2024届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测（一模）数学（文）试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司汉中市汉中市 2024 届高三年级教学质量第一次检测考试届高三年级教学质量第一次检测考试数学（文科）数学（文科）本试卷共本试卷共 23 小题，共小题，共 150 分，共分，共 4 页页.注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔

2、迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，

3、共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2,023ABxx，则AB（）A.0,1B.1,0C.1,0,1D.0,1,22.已知2i1z，则复数 z 的虚部为（）A.15B.15C.1i5D.1i53.已知向量(2,)m，(2,4)n，若m与n共线且同向，则实数的值为（）A 2B.4C.2D.2或 44.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）.第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.283B.82C.243D.425.已知1sincos2xx，则sin2x（）A.12B.14

4、C.34D.326.为庆祝我国第 39 个教师节，某校举办教师联谊会，甲乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为45，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（）A.35B.1920C.720D.1207.已知:01px；:q xm，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是（）A.0m B.m1C.0m D.1m 8.已知双曲线221mxy的一条渐近线的斜率为 2，则m（）A.4B.4C.14D.149.下列函数中，在0,上是减函数且是偶函数的是（）A.2()

5、1f xxB.3()f xx C.1()lg|f xxD.|()2xf x 10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()yx0,|2的图象上，且图象过点,224，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2，则使得函数单调递增的区间的是（）第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司 A.,34B.5,8 24C.5 3,248D.5 3,8411.已知F是抛物线C：22ypx的焦点，2x 是抛物线C的准线，点0,Nt（0t）连接FN交抛物线C于M点，0MNMF，

6、则OFN的面积为（）A.6B.3C.2 2D.4 212.设定义在 R 上的函数 f x满足 23exfxf xx，且 00f，则下列结论正确的是（）A.f x在 R 上单调递减B.f x在 R 上单调递增C.f x在 R 上有最大值D.f x在 R 上有最小值第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知单位向量a，b满足2 abb，则a与b的夹角为 _.14.函数2log(1),0()4,0 xx xf xx，则2(3)(log 3)ff_.15.已知ABC中，=3AB，=2AC

7、，60A，则ABC的外接圆面积为_.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为_.三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.等差数列 na中，24a，4715aa（1）求数列 na的通项公式；（2）设22nanbn，求12310bbbb的值18.某市交管部门为了宣传

8、新交规举办交通知识问答活动，随机对该市 1565 岁人群抽样，回答问题统计结果如图表所示的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司组别分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第 1 组15，25)50.5第 2 组25，35)a0.9第 3 组35，45)27x第 4 组45，55)b0.36第 5 组55，653y（1）分别求出 a，b，x，y 的值；（2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖.求：所抽取的人中第 2 组至少有1 人获得幸运奖

9、的概率19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD平行四边形，120BCD，侧面 PAB底面ABCD，2 2PB，2.ABACPA（1）求证：BD平面PAC（2）过 AC平面交 PD 于点 M，若12PACPACDMVV，求三棱锥PAMC的体积20.已知椭圆2222:10 xyEabab的离心率为32；，与直线:50l xy有且只有一个公共点.（1）求椭圆E的方程；是的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）过点1,0M的直线2l与椭圆E交于两点,A B，若2AMMB，求直线2l的方程21.已知函数 lnf xaxax（1）讨论 f x的单调性；（2）证明：当0a 时，

10、32f xa（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分如果多做，那么按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系：xOy中曲线1C的参数方程为cos1 sinxy（为参数），M是1C上的动点，P点满足3OPOM ，P点的轨迹为曲线2C（）求2C参数方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线33yx与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，将曲线1C、2C的方程转化为极坐标方程后，求AB选修选修 4-5：不等式选讲

