函数 f x=ex-aln ax-a+a a0，若关于x的不等式 f x0恒成立，则实数a的取值范围是()A.0,e2B.0,e2C.1,e2D.1,e256已知不等式x+alnx+1exxa对x 1，+恒成立，则实数a的最小值为()A.-eB.-e2C.-eD.-2e【强化训练】【强化训练】7函数 f x=xex-lnxx+1的最小值为8已知函数 f x=aex-lnx-1，若 f x0恒成立，则实数a

9、的取值范围是9已知a，b分别满足aea=e2，b lnb-1=e3，则ab=10已知x0是函数 f x=x2ex-2+lnx-2的零点，则e2-x0+lnx0=11已知函数 f x=ex+mlnx mR R，若对任意正数x1,x2，当x1x2时，都有 f x1-f x2x1-x2成立，则实数m的取值范围是12设实数0，若对于任意x 0,+，不等式ex-lnx0恒成立，则的最小值为613已知a1恒成立，则实数a的最小值为()A.-12eB.-2eC.-1eD.-e14已知函数 f(x)=2x3lnx-(m-x)emx-1，当xe时，f(x)0恒成立，则实数m的取值范围为()A.(-,4eB.(-

10、,3eC.(-,2eD.-,3e21同构携手放缩专题阐述：同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的考法一：部分同构携手放缩法考法一：部分同构携手放缩法(同构放缩需有方，切放同构一起上同构放缩需有方，切放同构一起上)规律方法 在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a0且a1时，有x=alogax(2)当a0且a1时，有x=l

11、ogaax再结合指数与对数运算法则可以得到下述结论(其中x0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)xex=ex+lnx，x+lnx=ln xex(4)exx=ex-lnx，x-lnx=lnexx(6)xex=elnx-x，lnx-x=lnxex再结合常用的切线不等式：exx+1，exex，lnxx+1，lnxxe等可以得到更多的结论(7)xex=ex+lnxx+lnx+1，x+lnx=ln xexxex-1xex=ex+lnxe x+lnx，x+lnx=ln xexxexe=xex-1(8)exx=ex-lnxx-lnx+1，x-lnx=lnexxexx-1exx=ex-lnxe x-l

12、nx，x-lnx=lnexxex-1x(9)xex=elnx-xlnx-x+1，lnx-x=lnxexxex-1xex=elnx-xe lnx-x，lnx-x=lnxexxex+121 1已知 f x=lnx+x-xex+1，则函数 f x的最大值为解析：f x=lnx+x-xex+1=x+lnx-ex+lnx+1x+lnx-x+lnx+2=-2(当且仅当x+lnx+1=0取等号)2 2已知函数 f x=xbex-alnx-x-1 x1，其中b0，若 f x0恒成立，则实数a与b的大小关系是解析：f x0 xbexalnx+x+1ex+blnx-x-1alnxaex+blnx-x-1lnx由于

13、ex+blnx-x-1lnxx+blnx+1-x-1lnx=b当且仅当x+blnx=0等号成立，所以ab3 3已知函数 f x=lnx+ax+1(1)若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若 f xxex恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)f x定义域是 0,+，fx=1x+a当a0时，fx0，f x在定义域上单调递增，不可能有两个零点当a0当x 0,-1a时，fx0，f x在定义域上单调递增当x-1a,+时，fx0解得-1a0(2)要使 f xxex恒成立，只要lnx+ax+1xex恒成立只要axex-lnx-1x恒成立，令g x=xex-lnx-1x，则xex-lnx-1x

14、=ex+lnx-lnx-1xx+lnx+1-lnx-1x=1当且仅当x+lnx=0时取等号，所以 f xxex恒成立，实数a的取值范围为a1【点睛】本题难点在第2问，由所求不等式出发，经参变分离将问题转化为axex-lnx-1x恒成立，引入函数g x=xex-lnx-1x，通过结论xex=ex+lnxx+lnx+1的放缩，巧妙地得出g(x)的最小3值，进而求出参数a的取值范围.【针对训练】【针对训练】1函数 f x=x2ex-2lnxx+1的最小值是【答案】1【分析】先利用导数证明exx+1在R R上恒成立，再构造函数 f x=ex+2lnx-2lnxx+1，结合放缩法即可求出函数的最小值.【

