黑龙江省名校联盟2023-2024学年高三上学期模拟测试数学试题含答案.pdf

《黑龙江省名校联盟2023-2024学年高三上学期模拟测试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黑龙江省名校联盟2023-2024学年高三上学期模拟测试数学试题含答案.pdf（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学科网（北京）股份有限公司黑龙江名校联盟黑龙江名校联盟 2024 届高三模拟测试届高三模拟测试数学试卷数学试卷（本试卷满分（本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.）注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦

2、干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足23izz ，则z（）A.2 B.2 C.3 D.32.已知0,0 xy，且22xy，则42xy的最小值为（）A.1 B.2 C.2 D.2 23.已知集合,A B，若3log1Axx

3、，且0,2AB，则集合B可以为（）A.24xx B.02xxxC.2y yx D.2x yx4.已知函数 cos,02,(0)xxf xxx，则43ff（）A.2 B.-2 C.-4 D.45.已知1,2ambn，向量b在向量a方向上的投影向量为12a，且ab与向量2,1共线且方向相反，则（）A.1mn B.2mnC.2mn D.1mn 6.若,A B C分别为ABC的三个内角，则“sinsinAB”是“coscos0AAC”的（）学科网（北京）股份有限公司A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.若正四棱柱1111ABCDABC D与以正方形ABCD

4、的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（）A.2 B.2 C.2 D.28.已知数列 na的前n项和为nS，若123aa，且*2,nnN都有114nnnSSS0，则（）A.12nnSS是等比数列 B.13,121,2nnnanC.3,121,2nnnan D.548S 二二多选题：本题共多选题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知等差数列

5、na的前n项和为nS，若202320240,0SS，则下列结论正确的是（）A.na是递增数列 B.10131012aaC.1012nSS D.10151008SS10.关于函数 121cos224f xx的图象和性质，下列说法正确的是（）A.58x是函数 f x的一条对称轴B.7,08是函数 f x的一个对称中心C.将曲线1sin22yx向左平移38个单位可得到曲线 yf xD.函数 f x在,02的值域为2 1,4211.已知直线:220l axya与圆222:(4)(1)(0)Cxyrr相交于不同的两点,M N O为坐标原点，则（）A.直线l过定点2,2学科网（北京）股份有限公司B.2,r

6、C.当3r 时，4,6MN D.当5r 时，CM CN 最小值为-2512.在正四棱柱中11111,4,2,ABCDABC D AAABE F分别为棱1,AB CC的中点，记为过1D EF三点所作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（）A.异面直线EF与直线1AA所成角的余弦值为23B.与平面11BCC B的交线与1BC平行C.截面为五边形D.D点到截面的距离为8 1717三三填空题：本题填空题：本题 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，cos1f xxx，则当0 x时，f x _.14.在平行四边形ABCD

7、中，3,2BEED CEABAD R _.15.已知球O的体积为323，其内接三棱锥DABC的底面ABC为直角三角形，且90ACB，则三棱锥DABC的体积的最大值为_.16.已知 fx为函数 f x的导函数，且定义域均为R，若函数12xf与 f xx都是偶函数，写出函数 f xx的一个对称中心为_；1121213131412023120241ffffffff_.四四解答题：共解答题：共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知等差数列 na公差与等比数列 nb公比相同，12361,4,3abba.（1）求 na和

8、 nb的通项公式；学科网（北京）股份有限公司（2）记数列 nc是将数列 na和 nb中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列 nc前 60 项的和60S.18.（本小题满分 12 分）已知函数 e,xf xxxR.（1）求函数 exf xx单调区间；（2）若过点1,PttR可以作曲线 yf x的 3 条切线，求实数t的取值范围.19.（本小题满分 12 分）在四棱锥PABCD中，,45,PBADDABCDAADBC，且24,2ADPBAB，14PD.（1）证明：平面PCD 平面PAB；（2）求平面PCD与平面PBC夹角的余弦值.20.（本小题满分 12 分）已知圆22:2 210,RC xm

