（模块化思维提升）数字问题-2024小升初数学思维拓展数论问题专项讲义含答案.pdf

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1、专题 数字问题 2024小升初数学思维拓展数论问题专项训练 专题 数字问题 2024小升初数学思维拓展数论问题专项训练 1 1、数字问题的主要题型。、数字问题的主要题型。数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少大通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少 2 2、核心知识。、核心知识。（1 1）数字的拆分。）数字的拆分。是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性

2、质、奇偶性质、因式分解、同是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等余理论等 （2 2）数字的排列与位数关系。）数字的排列与位数关系。解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解法、假设法等一些方法，进行快速求解 【典例一】【典例一】如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完美数”例如：6 有四个因数 1236，除本身 6 以外，还有 1

3、23 三个因数6123=+，恰好是所有因数之和，所以 6 就是“完美数”下面的数中是“完美数”的是()A9 B12 C15 D28【分析】根据“完美数”的定义，可将下列选项中的数写出符合要求的因数，进行计算，即可得出答案【解答】解：A、9 的因数有：1、3、9，所以134+=，不符合要求；B、12 的因数有：1、2、3、4、6、12，所以1234616+=，不符合要求；C、15 的因数有：1、3、5、15，所以1359+=，不符合要求；D、28 的因数有：1、2、4、7、14、28，所以12471428+=；因此只有D项符合题意故选：D【点评】此题主要考查的是如何寻找一个数的因数的方法的灵活应

4、用 【典例二】【典例二】在某小区为业主举办的元旦晚会上，主持人为业主们准备了一个游戏：从 300 个外形相同的福袋中找到唯一装有奖品的福袋，主持人将这些福袋按 1 至 300 的顺序编号排成一列，第一次先请一位业主从中取出所有序号为单数的球，均没有发现奖品，接着主持人将剩下的福袋又按 1 至 150 重新编号排成一列（即原来的 2 号变为 1 号，原来的 4 号变为 2 号，原来的 300 号变为 150 号），又请一位业主从中取出所有新序号为单数的球，也没有发现奖品，如此下去，直到最后一个福袋是装有奖品的，那么这个装有奖品的福袋最初的序号是 。【答案】256。【分析】从简单入手，找到第n次余

5、下的原编号为2n的倍数，再找着2n的倍数只有 1 个时n为几，此时的结果就是最初的编号。据此解答。【解答】解：第 1 次余下的数为：2、4300，即12的倍数；第 2 次余下的数为：4、8、12300，即22的倍数；第n次余下的数为2n的倍数。当82256=时，余下的只有 256 一个。所以，最初福袋的序号是 256。故答案为：256。【点评】此题主要考查了推理论证，根据题意，分析每次取出的序号是后剩下的气球的序号，就能知道装有奖品的气球最初的序号。【典例三】【典例三】娲皇宫是神话传说中女娲“炼石补天、抟土造人”的地方，每年农历三月初一至三月十八为当地的庙会，全国各地的人都会来娲皇宫朝拜女娲。

6、娲皇宫景区为了方便游客，打算在三个重要地点增设不同数量的垃圾箱，如果三个地点增设的垃圾箱数量恰好是三个连续的自然数，且它们的积是 210，你知道三个地点增设的垃圾箱数量分别是多少个吗？【答案】5 个，6 个，7 个。【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差 1，首先把 210 分解质因数，然后根据题意再把 210 的质因数作适当的调整计算即可。【解答】解：把 210 分解质因数：21023 57=；由于是三个连续的自然数，因此把其中两个质因数调整为：236=。答：三个地点增设的垃圾箱数量分别是 5 个，6 个，7 个。【点评】此题主要根据分解质因数的方法把质因数作适当的调整去解决问题。一

7、选择题（共一选择题（共 8 8 小题）小题）1从 1 写到 100，一共写了()个 4。A11 B21 C20 2下面两个多位数1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位。对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是()A495 B497 C501 D503 3小矮人开宝箱，宝箱上的密码是 223，密码既是 2 的倍数，又是 3

