2024届高考数学专项迎刃而解平面解析几何综合问题压轴小题含答案.pdf

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1、1迎刃而解平面解析几何综合问题迎刃而解平面解析几何综合问题压轴秘籍压轴秘籍1.1.点到直线的距离公式点P x0,y0，直线l:Ax+By+C=0，点到直线的距离为：d=Ax0+By0+CA2+B22.2.两条平行线间的距离公式l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0，d=C1C2A2+B23.3.直线与圆的位置关系直线l:y=kx+b，圆C：xa2+yb2=r2代数关系0,相交=0,相切0,相离，几何关系dr，相离 4.4.圆上一点的切线方程x2+y2=r2在 p x0,y0处的切线方程为：xx0+yy0=r2xa2+yb2=r2在 p x0,y0处的切线方程为：xx0 xa+y

2、y0yb=r25.5.圆与圆的位置关系设圆C1的半径为r1，设圆C2的半径为r2，两圆的圆心距为d若dr1+r2，两圆外离，若d=r1+r2，两圆外切，若d=r1r2，两圆内切若 r1r2dr1+r2，两圆相交，若0d r1r2，两圆内含，若d=0，同心圆两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；两圆内含，公切线的条数为0条；6.6.弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，有：则 AB=1+k2 x1x2=1+k2(x1+x2)24x1x2或：AB=1+1k2 y1y2=1+1k2(y

3、1+y2)24y1y21.1.椭圆离心率e=ca(0e1)，e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=1+ba2e=1+ba23.3.椭圆焦点三角形的面积公式(椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形)SPF1F2=b2tan2SPF1F2=12PF1PF2sinF1F22=PF12+PF222PF1PF2cosPF1+PF2=2a SPF1F2=b2tan24.4.双曲线焦点三角形面积公式：sPF1F2=b2tan25.5.抛物线(焦点在x轴上)焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线(焦点在x轴上)焦点与抛物线交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，有y1y2=p2,x1x

4、2=p24，AB=x1+x2+p=2psin2，SAOB=SCOD=P22sin，1AF+1BF=2P定值6.6.椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:e=ca公式2:变形e=1-b2a2证明:e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2公式3:已知棚圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中,PF1F2=,PF2F1=,则椭圆的离心率e=sin(+)sin+sin证明:PF1F2=,PF2F1=,由正弦定理得:F1F2sin 180-=PF2sin=PF1sin由等比定理得:F1F2sin(+)=PF1+PF2sin+sin,即2csin(+

5、)=2asin+sine=ca=sin(+)sin+sin.公式 4:以椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)两焦点 F1,F2及椭圆上任一点 P(除长轴两端点外)为顶3点 F1PF2,PF1F2=,PF2F1=,则 e=cos+2cos-2证明:由正弦定理有.PF1sin=PF2sin=F1F2sin=F1F2sin(+)F1F2PF1+PF2=sin(+)sin+sin=2sin+2cos+22sin+2cos-2,ca=e=cos+2cos-2公式 5:点 F 是椭圆的焦点,过 F 的弦 AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为,0,2,k 为直线 AB 的斜率,且.AF=FB(0),则e=1+k2

6、-1+1当曲线焦点在y轴上时,e=1+1k2-1+1注:=AFBF或者=BFAF而不是AFAB或BFAB7.7.双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:e=ca公式2:e=1+b2a2证明:e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2公式3:已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中,PF1F2=,PF2F1=,则e=sin(a+)|sin-sin|证明:PF1F2=,PF2F1=,由正弦定理得:F1F2sin 180-=PF2sin=PF1sin由等比定理得:F1F2sin(+)=PF1-PF2sin-sin即2csin(+)=2a

