思维拓展：多边形的面积综合-数学2024五年级上册含答案.pdf

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1、思维拓展：多边形的面积综合-数学2024五年级上册 思维拓展：多边形的面积综合-数学2024五年级上册 一、选择题一、选择题 1比较下面阴影部分的面积，（）是错误的。A图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积 B图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积 C图中阴影部分的面积不等于图中阴影部分的面积 2一个等腰直角三角形的斜边长为 a 厘米（如图），则这个三角形的面积是（）平方厘米。A12a B12a2 C14a D14a2 3一个用木条钉成的长方形，用手将长方形拉成平行四边形，如图所示。关于面积的变化，下面说法正确的是（）。A面积变大 B面积变小 C面积不变 D无法确定 4七巧板起源于我国先秦

2、时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，把一幅七巧板按如图所示进行 17 编号，17 号分别对应着七巧板的七块。图所示的“天鹅”是由这幅七巧板拼成的，“天鹅”头颈由 3 号和 6 号块构成，其面积为 3，则图大正方形的边长为（）。A8 B6 C4 D2 5将一个梯形割补成一个三角形（如图所示），面积和原来相比（），周长与原来相比（）。A不变；变大 B不变；变小 C变小；变大 D无法确定 6如图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，阴影部分的面积是（）平方厘米。A20 B18 C16 D22 二、填空题二、填空题 7下图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四

3、边形，其中几个三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是()平方厘米。8 图中 ABCD 为正方形，E 为 AB 的中点，阴影部分的面积是 21cm2，正方形 ABCD 的面积是()cm2。9如图，在三角形 ABC 中，D 是边 AB 的中点，可知 ADBD，则三角形 BCD 与三角形 ACD 的面积相等。(1)如图，在三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 两边的中点。已知三角形 ADE 的面积是 2cm2，则三角形 ABC 的面积是()cm2。(2)如图，在三角形 ABC 中，把 AB 边三等分、AC 边四等分。已知三角形 ADE 的面积是 2cm2，则三角形ABC

4、 的面积是()cm2。(3)如图，在平行四边形 ABCD 中，把 AB 边五等分、AD 边六等分。已知平行四边形 ABCD 的面积是 15cm2，则三角形 AEF 的面积是()cm2。10 如图，在ABC 中，BC3BE，AC4CD。已知ADE的面积是36cm2，那么，ABC的面积是()cm2。11直角三角形 ACD 中，阴影部分的面积为215cm（如图）。已知7.5cm=AD，ABBC=，DEEC=，AC长()cm。12一个直角梯形，如果把下底减少 4dm，这个梯形就变成一个边长是 8dm 的正方形。这个梯形的面积是()dm2。13下图中，长方形 ABCF 与长方形 ACDE 部分重叠。(1

5、)AE 长()cm。(2)如果三角形的面积是 8.642cm，那么三角形的面积是()2cm。14下图是一个直角梯形，如果把上底延长 4 厘米，就变成了一个长方形，这样，直角梯形的面积就增加了 12 平方厘米。原来的这个直角梯形的面积是()平方厘米。三、解答题三、解答题 15按要求画一画、填一填、算一算。（每个小方格的边长是 1cm）三角形 ABC 是一个轴对称图形，请你补全这个三角形，并标出点 C。在图上用数对表示三角形顶点 B 和 C 的位置，观察它们的数对，你发现了什么？_ 图中三角形 ABC 的面积是（）cm2，在方格纸上画一个和这个三角形面积相等的平行四边形。16如图，三角形 ABC

6、中，底和高都是 6 厘米，点 A 和点 C 同时以 0.5 厘米/秒的速度向右平移，形成一个梯形，经过几秒后，梯形的面积达到 42 平方厘米？17如图，是长方形 ADEF 和直角梯形 ABCD 组成的组合图形，已知长方形 AFED 的面积是 90 平方厘米，求阴影部分面积。18如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你说明理由这两个平行四边形的面积相等。19将一个平行四边形分成一个三角形和一个梯形（如下图），两部分的面积相差 40 平方厘米，求线段 EC的长度。20如图（单位：cm），同一直线上的直角梯形和长方形相距 10cm，直角梯形的上底是 2cm，下底是 4cm，长方