8、 的倍数。请你帮小矮人破解密码，这个宝箱的密码是()A2230 B2234 C2236 D2238 4有一路公共汽车，包括起点站和终点站在内共 10 个停车点如果一辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中恰好各有一位从这一站到以后的每一站下车为了使每位乘客都有座位，那么这辆车至少需要()个座位？A15 B16 C25 D26 5古希腊数学家发现：如果一个数恰好等于除这个数本身外它的所有因数相加的和，那么这个数就是“完美数”。例如：6 有 4 个因数：1，2，3，6，除 6 本身外，还有 1，2，3 三个因数，6123=+，所以 6 就是“完美数”。下面这三个数中，()是“完美数”

9、。A28 B15 C12 6在1100中，个位上是 0 的两位数有()个。A8 B9 C10 7有一个抢数游戏，其规则是两人轮流报数，每次可以报 1 个、2 个、3 个、4 个数，但不许不报也不许多报如果第一个人报 1，2 或 1，2，3，第二个人接着往下报，然后第一个人再接着往下报，以此类推，那么第一个人第一次应该报()才可能稳抢到 2014 A1 B1，2 C1，2，3 D1，2，3，4 8一个三位数，它的反序数也是一个三位数，用这个三位数减去它的反序数得到的差不为 0，而且是 4 的 倍数那么，这样的三位数有()个 A2 B30 C60 D50 二填空题（共二填空题（共 8 8 小题）小

10、题）96 的因数有 1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1236+=。像 6 这样的数叫做完全数。古希腊的毕达哥拉斯还发现 28 也是完全数，请你仿照完全数 6，写出 28 的几个因数之间的关系 。10如图是一个正方体，已知相对的两个面数字之和为 7，若规定侧面 2 的外侧为前方，将正方体先向后翻15 次，再向右翻 30 次，则此时正方体上面的数字是 11有一个十八位数 200103016987819002，现在不改变这些数字的顺序，从中去掉 13 个数字，剩下的 5 个数字能组成的最大的数是 。12将 2017 进行如下操作；每次操作将这个数末两位数字的乘积写在这个数的后面例如：对 201

11、7 进行 3次操作，结果将依次得到 20177、2017749、201774936，那么，如果对 2017 进行 57 次操作，操作后所得到结果的末两位数字依次组成的两位数是 13一个三位数，它的各位数字之和是 4，这样的三位数中，最大的是 ，最小的是 。14有一个七位数，各位上数字之和是 55，这个数如果加上 2 就会得到一个新的七位数，这时这个新数的各位上数字之和是 3，原来的数是 15用 1，2，3，4 这 4 个数字任意写出一个一万位数，从这个一万位数中任意截取相邻的 4 个数字，可以组成许许多多的四位数，这些四位数中，至少有 个相同。16小甬的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字

12、组成。小真说：“它是 84261。”小潮说：“它是26048。”小汐说：“它是 49280。”小甬说：“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对这个数字。现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字。”这个电话号码是 。三解答题（共三解答题（共 1414 小题）小题）17有三个数字，用他们可以组成六个不同的三位数的和是 3330，其中最大的三位数是多少？18（1）把 1，1，2，2，3，3 排成一行，使得两个 1 之间恰有一个数，两个 2 之间恰有两个数，两个 3 之间恰有三个数（2）把 1，1，2，2，3，3，4，4 排成一行，使得两个 1 之间恰有一个数，两个 2 之间

13、恰有两个数，两个 3 之间恰有三个数，两个 4 之间恰有 4 个数（3）能否把 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5 排成一行，使得两个 1 之间恰有一个数，两个 2 之间恰有两个数，两个 3 之间恰有三个数，两个 4 之间恰有 4 个数，两个 5 之间恰有 5 个数？19湖里有一只船，船上坐着穿红色、黄色、绿色衣服的人小刚把穿三种颜色的人数相加，小红把他们的人数相乘，得数都一样，船上有几人？20一个布袋里装了一些玻璃球，第一次拿一个、第二次拿二个这样每一次都比前一次多拿一个，拿了 8次以后，还剩下 2 个玻璃球，这个布袋里一共装了多少个玻璃球？21一个三位数，各数位上的数字和是 15，百位