7、sin-sin,e=ca=sin(+)|sin-sin|。公式4:以双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点F1、F2及双曲线上任意一点P(除实轴上两个端点外)为顶点的F1PF2,PF1F2=a,PF2F1=,则离心率e=sin+a2sin-2(a)证明:由正弦定理,有PF1sin=PF2sina=F1F2sin=F1F2sin(+)4sinsina,PF1-PF2sin-sina=F1F2sin(a+).即acos+a2sin-a2=csin+a2cos+a2又oa+0),则e=1+k2-1+1,当曲线焦点在y轴上时,e=1+1k2-1+1注:=AFBF或者=BFAF而不是AFA

8、B或BFAB8.8.椭圆中的阿基米德三角形设椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的弦为 AB,过 A，B 两点做椭圆切线，交于 Q 点，称 ABQ 为阿基米德三角形,则有:性质 1:弦 AB 绕着定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点为焦点时,PQAB.9.9.双曲线中的阿基米德三角形设双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a,b0的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形

9、,则有:性质 1:弦 AB 绕者定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点为焦点时,PQAB.10.10.抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形,则有:51.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴2.若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C,则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线3.若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点

10、的阿基米德三角形的底边过定点(若直线 l 方程为:ax+by+c=0,则定点的坐标为 Cca,-bpa.4.底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为a38p.5.若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点 Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为 p26.在阿基米德三角形中,QFA=QFB7.AF BF=QF2.8.抛物线上任取一点 I(不与 A,B 重合),过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI,则 ABI 的面积是 QST 面积的 2 倍压轴训练压轴训练一、单选题一、单选题11(2023江苏南京南京市第一中学校考模拟预测)如图，已知F1,F2是双曲线C:x2a2

11、-y2b2=1的左 右焦点，P,Q为双曲线C上两点，满足F1PF2Q，且 F2Q=F2P=3 F1P，则双曲线C的离心率为()A.105B.52C.153D.10212焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来13(2023江苏南通模拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心的圆与x轴交于F1，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段AF1与C交于点M.若 BM与C的焦距的比值为313，则C的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-12614(2023江苏镇江扬中市第二高级中学校

12、考模拟预测)已知直线l1：x+my-3m-1=0与l2：mx-y-3m+1=0相交于点M，线段AB是圆C：x+12+y+12=4的一条动弦，且 AB=2 3，则MA MB 的最小值为()A.6-4 2B.3-2C.5+3D.5-115(2023江苏扬州统考模拟预测)已知向量a=(x+1,5+y),b=(x-1,5-y)，满足ab的动点M(x,y)的轨迹为E，经过点N(2,0)的直线l与E有且只有一个公共点A，点P在圆x2+(y-2 2)2=1上，则AP的最小值为()A.3-2 2B.2-1C.2 2-2D.116(2023江苏苏州苏州中学校考模拟预测)已知椭圆x2a2+y2b2=1 ab0)的

13、焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且2PF1 PF2=PF1 PF2，若F1PF2的内切圆的半径r满足 PF1=3rsinF1F2P，则a2+21e7b(其中e为椭圆C的离心率)的最小值为()A.1010B.3 1010C.217D.2 21717(2023春江苏南通高三海安高级中学校考阶段练习)双曲线C:x2-y2=4的左，右焦点分别为F1,F2，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，AF1F2,BF1F2,F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3，则O1O2O3的面积是()A.6 2-8B.6 2-4C.8-4 2D.6-4 218(2023江苏南京南京市第五高级中学校考二模)已

14、知F1，F2分别是双曲线:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB=3F2A，BF2平分F1BC，则双曲线的离心率为()A.7B.5C.3D.219(2023江苏南通二模)已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1PF2，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为()A.54B.85C.52D.2 10520(2023秋江苏南京高三南京市第一中学校考阶段练

15、习)已知双曲线E:x2a2-y2b2=71 a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2F1F2，F1PF2的平分线与x轴交于点Q，SPF1QSPF2Q=53，则双曲线E的离心率为()A.2B.2C.52D.321焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来22(2023江苏盐城盐城中学校考三模)已知A、B是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0与双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N.若MN过椭圆的焦点F，且tanAMB=-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C