7、形的长是 20cm，宽 6cm。现在直角梯形按每秒 2cm 的速度匀速向右平移。（1）画出直角梯形平移 6 秒后的位置，这时它与长方形重叠部分的面积是多少平方厘米？（2）在直角梯形平移的过程中，整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了几秒？参考答案：参考答案：1B【分析】设大、小正方形的边长分别为 a 和 b，分别用 a 和 b 表示出每个图形中阴影部分的面积，再逐项判断即可。【详解】设大、小正方形的边长分别为 a 和 b，中阴影部分的面积为：12ab；中阴影部分的面积为：12ab；中阴影部分的面积为：12a2；中阴影部分的面积为：12b2；A.图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积，说法正

8、确；B.图中阴影部分的面积不等于图中阴影部分的面积，原说法错误；C.图中阴影部分的面积不等于图中阴影部分的面积，说法正确。故答案为：B【点睛】分别用 a 和 b 表示出每个图形中阴影部分的面积，是解答此题的关键。2D【分析】以直角顶点为中心，用四个一样的等腰直角三角形能够拼成边长为 a 的正方形，正方形面积是 a2，所以每个等腰直角三角形的面积是 a2的四分之一，据此解答。【详解】如图，四个一样的等腰直角三角形拼成一个边长是 a 的正方形，正方形面积是 a2，所以一个等腰直角三角形的面积是14a2。故答案为：D【点睛】此题应用三角形面积公式无法计算出这个等腰三角形的面积，利用平面图形的拼接组合

9、，得到我们熟悉的正方形，从而得以解决。割补和分割都是计算平面几何图形面积常用的数学方法。3B【分析】把一个用木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形后，每条边的长度都不变，但是高变小了，于是由平行四边形和长方形的面积公式可知，它的面积变小了，据此解答。【详解】把一个用木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽，所以面积变小了。故答案为：B【点睛】本题考查的平行四边形、长方形周长和面积，关键是明确：把长方形拉成平行四边形后，平行四边形的高小于长方形的宽。4C【分析】由七巧板可知，6 号块的面积是 3 号块面积的 2 倍，已知“天鹅”头颈由

10、 3 号和 6 号块构成，其面积为 3，则 3 号块的面积是 1，6 号块的面积是 2；由此推出 5 号块面积是 1，4 号块和 7 号块的面积是 2；可得出 3、4、5、6、7 号块的面积一共是（12122）；它们的面积和正好是图大正方形面积的一半，由此求出正方形的面积；然后根据正方形的面积边长边长，推出正方形的边长。【详解】已知“天鹅”头颈由 3 号和 6 号块构成，其面积为 3，则 3 号块的面积是 1，6 号块的面积是 2；3、4、5、6、7 号块的面积一共是 121228；正方形的面积是：8216 因为 1644，所以图大正方形的边长为 4。故答案为：C【点睛】发现七巧板各部分之间的

11、面积关系是解题的关键。5A【分析】如图所示，三角形 ABE 和三角形 FCE 形状相同面积相等，梯形 ABCD 的面积三角形 ABE 的面积四边形 AECD 的面积，三角形 ADF 的面积三角形 FCE 的面积四边形 AECD 的面积，将一个梯形割补成一个三角形面积不变；梯形 ABCD 的周长ABBCCDAD，三角形 ADF 的周长AFCFCDAD，比较AF 和 BC 的大小，求出两个图形周长的大小关系，据此解答。【详解】面积：三角形 ABE 的面积三角形 FCE 的面积 梯形 ABCD 的面积三角形 ABE 的面积四边形 AECD 的面积 三角形 ADF 的面积三角形 FCE 的面积四边形

12、AECD 的面积 所以，梯形 ABCD 的面积三角形 ADF 的面积 周长：梯形 ABCD 的周长ABBCCDAD 三角形 ADF 的周长AFCFCDAD 由图可知，ABCF，则梯形 ABCD 的周长ABBCCDADBCCFCDAD。因为 AFBC，则 AFCFCDADBCCFCDAD，所以三角形 ADF 的周长梯形 ABCD 的周长。由上可知，将一个梯形割补成一个三角形，面积和原来相比不变，周长与原来相比变大。故答案为：A【点睛】理解用割补法把梯形转化为三角形后面积不变，分析图形找出周长的变化情况是解答题目的关键。6B【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三