14、上的数字比十位上的数字大 5，个位上的数字是十位上数字的 3 倍，则这个三位数是多少？222001 位学生排成一行，从排头到排尾分别以 1、2、3；1、2、3；报数然后从排尾到排头分别以 1、2、3、4；1、2、3、4；报数试问有多少位学生在这二次报数中都报 1？23将 4 个不同的数字排在一起，可以组成 24 个不同的四位数(432 124)=将这 24 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是 5 的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被 4 整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30004000之间请求出这 24 个四位数中最大的一个 24一个四位数，千位上的数字是个位上

15、数字的 6 倍，百位上的数字等于千位上的数字与个位上的数字的差，十位上的数字等于千位上的数字与个位上的数字的和，这个数是多少 25有一个三位数，各数位上的数是从小到大排列的三个连续自然数，这个三位数除以 6 所得的商，比这个三位数的个位数字与十位数字调换位置所得的新三位数少 389求出原来的三位数 26在黑板上 3 个整数，每次操作擦去其中一个，换成其他两数加 1，这样一直操作，最后得到 41，43，45，问原来写的 3 个整数能否为 2，4，6？27盒子里放有编号为 1 到 9 的 9 个球，杰克先后 3 次从盒中共取出 8 个球，如果第 2 次取出的球的编号之和是第 1 次的 2 倍，第

16、3 次是第 2 次的 2 倍，那么未取出的球的编号是几？第 3 次最多取出几个球？28每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数假定一开始所写的数为 458那么，可怎样经过几次所述的变化来得到 14？29把 100 这个数分成四个整数的和，使第一个数加上 4，第二个数减去 4，第三个数乘 4，第四个数除以4，所得的和、差、积、商都相等，这四个数分别是多少？30有 10 个连续的两位数，按从小到大的顺序从左到右排成一行，其中每一个两位数的两个数字的和都能被它所排的序号整除（即序号n能整除第n个两位数的数字和）那么这 10 个两位数中，最大的两位数的两个数字的和是多少？参考答案参考答案 一选

17、择题（共一选择题（共 8 8 小题）小题）1【答案】C【分析】根据题意，个位是 4 的数有 10 个，十位是 4 的有 10 个，然后把个数相加即可。【解答】解：102020+=（个)答：从 1 写到 100，一共写了 20 个 4。故选：C。【点评】本题主要考查数字问题，关键注意 4 在哪个数位上，并且分别知道 4 在个位和十位的个数。2【答案】A【分析】按照题目给的条件把数字列出来找规律即可。混周期问题：（总周期长混周期数）周期长度=周期个数余数，余几就从一个完整周期开始数几个。【解答】解：当第一位数字为 3 时，326=，6212=，224=，428=，8216=，622=，得到的数应为

18、362486248观察可知除掉 3 之外，每 4 个数为一个周期。每一个周期为 6248。每个周期和：624820+=，这个多位数前 100 位：100199=（个)，99424=（个)3（个)，所以这个 100 位数，共有 24 个完整周期，最后三位数为 624。这个多位数前 100 位的所有数字之和：32024624+3480624=+495=故选：A。【点评】此题考查混周期问题，及周期的求和。需找出数字的规律才是解题的关键。3【答案】D【分析】是 2 的倍数，说明密码的个位数是偶数，是 3 的倍数，说明密码各个数位上的数字之和是 3 的倍数，据此即可解答。【解答】解：A2230，个位上是

19、偶数，22307+=，7 不是 3 的倍数，不符合要求。B2234，个位上是偶数，223411+=，11 不是 3 的倍数，不符合要求。C2236，个位上是偶数，223613+=，13 不是 3 的倍数，不符合要求。D2238，个位上是偶数，223815+=，15 是 3 的倍数，符合要求。故选：D。【点评】本题主要考查学生对 2、3 倍数特征的掌握和灵活运用。4【分析】起点（为第一站）上车的人数，将在中间 8 个站和最后一站（共 9 个站）下完，故开始有 9 人，据题意可知：到第二站时有 8 人上车，1 人下车，到第三站时有 7 人上车，2 人下车，在第五站达到最大，此时的人数为：(9876