16、.2D.2 3323(2023春江苏南通高三海安高级中学校考阶段练习)人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+1x的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数y=2x+1x的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是()A.10-2 52B.5-52C.10-4 5D.10-4 5二、多选题二、多选题24(2023江苏扬州统考模拟预测)圆柱OO1高为1，下底面圆O的直径AB长为2，BB1是圆柱OO1的一条母线，点P,Q分别在上、下底面内(包含边界)，下列说法正确的有()A.若PA+PB=3，则P点的轨迹为圆B.若直线OP与

17、直线OB1成45，则P的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点P,Q，使得APPQD.AP+PQ+QB1的取值范围是 13,2 3+525(2023江苏苏州苏州中学校考模拟预测)若点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，点M是棱A1D1的中点，则()A.当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥P-C1D1M 的体积为定值23B.当APDM时，线段AP长度的最大值为48C.当直线AP与平面ABCD所成的角为45时，点P的轨迹长度为4 2+D.直线DM被正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所截得的线段的长度为6 5526(2023秋江苏泰州高三统考期末)过圆O：x2+y2=

18、8内一点P 1,3作两条互相垂直的弦AB，CD，得到四边形ADBC，则()A.AB的最小值为4B.当 AB=2 5 时，CD=2 7C.四边形ADBC面积的最大值为16D.AC BD 为定值27(2023春江苏南通高三校考开学考试)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交C于A,B两点，交C的准线于点M，其中B点在线段AM上，O为坐标原点，设直线l的斜率为k，则()A.当k=1时，AB=8B.当k=2 2 时，BM=ABC.存在k使得AOB=90D.存在k使得AOB=12028(2023春江苏南京高三南京师大附中校考开学考试)已知经过点P 2,4的圆C的圆心坐标为 0,t(t为整数)，且与直

19、线l：3x-y=0相切，直线m：ax+y+2a=0与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是()A.圆C的标准方程为x2+y-42=9B.若PAPB，则实数a的值为-2C.若 AB=2 2，则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0D.弦AB的中点M的轨迹方程为 x+12+y-22=529(2023春江苏南京高三南京市宁海中学校考阶段练习)已知曲线C1:y=ex，抛物线C2:y2=4x，P(xP,yP)为曲线C1上一动点，Q(xQ,yQ)为抛物线C2上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有()A.直线l:y=x+1是曲线C1和C2的公切线；B.曲线C1和

20、C2的公切线有且仅有一条；C.PQ+xQ最小值为2-1；D.当PQx轴时，|PQ|最小值为1-ln2230(2023秋江苏南京高三金陵中学校考阶段练习)已知双曲线x216-y29=1的左 右焦点分别是F1,F2，点P在双曲线的右支上，则()A.若直线PF1的斜率为k，则 k 0,34B.使得PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个C.点P到两条渐近线的距离乘积为14425D.已知点Q 7,5，则 F2P+PQ的最小值为5931(2023春江苏南通高三校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x+y+2=0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2=2y的两条切线，切点分别为A，

21、B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则()A.直线AB过定点(-1，2)B.MN的最小值为3C.MPN为锐角D.OA OB 最小值为-132(2023江苏连云港统考模拟预测)已知抛物线C：y2=2px p0的焦点为F，直线l与C交于A x1,y1，B x2,y2两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是()A.若直线l经过焦点F，且OA OB=-12，则p=2B.若AF=3FB，则直线l的倾斜角为3C.若以AB为直径的圆M经过焦点F，则ABMN的最小值为2D.若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切33(2023江苏徐州江苏省沛县中学校考模拟

22、预测)已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y28=1(a2 2).过点M2,1作斜率分别为22和-22的两条直线l1，l2，其中l1与C交于P,Q两点，l2与C交于S,T两点，且OP=2OM，则()A.C的离心率为22B.ST=6C.1MP+1MQ=1MS+1MTD.P,Q,S,T四点共圆34(2023秋江苏南通高三统考阶段练习)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，M(-2,0)，N(2,0)，动点P满足|PM|PN|=5，则下列结论正确的是()A.点P的横坐标的取值范围是-5,5B.O

