(34)--扭转工程力学工程力学.ppt

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1、1工程力学教学课件工程力学教学课件第五章第五章 扭转扭转2本章重点、难点本章重点、难点重点重点 圆轴扭转横截面上切应力计算公式。圆轴扭转横截面上切应力计算公式。圆轴扭转变形的计算。圆轴扭转变形的计算。扭转变形构件的强度与刚度条件。扭转变形构件的强度与刚度条件。难点难点 圆轴扭转变形的计算。圆轴扭转变形的计算。扭转变形构件的强度与刚度条件。扭转变形构件的强度与刚度条件。35-1 5-1 扭转的基本概念扭转的基本概念 机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。梁及厂房等空间结构中的

2、某些构件等，扭转是其主要变形之一。扭转扭转的的变形特征变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线 的相对转动。的相对转动。扭转的扭转的受力特征受力特征：在杆件的两端作用两个大小相等、转向相：在杆件的两端作用两个大小相等、转向相 反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。MM 轴轴：工程中以扭转为主要变形的构件。工程中以扭转为主要变形的构件。4对称扳手拧紧螺帽对称扳手拧紧螺帽工工程程实实例例传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴钻钻机机中中的的钻钻杆杆易拉罐扭转易拉罐扭转5工工 程程 实实 例例水轮机主轴水轮机主轴减速箱中的轴减速箱中的轴

3、6外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系功率功率功功时间时间力偶矩力偶矩角位移角位移角速度角速度每分钟每分钟的转数的转数5-2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图I、传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩7II、扭矩和扭矩图、扭矩和扭矩图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图扭矩图。右手螺旋法则右手螺旋法则：当力偶矩矢的指向离开截面时扭矩为 正，反之为负。mxTmxT5-2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图8 例题例题5-1 一传动轴如图所示，其转速 n=300r/min，主动轮输入的功率为有 P1=500 k

4、W。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为 P2=150 kW、P3=150 kW及P4=200 kW。试做扭矩图。ABCDP1P2P3P4n解解:计算外力偶矩AABCD+4.789.566.37最大扭矩在最大扭矩在 CA段内。段内。9习题习题1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII经由经由A、B、C、D轮传轮传递的外力偶矩分别为递的外力偶矩分别为解：解：扭矩扭矩Mn-图图（-）（+）（在（在CA段和段和AD段）段）

5、105-3 5-3 纯剪切纯剪切 切应力互等定理切应力互等定理薄壁圆筒的壁厚d 远小于其平均半径 r0（即 ）薄壁圆筒扭转时其任一横截面 上的内力是一作用在该横截面上的力偶，该内力偶称作扭矩扭矩 T。由内力与应力的关系可知，横截面上的应力只能是切应力切应力切应力切应力。薄壁圆筒扭转试验薄壁圆筒扭转试验预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜观察到的现象观察到的现象设想设想薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。横截面上各点处的切应力的方向必与圆周相切。横截面上各点处的切应力的方向必与圆

6、周相切。11mmABCD圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为 相对扭转角相对扭转角 ，用 表示。圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为 剪应变剪应变。用 表示。由设想推知由设想推知圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。于是由静力关系，得到于是由静力关系，得到，A0为以薄壁圆筒平均半径 r0 所作圆的面积。引入引入得到得到dxtABCD 3-2 3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转12剪切胡克定律剪切胡克定律该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律G 称为材料的 剪切弹性模量剪切弹性模量。其单位是 Pa。剪切胡克定律剪切胡克定律 只有在剪应力

7、不超过材料的剪切比例极限时才只有在剪应力不超过材料的剪切比例极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。适用。即材料在线弹性范围内工作。薄壁圆筒切应力计算公式薄壁圆筒切应变计算公式135-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形I、横截面上的应力横截面上的应力 从三个方面考虑：从三个方面考虑：几何、物理及静力学方面几何、物理及静力学方面14预先在圆杆的表面画上等间距预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子一系列的正方格子 。试验结果：试验结果：等直圆杆扭转变形后，两圆周等直圆杆扭转变形后，两圆周线绕杆件的轴线相对旋转了一个线绕杆件的轴线