20、5)(01234)25+=人，从第六站开始，人数递减，所以了使每位乘客都有座位，那么这辆车至少需要 25 个座位【解答】解：据题意可知，到第五站时，人数达到最多，此时车上有：(98765)(01234)25+=（人)；故选：C【点评】通过分析题意得出每一站上车人数与下车人数的规律是完成本题的关键 5【答案】A【分析】根据“完美数”的定义，可将下列选项中的数写出符合要求的因数，进行计算，即可得出答案。【解答】解：.28A的因数有：1、2、4、7、14、28，所以12471428+=，符合要求；.15B的因数有：1、3、5、15，所以1359+=，不符合要求；.12C的因数有：1、2、3、4、6、

21、12，所以1234616+=，不符合要求；因此只有A项符合题意 故选：A。【点评】此题主要考查的是如何寻找一个数的因数的方法的灵活应用 6【答案】B【分析】根据题意，这个两位数的个位上是 0，十位上可以是1 9中的任何一个数字。【解答】解：100 以内个位上是 0 的两位数有：10、20、30、40、50、60、70、80、90；一共有 9 个。故选：B。【点评】解答本题关键是结合数位知识，确定十位上的数字。7【分析】最多可以报 4 个，最少报 1 个，用 2014 除以 5 等于 402 次余下 4 个，开始报 4 个数即 1、2、3、4，还剩 2010 个数，每次根据第二个人报的数量，凑成

22、 5 个数，保证剩下的数是 5 个的倍数即可抢到2014，据此选择即可【解答】解：最多可以报 4 个，最少报 1 个，20145402=（次)4（个)，开始报 4 个数即 1、2、3、4，还剩 2010 个数，每次根据第二个人报的数量，凑成 5 个数，保证剩下的数是 5 个的倍数即可抢到 2014，所以第一个人第一次应该报 1、2、3、4 才可能稳抢到 2014 故选：D【点评】用 2014 除以 5 等于 402 次余下 4 个，得出开始报 4 个数即 1、2、3、4 是解题关键 8【答案】C【分析】由于用这个三位数减去它的反序数得到的差不为 0，而且是 4 的倍数，不妨设这个三位数是abc

23、，则它的反序数为cba于是有4abccba=的倍数，即10010(10010)4abccba+=的倍数，整理得99()4ac=的倍数，即可知ac是 4 的倍数即可，但是不能使这两个三位数的差为 0，所以分别有 5，1；6，2；7，3；8，4；9，5；9，1 六组每组中分别有 10 个，那么共有 60 个【解答】解：设这个三位数是abc，则它的反序数为cba，可得：10010(10010)abccba+9999ac=99()ac=因为ac，且99()ac是 4 的倍数 所以这样的三位数有91，95、84、73、62、51共 6 组，中间的b的取值范围为：0 9，所以每组分别有 10 个这样的数，

24、所以这样的三位数有 60 个 故选：C。【点评】由题意列出等式进行推理得出数的取值范围是完成本题的关键 二填空题（共二填空题（共 8 8 小题）小题）9【答案】12471428+=。【分析】按完全数的方法，写出完全数的因数，然后把这些因数除了其本身的数相加即可。【解答】解：28 的因数有 1，2，4，7，14，28；这几个因数之间的关系是：12471428+=。【点评】根据完全数的特征，进行解答即可。10【分析】由于相对的两个面数字之和为 7，所以与 1 相对的是 6，与 2 相对的是 5，与 3 相对的是 4；每同向翻动4次，正方体状态不变，此时正方体1向上，2正面，3右面，将正方体先向后翻

25、15次后，15433=，即此时正方体上面的数字应是 2 的对面 5，正面是 1，右面是 3，再向右翻 30 次，30472=，此时正方体上面的数字应是 5 的对面 2【解答】解：由于同向翻动 4 次，正方体状态不变，此时正方体 1 向上，2 正面，3 右面，将正方体先向后翻 15 次后，15433=，即此时正方体上面的数字应是 2 的对面 5，正面是 1，右面是 3；再向右翻 30 次，30472=，此时正方体上面的数字应是 5 的对面 2 故答案为：2【点评】此题实际操作一下更容易理解 11【答案】99002。【分析】在 18 个数字中划去 13 个数字，还剩 5 个数字组成五位数，要使这个

