高中数学知识点总结.pdf

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1、高中敢孽知加点总偌1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合 A=x|y=Ig x,B=y|y=l g x,C=（x,y）|y=Ig x,A、B、C 中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A 二k区2 2 x 3=01 B=（x|a x=1）若BuA,则实数a的值构成的集合为（答:-I，0.1）3.注意下列性质：（1）集合a 1，a 2,，a j的所有子集的个数是2、（2）若A=B=AnB=A,AUB=B；（3）德摩根

2、定律：Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AnB）=（CuA）U（CuB）4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式哆速0的解集为M,若3eM且5eM,求实数a x-a的取值范围。a 3 5（V3eM,J 052-a5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”），“且（A）和“非”（）.若p/x q为真，当且仅当p、q均为真若p v q为真,当且仅当p、q至少有一个为真若P为真，当且仅当p为假6,命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7.对映射的概念了解吗？映射f：A-

3、B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对 应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数y=4三旦的定义域是l g（x-3）2-（答：（0,2）U（2,3）U（3,4）10.如何求复合函数的定义域？如：函数f（x）的定义域是a,b,b -a 0,则函数F（x）=f（x）+f（-x）的定 义域是 o（答：a,-a）11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f（Jx+1）=e*+x,求f（x）.令t=Jx+1,贝！J

4、t 2 0.*.x=t2-1.*.f(t)=et 2-1+t2-l/.f(x)=ex-1+x2-1(x 0)12.反函数存在的条件是什么？(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(反解x；互换x、y；注明定义域)1+x(x 0)如：求函数f(x)=,的反函数-x2(x 1)(答：(x)=1)(x 0)13.反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线y=x对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设y=f(x)的定义域为A,值域为C,a eA,b gC,则f(a)=b o(b)=aff(a)=(b)=a,ffb)=f(a)=b14.如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负)如何判断复合函

5、数的单调性？(y=f(u),u=(p(x),贝Uy=f(p(x)(外层)(内层)当内、外层函数单调性相同时f(p(x)为增函数，否则f(p(x)为减函数。)如：求y=l o gbX?+2 x)的单调区间 2(设u=-x?+2 x,由u0则0 x 2且l o g uJ,u=-(x-1)2+1,如图：2当X（0,1时，uT,又l o g il l J,2冏2)1-20 gXIG X 当UU.)15.如何利用导数判断函数的单调性？在区间(a,b)内，若总有x)2 0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，若x)KO呢？如：已知a0,函数f(x)=x，-a x在1,

6、+8)上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0 B.1C.2 D.3则 X -A 或X N g由已知f(x)在1,+8)上为增函数，则)|1，即a 3.a的最大值为3)16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若f(-x)=-f(x)总成立o f(x)为奇函数O函数图象关于原点对称若f(-x)=f(x)总成立o f(x)为偶函数。函数图象关于y轴对称注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则40)=0。如：若外)=22：+2-2

7、为奇函数,则实数a=2X+1-(f(x)为奇函数,xgR,又OeR,Af(0)=0即-=0,.a=1)2 +12X又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当x e(0,1)时，f(x)=r4、+1求f(x)在(-1,1)上的解析式。2-x(令x e(-l,0),则一x e(0,1),f(-x)=-又f(x)为奇函数，.f(x)=2 T 2X4-X+1-1+4X2X x e(-h 0)4X 1 x _ 0又f(0)=0,f(x)=)2X 屋17.你熟悉周期函数的定义吗？(若存在实数T(TwO),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数，T是一个周期。)如：若f(x+a)=

8、_f(x),则(答：f(x)是周期函数，T=2 a为f(x)的一个周期)又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b()即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期如：18.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称f(x)与f-(x)的图象关于直线y=x对称f(x)与f(2 a-x)的图象关于 直线x=a对称f(x)与-f(2 a-x)的图象关于 点(a,0)对称将y=f(x)图象左移a(a 0)个单位 y=f(x+a)右移a(a 0)

