河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高三上学期第五次月考数学试题含答案.pdf

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1、高三数学 1 南阳一中 2023 年秋期高三年级第五次月考 数学试题 南阳一中 2023 年秋期高三年级第五次月考 数学试题 命题人：一、单选题（每小题?5?分共?40?分）命题人：一、单选题（每小题?5?分共?40?分）1已知集合3Ax x 或2x，1Bx xa，若AB R，则实数a的取值范围是（）A(4,)B 4,)C(3,)D3,2.已知sin,cosP是角3的终边上一点，则tan（）A.3B.33C.33D.33.把ABC按斜二测画法得到ABC（如图所示），其中1BOCO，32AO 那么ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形4.已知正方体11

2、11ABCDABC D的棱长为 1，E为1DD中点，F为棱 CD上异于端点的动点，若平面 BEF 截该正方体所得的截面为四边形，则线段 CF 的取值范围是（）A1(,1)3B1(,1)2C1 2,)2 3D1(0,25.已知函数 f x是定义域为 R 的偶函数1f x为奇函数，当0,1x时，2xf xka，若 036ff，则2log 96f（）A.2B.0C.-3D.-66若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切，则 l 的方程为（）Ay=2x+1 By=2x+12Cy=12x+1 Dy=12x+127.在三棱锥 A-BCD 中,ABD 与 CBD 均是边长为 2 的等边三角形,且

3、二面角 A-BD-C 的平面角为,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.7 B.8 C.D.8若函数 lnf xx的图象在1xx与212xxxx处的切线分别为1l，2l，且12ll，则（）A121xx+B12xx的最小值为 2#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 2 C1l，2l在 y 轴上的截距之差为 2 D1l，2l在 y 轴上的截距之积可能为1 二、多选题二、多选题（每小题（每小题 5 5 分共分共 2 20 0 分）分）9给出下列命题，其中正确的是（）A若空间向量3,1,3m，1,1n，且mn，则实数13 B

4、若ab，则存在唯一的实数，使得ab C若空间向量1,0,1a，2,1,2b，则向量b在向量a上的投影向量是2,0,2 D点3,2,1M关于平面yOz对称的点的坐标是3,2,1 10.将函数()3sin23f xx的图象向左平移12个单位长度后关于y轴对称，则的值可能为（）A.3 B.2 C.23 D.56 11.已知,a bR，且22223a bab，则（）A.ab 的最大值为 1 B.ab 的最小值为1 C.11|ab的最小值为 4 D.222ab的最小值为2 33 12如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为a.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（）A过棱AC的截面中，截面

5、面积的最小值为224a B若过棱AC的截面与棱BD（不含端点）交于点P，则11cos32APC C若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为24a D与该木块各个顶点的距离都相等的截面有 7 个 三、填空题三、填空题（每小题每小题 5 5 分共分共 2020 分分）13设向量,2ABxx在向量3,4AC 上的投影向量为15AC，则x 8Mm，则a_ 15 甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束），#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 3 根据前期比赛成绩，甲队的主客

6、场安排依次为“主客主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是 16.已知ABC 的面积为 1，且 AB=2BC，则当 AC取得最小值时，BC的长为_.四、解答题四、解答题 （70 分分）17.（10 分）已知向量212cos,sin,3cos2axxbx，函数 f xa b（1）求 f x的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC中，7,1,2 312ABfABC，求边AC的长 18.（12 分）已知椭圆221169xy，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线:0l ykxb k与椭圆交于 M、N两点，且 M点位于第一象限（1）若0b

7、，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；（2）若34k，求四边形AMBN的面积的最大值 19（12 分）如图，现有三棱锥ABCD和EBCD，其中三棱锥ABCD的棱长均为 2，三棱锥EBCD有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体ABCDE.(1)求这个组合体ABCDE的体积；(2)若点 F为 AC的中点，求二面角EBCF的余弦值.23124:2#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 4 20.（12 分）数列 na的前 n项和nS，已知214aa，2nnSna

8、nk nN，k为常数.（1）求常数 k和数列 na的通项公式；（2）数列 1nS前 n项和为nT，证明：4133212nTn.21.（12 分）如图所示的几何体是由等高的14个圆柱和半个圆柱组合而成，点 G 为DE的中点，D 为14圆柱上底面的圆心，DE 为半个圆柱上底面的直径，O，H 分别为 DE，AB 的中点，点 A，D，E，G四点共面，AB，EF 为母线（1）证明：OH平面 BDF；（2）若平面 BDF与平面 CFG 所成的较小的二面角的余弦值为155，求直线 OH 与平面 CFG所成角的正弦值 22.（12 分）已知函数 222eeln2exxxf xaxaxxx.（1）若0a ，求曲