9、xym ymm.（1）证明：圆 C 过定点；（2）当0m 时，点 P 为直线:163xyl上的动点，过 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B，求四边形PACB面积最小值，并写出此时直线 AB 的方程.21.（本小题满分 12 分）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且100mBD，在 B 处测得,46ABDCBD，在D处测得23,34BDCADC（,A B C D均处于间一测量的水平面内）学科网（北京）股份有限公司（1）求,A C两处景点之间的距离；（2）栈道BD所在直线与,A C两处

10、景点的连线是否垂直？请说明理由.22.（本小题满分 12 分）已知函数 eln,02xxf xaa.（1）当ea 时，求函数 f x的极值；（2）证明：22ln0f xaaa.学科网（北京）股份有限公司参考答案与解析参考答案与解析1.【答案】B【解析】依题意，令i,zxy x yR，则izxy，所以23i3izzxy ，所以1,1xy，即1 iz ，所以22(1)12z，故选 B.2.【答案】A【解析】因为0,0 xy，所以22242222 222 21xyxyxyx y，当且仅当222xy，即21xy 时，等号成立，故选 A.3.【答案】D【解析】因为3log1x，所以03x，所以集合0,3

11、A，对于A选项，不等式24x的解为2,0,2xAB，所以A选项不合题意；对于B选项，不等式02xx等价于2020 xx x，解得0,2,0,2BAB，所以B选项不合题意；对于C选项，20,0,2y yxAB，所以C选项不合题意；对于D选项，2,2,0,2x yxAB，符合题意，故选 D.4.【答案】C【解析】依题意，44112coscoscos,413333222ff ，故选 C5.【答案】A【解析】依题意2221211a banmaaaamm，所以22112nmm，又ab与向量2,1共线，1,2abn m，所以1220nm，由联立，解得11mn 或711mn ，又ab与向量2,1方向相反，学

12、科网（北京）股份有限公司所以711mn 舍去，所以11mn，故选 A6.【答案】C【解析】依题意可知，在ABC中，由正弦定理可知sinsinabAB，若sinsinAB，则ab，于是AB，且,0,A B，函数cosyx在0,上单调递减，所以coscosAB，又coscosACB，则coscoscosAACB，所以满足充分性；且以上过程可逆，因此也满足必要性，故选 C.7.【答案】B【解析】依题意，设正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为a，高为1h，圆柱的高为2h，则圆柱的底面半径为22a，则有221222a hah，整理得122hh，正四棱柱与圆柱的侧面积之比1242222ahah，

13、故选 B.8.【答案】D【解析】依题意，因为1140nnnSSS，即11122422,2nnnnnnSSSSSSn，又211222 30SSaa ，所以12,2nnSSn，又113Sa，所以数列nS是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，所以13 2nnS，所以51234523,1,336 1224483 2,2nnnaSaaaaan，故选 D.9.【答案】AC【解析】依题意，12023202310122023202302aaSa，所以10120a，1202410121013202420242024022aaaaS，所以101210130aa，所以101310120aa，所以数列 na的公差大

14、于 0，且10131012aa，所以A选项正确，B 选项不正确；所以1012S最小，即1012nSS，所以 C 选项正确；学科网（北京）股份有限公司101510081015101410131012101110101009101270SSaaaaaaaa，所以D选项不正确，故选 AC.10.【答案】ABD【解析】依题意，因为 121121cos2cos 22424f xxx1515cos 24cos 22424xx令552,428kxkkZ xkZ，当0k 时，58x，所以58x是函数 f x的一条对称轴，所以A选项正确（另解：因为5121511cos2cos4824822f，即当58x时，函数

