专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型---2024届新课标高中物理模型与方法含解析.docx

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1、2022版新课标高中物理模型与方法专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型目录一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述1二带电粒子在直线边界磁场中的运动模型2三平行边界磁场模型10四圆形边界磁场模型14五环形磁约束模型28六三角形或四边形边界磁场模型35七数学圆模型在电磁学中的应用42模型一“放缩圆”模型的应用42模型二“旋转圆”模型的应用46模型三“平移圆”模型的应用53模型四 “磁聚焦”模型54一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述基本思路图例说明圆心的确定与速度方向垂直的直线过圆心弦的垂直平分线过圆心轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心P、M点速度垂线

2、交点P点速度垂线与弦的垂直平分线交点某点的速度垂线与切点法线的交点半径的确定利用平面几何知识求半径常用解三角形法：例：(左图)R或由R2L2(Rd)2求得R运动时间的确定利用轨迹对应圆心角或轨迹长度L求时间tTt(1)速度的偏转角等于所对的圆心角(2)偏转角与弦切角的关系：180时，3602二带电粒子在直线边界磁场中的运动模型【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)图a中粒子在磁场中运动的时间t图b中粒子在磁场中运动的时间t(1)T(1)图c中粒子在磁场中运动的时间tT【模型演练1】（2023秋云南昆明高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在的区域内存在与平面垂直的匀强磁场，

3、磁感应强度大小为。一束速率等于的相同带电粒子从原点发射，速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内。其中，沿轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（）A粒子在磁场中做圆周运动的半径为B带电粒子的比荷为C带电粒子在磁场中运动的最长时间为D能从右边界射出的粒子占总粒子数的【答案】AC【详解】A根据题意作出沿轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图甲所示，圆心为，根据几何关系可知粒子做圆周运动的半径为故A正确；B由故B错误；C在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角

4、为，在磁场中的运动时间故C正确；D结合甲乙两图可知，能从右边界射出的粒子的速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内，占总粒子数的，故D错误。故选AC。【模型演练2】如图所示，在0x3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在090范围内其中，沿y轴正方向发射的粒子在tt0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是()A粒子在磁场中做圆周运动的半径为3aB粒子的发射速度大小为C带电粒子的比荷为D带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0【答案】D【解析】沿y

5、轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示：设粒子运动的轨迹半径为r，根据几何关系有(3ar)2(a)2r2，可得粒子在磁场中做圆周运动的半径r2a，选项A错误；根据几何关系可得sin ，所以，圆弧OP的长度s()r，所以粒子的发射速度大小v，选项B错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvBm，结合粒子速度以及半径可得带电粒子的比荷，选项C错误；当粒子轨迹恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，粒子轨迹如图乙所示，粒子与磁场边界相切于M点，由几何关系可知，从E点射出设从P点射出的粒子转过的圆心角为，时间为t0，则从E点射出的粒子转过的圆心角为2()，故带电粒子在磁场中运动的最长时间为

6、2t0，选项D正确【典例分析3】(2020全国卷24)如图，在0xh，y0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离【答案】见解析【解析】(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有qv0Bm由此可得R粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆

7、周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足Rh由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得Bm(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由式可得，此时圆弧半径为R2h粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为，由几何关系sin 即由几何关系可得，P点与x轴的距离为y2h(1cos )联立式得y(2)h.【模型演练4】(2023湖北宜昌市四月调研)如图甲所示的平面直角坐标系中，轴上方有磁感应强度大小为、垂直纸面向外的匀强磁场，在点处有一粒子源，沿纸面不断地放出同种粒子，粒子的速率均为，粒子射入磁

8、场的速度方向与轴正方向的夹角范围为。粒子的重力及粒子间的相互作用均不计。图乙中的阴影部分表示粒子能经过的区域，其内边界与轴的交点为，外边界与轴的交点为，与轴的交点为。下列判断正确的是（）A粒子带负电B粒子源放出的粒子的比荷为C的长度为D从E点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间只能为【答案】AB【详解】A由左手定则可知，粒子带负电，故A正确；C如图所示由几何关系可知故C错误；B根据解得故B正确；D从点离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为，也可能是，则在磁场中运动的时间可能为也可能是故D错误。故选AB。【模型演练5】（2023重庆高三统考学业考试）如图所示，平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向里，