9、个单位 y=f(x-a)上移b(b0)个单位 y=f(x+a)+b 下移 b(b0)个单位 y=f(x+a)-b注意如下“翻折”变换：f(x)|f(x)|f(x)f(|x|)如：f(x)=l o g2(x+1)作出 y=|l o g 2(x+1)|及 y=l o g 2 1x+的图象I II!一 月Og2 X!JZ：19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k 0)、O(a”x=a(1)一次函数：y=k x+b(k wO)k k(2)反比例函数：y=(k wO)推广为y=b+匕X x-的双曲线。(3)二次函数y=a x2+bx+c(a w 0)=a x+X(k wO)是中心O，(a,b)+处

10、二日图象为抛物线 4a顶点坐标为卜A4a c-b2 4a，对称轴x=b2 a开口方向：a 0,向上，函数ymin=4aa 0,向下，Yma x4a c-b2二 4a应用：“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一一二次方程a x2+bx+c=0,A0时，两根X2为二次函数y=a x2+bx+c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式a x?+bx+c0(0如：二次方程a x?+bx+c=0的两根都大于k=k2 af(k)0一根大于k,一根小于k o f(k)0,a wl)(5)对数函数y=l o g a x(a 0,a wl)由图象记性质!(注意底数的限定！)利用它的单调性求最值与利

11、用均值不等式求最值的区别是什么？20.你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：a=l(a w0),a r=；(a w0)am _ m a11=(a 0),a n=(a 0)nam对数运算：l o g a M N=l o g a M+l o g a N(M 0,N 0)l o ga.l o gaM-l o gaN,l o gaVKi41o gaM对数恒等式：al ogx=x对数换底公式：l o ga b=g c=l o g m bn=l o ga b l o gc a a m2 1.如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)如：(1)x gR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(

12、x)为奇函数。(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,.)(2)x gR,f(x)满足f(x y)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。(先令x=y=-t=f-t)(-t)=f(t t).f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t).f(t)=f(t).)(3)证明单调性：f(X2)=可区-x j+X2=.2 2.掌握求函数值域的常用方法了吗？(二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数 单调性法，导数法等。)如求下列函数的最值：(1)y=2 x-3+V13-4x2 x2(3)x 3,y=x-3(4)y=x+4+J9-x 2(设x=3c o s。,0 e0,

13、矶9(5)y=4x+,x e(0,1x2 3.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式和扇形面积公式 吗？(/=|a|.R,5扇=:/11=3同12)2 4.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义s in a=MP,c o s a=OM,t a n a=AT如：0 0V2s in x ，如图:22 k 兀 一 2 k 兀+；(k eZ),0 y Jl+叵2 5.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点,对称轴吗？|s in x|1,|c o s x|-X H-，.兀 5死 X H.-,6 4/.3 71(兀 x ,266 3.x兀)122 8

14、.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数y=s inx+s in|x|的值域是(x 2 0时，y=2 s in x g-2,2,x y=2 s m 2x j-1(n 左平移4个单位 卜平色I小跑待=2 s inx-J-1-y=2 s in x-1 上干私 单位 y=2 s in x纵坐标缩短到原来的1倍-y=s inx)30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1=s in2 a+c o s2 a=s ec2 a-t a n2 a=t a na,c o t a=c o s a,s ec a=t a n 4=s in =c o s O=.称为1的代换。2

15、”k-4a 化为a的三角函数一一“奇变，偶不变，符号看象限”，2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。,9兀 如：c o s+t a n|771+s in(2 1 兀)=又如：函数y=sma+tana,则丫的值为 c o s a+c o t a-A.正值或负值 B.负值 C.非负值 D.正值s in as in a+s in2 a(c o s a+1)、(y=-cos ol=一7-Uo,Ta wO)c o s a c o s a s in a+1 c o s a+-s in a31.熟练掌握两角和、差、倍、降嘉公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：s in(a p)=s in a c o s p

16、c o s a s in p-aP-s in 2 a=2 s in a c o s ac o s(a p)=c .n 令 a=B c?2c o s a c o s p+s in a s in p-c o s 2 a=c o s a-s in at a n(a p)=t a n a t a n 01+t a n ot,t a n 02 c o s2 a-1=1-2 s in2 a n 2 t a n at a n 2 o t=-1-t a n a2 1+c o s 2 ac o s a=-2.2 1-c o s 2 as in-a=-2a s in a+b c o s a=7a2+b2 s in