13、角形的面积之和，再加上右上方底为 4 厘米、高为（64）厘米的阴影小三角形的面积；根据正方形的面积边长边长，三角形的面积底高2，代入数据计算即可。【详解】两个正方形的面积：6636（平方厘米）4416（平方厘米）两个空白三角形的面积：662 362 18（平方厘米）（64）42 1042 402 20（平方厘米）右上方阴影小三角形的面积：4（64）2 422 82 4（平方厘米）阴影部分的面积：（3616）（1820）4 52384 144 18（平方厘米）阴影部分的面积是 18 平方厘米。故答案为：B【点睛】本题考查阴影部分面积的计算，关键是分析出阴影部分的面积是由哪些图形的面积相加或相减得

14、到，利用图形的面积公式求解。75【分析】如下图，先设 AC 与 DE 相交于点 F，连接 AE。先求出平行四边形 ABED 的面积，观察图形可知，三角形 ADE 与平行四边形 ABED 等底等高，得出三角形ADE 的面积是平行四边形面积的一半；从图中可知，三角形 ADC 和三角形 ADE 等底等高，则三角形 ADC 的面积等于三角形 ADE 的面积，再减去三角形 ADF 的面积，即是阴影部分的面积。【详解】如图：设 AC 与 DE 相交于点 F，连接 AE。平行四边形 ABED 的面积：18826（平方厘米）三角形 ADE 与平行四边形 ABED 等底等高，则三角形 ADE 的面积是：2621

15、3（平方厘米）三角形 ADC 和三角形 ADE 等底等高，则三角形 ADC 的面积是 13 平方厘米；那么三角形 CDF 的面积：1385（平方厘米）所以，阴影部分的面积是 5 平方厘米。【点睛】明确等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，等底等高的两个三角形的面积相等是解题的关键。856【分析】如下图，把阴影部分分割成 3 个完全一样的小三角形，用阴影部分的面积除以 3，求出一个小三角 形的面积，然后乘 4，即是正方形面积的一半，再乘 2，求出正方形的面积。【详解】如图：2137（cm2）742 282 56（cm2）正方形 ABCD 的面积是 56cm2。【点睛】把求正方形的面积转化

16、到求三角形的面积上，把阴影部分平均分成 3 个小三角形，而正方形的一半是 4 个同样的小三角形，求出一个小三角形的面积是解题的关键。9(1)8(2)24(3)0.25 【分析】（1）根据题意，推理出因为 E 是 AC 边的中点，所以三角形 ADE 的面积等于三角形 CDE 的面积。又因为 D 是 AB 边的中点，所以三角形 BCD 与三角形 ACD 的面积相等。那么用三角形 ADE 的面积乘 2，先求出三角形 ACD 的面积。再将三角形 ACD 的面积乘 2，即可求出三角形 ABC 的面积；（2）同理（1）可推出，把 AC 边四等分，那么三角形 ADE 的面积是三角形 ACD 面积的四分之一。

17、把 AB 边三等分，那么三角形 ACD 是三角形 ABC 的三分之一。据此，将三角形 ADE 的面积先乘 4，求出三角形 ACD的面积。再将三角形 ACD 的面积乘 3，求出三角形 ABC 的面积；（3）将平行四边形的面积除以 2，先求出三角形 ABD 的面积。再将三角形 ABD 面积除以 5，求出三角形 ADE的面积。最后再将三角形 ADE 的面积除以 6，即可求出三角形 AEF 的面积。【详解】（1）222 42 8（cm2）所以，此时三角形 ABC 的面积是 8cm2。（2）243 83 24（cm2）所以，此时三角形 ABC 的面积是 24cm2。（3）15256 7.556 1.56