9、线 f(x)在1x 处的切线方程；（2）当2exx时，不等式 0f x 恒成立，求 a 的取值范围.#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 5 第五次月考高三数学试题答案第五次月考高三数学试题答案 1【答案】D 【详解】因为AB R，所以12a，解得3a 所以，实数a的取值范围是3,.2.【答 案】B 【详 解】因 为sin,cosP是 角3的 终 边 上 一 点，所 以13cossin,sincos3232，则sin3tancos3，故选：B.3.答案：A 解析：根据斜二侧画法还原直线ABC在直角坐标系的图形,如下

10、图所示:由图易得2ABBCAC 故ABC为等边三角形,故选 A 4.【详 解】在 正 方 体1111ABCDABC D中，平 面BEF I平 面11CDDCEF，而B平面11ABB A，B平面BEF，平面11/CDDC平面11ABB A，则平面BEF与平面11ABB A的交线过点 B，且与直线 EF 平行，与直线1AA相交，令交点为 G，如图，而1DD 平面ABCD，1AA 平面ABCD，即,EFDGBA分别为,EF GB与平面ABCD所 成 的 角，而/EFGB，则E F DG B A，且 有tantanGAEDGBAEFDABDF，当 F 与 C 重合时，平面 BEF 截该正方体所得的截面

11、为四边形，12GAED，G 为棱1AA中点 M，当点 F 由点 C 向点 D 移动过程中，GBA逐渐增大，点 G 由 M 向点1A方向移动，当点 G 为线段1MA上任意一点时，平面BEF只与该正方体的 4 个表面正方形有交线，即可围成四边形，当点 G 在线段1MA延长线上时，直线BG必与棱11AB交于除点1A外的点，而点 F 与 D 不重合，此时，平面BEF与该正方体的 5 个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 6 因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线

12、段1MA（除点M外）上，即112GA,显然，11,1)22AB EDDFGAGA，则11(0,2CFDF，所以线段的 CF 的取值范围是1(0,2.故选：D 5.【答案】C【详解】因为1f x为奇函数，所以11fxf x，又 f x为偶函数，所 以11fxf x，所 以11f xf x，即 2 fxfx，所 以 42f xf xf x，故 f x是以 4 为周期的周期函数；由11fxf x，易得 10f，3110fff，所以 06f，所以6ka，20ka，解得6k，12a；所以 222log 965log 31 log 3fff23log2223log 3 1log6 21232ff ；故选：

13、C 6 D 设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00 x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020 xx yx，由于直线l与圆2215xy相切，则0011 45xx，两边平方并整理得2005410 xx，解得01x，015x （舍），则直线l的方程为210 xy，即1122yx故选：D.7.【答案】D 如图,取 BD 的中点 E,连接 AE,CE,因为ABD 与CBD 均为等边三角形,所以AEBD,CEBD,所以AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角,所以AEC=.设CBD 与ABD 外接圆的圆心分别为 O1,O2,该三棱锥外

14、接球的球心为 O,连接 OO1,OO2,则 OO1平面 CBD,OO2平面 ABD.由题意,得 EO1=EO2=2=,CO1=AO2=2=.连接 OC,OE,设球 O 的半径为 R,则#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 7 OO1=OO2=-,又 OE=OE,所以OEO1OEO2,所以OEO1=OEO2=.所以tanOEO1=-,解得 R2=,所以该三棱锥的外接球的表面积 S=4 R2=,故选 D.8【答案】C【详解】对于 A，B，lnf xx的图象如下：当01x时，lnf xx，1fxx，当1x 时，lnf x

15、x，1fxx，若1201xx，此 时 120,0fxfx，则120llkk，两 切 线 不 垂 直；同 理 若121xx，此 时 120,0fxfx，则120llkk，两切线不垂直；1201xx 时，满足要求所以1l，2l的斜率分别为111kx，221kx，因为12ll，所以1 21211k kx x ，得121x x，121222xxx x，（因为12xx，所以这里不能取等号）A，B 错误 对于 C，D：1l的方程为1111lnyxxxx，即1111lnyxxx ，令0 x，得11lnyx，所以1l在 y 轴上的截距为11 ln x 2l的方程为2221lnyxxxx，即2211 lnyxx

16、x，可得2l在 y 轴上的截距为21 lnx，因为121 21 ln1 ln2ln2xxx x ，121 ln1 lnxx 21111 ln1 lnln11xxx ，（利用121x x将此式子中的2x代换掉），所以 C 正确，D 错误故选：C 9.【答案】AC【详解】对于 A，可知31113，即 A 正确；对于 B，显然0b 时，ab恒成立，此时不唯一或者不存在，故 B 错误；对于 C，向量b在向量a上的投影向量221,0,12,0,2a baa，故 C 正确；对于 D，易知点3,2,1M关于平面yOz对称的点的坐标是3,2,1，故 D 错误.故选：AC 10.【答案】AC【详解】将函数()3