17、(a+(p),t a n t p=as ina+c o s a=V2 s ina+s in a+百 c o s a=2 s in(a+应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中 不含三角函数，能求值，尽可能求值。)具体方法：(1)角的变换：如p=(a+p)a,；P=(a g)8 p.(2)名的变换：化弦或化切(3)次数的变换：升、降募公式(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知=,t a n(a-P)=,求 t a n(0-2 a)的值。(由已知得:s ma c o s a _2s in2 ac o s a 2 s in at a na22 又 t

18、 a n(p-a)=t a n(p-2 a)=t a n(P-a)-a=t a n(p-a)-t a na1+t a n(p-a),t a na 2 13 2=1、,2 1 8)1+,3 232.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形?h2+c2-a2余弦定理：a2=b2+c2-2 bc c o s A=c o s A=-2 bc(应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。)a=2 Rs in A 正弦定理：一一=-=-=2 R=|b=2 Rs inB s in A s in B s inCc=2 Rs inCSA=a,bs inC 2VA+B+C=7i,AA

19、+B=tt-Cs in(A+B)=s in C,s inC=c o s 2A+B如AABC中，2 s in2-+c o s 2 c=12（1）求角C；c(2)a2=b2+一，求c o s 2 A-c o s 2 B的值。2(1)由已知式得：1 cos(A+B)+2cos2 C1=1又A+B=7i C，.e.2 c o s2C+c o s C-l=0，c o s C=L或c o s C=-l(舍)2又0 C b,c 0 n a c b,cdna+cb+d(3)a b 0,cd0 na cbd(4)a b0=-,a b-a b a b(5)a b0=anbn,Va Vb(6)|x|0)-a x a

20、,|x a x-a或xa如：若!，(),则下列结论不正确的是()a bA.a2 b2 B.a b|a+b|D.-+-2b a答案：C35.利用均值不等式：a2+b2 2 a b(a,b eR+)；a+b 2VS；a b a b+be+c a（a,b gR）当且仅当a=b=c时取等号。a b 0,m 0,n 0,则b b+m-a a+m,a+n a 1-2 V2x+2 y=2a/F,.最、值为20）36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明1+二+二+二 222 32 n2,111=1+1+-+2 2 3=2-2）n1+-n-1

21、137.解分式不等式式a(a w 0)的一般步骤是什么?g(x)(移项通分，分子分母因式分解，X的系数变为1,穿轴法解得结果。)38.用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始1是偶重根如：(x+l)(x-l)2(x-2)3 039.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分a1或0 a 1讨论40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)例如：解不等式|x-3|-|x+1|1(解集为kl x,41.会用不等式|a|-|b区|a b|a+闻证明较简单的不等问题如：设f(x)=x 2-x+13,实数a满足|

22、x-a|l求证：|f(x)-f(a)|2(|a|+l)证明：|f(x)f(a)|=|(x 2x+13)(a 2 a+13)|=|(x-a)(x+a-1)|(.l x-a|1)=|x-a|x+a-l|x+a-1|x|+|a|+lX|x|-|a|x-a|1,/.|x|a|+l.,.|f(x)-f(a)|2|a|+2=2(|a|+l)(按不等号方向放缩)42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“”问题)如：a a f(x)恒成立o af(x)的最大值a f(x)能成立 a f(x)的最小值例如：对于一切实数x,若|x-3|+|x+2 a恒成立，则a的取值范围是(设u=|x

23、-3|+|x+2,它表示数轴上到两定点-2和3距离之和Umm=3 (-2)=5,5 a,即a 5或者：|x-3|+|x+2|*x-3)-(x+2)|=5,.a =且包；（5）a j为等差数列OS。=a r+bn（a,b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）S”的最值可求二次函数Sn=a n2+bn的最值；或者求出a j中的正、负分界 项，即：当10,d0,解不等式组簿0可得s达到最大值时的口值。bn+1oa 0当叫0,由n-可得Sn达到最小值时的n值。l an+10如：等差数列a,Sn=18,an+an_,+an_2=3,S3=L 贝Un=3=a+-1 n a+n a 由 ra3n3-a+