15、 f x取得最大值，所以58x是函数 f x的一条对称轴）；令572,4228kxkkZ xkZ，当70,8kx，所以7,08是函数 f x的一个对称中心，所以B选项正确（另解：因为7121717cos2cos0824822f，即78x是函数 f x的零点，所以7,08是函数 f x的一个对称中心）.对于C选项，因为 15151313cos 2sin 2sin 2sin 2242422428f xxxxx又将曲线1sin22yx向左平移38个单位可得到曲线1313sin 2sin 22824yxx，所以C选项不正确；因为 1211313cos 2cos 26cos 2242424f xxxx，

16、当,02x，则332,444x，所以函数 f x的值域为2 1,42，所以D选项正确，故选ABD11.【答案】CD学科网（北京）股份有限公司【解析】由直线220axya，可化为 220a xy ，即直线l过定点2,2P，所以A选项不正确；因为直线l与圆C有总有两个公共点，可得点2,2P在圆C内部，所以222(24)(2 1)r，解得5r，所以B不正确；当3r 时，圆C的方程为22(4)(1)9xy，可得圆心4,1C，又2,2P则5CP，可得MN长的最小值为222|4rCP，最大值即为直径 6，所以C选项正确；当5r 时，圆C的方程为22(4)(1)25xy，则cos25cosCM CNCMCN

17、MCNMCN 当直线l过圆心4,1C，此时cos1MCN，可得cosAOB的最小值-1，所以CM CN 的最小值为-25故选 CD.12.【答案】ACD【解析】如图，对于A选项，异面直线EF与直线1AA所成的角，即为直线EF与直线1CC所成角，连接EC，则EFC即为直线EF与直线1CC所成的角，在Rt EFC中，1122FCCC，225ECEBBC，则223EFECFC，所以2cos3FCEFCEF，所以A选项正确；学科网（北京）股份有限公司延长DC交1D F延长线于H，连接EH交BC于I，延长HE交DA延长线于K，连接1D K交1AA于J，则五边形1D FIEJ即为平面1D EF截该四棱柱得

18、到的截面.即截面为五边形，所以C选项正确；与平面11BCC B的交线即为FI，则FI1D K，又1BC1111,AD ADD KD，所以FI与1BC不平行，所以B选项不正确；对于 D 选项，由于1112HCHFFCHDHDDD，所以2HCCD，又14AEKAKEHDKDKH，所以23KA，2211184413,4 2,33KDKHD HKD H为等腰三角形，222343KFKHFH，所以1KD H的面积为111282 23417233KD HSD HKF设D点到截面的距离为h，则11DDHKD D KHVV，11111323D KHDK HDDDSh即11818 174432333h，解得8

19、1717h，即D点到截面的距离为8 1717，所以 D 选项正确，故选 ACD.13.【答案】cos1f xxx【解析】当0,0,cos1xxfxxx ，又因为 f x为R上的奇函数，所以 cos1fxf xxx ，解得 cos1f xxx，又 00cos0 10f，所以当 0,cos1xf xxx.14.【答案】54【解析】依题意，可知4BDBE ，则4CDCBCECB ，整理得13134444CECDCBBABC ，1344CEABAD 所以524 学科网（北京）股份有限公司15.【答案】25681【解析】设AB的中点为1O，四面体ABCD的外接球的球心为O，因为90ACB，所以1O为AC

20、B外接圆的圆心，即点1O为四面体ABCD的外接球过,A B C三点的截面圆的圆心，圆1O的半径为r，则2ABr，因为22224ACBCABr，所以22211222ABCACBCSAC BCr，当且仅当ACBC时，取等号，即当且仅当ACB为等腰直角三角形时，ACB的面积最大，连接1OO并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD的体积最大，则该交点应为点D，1DO即为四面体ABCD的高，设1,0,2OOx x，则有2214,2xrDOx，则2232111112482423333333ABCABCDVSDOrxxxxxx 四面体，令 321248(02)3333f xxxxx，则 2441232333