23、P的取值范围是 1,3C.PMN面积的最大值为52D.PM+PN的取值范围是 2 5,535(2023江苏高三专题练习)设椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0，E 0,b，A m,n为椭圆C上一点，m0，点B,A关于x轴对称，直线EA,EB分别与x轴交于M,N两点，则()A.AE的最大值为a2+b2B.直线EA,EB的斜率乘积为定值10C.若y轴上存在点P，使得MPO=PNO，则P的坐标为 0,a或 0,-aD.直线AN过定点36(2023春江苏南通高三海安高级中学校考阶段练习)设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆 x-52+y2=r2r0相切于点M(x0,y0)，且M为AB的中

24、点()A.当y0=1时，AB的斜率为2B.当y0=2时，AB=8C.当r=5时，符合条件的直线l有两条D.当r=3时，符合条件的直线l有四条37(2023江苏盐城校考三模)画法几何的创始人-法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:x22+y2=1.F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为x+2y-3=0，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA,MB分别与椭圆相切于A,B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是()A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3B.记点A到直线l的距离为d，则d-AF2的最小值为

25、4 33C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6D.AOB的面积的最小值为23，最大值为2238(2023江苏南通统考模拟预测)已知双曲线C:x2-y23=1的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则()A.PF21-PF22的最小值为8B.若直线l经过F2，且与双曲线C交于另一点Q，则 PQ的最小值为6C.PF1 PF2-OP2为定值D.若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为-339(2023江苏统考模拟预测)椭圆曲线y2+ay=x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：y2-2

26、y=x3+mx-3，下列结论正确的是()A.曲线关于点 0,-3对称B.曲线关于直线y=1对称C.当m=-3时，曲线上点的横坐标的取值范围为 2,+D.若曲线上存在位于y轴左侧的点，则m-340(2023江苏镇江江苏省镇江中学校考三模)已知抛物线C:x2=2y的焦点为F，准线为l，直线y=kx+m与C相交于A,B两点，M为AB的中点，则()11A.若m=2，则AOB=90B.若3AF=7FB，则直线AB的斜率为2 2121C.OBF不可能是正三角形D.当AB=4时，点M到l的距离的最小值为241(2023秋江苏南通高三统考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点F是抛物线C：x2=4y的焦点

27、，点P是C上异于原点O的动点，过点P且与C相切的直线l与y轴交于点Q，设抛物线C的准线为m，PHm，H为垂足，则()A.当点P的坐标为 2,1时，直线l的方程为x-y-1=0B.设M 2,2，则 PM+PF的最小值为4C.PQ2=4 OQ HQD.FPH=2FPQ42(2023江苏淮安江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C:(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2(m0)，则下列说法正确的是()A.存在圆C经过原点B.存在圆C，其所有点均在第一象限C.存在定直线l，被圆C截得的弦长为定值D.所有动圆C仅存在唯一一条公切线三、填空题三、填空题43(2023秋江

28、苏高三淮阴中学校联考开学考试)设椭圆T：x2a2+y220=1(a2 5)的右焦点为F，过点P(1,1)的直线l与椭圆交于点A，B，M为AB的中点，使得 FM是 FA、FB的等比中项，则a的最小整数值为44(2023江苏淮安江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)抛物线:x2=2py(p0)的焦点为F，过F的直线交于A,B两点，在A,B两点处的切线交于点M 1,-12，则弦AB的长为.45(2023秋江苏淮安高三统考开学考试)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C交于另一点B，若AF2B=120，则椭圆C的离心率为46(2023江苏徐州江

29、苏省沛县中学校考模拟预测)已知直线2x-y-2=0与双曲线C：x2-y2=1交于点A x1,y1，B x2,y2.P x3,y3为C上一点，且x1x3x2，y1y30，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，已知 AB=16，若这样的直线l有4条，则实数a的取值范围是.51(2023春江苏南通高三校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为55，F是左焦点，过F且倾斜角为45的直线交C于点A，B设M，N分别是AF和BF的中点，O为坐标原点，若OM+ON=509，则OMN的面积为四、双空题四、双空题52(2023江苏南通统考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点P在