8、相对旋转了一个角度角度，两圆周线的形状和大小均未两圆周线的形状和大小均未改变改变;在变形微小的情况下，纵向在变形微小的情况下，纵向线则倾斜了一个角度线则倾斜了一个角度 。1、几何方面、几何方面 平面假设平面假设平面假设平面假设：假设横截面象刚性平面一样地绕杆的轴线转动。：假设横截面象刚性平面一样地绕杆的轴线转动。5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形15aabATTdx(a)Db 倾角倾角 是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一点点 A 处的剪应变，经过半径处的剪应变，经过半径 O2D 上任一点上任一点 G 的的纵向线纵向线EG 也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度 它也就是它也就是横

9、截面半径上任一点横截面半径上任一点 E 处的处的切应变切应变。EG是是 b-b 截面相对于截面相对于截面象刚性平面一截面象刚性平面一轴转动的一个角度。轴转动的一个角度。aa样绕杆样绕杆5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形16 此时式说明此时式说明：同一同一半径半径 圆周上各点剪应圆周上各点剪应变变 均相同均相同，且其值与，且其值与 成正比。成正比。(a)aabATTdx(a)DbEG5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形17此时式说明此时式说明：同一半径同一半径 圆周上圆周上各点剪应力各点剪应力 均相同均相同，且其值与，且其值与 成正比成正比，垂直与半径。垂直与半

10、径。由剪切胡克定律由剪切胡克定律(b)得得(c)整个横截面上的内力元素整个横截面上的内力元素的合力必等于零，并组成一个力偶的合力必等于零，并组成一个力偶这就是横截面上的扭矩。这就是横截面上的扭矩。dAdAro(b)T2、物理方面、物理方面 3、静力学方面、静力学方面 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形18（35）（36）dAdAro(b)T5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形19上式为等直圆杆等直圆杆在扭转时横截面上任一点任一点处的切应力计算公式切应力计算公式式中：T为横截面上的扭矩；为求应力的点到圆心的距离：dAdArO(b)T极惯性矩单位极惯性矩单位：m4

11、。圆轴横截面上切应力分布圆轴横截面上切应力分布称为横截面的 极惯性矩极惯性矩（36）5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形20dAdAro(b)T称作称作抗扭截面系数抗扭截面系数，单位为，单位为mm3或或m3。（1）横截面周边各点处，剪应力将达到最大值。圆心处的剪应力为零。剪应力与成正比。且垂直于半径。指向与T的转向一致。分布图如图 b 所示。（3-7）说明：说明：21（2）公式只适用于符合平面假设的等直圆杆在线弹性范公式只适用于符合平面假设的等直圆杆在线弹性范围以内的扭转剪应力计算围以内的扭转剪应力计算极惯性矩及极惯性矩及抗扭截面系数抗扭截面系数的计算的计算实心圆截面实心圆截面

12、：do图图 3-10(a)(3-8)（3-9）5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形22(b)Ddo空心圆截面空心圆截面 ：其中其中（3-10）（3-11）5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形23II、斜截面上的应力斜截面上的应力在圆杆的表面处用横截面，径向截面及与表面平行的面取一个微小的正六面体，称为单元体单元体。xydydzabdzdx(a)c剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理：两个相互垂直平面上的剪应力同两个相互垂直平面上的剪应力同时存在，且大小相等，都指向时存在，且大小相等，都指向（或背离）该两平面的交线。（或背离）该两平面的交线。纯