21、fxxxxx，当203x时，0fx，当223x时，0fx，所以 f x在20,3上单调递增，在2,23上单调递减，所以max2256()381f xf，所以三棱锥DABC的体积的最大值为25681.学科网（北京）股份有限公司故答案为25681.16.【答案】0,1；0【解析】依题意，因为 f xx为偶函数，所以 f xxfxx，即 2f xfxxx，令 f xh xx，则 2h xhx，所以 h x关于点0,1对称，所以函数 f xx的一个对称中心为0,1，因为12xf均为偶函数，所以1122xxff，所以函数 fx的图象关于直线1x 对称，即11,2fxfxfxfx，又因为 f xxfxx，

22、所以 11fxfx ，所以 2fxfx，22,422fxfxfxfx，所以 4fxfx，即函数 fx是周期为 4 的周期函数，4 11ff，即 31,04ffff 112,222,22ffffff，所以 221ff 312ff，所以 041ff，所以 242ff所以 1fxfx也是周期为 4 的周期函数，112121313141ffffff学科网（北京）股份有限公司2023120241ff 1212123231ffffffff 3434120232024202320241ffffffff 1223202320244120242023ffffffff 5061223344520242025fff

23、fffffff 120242023ff 506122334450110ffffffffffff2023 506132401102023ffffffff 506 2 21102023fff 017.【解析】（1）设等差数列 na的公差和等比数列 nb的公比为0t t，因为362153babtat ，即41 53tt，解得2t，所以2212121,22nnnnannbb.（2）数列 nb中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128,，而506099,119aa依题意可知新数列 nc的前 60 项中，数列 nb的项只有前 6 项，数列 na有 54 项，所以 601 357107248

24、163264S 54 1 10712623042.18.【解析】（1）函数 f x的定义域为R，1xxxfxexeex，令 0fx，解得1x ，所以函数 f x的单调递增区间是1,学科网（北京）股份有限公司令 0fx，解得1x ，所以函数 f x的单调递减区间是,1（2）由题意可得 1 exfxx，设切点坐标为00,xy，则切线斜率001 exkx，所以切线方程为00000e1 exxyxxxx，将1,Pt代入得02001xtexx.因为存在三条切线，即方程02001xtexx有三个不等实数根，则方程02001xtexx有三个不等实数根等价于函数0200,1xyt yexx的图像有三个交点，设

25、 21 exg xxx，则 12 exgxxx，当2,1x 时，0,gxg x单调递增；在,2和1,上，0,gxg x单调递减，252eg ，当152x或152x时，0g x，画出 21 exg xxx 的图象如图，要使函数0200,1xyt yexx的图像有三个交点，需 20gt，即250te，即实数t的取值范围25,0e，19.【解析】（1）连接BD，因为45,2,4BADABAD，由余弦定理可得21622 42cos4510BD ，所以10BD，学科网（北京）股份有限公司在PBD中，14,2,10PDPBBD，则222PDPBBD，所以PBBD，又,PBAD ADBDD所以PB 底面AB

26、CD，依题意可知ABCD为等腰梯形，2AB，可得2BC，取AD中点H，连接BH，则2,BCDHBCDH，所以四边形BCDH为平行四边形，DCBH又2,2BHBAAH，所以BHAB，又,BHPB PBABB所以BH 平面PAB，所以DC 平面PAB，又DC 平面PCD，所以面PCD 平面PAB.（2）解法 1：如图，建立空间直角坐标系，0,0,0,2,2,0,2 2,2,0,0,0,2BCDP，2,2,2,2,0,0,2,2,0PCDCBC ，设平面PCD法向量为,mx y z，则2220,20PC mxyzDC mx ，取1z ，得0,2,1m 同理，设面PBC法向量为,na b c，则222