9、磁感应强度大小的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m，M点为x轴正方向上一点，现有一个比荷大小为，可视为质点带负电的微粒（重力不计）从挡板下端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，微粒最后都能经过M点，则微粒射入的速度大小可能是（）ABCD【答案】C【详解】由题意，粒子运动的圆心的位置一定在y轴上，所以粒子做圆周运动的半径r一定要大于等于3m，而ON=9m3r所以粒子最多与挡板ON碰撞一次，碰撞后，第二个圆心的位置在O点的上方，也可能粒子与挡板ON没有碰撞，直接过M点。由洛伦兹力提供向心力解得若小球与挡板O

10、N碰撞一次，则轨迹可能如图1设OO1=s，由几何关系得r2=OM2+s2=9+s2 3r-9=s联立解得r1=3mr2=3.75m代入可解的速度分别为v1=3m/sv2=3.75m/s若小球没有与挡板ON碰撞，则轨迹如图2，设 OO2=x，由几何关系得r32=OM2+x2=9+x2 x=9-r3联立解得r3=5m代入可解的速度分别为v3=5m/s故选C。【模型演练6】（2023全国高三专题练习）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收

11、屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（）ABCD【答案】A【详解】由题知，一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30，则解得粒子做圆周运动的半径r = 2a则粒子做圆周运动有则有如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏，则有Eq = qvB联立有故选A。三平行边界磁场模型【运动模型】平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中

12、运动的时间t1，t2图b中粒子在磁场中运动的时间t图c中粒子在磁场中运动的时间t(1)T(1)图d中粒子在磁场中运动的时间tT【模型演练1】.(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60和30，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则()Aa粒子带正电，b粒子带负电B两粒子的轨道半径之比RaRb1C两粒子的质量之比mamb12D两粒子的质量之比mamb21【答案】BD【解析】由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示故Rad，Rbd，所以，RaRb1，故B正确；

13、由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60，b粒子转过的圆心角为120，tatb，则TaTb21，再根据洛伦兹力提供向心力可得：Bvq，所以，运动周期为：T；根据a、b粒子电荷量相等可得mambTaTb21，故C错误，D正确【模型演练2】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O在MN上，且OO与MN垂直下列判断正确的是()A电子将向右偏转B电子打在MN上的点与O点的距离为dC电子打在MN上的点与O点的距离为dD电子在磁场中运动的时间为【答案】：D【解析】：电子带

14、负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示A错误；设电子打在MN上的点与O点的距离为x，则由几何知识得：xr2d(2)d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为，由几何知识得：sin 0.5，得，则电子在磁场中运动的时间为t，故D正确【模型演练4】（2023甘肃张掖高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做

15、圆周运动周期的。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（）A粒子的比荷为B粒子在磁场中运动的周期为C在下边界有粒子飞出的长度为LD从上边界飞出的粒子速度大小范围为【答案】AD【详解】AB速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的，运动轨迹如图所示圆心为，其圆弧所对圆心角为，由几何关系得解得由洛伦兹力提供向心力有解得粒子比荷粒子在磁场中运动的周期故A正确，B错误；D当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为。设这种情况下粒子速度大小为，半径为，由几何关系得解得由洛伦兹力提供向心力有解得可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为，故D正确；C下边界

16、有粒子飞出的长度为故C错误。故选AD。四圆形边界磁场模型【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)粒子做圆周运动的半径r粒子在磁场中运动的时间tT901 圆形有界磁场问题（1）正对圆心射入圆形磁场区域正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大磁偏转半径r越大圆心角越小时间t越短。若r=R，构成正方形。2 圆形有界磁场问题（2）不对圆心射入圆形磁场区域两个等腰三角形，一个共同的底边若r=R，构成菱形【模型演练1】（2023全国校联考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场一

17、带电微粒从图中A点以水平速度垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成角，当该带电微粒离开磁场时，速度方向刚好改变了角不计微粒重力，下列说法正确的是（）A该微粒带正电B该微粒带负电C该微粒在磁场中运动的半径为D该微粒在磁场中运动的时间为【答案】ACD【详解】A.B.根据带电微粒的偏转方向，由左手定则可知，该微粒带正电，A正确,B错误；C.微粒的运动轨迹如图所示，根据几何关系，微粒做圆周运动的半径为C正确；D.微粒在磁场中运动的周期为则微粒在磁场中的运动时间为D正确。故选ACD。【模型演练2】（2023春湖南高三长郡中学校联考阶段练习）如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外