11、：不等式选讲23.设函数()|21|,f xxxa aR（1）当1a 时，解不等式()3f x；（2）若存在xR，使得()1f xa成立，求a的取值范围.的第 1 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司汉中市汉中市 2024 届高三年级教学质量第一次检测考试届高三年级教学质量第一次检测考试数学（文科）数学（文科）本试卷共本试卷共 23 小题，共小题，共 150 分，共分，共 4 页页.注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用选择题必

12、须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准

13、使用涂改液、修正带、刮纸刀.第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2,023ABxx，则AB（）A.0,1B.1,0C.1,0,1D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】将集合B化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合B化简可得12Bxx，则0,1AB 故选:A2.已知2i1z，则复数 z 的虚部为（）A.15B.15C.1i5D.1i5【答案】A【

14、解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.第 2 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由2i1z可得12i21i2i555z，即虚部为15.故选：A3.已知向量(2,)m，(2,4)n，若m与n共线且同向，则实数的值为（）A.2B.4C.2D.2或 4【答案】C【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值.【详解】由题意，(2,)m，(2,4)n，m与n共线且同向(2)80，解得2 或4，当4时，m与n共线且反向，舍去，故选：C4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A.283B.82C.243D.42【答案】A【解析】【详解】根据三视图可知：该几何体是一

15、个圆锥和正方体的组合体.圆锥的体积为212 1233，正方体的体积为 8，故几何体的体积为：283故选：A第 3 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司5.已知1sincos2xx，则sin2x（）A.12B.14C.34D.32【答案】C【解析】【分析】将条件等式两边平方，利用22sincos1xx，结合二倍角公式，即可求解.【详解】因为1sincos2xx，所以221sincos2sincos4xxxx，所以3sin24x 故选：C.【点睛】本题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值，属于基础题6.为庆祝我国第 39 个教师节，某校举办教师联谊会，甲乙两名数学老师组成“几何队”

16、参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为45，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（）A.35B.1920C.720D.120【答案】B【解析】【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为1，间接法可得.【详解】设事件A“甲猜对”，B“乙猜对”，C“几何队至少猜对一个成语”，所以 43,54P AP B，则 11,54P AP B.由题意知，事件,A B相互独立，则A与B，A 与B，A与B也相互独立，法

17、一：CABABAB，且,AB AB AB两两互互斥，则()()()()()()()()()()P CP ABP ABP ABP A P BP A P BP A P B1341431954545420.法二：事件C的对立事件C“几何队一个成语也没有猜对”，即CAB，第 4 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司则1119()1()1()1()()15420P CP CP ABP A P B .故选：B.7.已知:01px；:q xm，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是（）A.0m B.m1C.0m D.1m【答案】C【解析】【分析】根据充分，必要条件与集合的包含关系，即可求解.【详解】

18、若p是q的充分条件，则01xxx xm，所以0m.故选：C8.已知双曲线221mxy的一条渐近线的斜率为 2，则m（）A.4B.4C.14D.14【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m的值.【详解】根据221mxy,得到2211xym,则焦点在y轴，故渐近线为ymx ，则2m，故4m .故选：A9.下列函数中，在0,上是减函数且是偶函数的是（）A.2()1f xxB.3()f xx C.1()lg|f xxD.|()2xf x【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案详解】解：根据题意，依次分析选项：【第 5 页/共 18 页学

19、科网（北京）股份有限公司对于A，2()1f xx，是偶函数，在区间(0,)上是增函数，不符合题意；对于B，3()f xx，是奇函数，不符合题意；对于C，1()lg|f xx，是偶函数，在区间(0,)上是减函数，符合题意；对于D，|()2xf x，是偶函数，但在区间(0,)上是增函数，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握幂指对函数的性质，属于基础题10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()yx0,|2的图象上，且图象过点,

20、224，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.,34B.5,8 24C.5 3,248D.5 3,84【答案】B【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出，根据点的坐标，结合的取值范围，求出的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.详解】由已知可得，22T，所以T，22T，4sin 2yx.又图象过点,224，所以有4sin212，所以，1sin122.因为2，所以57121212，【第 6 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司所以126，所以12，4sin 212yx.由2 22,2122kxkkZ可得，75,2424kxkkZ，所以，函数的单调