26、五位数最大，应当用最大的数去占最高位（万位），18 个数字中最大的 9 放在万位上，万位确定后，千位在剩下的数中选最大的是 9，而题目中要求剩下的 5 个数字的先后顺序不改变，所以，百位、十位、个位上的数字只能是最后三个数字0，0，2，据此解答。【解答】解：根据题意与分析：划去左数 9 个数字和 8、7、8、1，剩下的数组成的最大五位数是 99002。答：剩下的 5 个数字能组成的最大的数是 99002。故答案为：99002。【点评】用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应当用较大的数占较高的数位。12【分析】根据操作方法先找规律，结果将依次得到：20177、2017749、2017749

27、36、20177493618、201774936188、20177493618864、2017749361886424、20177493618864248、2017749361886424832、20177493618864248326、2017749361886424832612、20177493618864248326122、201774936188642483261224（出现重复的），即 8 个数一循环，然后用 57 除以 8 即可【解答】解：20177、2017749、201774936、20177493618、201774936188、20177493618864、20177493

28、61886424、20177493618864248、2017749361886424832、20177493618864248326、2017749361886424832612、20177493618864248326122、201774936188642483261224（出现重复的），；除了前 6 个，后面 6 个数一循环：24、48、32、26、12、22，(576)683=余数为 3，是每个周期的第 3 个数，即 32；所以，如果对 2017 进行 57 次操作，操作后所得到结果的末两位数字依次组成的两位数是 32 故答案为：32【点评】此题在于考查学生总结规律的能力，关键是找到规

29、律 13【答案】400；103。【分析】把 4 拆分为三个数字的和，然后把这三个数字进行组合列举即可解决问题。【解答】解：440031022021 1=+=+=+=+这样的三位数有：400、310、301、220、211、202、130、121、112、103，共 10 个。最大的是 400，最小 的是 103。故答案为：400；103。【点评】解答本题关键：是把 4 拆分为三个数字的和，然后结合题意分析解答即可。14【分析】因为新数各个数字之和是 3，比原 55 小了很多，说明加 2 时发生了连续进位，每发生一次进位，各位数字之和就少1019=因此，一共发生进位(5523)(101)6+=次

30、，个位至少为 8，十、百、千、万、十万位必须是 9因此讨论验证299999823000000+=符合；199999922000001+=符合；原来的数就是 2999998 或 1999999据此解答即可【解答】解：根据题意，由所得的新的七位数的数字之和为 3，可得这个新的七位数中，每个数位中的数字只含有的是 3、6 个 0 或者是 1、2、5 个 0，或 1、1、1、4 个 0；又因为新数各个数字之和是 3，比原 55 小了很多，说明加 2 时发生了连续进位，每发生一次进位，各位数字之和就少1019=因此，一共发生进位(5523)(101)6+=次，个位至少为 8，十、百、千、万、十万位必须是

31、 9 由分析得出：当只有 3 和 6 个 0 时，只有 3000000，则300000022999998=，259855+=，符合；当只有 1、2 和 5 个 0 时，组成的数中只有 2000001 符合，200000121999999=，196955+=，符合；当只有 1、1、1、4 个 0 组成的数时没有符合条件的数；所以原来的数是 2999998、1999999 故答案为：2999998 或 1999999【点评】解决本题的关键是根据和的减少进行讨论验证 解题的难点是得到个位至少为 8，十、百、千、万、十万位必须是 9 15【答案】40。【分析】用 1，2，3，4 这 4 个数字任意组成

32、一个四位数，则不同的四位数的种数有4444256=（种)，而用 1，2，3，4 这 4 个数字任意写出一个一万位数，从这个一万位数中任意截取相邻的 4 个数字，一共可以截取1000039997=（个)四位数。利用抽屉原理，99972563913=，则至少有39140+=（个)相同的四位数。【解答】解：用 1，2，3，4 这 4 个数字任意组成一个四位数，则不同的四位数的种数有4444256=（种)，用 1，2，3，4 这 4 个数字任意写出一个一万位数，从这个一万位数中任意截取相邻的 4 个数字，一共可以 截取1000039997=（个)四位数。利用抽屉原理，99972563913=，则至少有