24、2 aI -2 a 3=31-3-2 a又s3a=包+a j n=E+a z)n 二Q+l)11n=2 7）44.等比数列的定义与性质定义：=q（q为常数，qO）,an=anx an等比中项：x、G、y成等比数列=G?=x y,或G=&7叫(q=l)前n项和：Sn=h1(l-q11)、i-q(qwi)（要注意！）性质：是等比数列（1）若m+n=p+q,贝g m =Hp a q（2）Sn,S2 n-Sn,S3n-S2 n仍为等比数列45.由Sn求a”时应注意什么？（n=l时，a=S,n2 2时，an=Sn-Sn_,）46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法如：a j满足+

25、最a?+.+Tan=2 n+5 解：n=l时，a.=2 x l+5.*.a.=14 2nN2 时，-3+ra2+.+Tan-i=2 n-1+5 得：a=22n凡=2田.14（n=l）a=2）练习数列a j满足$+$0+1=-an+1,a 1=4,求a(注意到a n+=Sn+i-Sn代入得:又S1=4,Sn是等比数列,s.=4n2 Ht,an=Sn-Sn_.(2)叠乘法例如：数列a j中，a 1=3,a.n+12 n 1 e an 1-,3 n nat,3.2 a?a n 1解：二2.口-=一ai a2 an-l 2.3=3，*a n n(3)等差型递推公式由a n-a n_i=f(n),at=

26、a0,求用迭加法n 2时,a2-d=f(2)a3 一 a2f)!两边相加,得:a 0-a e=f(n)an-a i=f(2)+f(3)+f(n)凡=a +f(2)+f(3)+f(n)练习数列a J,a】=l,an=3n_1+an_j(n 2),求 a。(an=1(3n-l)(4)等比型递推公式an=c an_j+d(c d为常数，c wO,c wl,d w 0)可转化为等比数列，设a n+x=c(a z+x)=an=c an_t+(c-l)x令(c-l)x=d,x=c-1是首项为a i+工，c为公比的等比数列 c-1d练习数列a满足=9,3an+1+an=4,求(an=8(-?+1)(5)倒数

27、法例如：a 1=1,a.1=用二，求a。a n+2由已知得：=-+n+l n 2 j_L_1 31 an 2.,，为等差数列，-=1,公差为工a。J a,2=1+(n 1)一=一(n+1)a.2 2 47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的 项。n 1如：a j是公差为d的等差数列，求k=l akak+l5 小 1 1 1(1 1 小解；由-二7-TT=7-d W 0a,a i.a,a,+d d a.a.,7k k+1 k k J/k k+1z练习求和:+1+2 1+2+31H-1+2+3+n凡=,2一.)(2)错位相减

28、法：若a j为等差数列，bj为等比数列，求数列a/J(差比数列)前n项和，可由Sn-qSn求Sn，其中q为b 0的公比。如：Sn=l+2 x+3x2+4x3+.+nxn-1 x-Sn=x+2 x2+3x3+4x4+.+(n-l)xn-1+nx11 -：(1-x)Sn=1+x+x2+.+xn-1-nx11,n(n+1)x=l时，Sn=1+2+3+.+n=-L11 2(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。S 3.1+3.-)+3,i+an 1 2 n1 n1相力口Sn=an+an_!+.+a2+a,J2 Sn+an)+(a2+an_j)+.+(at+an)练习已知f(x)

29、=三,则f(l)+f(2)+fg)+f(3)+f(4)+=-F-=-F-1+x2(1V 1+x2 1+x21+lxJ=1原式=f(l)+f(2)+f(；)+f+f(g+f(4)+f(+l+l+l=3!)2 248.你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利和为：Sn=p(l+r)+p(l+2 r)+.+p(l+nr)=p n+=。.等差问题若按复利，如贷款问题一一按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款一一分期等 额归还本息的借款种类)若贷款(向银行借款)P元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下

30、去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利)，那么每期应 还x元，满足p(l+r)n=x(l+r)n+x(l+.+x(l+r)+x-l-(l+r)n-|(l+r)n-l=x 1-V=x -p-贷款数，r-利率，n-还款期数49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。(1)分类计数原理：N=niI+m2+(nij为各类办法中的方法数)+m分步计数原理：N=m,*1112m(mi为各步骤中的方法数)(2)排列：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An IA：=n(n-l)(n-2