15、详解】令g(x)=ex-(x+1)，则g(x)=ex-1，令g(x)0 x0 x0，所以函数g(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，所以g(x)min=g(0)=0，即ex-(x+1)0在R R上恒成立，所以exx+1，故 f x=x2ex-2lnxx+1=ex+2lnx-2lnxx+1x+2lnx+1-2lnxx+1=1当且仅当x+2lnx=0取等号.故答案为：1.2已知函数 f x=aex-lnx-1，若 f x0恒成立，则实数a的取值范围是【答案】a1e【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】aex-lnx-10alnx+1ex由于ln

16、x+1x，exex，两者都是当且仅当x=1等号成立，则lnx+1exxex=1e所以a1e故答案为：a1e3已知函数 f x=xex-a x+lnx有两个零点，则实数a的取值范围是【答案】ae【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.【详解】f x=xex-a x+lnx=ex+lnx-a x+lnx，令t=x+lnx，tR R，显然该函数单调递增，即et-at=0有两个根，即et=at有两个根，如下图，作出函数y=et的图像及其过原点的切线y=et，可知当ae时有两个交点即et=at有两个根4故答案为：ae.考法二：整体同构携手脱衣法考法二：整体同构携手脱衣法规律

17、方法 在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一个函数)，无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法如，若F x0能等价变形为f g x f h x，然后利用f x的单调性，如递增，再转化为g xh x，这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时，称为同构方程)，简称同构法1.1.地位同等同构(主要针对双变量，合二为一泰山移)(1)f x1-f x2x1-x2k x1x2 f x1-f x2kx1-kx2 f x1-kx1 f x2-kx2y=f x-kx为增函数(2)f x1-f x

18、2x1-x2kx1x2x1k x1-x2x1x2=kx2-kx1 f x1+kx1 f x2+kx2y=f x+kx为减函数含有地位同等的两个变量x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)2.2.指对跨阶同构(主要针对单变量，左同右同取对数)(1)积型：aeablnb三种同构方式同左aea lnbelnb构造函数f x=xex同右ealneablnb构造函数f x=xlnx取对a+lnalnb+ln lnb构造函数f x=x+lnx如2x3lnxmemxx2lnx2m

19、xemxx2lnx2emxlnemx后面的转化同(1)5说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知，(2)商型：eaablnb三种同构方式同左eaaelnblnb构造函数f x=exx同右ealneablnb构造函数f x=xlnx取对a-lnablnb两种同构方式同左eaaelnblnb构造函数f x=exx同右ealneablnb构造函数f x=xlnx 如eax+axln x+1+x+1eax+axeln x+1+ln x+1axln x+13.3.无中生有同构(主要针对非上型，凑好形式是关键)(1)aeaxlnx同乘x 无中生有axeaxxlnx后面

20、的转化同2(1)(2)exaln ax-a-a1aexlna x-1-1ex-lna-lnaln x-1-1同加x 无中生有ex-lna+x-lnaln x-1+x-1=eln x-1+ln x-1x-lnaln x-1(3)axlogaxexlnalnxlna xlnaexlnaxlnx后面的转化同2(1)4 4已知 f x=aln x+1-x2，在区间 1,2内任取两实数 p，q，且 pq，不等式f p+1-f q+1p-qq时，f p+1-f q+1 p+1-q+1即 f p+1-p+1 f q+1-q+1令g x=f x+1-x+1，则g p+1g q+1g x在 1,2递减，即g x

21、=aln x+2-x+12-x+1gx0在 1,2上恒成立gx=ax+2-2 x+1-10在 1,2上恒成立a2x2+7x+6在 1,2上恒成立a 2x2+7x+6min=15当p0，不等式a eax+12 x+1xlnx恒成立，则实数a的最小值为6解析：a eax+12 x+1xlnxax eax+1 x2+1lnx2 eax+1lneax x2+1lnx2(积型同构)令 f x=x+1lnx，则 fx=lnx+x+1x，fx=1x-1x2=x-1x2易知 fx在 0,1上递减，在 1,+上递增所以 fx f1=20，所以 f x在 0,+上单调递增则 eax+1lneax x2+1lnx2

22、 f eax f x2eaxx2，ax2lnxa2lnxx由导数法易证2lnxx2e，所以a2e例6已知函数 f x=ln x+1x(1)判断 f x在 0,+上的单调性；(2)若x0，证明：ex-1ln x+1x2解析：(1)fx=xx+1-ln x+1x2令g x=xx+1-ln x+1，gx=-xx+120g x在 0,+上单调递减，g xg 0=0，即 fxx2，即证：ln x+1x2ex-1即证：ln x+1xxex-1，即证：ln x+1xln ex-1+1ex-1令h x=ln x+1x，即证：h xh ex-1由(1)，h x在 0,+上单调递减，即证：x0s x在 0,+上单