21、递增区间为75,2424kkkZ.当1k 时，单调递增区间为3119,2424；当0k 时，单调递增区间为7 5,24 24；当1k 时，单调递增区间为17 29,2424；对于 A 项，19724324 ，故 A 项错误；对于 B 项，因为7524824，故 B 项正确；对于 C 项，因为531724824，故 C 项错误；对于 D 项，因为551724824，故 D 项错误.故选：B.11.已知F是抛物线C：22ypx的焦点，2x 是抛物线C的准线，点0,Nt（0t）连接FN交抛物线C于M点，0MNMF，则OFN的面积为（）A.6B.3C.2 2D.4 2【答案】D【解析】【分析】首先求出

22、抛物线方程，进一步求出,M N的坐标，最终求出答案.【详解】2x 是抛物线C的准线，4p，抛物线为28yx(2,0)F0MNMF 第 7 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司M为NF的中点，即M的横坐标为14p，代入28yx，得到2 2y，(1,2 2)M(0,4 2)N12 4 24 22OFNS.故选：D.12.设定义在 R 上的函数 f x满足 23exfxf xx，且 00f，则下列结论正确的是（）A.f x在 R 上单调递减B.f x在 R 上单调递增C.f x在 R 上有最大值D.f x在 R 上有最小值【答案】C【解析】【分析】根据已知可得 3exf xxc，由 00f求出

23、c可得 3exxf x，利用导数判断 f x的单调性可得最值情况.【详解】因为 23exfxf xx，所以 2ee3xxfxf xx，可得 2eee3 xxxf xfxf xx，可得 3exf xxc（c为常数），因为 00f，所以 00e00fc，解得0c=，所以 3exxf x，2233eeee3exxxxxxxxxfx，当3x 时，0fx，f x单调递减，当3x 时，()0fx，f x单调递增，所以 f x在3x 时有极大值即最大值 33333ee27f，无最小值.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是利用已知构造 2eee3 xxxf xfxf xx，求出 f x.第 8 页

24、/共 18 页学科网（北京）股份有限公司第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知单位向量a，b满足2 abb，则a与b的夹角为 _.【答案】23【解析】【分析】利用向量垂直点乘等于零和数量积公式求解.【详解】因为a，b是单位向量，所以1ab，因为2 abb，所以20abb，所以220a bb，所以22cos,0a ba bb ，所以2cos,10a b ，所以1cos,2a b ，因为,0,a br r，所以2,3a b（或120）.故答案为：2314.函数2log(1),0(

25、)4,0 xx xf xx，则2(3)(log 3)ff_.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)ff2222log 32log 3log 32222log1 34log 22222311.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC中，=3AB，=2AC，60A，则ABC的外接圆面积为_.【答案】73【解析】分析】利用余弦定理求解边长BC，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos77BCABACABACABC

26、，【第 9 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司该ABC的外接圆的半径为 r，则由正弦定理得：272 212172sin33332BCrrSrA.故答案为：73.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为_.【答案】163#153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464VR球，所以正三棱锥外接球半径4R，如图所示，设外接球圆心为 O，过PO向底面作垂线垂足为 D，(04)ODaa，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC与P在圆心的异侧，因为PABC是正三棱锥，所以 D 是ABC的中

27、心，所以2224,16OPOAADOAODa，又因为23ADB，所以2316ABBCACa，213 3sin16234ABCSABACa，所以23213316(4)41664344P ABCABCVSPDaaaaa，令32()41664,(04)f aaaaa，2()3816(34)(4)0faaaaa 解得4a 或43，第 10 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司当40,3a，()0fa；当4,43a，()0fa，所以()f a在40,3递增，在4,43递减，故当43a 时，正三棱锥的体积P ABCV最大，此时正三棱锥的高为416433aOP，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥高为163