18、的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知。下列说法正确的是（）A粒子带正电荷B粒子做圆周运动的半径为RC粒子的比荷为温D粒子射出磁场时速度偏转角为【答案】CD【详解】A粒子向上偏转，在A点受洛伦兹力向上，根据左手定则可知，四指指向与速度方向相反，粒子带负电，故A错误；B粒子的轨迹如图，粒子射出磁场时速度偏转角为，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系可知故B错误；C由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力可得粒子的比荷为故C正确；D由几何关系可知可得速度偏转角为，故D正确。故选CD。【模型演练3】（202

19、3全国校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）A粒子在磁场中运动的最长时间为B若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为C若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为D选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场【答案】AC【详解】A当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为，此时粒子在磁场中运动的时间最长

20、，最长时间故A正确；B如图所示当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径设粒子的速度大小为，有，解得故B错误；C设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为，根据几何关系有设粒子的速度大小为，有，解得故C正确；D当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。故选AC。【模型演练4】（2023山西阳泉统考三模）如图所示，半径为的圆形区域有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为，今有一质量为（不计重力），带电量为的离子以某一速度沿平行于直径的

21、方向射入磁场区域，射入点与间距离为，（）A若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子一定能够通过磁场圆的圆心B若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子在磁场中入射点与出射点相距小于C若该离子能够通过磁场圆的圆心，则该离子在磁场中的运动时间为D若该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，则该离子在磁场中的运动时间为【答案】C【详解】A若该离子在磁场中的运动半径为，此时圆心在初速度垂直线段与ab交线处，设为，粒子轨迹如下图由题意可知而故故该粒子不经过磁场圆的圆心，故A错误；BD若该离子在磁场中的运动半径为，粒子轨迹如下图根据几何知识可知粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，即因此为等边三角形，故此时该离子在磁场

22、中入射点与出射点相距最远，根据洛伦兹力提供向心力可得该粒子做圆周运动周期为则该离子在磁场中的运动时间为故BD错误；C若该离子能够通过磁场圆的圆心，粒子轨迹如下图由几何知识可知根据可得解得故为等边三角形，故故粒子在整个磁场中的圆心角为，粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，故该离子在磁场中的运动时间为故C正确。故选C。【模型演练5】（2023北京海淀人大附中校考模拟预测）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线PM通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。

23、装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（）A粒子1可能为质子B粒子2可能为电子C若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点D若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点【答案】D【详解】A粒子1沿直线运动，因忽略粒子重力及粒子间相互作用力，可知该粒子不带电，故不可能为质子，故A错误；B粒子2水平射入后向上偏转，即受到向上的洛伦兹力，由左手定则可知该粒子带正电，故B错误；C因粒子1不带电，所以增大磁感应强度，粒子1仍打在M点，故C错误；D由可知增大粒子入射速度后，粒子圆轨迹半径增大，所以粒子2可能打在探测器上的Q点，故D正确。故选D。【模型演练6】（2023

24、四川南充统考三模）如图，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线与竖直方向分别成角，下列判断正确的是（）A沿径迹运动的粒子均为正电子B沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最短C沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间之比为21D沿径迹运动的粒子动能之比为31【答案】C【详解】A由左手定则可判断沿径迹，运动的粒子均带负电，A项错误；B由于正电子和负电子的电量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有解得可知四种粒子的周期相等，而沿径迹运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为，由可知沿径迹运动的粒子在磁场中运动时

25、间最长，B项错误；C沿径迹Oa运动的粒子在磁场中偏转角度为沿径迹Od运动的粒子在磁场中偏转角度为两粒子运动周期大小相同，则可知，运动的粒子在磁场中运动时间之比为21，选项C正确；D设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹，运动的粒子轨道半径分别为根据可得根据动能可知沿径迹运动的粒子动能之比为13，选项D错误。故选C。【模型演练7】（2023河北保定河北省唐县第一中学校考三模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点处的P点沿着与连线成的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相