31、).(n-m+1)=-(m n)(n ml!规定：0!=l(3)组合：从n个不同元素中任取m(mWn)个元素并组成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C：.Cm=A=n(n-m+l)=n!11 A：m!m!(n-m)!规定：C：=1(4)组合数性质：c：=cC：+Cy,c：+c：+c：=2 n50.解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至 少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩Xj 89,90,91,92,93,(i=l,2,3,4

32、)且满足 x 2 X3 ，则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()A.24 B.15 C.12 D.10解析：可分成两类：(1)中间两个分数不相等，口 口口 口X x2 x3 x4有C；=5(种)(2)中间两个分数相等Xj x2=x3 n-2b2+Cn-rbr+C；bn二项展开式的通项公式：Tr+1=Can-rbr(r=0,1n)C；为二项式系数(区别于该项的系数)性质：(1)对称性：C：=c7卜=0,1,2,nj(2)系数和：*+；=2nC：+C：+C：+-C+C：+-2 nT(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第(+1)项，二项式系数为C?；n为奇数时，(n+

33、1)为偶数，中间两项的二项式1 I 1 n-l n+1系数最大即第项及第匕+1项，其二项式系数为c F=c?2 2如：在二项式(x-l)”的展开式中，系数最小的项系数为(用数字 表示)(.*n=111?共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第二=6或第7项2由C；1X】j(-l)r,.取r=5即第6项系数为负值为最小:y=-C；i=-42 6又如：(l-2 x)2 0 0 4=a0+a iX+a2x2+.+a2 0 0 4x2 0 0 4(x gR),则(a0+a j+(a0+a2)+(a0+a3)+.+(a0+a2 0 0 4)=(用数字作答)(令x=0,得：a0=1令X 1，：a 0+

34、s.2+.+a2004=1原式=2 OO3ao+(a 0+a+.+a2 0 0 4j=2003 x 1+1=2004)52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？(1)必然事件Q,P(Q)=L不可能事件相P(|)=0(2)包含关系：AuB,“A发生必导致B发生”称B包含A。(3)事件的和(并)：“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和(并)。(4)事件的积(交)：A-B或AC|B“A与B同时发生”叫做A与B的积。AB(5)互斥事件(互不相容事件)：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。A B=0(6)对立事件(互逆事件)：“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件，Aa!Ja=。，ana=()(7)独立事

35、件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独 立事件。A与B独立，A与百，乐与B,瓦与否也相互独立。53.对某一事件概率的求法：分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即=A包含的等可能结果=m(次试验的等可能结果的总数一至(2)若A、B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)(3)若A、B相互独立，则P(A-B)=P(A)-P(B)(4)P(A)=1-P(A)（5）如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率：Pn（k）=Cj pk（l-p）n-k如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2

36、件都是次品；卜=*意（2）从中任取5件恰有2件次品；值号书（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），.n=10 3而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”=426,+43.C?42 6+43 44（4）从中依次取5件恰有2件次品。解析：一件一件抽取（有顺序）n=A；o，m=C；A；A：.p 二 C；A；A：二 10.4 A；o 21分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，

37、它的主要特征是均 衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总 体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性 和平等性。55.对总体分布的估计一一用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和 方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（1）算数据极差（Xg-XmJ；(2)决定组距和组数；(3)决定分点；(4)列频率分布表；(5)画频率直方图。其中，频率=小长方形的面积=组距X 赞组距样本平均值：X=-(X1+X2+.+Xn)样本方差：S2=-(x j-X)2+(x2-X)2+.+(xn-X)2如：从10名女生

38、与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则 组成此参赛队的概率为。c4 C2(Jo-5)C656.你对向量的有关概念清楚吗？(1)向量-既有大小又有方向的量。(2)向量的模-有向线段的长度，(3)单位向量|a o|=l,a o=|a|)(4)零向量 0,|0|二0(5)相等的向量 b a(b w 0)o存在唯一实数入，使b=入a(7)向量的加、减法如图:0 A+OB=0 COA-0 B 二 BA(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)-_ _e.,e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一实数对九1、九2，使得a=%ei+九2 e2,ei e2叫做表示这一平面