18、 0.25（cm2）所以，此时三角形 AEF 的面积是 0.25cm2。【点睛】本题考查了三角形的面积，解答本题的关键是理解题干中的理论，应用新方法去求三角形的面积。1072【分析】因为 AC4CD，所以 AD3DC，又因为ADE 和EDC 等高，所以EDC 面积是 36312（cm2），AEC 的面积是 361248（cm2）。又因为 BC3BE，所以 EC2BE，因为AEC 和ABE 等高，所以ABE的面积是 48224（cm2），那么ABC 的面积是 244872（cm2）。【详解】BC3BE，即 EC2BE，2AECABESS=；AC4CD，即 AD3CD，3ADEEDCSS=，而23

19、6cmADES=，所以()236312 cmEDCS=，()236 1248 cmAECADEEDCSSS=+=+=，()248224 cmABES=，2448ABCABEAECSSS=+=+=72（2cm）。【点睛】本题考查图形面积计算。解题关键是掌握两个等高三角形，面积的倍数关系与底的倍数关系一致。1116【分析】DEEC，三角形 BDE 和三角形 CBE 的高相等，根据三角形的面积底高2，三角形 BDE 和三角形 CBE 的面积相等，ABBC，三角形 CBD 和三角形 ABD 的高相等，所以三角形 CBD 和三角形 ABD 的面积相等，而三角形 ACD 的面积三角形 CBD 面积三角形

20、ABD 的面积，可求出三角形 ACD 的面积，再根据三角形的面积公式，代入数据，即可求出 AC 的长度。【详解】根据分析得，三角形 BDE 面积三角形 CBE 面积15（cm2）三角形 ABD 的面积三角形 CBD三角形 BDE 面积三角形 CBE 面积151530（cm2）三角形 ACD 的面积三角形 CBD 面积三角形 ABD 的面积303060（cm2）AC三角形 ACD 的面积2AD 6027.5 1207.5 16（cm）即 AC 长 16cm。【点睛】此题的解题关键是灵活运用三角形的面积公式，根据等底等高的两个三角形面积相等，从而解决问题。1280【分析】根据题意，直角梯形的下底减

21、少 4dm，这个梯形就变成一个边长是 8dm 的正方形，根据正方形的四条边相等的特征，得出这个直角梯形的上底是 8dm，下底是（84）dm，高是 8dm，根据梯形的面积（上底下底）高2，代入数据计算即可求出这个梯形的面积。【详解】8412（dm）（128）82 2082 1602 80（dm2）这个梯形的面积是 80dm2。【点睛】本题考查梯形面积公式的运用，根据正方形的特征推出梯形的上底、下底和高是解题的关键。13(1)4.8(2)15.36 【分析】（1）观察图形可知，长方形 ABCF 的长为 8cm，宽为 6cm，根据长方形的面积公式：Sab，据此求出该长方形的面积，三角形 AFC 的面

22、积是该长方形的面积的一半，据此求出三角形 AFC 的面积，进而求出三角形 AFC 的高，也就是 AE 的长；（2）由（1）可知三角形 AFC 的面积，长方形的面积是三角形 AFC 的面积的 2 倍，用该长方形的面积减去三角形和三角形的面积即可求解。【详解】（1）862210 482210 24210 4810 4.8（cm）则 AE 长 4.8cm。（2）862 482 24（cm2）2428.6424 488.6424 39.3624 15.36（cm2）则三角形的面积是 15.362cm。【点睛】本题考查长方形和三角形的面积，熟记公式是解题的关键。1442【分析】根据题意可知，增加部分的面

23、积是一个底为 4 厘米的三角形的面积，根据三角形的高三角形的面积2底，求出三角形的高，也是原来直角梯形的高；又已知把上底延长 4 厘米，就变成一个长方形，根据长方形对边相等的特点，则梯形的上底是（94）厘米；最后根据梯形的面积（上底下底）高2，代入数据计算即可求出原来的这个直角梯形的面积。【详解】三角形的高（梯形的高）：1224 244 6（厘米）梯形的上底：945（厘米）梯形的面积：（59）62 1462 842 42（平方厘米）原来的这个直角梯形的面积是 42 平方厘米。【点睛】本题考查三角形、梯形面积公式的灵活运用，求出梯形的上底和高是解题的关键。15（1）见详解（2）（3，2），（9，