30、圆C:x2+y-22=2上运动，点Q在函数 f x=lnx-ax2的图象上运动，写出一条经过原点O且与圆C相切的直线方程为；若存在点P，Q满足OPOQ，则实数a的取值范围是.1迎刃而解平面解析几何综合问题迎刃而解平面解析几何综合问题压轴秘籍压轴秘籍1.1.点到直线的距离公式点P x0,y0，直线l:Ax+By+C=0，点到直线的距离为：d=Ax0+By0+CA2+B22.2.两条平行线间的距离公式l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0，d=C1C2A2+B23.3.直线与圆的位置关系直线l:y=kx+b，圆C：xa2+yb2=r2代数关系0,相交=0,相切0,相离，几何关系dr

31、，相离 4.4.圆上一点的切线方程x2+y2=r2在 p x0,y0处的切线方程为：xx0+yy0=r2xa2+yb2=r2在 p x0,y0处的切线方程为：xx0 xa+yy0yb=r25.5.圆与圆的位置关系设圆C1的半径为r1，设圆C2的半径为r2，两圆的圆心距为d若dr1+r2，两圆外离，若d=r1+r2，两圆外切，若d=r1r2，两圆内切若 r1r2dr1+r2，两圆相交，若0d r1r2，两圆内含，若d=0，同心圆两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；两圆内含，公切线的条数为0条；6.6.弦长公式，直

32、线与圆交于A，B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，有：则 AB=1+k2 x1x2=1+k2(x1+x2)24x1x2或：AB=1+1k2 y1y2=1+1k2(y1+y2)24y1y21.1.椭圆离心率e=ca(0e1)，e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=1+ba2e=1+ba23.3.椭圆焦点三角形的面积公式(椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形)SPF1F2=b2tan2SPF1F2=12PF1PF2sinF1F22=PF12+PF222PF1PF2cosPF1+PF2=2a SPF1F2=b2tan24.4.双曲线焦点三角形面积公式：sPF1F2=b2ta

33、n25.5.抛物线(焦点在x轴上)焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线(焦点在x轴上)焦点与抛物线交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，有y1y2=p2,x1x2=p24，AB=x1+x2+p=2psin2，SAOB=SCOD=P22sin，1AF+1BF=2P定值6.6.椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:e=ca公式2:变形e=1-b2a2证明:e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2公式3:已知棚圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中,PF1F2=,PF2F1=,则椭圆的离心率e=sin(+)sin+sin证明:P

34、F1F2=,PF2F1=,由正弦定理得:F1F2sin 180-=PF2sin=PF1sin由等比定理得:F1F2sin(+)=PF1+PF2sin+sin,即2csin(+)=2asin+sine=ca=sin(+)sin+sin.公式 4:以椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)两焦点 F1,F2及椭圆上任一点 P(除长轴两端点外)为顶3点 F1PF2,PF1F2=,PF2F1=,则 e=cos+2cos-2证明:由正弦定理有.PF1sin=PF2sin=F1F2sin=F1F2sin(+)F1F2PF1+PF2=sin(+)sin+sin=2sin+2cos+22sin+2cos-2,ca

35、=e=cos+2cos-2公式 5:点 F 是椭圆的焦点,过 F 的弦 AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为,0,2,k 为直线 AB 的斜率,且.AF=FB(0),则e=1+k2-1+1当曲线焦点在y轴上时,e=1+1k2-1+1注:=AFBF或者=BFAF而不是AFAB或BFAB7.7.双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:e=ca公式2:e=1+b2a2证明:e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2公式3:已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中,PF1F2=,PF2F1=,则e=sin(a+)|sin-sin|证明:PF1F