28、.故答案为：163三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.等差数列 na中，24a，4715aa（1）求数列 na的通项公式；（2）设22nanbn，求12310bbbb的值【答案】（1）3(1)12nann；（2）2101【解析】【详解】（）设等差数列 na的公差为d由已知得 11143615adada

29、d，解得131ad所以112naandn（）由（）可得2nnbn所以 2310123102 12223210bbbb2310222212310 102 1 21 10101 22的第 11 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司112255112532101考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法18.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市 1565 岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示组别分组回答正确的人数回答正确人数占本组的概率第 1 组15，25)50.5第 2 组25，35)a0.9第 3 组35，45)27x第 4 组45，55)b0.36第 5 组55

30、，653y（1）分别求出 a，b，x，y 的值；（2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖.求：所抽取的人中第 2 组至少有1 人获得幸运奖的概率【答案】（1）18,9,0.9,0.2abxy （2）2 人，3 人，1 人 （3）35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，以及频率、频数的计算方法，即可求解；（2）根据第 2，3，4 组回答正确的人的比，结合分层抽样的方法，即可求解；的第 12 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司（3）抽取的

31、 6 人中，第 2 组的记为 a1，a2，第 3 组的记为 b1，b2，b3，第 4 组的记为 c，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【小问 1 详解】解：第 1 组人数为5100.5，所以总人数100.1010n；第 2 组人数为1000.220，所以200.918a；第 3 组人数为100 0.330，所以270.930 x；第 4 组人数为1000.2525，所以250.369b；第 5 组人数为1000.1515，所以30.215y.【小问 2 详解】解：第 2，3，4 组回答正确的人的比为18:27:92:3:1，所

32、以第 2，3，4 组每组应各依次抽取 2 人，3 人，1 人【小问 3 详解】解：抽取的 6 人中，第 2 组的记为 a1，a2，第 3 组的记为 b1，b2，b3，第 4 组的记为 c，则从 6 人中任取 2 人的所有可能的情况有 15 种，分别为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种，分别为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1

33、，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)由古典摡型的概率计算公式，可得所求概率为93155.19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，120BCD，侧面 PAB底面ABCD，2 2PB，2.ABACPA（1）求证：BD平面PAC（2）过 AC 的平面交 PD 于点 M，若12PACPACDMVV，求三棱锥PAMC的体积第 13 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）由菱形的性质有BDAC，勾股定理知PAAB，结合面面垂直的推论可得PABD，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由

34、PA 面ABCD即可计算P ACDV，结合已知条件可求三棱锥PAMC的体积；【详解】（1）由题意知：底面 ABCD 是菱形，且2.ABACBDAC，又在PAB中2ABPA，2 2PB，即90PAB，PAAB，又面 PAB面ABCD，面 PAB 面ABCDAB，PA面 PAB，PA 面ABCD，而BD面ABCD，有：PABD，PAACA，BD平面PAC；（2）由（1）知：PA 面ABCD，有112 3|2 2 2 sin60363P ACDACDVPA S ，而MPACPAMCVV，且12PACPACDMVV，33PAMCV【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知

35、体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.20.已知椭圆2222:10 xyEabab的离心率为32；，与直线:50l xy有且只有一个公共点.（1）求椭圆E的方程；（2）过点1,0M的直线2l与椭圆E交于两点,A B，若2AMMB，求直线2l的方程【答案】（1）2214xy；（2）52 350 xy.【解析】【分析】（1）由题得椭圆方程为222440 xyb，再把5yx代入并整理，根据0 得解；（2）先分析直线2l的斜率不为 0，再设直线的方程为1xty，联立椭圆方程得到韦达定理，再由由2AMMB得 t 的值，即得解.第 14 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）由