26、互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（）ABCD【答案】C【详解】如图当电子的运动轨迹与磁场边界相切时，根据得电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的圆心做OP的垂线，由几何关系得得则最大速率为故选C。【模型演练8】（2023江苏盐城盐城中学校考三模）如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开

27、磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（）A该粒子的速度为B该粒子从b点运动到a点的时间为C以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点D以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是【答案】D【详解】AB粒子从b点以某一初速度沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于轴离开磁场，如图所示由洛伦兹力提供向心力可得由几何关系可得联立解得该粒子从b点运动到a点的时间为故AB正确；C以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为该种粒子从边界出射的最远点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，由几何关系可知可知该种粒子从边界出射的最远点恰为a点，故C正确；D

28、以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为当该粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示由几何关系可知，最大圆心角为，则最长时间为故D错误。此题选择不正确的选项，故选D。【模型演练9】（2023辽宁模拟预测）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，直径ab水平。电子带电荷量为、质量为m，以速率v从a处始终沿纸面射入磁场，当电子在a处的速度方向与aO夹角为30、斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60。不计电子的重力，下列说法正确的是（）A圆形区域中磁场的磁感应强度大小为B改变入射方向，当电

29、子经过O点时，电子在磁场中的运动时间为C改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变D改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变【答案】BC【详解】A设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心为C，出射点为d，如图甲所示，由于电子离开磁场时的速度方向相比进入时的速度方向改变了60，可知，由三角形全等可知电子从d点射出时的速度方向竖直向下，可知为等腰三角形，可知电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径根据洛伦兹力提供电子在磁场中做圆周运动的向心力可得代入半径可得故A错误。B改变电子在a处的入射方向，当电子经过O点时，如图乙所示，轨迹圆心在圆形边界上的D点，出射点在e点，可知四边形aOeD为菱形，三角形

30、aOD，eOD为等边三角形，电子从e点射出时速度方向仍竖直向下，在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120，电子在磁场中的运动时间为故B正确。C改变电子在a处的入射方向，设电子从一般位置f射出，轨迹圆心为P，同理可知四边形aOfP为菱形，出射点对应轨迹半径，可知电子射出磁场时速度方向仍竖直向下，即改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变，故C正确，D错误。故选BC。五环形磁约束模型【模型构建】临界圆临界半径勾股定理(R2-R1)2=R12+r2解得：【模型演练1】（2023安徽亳州蒙城第一中学校考三模）某粒子加速器位于竖直平面内，剖面图如图所示，圆筒内外直径分别为D和2D，O为圆心，水平直径GH以

31、上部分是偏转区，以下是回收区，偏转区存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属板间有匀强电场，上板开有小孔，大量的质量为m、电荷量为的粒子由上极板下方处的P点静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度射出电场，由H点仅靠大圆内侧射入磁场，偏转后进入回收区，不计粒子重力，粒子若撞到内外桶壁会被吸收，则（）A电场强度大小为B若磁感应强度满足，粒子一定可以进入回收区C若磁感应强度满足，粒子可能进入回收区D进入回收区的粒子在磁场中的运动时间全都相同【答案】BC【详解】A粒子加速过程运用动能定理可得可得故A错误；BC进入回收区的粒子在磁场中的半径范围或根据粒子进入磁感应强度的范围为或故BC正确；D. 周

32、期公式粒子运动周期随磁场变化，所有粒子均在磁场中经半个周期进入回收区，故D错误。故选BC。【模型演练2】（2023春重庆沙坪坝高三重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（）ABCD【答案】ACD【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动可得粒子仅在磁场中运动，则或代入可得或故选ACD。【模型演练3】（2023四川成都石室中学校考模拟预测）2

33、023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（）ABCD【答案】CD【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动

34、的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示由几何知识可知，粒子最大轨道半径粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得解得要使粒子不离开磁场由于故选CD。【模型演练3】（2023陕西商洛镇安中学校考模拟预测）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径，外圆半径，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小，被束缚的带正电粒子的比荷，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。（1）求带电粒

35、子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间。（3）若要使束缚效果最好，应在半径为的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度要与B的方向相同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若=2B，为使粒子不能射出半径为的圆形区域，求粒子速度的最大值。【答案】（1），；（2）；（3）相同，【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有又解得带电粒子在磁场中运动的周期当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不