36、2=,PF2F1=,由正弦定理得:F1F2sin 180-=PF2sin=PF1sin由等比定理得:F1F2sin(+)=PF1-PF2sin-sin即2csin(+)=2asin-sin,e=ca=sin(+)|sin-sin|。公式4:以双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点F1、F2及双曲线上任意一点P(除实轴上两个端点外)为顶点的F1PF2,PF1F2=a,PF2F1=,则离心率e=sin+a2sin-2(a)证明:由正弦定理,有PF1sin=PF2sina=F1F2sin=F1F2sin(+)4sinsina,PF1-PF2sin-sina=F1F2sin(a+).即a

37、cos+a2sin-a2=csin+a2cos+a2又oa+0),则e=1+k2-1+1,当曲线焦点在y轴上时,e=1+1k2-1+1注:=AFBF或者=BFAF而不是AFAB或BFAB8.8.椭圆中的阿基米德三角形设椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的弦为 AB,过 A，B 两点做椭圆切线，交于 Q 点，称 ABQ 为阿基米德三角形,则有:性质 1:弦 AB 绕着定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点

38、为焦点时,PQAB.9.9.双曲线中的阿基米德三角形设双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a,b0的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形,则有:性质 1:弦 AB 绕者定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点为焦点时,PQAB.10.10.抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形,则有:51.阿基米德三角形底

39、边上的中线平行于抛物线的轴2.若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C,则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线3.若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线 l 方程为:ax+by+c=0,则定点的坐标为 Cca,-bpa.4.底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为a38p.5.若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点 Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为 p26.在阿基米德三角形中,QFA=QFB7.AF BF=QF2.8.抛物线上任取一点 I(不与 A,B 重合),过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,B

40、I,则 ABI 的面积是 QST 面积的 2 倍压轴训练压轴训练一、单选题一、单选题11(2023江苏南京南京市第一中学校考模拟预测)如图，已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1的左 右焦点，P,Q为双曲线C上两点，满足F1PF2Q，且 F2Q=F2P=3 F1P，则双曲线C的离心率为()A.105B.52C.153D.102【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t=a，进而可得F1PQ=F1PF2=90，结合勾股定理运算求解.【详解】延长QF2与双曲线交于点P，因为F1PF2P，根据对称性可知 F1P=F2P，设 F2P=F1P=t，则 F2P=F2Q=3t，可得 F2P

41、-F1P=2t=2a，即t=a，所以 PQ=4t=4a，则 QF1=QF2+2a=5a，F1P=F2P=3a，6即 PQ2+F1P2=QF12，可知F1PQ=F1PF2=90，在PF1F2中，由勾股定理得 F2P2+F1P2=F1F22，即a2+3a2=4c2，解得e=ca=102.故选：D.【点睛】方法点睛：1双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e=ca的值；12焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来13(2023江苏南通模

42、拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心的圆与x轴交于F1，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段AF1与C交于点M.若 BM与C的焦距的比值为313，则C的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-12【答案】D【分析】先求出以F2为圆心的圆的方程，求出A 0,3c，B 3c,0，求出直线F1A的方程后结合距离公式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.【详解】设椭圆的半焦距为c，因为以F2为圆心的圆过F1，故该圆的半径为2c，7故其方程为：x-c2+y2=4c2，令x=0，则y=3c，结合A在y轴正半轴上，故A 0,3c，令y=0，

43、则x=-c或x=3c，故B 3c,0.故kF1A=3c-00-(-c)=3，故直线F1A:y=3x+3c.设M m,3m+3cm0，因为A在y轴的正半轴上，F1在x轴的负半轴上，故mb0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且2PF1 PF2=PF1 PF2，若F1PF2的内切圆的半径r满足 PF1=3rsinF1F2P，则a2+21e7b(其中e为椭圆C的离心率)的最小值为()A.1010B.3 1010C.217D.2 217【答案】B【分析】由已知即向量数量积定义可得cosF1PF2=12，应用余弦定理求得|PF1|PF2|=43b2，根据等面积法可得r=3b23(a+c)，再由正弦定理