39、内所有向量的一组基底。(9)向量的坐标表示 i,j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数X,y,使得a=x i+y j,称(x,y)为向量a的坐标，记作：a=(x,y),即为向量的坐标表示。设a=E，y j,b=(x2,y2)则a b=(X,y1)(y1,y2)=(x1yr X2y2)若A(x j y j,B(x2,y2)则AB=(X2X 丫2-)|AB|=(x2-x j2+(y2-y j2,A、B两点间距离公式57.平面向量的数量积-A (1)a,b=|a|b|c o s。叫做向量a与b的数量积(或内积)。0为向量a与b的夹角，9 eo,ttA数量积的几何意义：-a b等于|a|与b在

40、a的方向上的射影|b|c o s 9的乘积。(2)数量积的运算法则a b=b a-(a+b)c=a,c+b ca I=(X1，Y1),(x2 y2)=X1X2+Y1Y2-4-注意：数量积不满足结合律(a b)c w a (b,c)(3)重要性质：设 a=(x j y j,b=(x2,y2)-f -a b a,b=0 X),x2+y,y2=0(2)a#b a b=|a|,|b|或 a,b=-|a|,|b|-a=Z b(bwO,九惟一确定)=乂42-乂2丫1=02-a=|a|2=x j+y,|a b|f|a+b+c|=答案：2 72(2)若向量a=(x,1),b=(4,x j,当*二 时a与b共线

41、且方向相同答案：2(3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+3b|=答案：V1358.线段的定比分点设Pj x j y j,P2(x2,y2),分点P(x,y),设PP2是直线/上两点，P点在/上且不同于Pi、P2,若存在一实数九，使*=九属，则九叫做P分有向线段PR所成的比(九，P在线段PF2内，九 a a面面垂直:aa _L面a,a u 面p=p_La面 a _L 面 p,a A P=/a ua,a _L/=a _L pa _L面a,b_L面a=ab面a，a,ffipa a/p60.三类角的定义及求法(2)直线与平面所成的角。，0。W。906=0 时，b/a b cz a（

42、3）二面角：二面角a-/-。的平面角0,0 0 4（反之不一定成立）AA,+BB)=0。彳_1_4k i k 2=-1=:k66.怎样判断直线/与圆C的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？联立方程组n关于x（或y）的一元二次方程n0=相交；=（）=相切；2 c=旧F?|第一定义（双曲线 o|PF,|-|PF2|=2 a,2 a 2 c=|F1F2|抛物线 o|PF|=|PK|第二定义:M=|PK|a0 el o椭圆；el o双曲线；e=l 抛物线y+A=l(ab a2 b2 11r一营=l(aO,b(c2=a2

43、+b2)2 2 2 269.与双曲线-=1有相同焦点的双曲线系为三-三=九(九，丹 a b a b70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为 零？()的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在()下进行。)弦长公式RP2 I=(1+k2)(Xj+x2)2-4Xj X2=e，|PF2 Hx。？卜 ex。a|PFi|=ex 0+ay2=2 px(p 0)通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。如：椭圆mx?+ny?=1与直线y=1-x交于M、N两点，原点与MN中点连线的斜率为勺则之的值为-

44、答案:卜二73.如何求解“对称”问题？(1)证明曲线C：F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称，设A(x,y)为曲 线C上任意一点，设A，(M,y)为A关于点M的对称点。(由a=x+x,b=丫+丫 n x=2 a _ x,y=2 b-y)2 2只要证明A(2 a-x,2 b-y)也在曲线C上,即f(x，)=y，(2)点A、A，关于直线/对称AAl/AA，中点在/上AA,彩二-1AA，中点坐标满足/方程y r CCS A74.圆x 2+y 2=产的参数方程为1.（。为参数）y=r s m 0y 2 2 Cx=a CCS。椭圆卜卜1的参数方程为：bsme(。为参数)75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。(直接法、定义法、转移法、参数法)76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直 线，求出目标函数的最值。