33、39140+=（个)相同的四位数。故答案为：40。【点评】结合抽屉原理和计数问题综合考查数字问题。属于难题。遇到难题时，分解为一个一个的小问题解决即可。16【答案】86240。【分析】由三个号码每人有 2 个正确，所以有 6 个正确，但是只有 5 位，必有某位重复；从 84261，26048，49280 只有第 3 位上“2”重复，所以中间一定是 2；小真猜对有两个可能：8 和 2，或者 2 和 1；如果第一位 8 和第三位 2 正确，小汐就是 2 和 0，小潮就是第 2 和第 4 位正确，即 6 和 4；号码是 86240。如果第三位和第五位正确，小汐就是 4 和 2，小潮还是 6 和 4，

34、号码是 46241，其中 4 重复，不符合“它由五个不同的数字组成”，舍去；进而得出正确的结论。【解答】解：因为每人猜对两个数字，三人应该共猜对 6 个数字，而电话号码只有 5 位，所以必有一位数字被两人同时猜对。结合分析可知，猜对的是左起第三位数字 2，因为每人猜对的两个数字不相邻，所以小真、小汐对的另一个数字分别在两端。则小潮猜对的数字是 6 和 4，进一步推知小真猜对 8，小汐猜对 0。所以，电话号码是 86240。故答案为：86240。【点评】此题属于较复杂的数字逻辑推理题，抓住题中给出的条件，进行分析、推理，进而得出所需数据，依次进行分析即可。三解答题（共三解答题（共 1414 小题

35、）小题）17【分析】设这三个数字为A，B，C则则组成的 6 个不同的三位数为ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA根据数位知识，它们相为的和可表示为：1001010010100101001010010100102()20)200()3330ABCACBBCABACCBCAABCABCABC+=+=，解 得：()ABC+为 15然后列举出相加和为 10 的三个数后，即能求得其中最大的三位数是多少【解答】解：设这三个数字为A，B，C 组成的 6 个不同的三位数为ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，则：100101001010010100101001010010ABCACBBCA

36、BACCBCA+2()20)200()ABCABCABC=+3330=；即：()10()100()1665ABCABCABC+=；解得：()15ABC+=则A、B、C所有可能的组合为：1 6 8；1 5 9；2 6 7；2 5 8；2 4 9；3 5 7；3 4 8；4 5 6；其中能组成的最大的三位数为：951【点评】根据已知条件及数位知识列出等量关系式进行分析，得出这三个数的和是多少是完成本题的关键 18【分析】（1）把 1，1，2，2，3，3 排成一行，使得两个 1 之间恰有一个数，则两个 1 之间只能为 2 或 3 其中一个，两个 2 之间恰有两个数，则两个 2 之间可为必为 13，两

37、个 3 之间恰有三个数，则这三个数可由 1或 2 组成根据题意可这样排列：312132（2）把 1，1，2，2，3，3，4，4 排成一行，使得两个 1 之间恰有一个数，两个 2 之间恰有两个数，两个 3之间恰有三个数，两个 4 之间恰有 4 个数，根据规则可得两个符合要求的数列：41312432、23421314（3）题应该用反证法说明，假设可以这样排放，则偶数占据的位置和奇数占据的位置应该都为 5 个，但实际是不可能的，据此推翻假设，从而得证【解答】解：（1）根据规则可得数列：312132（2）根据规则可得数列：41312432、23421314（3）将 10 个位置按奇数位着白色，偶数位着

38、黑色染色，于是黑白点各有 5 个 假设可以排放：因为偶数之间有偶数个位置，所以一个偶数占据一个黑点和一个白点，奇数之间有奇数个位置，一个奇数要么都占黑点，要么都占白点 于是 2 个偶数，占据白点12A=个，黑点12B=个 3 个奇数，占据白点22Aa=个，黑点22Bb=个，其中3ab+=因此，共占白点1222AAAa=+=+个 黑点1222BBBb=+=+个，由于3ab+=（非偶数！)所以ab，从而得AB这与黑、白点各有 5 个矛盾 故这种排法不可能【点评】问题三利用了反证法进行了证明，此题可推广到“两个n之间夹着n个数”的证法 19【分析】先要看船上一共是几种颜色衣服的人，因为是三种，所以需