13、剪切应力状态：纯剪切应力状态：纯剪切应力状态：纯剪切应力状态：单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元体为纯剪切应力状态纯剪切应力状态。5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形24斜截面上的应力斜截面上的应力fabcdnxe(b)efb(c)截面的外法线 n与 X 轴间的夹角为 ，并规定 X 轴至截面的外法线 n 逆时针逆时针转向 为正，反之为负假设 ef 的面积为 dA，则 eb、bf 的面积分别为d Acos 、d Asin ，由物体的平衡（图c）得斜截面上应力的计算公式斜截面上应力的计算公式25塑性材料塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现：首先发生屈服，在试

14、样表面的横向和纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。滑移线，最后沿横截面被剪断。脆性材料脆性材料：变形很小，在与轴线约成：变形很小，在与轴线约成45的面上的面上断裂。断裂。26低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。27例题例题 3-2 实心圆轴和空心圆轴2材料、扭转力偶矩m和长度l均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为 =0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比。解：解：设实心圆截面直径为 d1，空心圆截面的内、外径分别为 d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T。ll由已知由已知有有因此因此解得解得两轴材料、长度均

15、相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比，28III 强度条件强度条件等直圆杆扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作切应力 max 不超过材料的许用切应力 ，即等直圆杆扭转时的最大工作切应力 max 发生在最大扭矩所在横截面（又叫危险截面危险截面）的周边上的任一点处，其强度条件应该以这些点（又叫危险点危险点）处的切应力依据，即 根据上述条件，可以解决三个方面的问题 （1）强度校核强度校核（2）截面设计截面设计 （3）确定许可荷载确定许可荷载5-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形29ABC(a)例题例题5-4 如图所示阶梯圆轴，AB段的

16、直径d1=120 mm，BC段的直径 d2=100 mm。扭转力偶矩为 mA=22 kN。m，mB=36 kN。m，mC=14 kN。m。已知材料的许用剪应力=80MPa，试校核该轴的强度。解：解：作轴的扭矩图（图b)虽然 T1 T2，但是d1 d2，因此要分别核该两段轴的强度因此，该轴满足强度要求。+2214(b)单位：单位：KN。m30习题习题 一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。解：解：设空心圆轴的内、外径分别为设空心圆轴的内、外径分别为d、D，面积增大一倍后

17、内，面积增大一倍后内外径分别为外径分别为d1、D1，最大许可扭矩为最大许可扭矩为15-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形31因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd设平均半径 R0=(d+)/2空心圆轴设计当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒习题习题 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。5-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形32四、刚度计算与刚度条件四、刚度计算与刚度

18、条件作杆的刚度计算 解扭转超静定问题研究等直圆杆扭转时的变形的目的等直圆杆扭转时的变形是用相对扭转角扭转角j来度量的公式是 计算等直圆杆相对扭转角的依据。其中dj代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。因此，长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角可按下式计算对于同一材料制成的等直杆常量(G，IP)当只在两端受一对外力偶作用时，从上式可得5-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形33GIP 称为称为抗扭刚度抗扭刚度。单位长度扭转角单位长度扭转角：在工程中，对于扭转杆的刚度通常用：在工程中，对于扭转杆的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率来度量。相对扭转角沿杆长度的变化率来度

19、量。IP 称为称为极惯性矩极惯性矩；单位：；单位：m4。T 称为称为扭矩扭矩；单位：；单位：Nml 为杆长；单位：为杆长；单位：m。称为称为 扭转角扭转角；单位：；单位：rad，弧度。，弧度。单位扭转角；单位：单位扭转角；单位：rad/m 单位扭转角；单位：单位扭转角；单位：O/m5-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形34BC12A例题例题5-5 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：m1=1592 Nm，m2=955 N m，m3=637 Nm。截面 A与截面 B、C之间的距离分别为lAB=300 mm和lAC=500 mm。轴的直径d=70 mm，钢的剪变模量为G=80