23、调递增，s xs 0=0ex-x-10，即xxex-1，通过同构变形，构造函数h x=ln x+1x，借助(1)问中h x在 0,+上单调递减，将命题转证为x0，不等式axlogax(a0，且a1)恒成立，则a的取值范围是7【答案】e1e,+【分析】由题意可得 xlnaexlnaxlnx，a1，即xlna+ln(xlna)lnx+ln(lnx)，构造函数 f(x)=x+lnx，由其在(0,+)上为增函数，xlnalnx，则lnalnxx，再构造函数g(x)=lnxx(x0)，利用导数求出其最大值即可【详解】因为axlogax(a0,a1)，对x 0，+恒成立，所以exlnalnxlna，a1，

24、所以 xlnaexlnaxlnx，所以 xlnaexlnalnxelnx，所以xlna+ln(xlna)lnx+ln(lnx)，令 f(x)=x+lnx，则 f(xlna)f(lnx)因为 f(x)在(0,+)上为增函数，所以xlnalnx，所以lnalnxx，令g(x)=lnxx(x0)，则g(x)=1-lnxx2(x0)，当0 x0，当xe时，g(x)1e，所以ae1e，所以a的取值范围是 e1e,+故答案为：e1e,+5已知函数 f x=ex-aln ax-a+a a0，若关于x的不等式 f x0恒成立，则实数a的取值范围是()A.0,e2B.0,e2C.1,e2D.1,e2【答案】B【

25、分析】依题意可得ex-lna+x-lnaeln x-1+ln x-1，令g x=ex+x，则问题等价于g x-lnag ln x-1，即lnax-ln x-1，再由lnx x-1，即可得到lna01aexlna x-1-1，ex-lna-lnaln x-1-18ex-lna+x-lnaeln x-1+ln x-1，令g x=ex+x，显然g x为增函数，则原命题等价于g x-lnag ln x-1x-lnaln x-1lnax-ln x-1，又令g x=lnx-x-1，则gx=1x-1=1-xx，所以0 x0，当x1时gx0，即g x在 0,1上单调递增，在 1,+上单调递减，所以g xmax

26、=g 1=0，即lnx x-1恒成立，所以x-ln x-1x-x-2，所以lna2，即得0a0，结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.【详解】因为x+alnx+1exxa，所以x+1exxa-alnx=xa-lnxa，即1ex-ln1exxa-lnxa，构造函数 f x=x-lnx，x0所以 f1ex f xafx=1-1x=x-1x，令 fx0，解得：x1，令 fx0，解得：0 x1时，01ex1，xa与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时0 xa1因为当0 x1a-xlnx，令g x=-xlnx，则gx=1-lnxlnx2

27、，令gx0得：1xe，令gxe，所以g x在 1，e单调递增，在 e,+单调递减，所以g xg e=-e故a的最小值是-e故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.【强化训练】【强化训练】7函数 f x=xex-lnxx+1的最小值为【答案】1【分析】先证明出ett+1成立，对原函数进行同构构造后直接求解.【详解】记y=et-t-1.因为y=et-1.令y0，解得：t0；令y0，解得：t0.因为y=x在 0,+上单增，y=lnx在 0,+上单增，所以g x=x+lnx在 0,+上单增.又g1e=1e+ln1e=1e-

28、10，所以g x=x+lnx有且只有一个实根.而存在唯一一个x0 0,1使得g x0=x0+lnx0=0.即存在唯一一个x0 0,1使得 f x0=1.所以函数 f x=xex-lnxx+1的最小值为1.故答案为：18已知函数 f x=aex-lnx-1，若 f x0恒成立，则实数a的取值范围是10【答案】a1e【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】f x=aex-lnx-1alnx+1ex由于lnx+1x，exex两者都是当且仅当x=1等号成立则lnx+1exxex=1e所以a1e故答案为：a1e9已知a，b分别满足aea=e2，b lnb-1=e3，则

29、ab=【答案】e3【分析】同构化处理，构造函数并利用函数的单调性确定答案【详解】aea=e2b lnb-1=e3 aea=e2belnbe=e2 aea=e2lnbeelnbe=e2 aea=lnbeelnbe，且a1,be1，令 f x=xex，fx=(x+1)ex，该函数在 0,+单调递增，可得f a=f lnbe，即a=lnbe，则ab=blnbe=e3故答案为：e3.10已知x0是函数 f x=x2ex-2+lnx-2的零点，则e2-x0+lnx0=【答案】2【分析】根据零点定义可得x02ex0-2+lnx0-2=0，整理可得x0ex0=lne2x0elne2x0，根据此时可得x0=e