39、要 3 个数字来计算，再根据三个数相乘和相加得数一样可以确定数字不大，然后试着猜测哪三个数字相加相乘是一样的，1231 236+=，经过简单的尝试就可以得出答案【解答】解：因为1236+=，1 236=，所以1231 236+=，船上有 6 人 答：船上有 6 人【点评】观察题干，从运算特点进行分析，可以确定数字范围，然后经过尝试找到答案 20【分析】分析：由题意我们知道：第一次拿一个、第二次拿二个、第三次拿三个第八次拿八个，1234567836+=，再加上剩下 2 个玻璃球，36238+=个玻璃球，这个布袋里一共装了 38 个玻璃球【解答】解：由求和的公式(1)2nn+，求出 8 次共拿(1

40、8)8236+=（个)，布袋里共装36238+=（个)答：这个布袋里一共装了 38 个玻璃球【点评】解决此题的关键是要知道求和公式：(1)2nn+，采用此公式计算比较简便 21【分析】根据题意可设这个三位数的十位数字是x，则百位数字是(5)x+，个位数字是3x，各数位上的数字和是 15，由此可得等量关系式：5315xxx+=求出x的值后，即能求得这个三位数是多少【解答】解：设这个三位数的十位数字是x，可得方程：5315xxx+=5515x+=，510 x=，2x=则百位数是257+=，个位数字是236=，即这个三位数是：726 答：这个三位数是 726【点评】通过设十位数为x，根据题意列出等量

41、关系式是完成本题的关键 22【分析】因从排头到排尾数，是 1、2、3；1、2、3；报数然后从排尾到排头分别以 1、2、3、4；1、2、3、4；报数，所以两次报到 1 的人数应是 3 和 4 的最小公倍数，即3412=人，中两次报 1又因2001 是 3 的倍数，最后一名报 3，而 2001 不是 4 的倍数，这是再看余数是几，是否报 1据此解答【解答】解：根据以上分析知：2001(34)，2001 12=，166=（个)1（人)因最后 1 人，从排头报的是 1，从排尾开始报的也是 1，所以二次报 1 的人数是 1661167+=（个)答：有 167 位学生在这二次报数中都报 1【点评】本题的关

42、键是理解余下的人中是否有二次报 1 的 23【分析】根据题意可知，几个数是完全不同的 4 个，不妨设这 4 个数字分别是abcd那么从小到大的第 2 个就是dcab，它是 5 的倍数，因此0b=或 5，注意到bcd，所以5b=；从大到小排列的第2 个是abdc，它是不能被 4 整除的偶数；所以c是偶数，5cb，所以a至少是 6，那么d最小是2，所以c就只能是 4而如果2d=，那么abdc的末 2 位是 24，它是 4 的倍数，和条件矛盾因此3d=，从而4347ad=+=+=这 24个四位数中最大的一个显然是abcd，我们求得了7a=，5b=，4c=，3d=所以这 24 个四位数中最大的一个是

43、7543【解答】【解：设这 4 个数字分别是abcd，那么从小到大的第 2 个就是dcab，它是 5 的倍数，因此0b=或 5，注意到bcd，所以5b=；从大到小排列的第 2 个是abdc，它是不能被 4 整除的偶数；所以c是偶数，5cb，所以a至少是 6，那么d最小是 2，所以c就只能是 4而如果2d=，那么abdc的末 2 位是 24，它是 4 的倍数，和条件矛盾 因此3d=，从而4347ad=+=+=这 24 个四位数中最大的一个显然是abcd，我们求得了7a=，5b=，4c=，3d=所以这 24 个四位数中最大的一个是 7543 答：这 24 个四位数中最大的一个是 7543【点评】此

44、题为数字推理题，完成时思路要清晰，找出所给条件中的数字之间逻辑关系认真推理，从而得出结论 24【分析】个位上的数字不能为 0，若个位上数字为 0，千位上的数字是个位上数字的 6 位，也是 0，个位上的数字也不能是大于 1 的数字，如果个位上的数字是 2 或 2 以上的数字，千位上的数字是个位上数字的 6 倍就不是一个数字了，因此，个位上是 1，千位上是6 16=，百位上是615=，十位上是617+=据此写出这个数【解答】解：根据分析，这个四位数的千位上是 6，百位上是 5，十位上是 7，个位上是 1，这个数写作：6571；故答案为：6571【点评】本题是考查整数的写法，关键是确定每位上的数字