36、能穿越磁场外边界的最大速度，如图甲所示根据几何关系有 解得洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有解得 （2）带电粒子以速度 射入磁场中时，根据几何关系有解得故其运动轨迹如图乙所示；带电粒子在磁场中运动的圆心角为在磁场中运动的时间带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间解得（3）要使束缚效果最好，则B与B的方向应相同，如图丙所示；粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为，设粒子在两区域内的运动半径分别为r1、r2因为，所以根据几何关系，有则为等腰三角形，所以 解得则六三角形或四边形

37、边界磁场模型【模型演练1】（2023广西南宁南宁三中校考二模）如图所示，A、C两点分别位于x轴和y轴上，的长度为L。在区域内（包括边界）有垂直于平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电粒子，以各种不同的速度垂直边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为。不计重力。下列说法正确的是（）A带电粒子带负电B磁场的磁感应强度的大小为C从中点射入磁场的带电粒子可以从C点出射D能从边射出的带电粒子最大射入速度是【答案】BD【详解】A由左手定则可知带电粒子带正电，故A错误；B粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间2t0内其速度方向改变了90，故其周期T=8t0设磁感

38、应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得匀速圆周运动的速度满足解得故B正确；C由题给条件可知，带电粒子从C点出射，则C为切点，如图所示由几何关系可知，粒子的轨迹半径为，入射点到A点距离为，不是从中点射入磁场，故C错误；D由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹与AC边、OC边相切时，粒子的轨迹半径最大，此时粒子的入射速度最大，如图所示设O为圆弧的圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC相切于N点，从O点射出磁场，由几何关系可知设粒子最大入射速度大小为vm，由圆周运动规律有解得故D正确。故选BD。【模型演练2】（2023湖北荆州沙市中学校考模拟预测）如题图，直角

39、三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l， 为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则（）A磁感应强度大小为B粒子运动的轨道半径为C粒子射入磁场的速度大小为D粒子在磁场中扫过的面积为【答案】AC【详解】A带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，由得解得故A正确；B设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为，则有得画出该粒子的运动轨迹如图，设轨道半径为R，由几何知识得可得故B错

40、误；C粒子射入磁场的速度大小为故C正确；D射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为故D错误。故选AC。【模型演练3】（2023湖南高三专题练习）如图，真空中有区域和，区域中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域、若区域中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出

41、，它们在区域中运动的时间为t0.若改变电场或磁场强弱，能进入区域中的粒子在区域中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（）A若仅将区域中磁感应强度大小变为2B1，则tt0B若仅将区域中电场强度大小变为2E，则tt0C若仅将区域中磁感应强度大小变为，则D若仅将区域中磁感应强度大小变为，则【答案】D【详解】A根据题述，粒子从CF的中点射出，由左手定则可知，粒子带正电。若区域中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域中磁感应强度大小为B2，沿直线AC运动的粒子进入区域，其速度为设CF=L，粒子从CF的中点射出，在区域II的磁场中运动轨迹半径为r0=所对的圆心角为90

42、，它们在区域中运动的时间为；若仅将区域中磁感应强度大小变为2B1，沿直线AC运动的粒子进入区域，其速度，在区域II的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90，它们在区域中运动的时间为，故A错误；B若仅将区域中电场强度大小变为2E，沿直线AC运动的粒子进入区域，其速度，在区域II的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90，它们在区域中运动的时间为，故B错误；C若仅将区域中磁感应强度大小变为，由=m解得r=，带电粒子将从GF射出，由粒子运动轨迹所对的圆心角则故C错误；D若仅将区域中磁感应强度大小变为，由=m解得r=L，带电粒子将从GF射出，由解得粒子运动轨迹所对的圆心角则故D正确。故选D。【模型演练4】（2023安徽模拟预测）如图，一个边长为l的正方形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为的粒子以某一速度从M点垂直于磁场射入，粒子恰好从的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，不计粒子重力，粒子射入磁场的速度大小为（）ABCD【答案】B【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图由题可知，根据几何关系有则粒子运动的轨迹半径为根据洛伦兹力提供向心力有联立解得故选B。七数学圆模型在电磁学中的应用模型一“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强