27、0,220PC mabcBC nab ，学科网（北京）股份有限公司取1a，得1,1,0n，由题意，23cos,|332m nm nm n 设平面PCD与平面PCB的夹角为，则3cos|cos,|3m n，解法 2：由（1）可知，PB 平面,ABCD PB 平面,PBC 平面PBC 平面ABCD，过D作DHBC，则DH 平面PBC垂足为,H PC 平面PBC，则DHPC，过H作PC的垂线，垂足为E，连DE，由于,HEPC DHPC HEDHH HE DH平面DEH，所以PC 平面,DEH DE 平面DEH，故PCDE，则DEH为所求二面角夹角的平面角.2,2PBBCABCD，所以4BCP，2si

28、n1,1,sin442DHCDCHDHHEHC，232cos332HEDEHDE所以平面PCD与平面PBC夹角的余弦值为33.20.【解析】（1）依题意，将圆C的方程222 210 xmxym ym 化为2241120 xyyxy m 学科网（北京）股份有限公司令120 xy，即1 2xy，则22(12)410yyy 恒成立，解得1,0 xy，即圆C过定点1,0（2）当0m 时，圆22:(2)5C xy，直线:163xyl设,P s t，依题意四边形PACB的面积12252PACSSPA，当PA取得最小值时，四边形PACB的面积最小，又2|5PAPC，即当PC最小时，四边形PACB的面积最小，

29、圆心0,2C到直线:163xyl的距离即为PC的最小值，即2minmin046|2 5,|(2 5)5155PCPAmin1555 3S，即四边形PACB面积最小值为5 3，此时直线PC与直线l垂直，所以直线PC的方程为22yx，与直线l联立，解得2,2P，以PC为直径的圆的方程为 2220 x xyy即22240 xyx，又圆22:410C xyy，两式作差可得直线AB方程2430 xy21.【解析】（1）由题意可知，在BCD中，2,10063CBDBDCBD所以2366BCD，所以BCD为等腰三角形，所以100BDDC，在ABD中，2377,2,434121246ABDADBBAD，100

30、BD，由正弦定理：sinsinBDADBADABD，即1001222AD，解得100 2AD 在ACD中，3100 2,100,4ADDCADC，学科网（北京）股份有限公司由余弦定理：222(100 2)1002 100 2 100100 52AC 所以,A C两处景点之间的距离为100 5m（2）在BCD中，由余弦定理2211001002 100 100100 32BC ，在ABD中，因为712ADB，7212326sinsinsin124322224ADB由正弦定理：sinsinsinBDADABBADABDADB，即10012624AB，解得5026AB BD ACBDBCBABD BC

31、BD BA 32100 100 3100 502622100 150 100 50 130所以栈道BD所在直线与,A C两处景点的连线不垂直.注：第（2）问其他解法，可参考以上标准酌情给分.22.【解析】（1）当ae 时，ln,0,2xxf xeex所以,0,xefxexx令 20 xefxex在0,恒成立，所以函数 fx在0,单调递增，且 10f，所以当 0,1,0 xfx，函数 f x在0,1上单调递减；当 1,0 xfx，函数 f x在1,上单调递增；所以函数 f x在1x 处取得极小值 11 ln2fe，无极大值；.学科网（北京）股份有限公司（2）当0a 时，ln,0,2xxf xea

32、x所以,0,xafxexx.令 2,0 xag xfxgxex在0,恒成立所以函数 g x在0,单调递增，且当0 x 时，xafxex；当x 时，xafxex，所以函数 xafxex在0,存在唯一零点0 x，即000000,xxaafxeexx，且当 00,0 xxfx，函数 f x在00,x上单调递减；当 0,0 xxfx，函数 f x在0,x上单调递增所以函数 f x在0 xx处取得极小值000ln2xxf xea要证不等式 22ln0f xaaa成立，即证022ln0f xaaa成立，即000022ln2lnlnln222xxxaeaaaaaaxa002lnxaaaxa002aa xax 0012axax 220aa当且仅当001xx时，即01x 时，等号成立，学科网（北京）股份有限公司所以 22ln0f xaaa注：第（2）问其他解法，可参考以上标准酌情给分.