44、列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设2PF1 PF2=2 PF1 PF2 cosF1PF2=PF1 PF2，故cosF1PF2=12，又F1PF20,)，则F1PF2=3，由余弦定理知：cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-|F1F2|22|PF1|PF2|=104(a2-c2)2|PF1|PF2|-1=4b22|PF1|PF2|-1=12，所以|PF1|PF2|=43b2，而SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=33b2，因为F1PF2

45、的内切圆的半径r，故SF1PF2=12r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=(a+c)r，所以(a+c)r=33b2，则r=3b23(a+c)，由 PF1=3rsinF1F2P，即|F1F2|sinF1PF=2csin3=PF1sinF1F2P=3r，所以3b2a+c=4c3，整理得7e2+4e-3=(7e-3)(e+1)=0且0e0,b0的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB=3F2A，BF2平分F1BC，则双曲线的离心率为()12A.7B.5C.3D.2【答案】A【分析】根据CB=3F2A 可知CBF2A，再根据角平分线定理得到 BF1,BC

46、的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用a,b,c表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为CB=3F2A，所以F1AF2F1BC，设 F1F2=2c，则 F2C=4c，设 AF1=t，则 BF1=3t，AB=2t因为BF2平分F1BC，由角平分线定理可知，BF1BC=F1F2F2C=2c4c=12，所以 BC=2 BF1=6t，所以 AF2=13BC=2t，由双曲线定义知 AF2-AF1=2a，即2t-t=2a，t=2a，又由 BF1-BF2=2a得 BF2=3t-2a=2t，所以 BF2=AB=AF2=2t，即ABF2是等边三角形，所以F2BC=ABF2=60在F1

47、BF2中，由余弦定理知cosF1BF2=BF12+BF22-F1F222 BF1 BF2，即12=4t2+9t2-4c222t3t，化简得7t2=4c2，把代入上式得e=ca=7，所以离心率为7故选：A19(2023江苏南通二模)已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1PF2，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为()A.54B.85C.52D.2 105【答案】D13【分析】设 PF1=n，PF2=m，有n-m=2a，n

48、2+m2=4c2，mn=2b2，由弦长公式可得 MN=23c22-n22，AB=23c22-m22，四边形AMBN的面积为12AB MN，解得c2=83b2，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，圆心为O 0,0，半径为3c2，设 PF1=n，PF2=m，点P在双曲线上，PF1PF2，则有n-m=2a，n2+m2=4c2，可得mn=2b2，过O作MN的垂线，垂足为D，O为F1F2的中点，则 OD=12PF1=n2，MN=23c22-n22，同理，AB=23c22-m22，由ABMN，四边形AMBN的面积为12AB MN=12

49、23c22-m2223c22-n22=9b2，481c416-m2+n249c24+m2n216 =481c416-9c44+b44=81b4，化简得c2=83b2，则有a2=c2-b2=53b2，则C的离心率e=ca=85=2 105.故选：D20(2023秋江苏南京高三南京市第一中学校考阶段练习)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2F1F2，F1PF2的平分线与x轴交于点Q，SPF1QSPF2Q=53，则双曲线E的离心率为()A.2B.2C.52D.3【答案】B【分析】根据题意分析可得F1QF2Q=53，利用正弦定理结合角

50、平分线可得PF1PF2=F1QF2Q=53，再根据双曲线的定义结合通径分析运算即可.14【详解】PF2F1F2，则SPF1QSPF2Q=12PF2 F1Q12PF2 F2Q=53，可得F1QF2Q=53，分别在PQF1,PQF2中，由正弦定理可得：PF1F1Q=sinPQF1sinQPF1,PF2F2Q=sinPQF2sinQPF2PQ平分F1PF2，可得QPF1=QPF2，即sinQPF1=sinQPF2，且sinPQF1=sin-PQF2=sinPQF2，故sinPQF1sinQPF1=sinPQF2sinQPF2，则PF1F1Q=PF2F2Q，所以PF1PF2=F1QF2Q=53，又 P