20、 GPa。试求：截面 C 对截面B 的对扭转角。与与转向同转向同解解：假设A截面不动，先分别计算截面B、C对截面A的相对扭转角AB 和AC。35与与转向同转向同再计算截面 C 对截面 B 的相对扭转角 jBC转向与转向与 m3 相同相同设截面B固定不动，先分别计算m1、m3 单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角jBC1 和jBC2，然后叠加，即采用叠加法36习题习题 如图所示阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm，M22.3KNm，M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算jAB和jAC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0

21、mABC5-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形37习题习题 空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19KNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN5005005005-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形38习题习题 已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤

22、对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。单位长度阻力矩39习题习题 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。因两杆扭转变形时无相对转动40II、刚度条件刚度条件 等直圆杆扭转时的刚度条件是等直圆杆扭转时的刚度条件是 称作称作许可许可单位长度扭

23、转角单位长度扭转角。根据机器要求、轴的工作条件确定。可查手册。精密机器轴：=（0.15 0.30）/m一般传动轴：=（0.30 .0）/m精度不高的轴：=（.0 .）/m5-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形41解：解：由例题 3-1 得Tmax=9.56kNm，现计算 Wt 和P例题例题 3-6 在例题 3-1 中的传动轴 是由 45 号钢制成的空心圆截面轴，其内外径之比为 =1/2。钢的许用剪应力 =40MP，剪变模量为 G=80GPa，许可单位长度扭转角=0.3/m。试强度条件和刚度条件选择轴的直径。+4.789.566.375-4 5-4 圆轴扭转时的应力与变形圆

24、轴扭转时的应力与变形42满足满足 刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件 所必需的外径所必需的外径解得解得满足满足 强度条件强度条件强度条件强度条件 所必需的外径由所必需的外径由空心圆轴外径不应小于空心圆轴外径不应小于 125.5 mm，内径不应小于，内径不应小于62.75 mm。在此题中，控制截面尺寸的是刚度条件。在此题中，控制截面尺寸的是刚度条件。解得解得43习题习题 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若j=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径代入数值得：

25、D 0.0226m。40NmxT44 由扭转刚度条件校核刚度右端面转角为：45习题习题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用剪应力=40MPa，轴的许用单位扭转角=0.8/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：画扭矩图解：画扭矩图46习题习题 某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率P1=500 马力，输出功率分别 P2=200马力及 P3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，j=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直

26、径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBx7.024KN.mT 4.21KN.m由刚度条件得：47综上：全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21KN.m2.814KN.m48dxdydzxyzabd图图3-13(a)5-5 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能 纯剪切应力状态下的比能纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，因此变假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动形后右侧将向下移动 d

27、x。因为因为 很小，所以在变形过程很小，所以在变形过程中上，下两面上的外力将不作中上，下两面上的外力将不作功。只有右侧面的外力功。只有右侧面的外力(dydz)对相应的位移对相应的位移 dx 作了功。作了功。dx当材料在线弹性范围内内工作当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为此，单元体上外力所作的功为49 比能为比能为将将代如上式得代如上式得等直圆杆扭转时应变能的计算等直圆杆扭转时应变能的计算Ve e将将代入上式得代入上式得5-5 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能50等直非圆杆，如图所示矩形截面杆扭转后横截面将发生 翘

28、曲 而不再是平面。等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同。横截面上仍然只有剪应力而没有正应力。这一情况称为纯扭转。或自由扭转。与圆截面杆比较5-5 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能51 、两系数可由表两系数可由表 查得。查得。b为为矩形截面的短边尺寸矩形截面的短边尺寸。本节只讨论横截面为矩形的等直非圆本节只讨论横截面为矩形的等直非圆杆纯扭转时的情形杆纯扭转时的情形角点切应力等于零角点切应力等于零边缘各点切应力沿切线方向边缘各点切应力沿切线方向最大切应力最大切应力 发生在长边中点发生在长边中点T若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力。这一情况称为约束扭转。矩形截面的应力分布见图。矩形截面的应力分布见图。5-5 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能52