45、25【分析】因为这个三位数是由三个连续的自然数组成，因此个位数字与十位数字调换位置后就要减少 9，因此，可设原来的三位数为x，得：93896xx=+，解方程即可【解答】解：设原来的数为x，由题意得：93896xx=+13806xx=53806x=456x=答：原来的三位数为 456【点评】弄明白：由三个连续的自然数组成的三位数，个位数字与十位数字调换位置后减少 9，是解答此题的关键 26【分析】开始写的 2、4、6，记为（偶、偶、偶），按操作无论擦去那个数，都变为两偶，以后每次都得到两偶，不可能得到像(41、43、45)这样三奇的情形【解答】解：最后得到 41、43、45 是三个奇数；对 2、

46、4、6 这样的偶、偶、偶型来说，第一步，擦去一个偶数，只能写上一个偶数，因偶数+偶数=偶数 此时，对偶、偶、偶型的数字来说，无论擦去哪个偶数，写上的仍是偶数，因偶数+偶数=偶数 即 2、4、6 偶、偶、偶型一旦做完第一步后，就陷入偶、偶、偶型中，永远出不来，不可能达到三个奇数；所以原来写的三个整数不能为 2、4、6【点评】做此题要熟知奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数 27【分析】（1）9 个球的编号之和是12345678945+=，设未取出的球的编号是y，第一次取出的编号之和：x，则第二次取出的编号之和：2x，第三次取出的编号之和：4x，7(x+)45=，然后分析得出未取出

47、的球的编号；（2）要使第 3 次最多取出几个球，那么前两次就尽量少，第一只取一个，则编号是 6，第二次取两个编号可能是 4 和 8，或 5 和 7，第三次所取编号就有两种情况：一种是第二次取两个编号是 4 和 8，第三次所取编号是 1、2、5、7 和 9；另一种是第二次取两个编号是 5 和 7，第三次所取编号是 1、2、4、8 和 9，不管 按哪种情况最多取 5 个【解答】解：（1）设未取出的球的编号是y，第一次取出的编号之和：x，则第二次取出的编号之和：2x，第三次取出的编号之和：4x 9 个球的编号之和是：12345678945+=即：745xy+=，分析：当x取 1 到 5 时，球的编号

48、都大于 10，不对，当x取 7 之后的数，即使不加没取出的球的编号，和也大于 45，不对，所以x只能是 6，所以未取出的球的编号是45763=；（2）要使第 3 次最多取出几个球，那么前两次就尽量少，第一只取一个，则编号是 6，第二次取两个编号可能是 4 和 8，或 5 和 7，第三次所取编号最多有 5 个；答：未取出的球的编号是 3，第 3 次最多取出 5 个球【点评】本题考查了学生通过所给数据进行推理和分析的能力 28【分析】此题第一步可以加倍也可以去尾，关键是倒数第二个数可能是 7，也可能是 140 多，灵活处理即可，答案不唯一【解答】解：如下方法：（1）458916 加倍91 去尾18

49、2 加倍364 加倍36 去尾72 加倍144 加倍14 去尾（2）45845 去尾90 加倍180 加倍360 加倍720 加倍72 去尾7 去尾14 加倍【点评】本题主要考查数字问题，找出变化的规律很关键 29【分析】假设后来的四个数相同都是x，则(4)(4)(4)(4)100 xxxx+=据此解方程即可得解【解答】解：假设后来的四个数相同都是x，根据题意得(4)(4)(4)(4)100 xxxx+=241004xxx+=251004x=410025x=16x=416412x=，416420 x+=+=，41644x=，416464x=，答：这四个数分别是 12，20，4，64【点评】本题

50、的关键是假设后来的这四个数相同，再根据本题的等量关系，列方程解答 30【分析】满足题意“其中每一个两位数的两个数字的和都能被它所排的序号整除”的数字有：第一组 10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，数字和分别是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，刚好和它的序号相同，相除是 1；第二组 19、20、21、22、23、24、25、26、27、28，数字和分别是 10、2、3、4、5、6、7、8、9、10，和序号相除是 10 和 1，而其他数字不可以，如 29、38、47、56、65、74、83、92 数字和是11，还有和是 13、17 是质数，只能被 11、13 和