17、sin23f xx图象向左平移12个单位长度后，#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 8 所得函数解析式为3sin 23sin 21236yxx，因为所得函数图象关于y轴对称，所以,Z26kk,即2,Z3kk，当1,0,1k 时，的值分别为 2 5,333，结合选项，所以的值可能为 2,33，故选:AC.11.【答案】AB【详解】由于22223a bab，所以22222232a baba bab，即310abab，解得01ab，即11ab，故 A 和 B 均正确，令1,1ab，满足题干的式子，但是112|ab，故

18、C 错误，将22223a bab变形可得22213aba，所以 22222222244132134 2332122211aabaaaaaa，当且仅当22 1a 时等号成立，故 D 错误，故选：AB.12【答案】ACD【详解】设截面与棱BD的交点为P，对于 A 项，如图 1，过棱AC的截面为ACP，易知当P为棱BD的中点时，,CPBD APBD,且32APCPa，PCAP、平面APC，故BD平面APC，取AC的中点E，连接PE，则PEAC，又PE 平面APC，PEBD，即PE是异面直线ACBD、的公垂线，22PEa，故此时ACP的 面 积 取 得 最 小 值，最 小 值 为21224aSACPE

19、，A正确；对于 B 项，易知ABPCBP，故 结 合A项，可 设3,2aAPCPt ta，在ACP中，由余弦定理222222222cos1222APCPACtaaAPCAP CPtt，#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 9 所以222 341,1,33aatt，即11cos32APC，B 错误；对于 C 项，如图 2，当截面EFNM为平行四边形时，/EFNMAD，/EMFNBC，由正四面体的性质可知ADBC，故EMMN，从而平行四边形EFNM为长方形.设EMx，则MNax，所以长方形EFNM的面积24aSx ax

20、，当且仅当2aEMx时，等号成立，C正确；对于 D 项，与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类.第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有 4 个.第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有 3 个.故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有 7 个，D 正确.故选：ACD 13【答案】1【详解】向量,2ABxx在向量3,4AC 上的投影向量为 3825AB ACACxxACACAC，则138525xx，解得1x 故答案为：1.14.答案 1【详解】22(6)sin(3)(3)9sin(3)(3)3f xxxxxaxxxa，设3 3,3xt

21、 ，则2(9)sin3yttta，记2()(3)(9)sing tyattt，因为2()(9)sin()gttttg t，所以()g t是在 3,3上的奇函数，最大值为(3)Ma，最小值为(3)ma，所以(3)(3)0Mama，又因为8Mm，所以1a，故答案为：1 15【解析】欲使甲队获胜，则第六场甲胜，前五场甲获胜三场负两场，故所求概率为 16.【答 案】153【详 解】记,BCa ABc ACb，由 已 知2ca，4:232221122323211211112111()()C()()CC()()322332223322P 13119272736108#QQABSQSUgggAABBAABh

22、CQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 10 21sinsin12ABCSacBaB，2222254cos2cos54cossinBbacacBaaBB，令54cos,0,sinByBB，则22224sin5cos4cos45cossinsinBBBByBB，所以当4cos0,5B时，0y，当4cos,15B时，0y，设4cos,0,5，则,B时，54cos,0,sinByBB单调递增，当0,B时，54cos,0,sinByBB单调递减，所以当,B即43cos,sin55BB时，54cos,0,sinByBB，即 AC 取得最小值，此时215sin3aB，

23、153a.故答案为：153 17.【小问 1 详解】由题意得2()cos3sin cosf xxxa bx 113cos2sin2222xx1sin 262x，所以()f x的最小正周期22T，令32 22 262kxkkZ，解得263kxkkZ，所以()f x的单调递减区间为2,()63kkkZ【小问 2 详解】由（1）知，1()sin 2162f AA，则1sin 262A，由0,A，得 132,666A，则5266A，解得3A，又由712AB，得4B，已知2 3BC，则由正弦定理sinsinACBCBA，得22 3sin22 2sin32BCBACA.18.【详解】（1）证明：设11(,

24、)M x y，则11(,)Nxy，(4,0)A，(0,3)B，114AMykx，114ANykx，#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 11 11(,)M x y在椭圆上，22119(16)16yx22112211169916161616AMANyxkkxx 为定值（2）设3:4l yxb，依题意：0k，M点在第一象限，33b 联立：22341169yxbxy得：229128720 xbxb，1243bxx，212889xxb，设A到l的 距 离 为1d，B到l的 距 离 为2d，1|124|44|3|(3)555