30、2-x0成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得x02ex0-2+lnx0-2=0，整理可得x0ex0-2=2-lnx0 x0，x0ex0=e2x0lne2x0=lne2x0elne2x0可得当x0=lne2x0，即x0=e2-x0成立，又lnx0=2-x02ex0-2，代入可得e2-x0+lnx0=x0+2-x021x0=2.故答案为：2.11已知函数 f x=ex+mlnx mR R，若对任意正数x1,x2，当x1x2时，都有 f x1-f x2x111-x2成立，则实数m的取值范围是【答案】0,+【分析】令g x=f x-x，进而原题等价于g x在 0,+单调递增，从而转化为gx=e

31、x+mx-10，在 0,+上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由 f x1-f x2x1-x2得，f x1-x1 f x2-x2令g x=f x-x，g x1g x2g x在 0,+单调递增，又g x=f x-x=ex+mlnx-xgx=ex+mx-10，在 0,+上恒成立，即m 1-exx令h x=1-exx，则hx=-exx+1+10，若对于任意x 0,+，不等式ex-lnx0恒成立，则的最小值为【答案】1e【分析】将给定的不等式作等价变形，按01分段讨论，并借助导数求出最值作答.【详解】0，x(0,+)，ex-lnx0exlnxxexxlnxexlnexxlnx，当00，而xlnx0

32、，即ex-lnx0恒成立，因此x(0,+)，ex-lnx0恒成立，当且仅当x1时，exlnexxlnx恒成立，令 f(x)=xlnx,x1，求导得 f(x)=1+lnx1，即函数 f(x)在(1,+)上单调递增，因此x1，exlnexxlnx f ex f xexxxlnxlnxx，令g(x)=lnxx,x1，求导得g(x)=1-lnxx2，当1x0，当xe时g(x)0，即函数g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，当x=e时，g(x)max=g(e)=1e，则1e所以的最小值为1e.故答案为：1e12【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的

33、关键.13已知a1恒成立，则实数a的最小值为()A.-12eB.-2eC.-1eD.-e【答案】D【分析】首先不等式变形为xexlnx-aelnx-a，f x=xexx1，不等式等价于 f x f lnx-a，然后利用函数的单调性可得x-alnx对任意x1恒成立，再利用参变分离-axlnx恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】不等式变形为xexx-a-alnx，即xexlnx-aelnx-a，设 f x=xexx1，则不等式xa+1ex+alnx0对任意的实数x1恒成立，等价于 f x f lnx-a对任意x1恒成立，fx=x+1ex0，则 f x在 1,+上单调递增，xlnx-a，即x-al

34、nx对任意x1恒成立，-axlnx恒成立，即-axlnxmin，令g x=xlnx，则gx=lnx-1lnx2x1，当1xe时，gxe时，gx0，g x在 e,+上单调递增，x=e时，g x取得最小值g e=e，-ae，即a-e，a的最小值是-e.故选：D【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形xexlnx-aelnx-a，并能构造函数并转化为 f x f lnx-a对任意x1恒成立.14已知函数 f(x)=2x3lnx-(m-x)emx-1，当xe时，f(x)0恒成立，则实数m的取值范围为()A.(-,4eB.(-

35、,3eC.(-,2eD.-,3e2【答案】B【分析】先分析m0，易得 f(x)0恒成立，再分析m0，13将问题转化为2lnxe2lnxmx-1emx-1，xe恒成立，再构造函数g(x)=xex，即g(2lnx)gmx-1，xe恒成立，可利用g(x)的单调性，转化为则2lnxmx-1,xe恒成立，再转化为得m2xlnx+x,xe恒成立，再构造函数u(x)=2xlnx+x,xe，利用导数得到u(x)min，则mu(x)min.【详解】当m0，xe时，f(x)0显然恒成立；当m0 时，由题，则2x3lnx(m-x)emx-1恒成立，得2lnxe2lnxmx-1emx-1，xe恒成立，令g(x)=xex，则g(2lnx)gmx-1,xe恒成立，则g(x)=ex+xex=(x+1)ex0，故g(x)在(-1,+)递增，则2lnxmx-1-1,xe恒成立，得m2xlnx+x,xe恒成立，令u(x)=2xlnx+x,xe，则u(x)=2lnx+30，即u(x)在e,+)递增，故u(x)min=u(e)=3e，故0m3e，综合得m3e.故选：B.【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是解决问题的关键.