24、2）；我发现 B 点和 C 点在同一行 （3）15；图见详解【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图的关键对称点，依次连接，再标上 C 点即可。（2）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出 B、C 点的位置；再根据两点的位置写出自己的发现。（3）根据三角形面积公式：三角形面积底高2 求出图中三角形的面积；要画的平行四边形的面积与三角形的面积相等，根据平行四边形的面积底高，确定平行四边形的底和高，据此画出这个平行四边形。【详解】（1）补全这个三角形（如下图）。（2）在图上用数对表

25、示三角形顶点 B 和 C 的位置（如下图）；我发现 B 点和 C 点在同一行。（答案不唯一）（3）三角形的面积是：652 302 15（cm2）因为 1553，可以画一个底为 5cm，高为 3cm 的平行四边形，如图所示：（平行四边形的画法不唯一）【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、作轴对称图形，三角形的面积和平行四边形的面积；注意画平行四边形时，要保证面积与三角形的面积相等，形状不唯一。168 秒【分析】由图可知，梯形的面积三角形的面积平行四边形的面积，利用“三角形的面积底高2”求出三角形 ABC 的面积，平行四边形的面积梯形的面积三角形的面积，平行四边形的高等于三角形的高，利用“底平行四

26、边形的面积高”求出平行四边形的底，即点 A 和点 C 平移的距离，最后根据“时间路程速度”求出点 A 和点 C 平移的时间，据此解答。【详解】42662 4218 24（平方厘米）2464（厘米）40.58（秒）答：经过 8 秒后，梯形的面积达到 42 平方厘米。【点睛】把梯形的面积分割为三角形的面积与平行四边形的面积之和，并求出平行四边形的面积和平行四边形的底是解答题目的关键。1745 平方厘米【分析】利用等积变换思想，将所求阴影部分面积转化成一个规则的易求的几何图形的面积。首先，GCD的面积等于GDB 的面积，而BDE 的面积等于DEF 的面积。【详解】如图，连接 BD，FD。因为 ADB

27、C 所以 SGCDSGDB 因为 FEAD，所以 SBDESDEF129045（平方厘米）答：阴影部分面积是 45 平方厘米。【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换，难度不大，但却是一道经典好题。巧妙地将所求阴影部分的面积转化成EFD 的面积是解决本题的关键。18见详解【分析】根据等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，连接 BE，三角形 ABE 的面积是平行四边 形的一半。据此解答即可。【详解】如图：连接 BE，因为三角形 ABE 的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半，三角形 ABE 也是平行四边形 AEGF 面积的一半，所以两个平行四边形的面积相等。【点睛】此题考查的目的是理

28、解掌握等底等高的三角形与平行四边形面积之间的关系及应用。195 厘米【分析】从图中可知，三角形、梯形、平行四边形的高都是 8 厘米；先根据三角形的面积底高2，求出三角形的面积，再加上 40 平方厘米，就是梯形的面积；用梯形的面积加上三角形的面积，求出平行四边形的面积；根据平行四边形的底平行四边形的面积高，即可求出 BC 的长度，减去 BE 的长度，即是 EC 的长度。【详解】三角形的面积：158260（平方厘米）梯形的面积：6040100（平方厘米）平行四边形的面积：10060160（平方厘米）平行四边形的底：160820（厘米）EC 长：20155（厘米）答：线段 EC 长 5 厘米。【点睛

29、】本题考查平行四边形、三角形、梯形面积公式的灵活运用，求出平行四边形的底边长是解题的关键。20（1）图见详解；6 平方厘米（2）8 秒【分析】（1）用梯形的移动速度乘移动时间，求出直角梯形向右平移了多少厘米。据此，画出平移后的直角梯形。看图，平移后的图形和长方形的重叠部分是三角形，它的底是 2 厘米，高是 6 厘米，据此利用三角形的面积公式，列式计算出重叠部分的面积；（2）用长方形的长减去梯形的下底 4 厘米，再将其除以梯形的移动速度，求出整个直角梯形与长方形完全 重叠的时间维持了几秒。【详解】（1）2612（厘米），所以直角梯形向右平移了 12 厘米，平移后，如下图：重叠部分的面积：2626（平方厘米）答：重叠部分的面积是 6 平方厘米。（2）()2024 162 8（秒）答：整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了 8 秒。【点睛】本题考查了平移和三角形的面积公式。