36、椭圆 E 的离心率为32，得222223,44ababa故椭圆方程为22222221,4404xyxybbb，把5yx代入并整理，得2258 52040 xxb，因为 E 与1l有且只有一个公共点，所以0，解得1b，所以椭圆的方程为2214xy.（2）当直线2l的斜率为 0 时，则 A，B 的坐标为 2,0,2,0，不符合2AMMB，故直线2l的斜率不为 0，设直线的方程为1xty，代入椭圆方程得224230tyty则2241240tt，设1122,A x yB xy，则12122223,44tyyy ytt 11221,1,AMxyMBxy，由由2AMMB，得，得122yy得122242,4

37、4ttyytt，代入，得22228344ttt，解得2 35t .故直线2l的方程为2 3+15xy，即5x2 350y.【点睛】方法点睛：求直线的方程，一般利用待定系数法，先定式（从直线的五种方程中选择一种作为直线的方程），后定量（再求出待定系数的值）.21.已知函数 lnf xaxax（1）讨论 f x的单调性；（2）证明：当0a 时，32f xa【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】第 15 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）求导后对 a 分类讨论，结合导数的符号判断单调区间即可；（2）转化为证明函数的最大值小于32a-+，构造函数利用导数确定函数的最值

38、可得证.【小问 1 详解】1aaxfxxx，0 x 当0a 时，0fx，则 f x在0,上单调递减当0a 时，令 0axfxx，解得xa，当0 xa时，()0fx，则 f x在0,a上单调递增当xa时，0fx，则 f x在,a 上单调递减综上：当0a 时，f x在0,上单调递减；当0a 时，f x在0,a上单调递增，f x在,a 上单调递减【小问 2 详解】由（1）得：maxlnf xf aaaaa要证：32f xa，即证：2ln2200a aaaa即证：2ln20aaa令 2ln20g aaaaa，221aag aa当02a时，0ga，则 g a在0,2上单调递增；当2a 时，0ga，则 g

39、 a在2,上单调递减；所以，max2ln2 10g ag 从而命题得证【点睛】关键点点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需()f x的最大值小于32a-+，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分如果多做，那么按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 16 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司22.在直角坐标系：xOy中曲线

40、1C的参数方程为cos1 sinxy（为参数），M是1C上的动点，P点满足3OPOM ，P点的轨迹为曲线2C（）求2C的参数方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线33yx与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，将曲线1C、2C的方程转化为极坐标方程后，求AB【答案】（）3cos33sinxy（为参数）（）2【解析】【分析】（）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换（）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果【详解】解：（）设,P x y由于P点满足3OPOM ，所以,3 3x yM，由于点M在1C上，所以cos31 sin3xy

41、，整理得2C的参数方程3cos33sinxy（为参数）（）曲线1C的参数方程转换为极坐标方程为2sin，曲线2C的参数方程转换为极坐标方程为6sin，直线33yx转换为极坐标方程为6所以2sin6，解得1A，同理6sin6，解得3B，故3 12ABAB【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求第 17 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.设函数()|21|,f xxxa aR（1）当1a 时，解不等式()3f x；（2）若存在

42、xR，使得()1f xa成立，求a的取值范围.【答案】（1）1x或1x ；（2）14a.【解析】【分析】（1）当1a 时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x 的解集；（2）若存在xR，使得()1f xa成立，即min|1|()af x，根据1,2a之间的大小关系，进行分类，最后求出a的取值范围.【详解】解：（1）当1a 时，1()21132211 3xf xxxxx ，或1121 1 23xxx 或11 213xxx，即121xx，或1121xx，或11xx，即1x或1x .（2）即min|1|()af x，当12a 时，min1(),()|1|2f xff xa恒成立；当12a 时，31,1()1,2131,2xa xaf xxaaxxax ，可知min11()22f xfa，得1142a ；第 18 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司当12a 时，131,21()1,231,xa xf xxaxaxaxa ，同理min11()22f xfa，得12a .综上，a的取值范围为14a.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.