25、bdbb，2|124|44|3|(3)555bdbb，12245dd 又2212121295516|1|()4325 216449MNxxxxx xb（当0b 时取等号），121124|()5 212 2225AMBNSMNdd四边形AMBN的面积的最大值为12 2 19.【详解】（1）因为三棱锥EBCD有三个面是全等的等腰直角三角形，BCD是等边三角形，所以222BEDECE，所以11122223323E BCDCDEVSBE；因为三棱锥ABCD的棱长均为 2，所以正三棱锥ABCD体积为一个棱长为2的正方体减去四个三棱锥，即3112242222323A BCDV，222233ABCDEA B

26、CDE BCDVVV（2）如图所示，以 E 为坐标原点，EC，ED，EB 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系Exyz，则0,0,0E，0,0,2B，2,0,0C，222,22F，2,0,2BC，222,22BF，设平面 EBC 的法向量为1n，易得10,1,0n，设平面BCF 的法向量为2,nx y zu u r，因为2200BC nBF n，得220222022xzxyz，取1x，可得21,1,1n#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 12 设二面角EBCF的平面角大小为，由图易知，二面角EBCF为钝角，则

27、121213cos33n nn n 故二面角EBCF的余弦值为33 20.【小问 1 详解】由2nnSnank得11211nnSnank，2n，两式相减的1211nnnanana，整理得1121nnnana，当2n 时，得11a，2145aa，当3n 时，1111121221nnaannnnnn，12112332nnaannnn，L，3211212aa，相加得2111112111223211naannnnn L，所以43nan，3n，当1n，2时 符 合43nan，所 以43nan，则1222nnnaaSnn，22432222nnnanknnnkkSnn，则02k，即0k.【小问 2 详解】由

28、（1）得2112211222121 212121nSnnnnnnnn，所以111111114135572121321nTSnnnL，因为1211222222nSnnnn，2n，所以111111113132446222222nTSnnnL，综上可得，4133212nTn.21.【小问 1 详解】证明：取 EF 的中点 M，连接 OM，HM，又 O 为 DE 的中点，所以OMDF，#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 13 又DF 平面 BDF，OM 平面 BDF，所以OM平面 BDF，因为ABEF，ABEF，H，M分

29、别为 AB，EF 的中点，所以BHFM，且BHFM，所以四边形 BFMH 为平行四边形，所以HMBF，又BF平面 BDF，HM 平面 BDF，所以HM 平面 BDF，又 OM，HM 平面OMH，OMHMM，所以平面OMH平面 BDF，因为OH 平面 OMH，所以OH平面 BDF【小问 2 详解】由题意知 CB，CF，CD 两两垂直，故以点 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设14圆柱底面半径为r，高为h，则0,0,0C，,0,0B r，0,0Fr，0,0,Dh，,2 2r rGh，0,2rOh，,0,2hH r，所 以,0B Fr r，0,DFrh，0,0CFr，,2 2r rCGh，

30、,22rhOHr 设平面 BDF 的一个法向量,nx y zr，则0,0,n BFn DF，即00rxryryhz 令xh，解得yh，zr，所以,nh h r；设平面 CFG 的一个法向量,ma b c，则0,0,m CFm CG，即0022rbrrabhc 令2ah，解得0b，cr，所以2,0,mhr，所以22222222222215cos,5244m nhrhrm nmnhrhrhr，化简，得22220rh，所以hr，所以2,0,mrr，,22rrOHr设 OH 与平面 CFG所成的角为，所以2212302sincos,10652rrOH mOH mOHmrr#QQABSQSUgggAAB

31、BAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#高三数学 14 22.【小问 1 详解】当0a 时，222ln2ln3xxxf xxxxxxx eee，211fe，221ln311xxfxxxxee，则 211f e，所以曲线 f x在1x 处的切线方程为22111yxee，即21yxe.【小问 2 详解】不等式 0f x 可整理为2221ln10 xxxxxxaa eee，令 2exxp x，21exxpx，所以当,1,0 xp x，p x单调递增，当 1,0 xp x，p x单调递减，所以 1ep xp，又2exx，所以令21,eexxt，则11ln1att，令 11,1,eln1xxxh x，则 22221111ln1ln1xh xxxxxxx，令 221ln1,exs xxxx，则 212ln2ln11xxxxs xxxx，令 12ln,1,eq xxxxx，则 22212110,1,exq xxxxx，所以 q x单调递减，10q xq，所以 0s x，s x单调递减，10s xs，所以221ln1,exxxx，所以221ln1xxx，22110ln1xh xxxx，所以 h x单调递减，111eeh xh，所以1e11a .#QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=#