重庆市渝北中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题数学含答案.pdf

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1、渝北中学 2023-2024 学年高三 12 月月考质量监测数学试题（全卷共四大题 22 小题，总分 150 分，考试时长 120 分钟）注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2、1 集合223Ax yxx，集合exBy y，则AB（）A0,1 B0,3 C1,D3,2 已知向量,a b 满足3,2,22 13abab，则a与b的夹角为（）A3 B23 C34 D563.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过 8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4km的正方形纸，最多对折了 13 次.记第一次对折后的纸张厚度为1a，第 2次对折后的纸张厚度为2a，以此类推，设纸张未折之前的厚度为a毫米，则13a（）A124 a B134 a C122 a D132 a 4.若正四棱台的上、下底面的面积分别为 2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为

3、2，则该正四棱台的体积为（）A203 B28 C283 D1435 已知cos224sin4，则sin2（）A34 B34 C1516 D15166.已知函数 e1e1xxf x，若对任意的正数a、b，满足 220f afb，则21ab的最小值为（）A6 B8 C4 D27 M 点是圆22:21Cxy上任意一点，AB为圆221:23Cxy的弦，且2 2AB，N 为AB的中点.则MN的最小值为（）A1 B2 C3 D48 设函数 elnxf xaxmaxx（其中 e为自然对数的底数），若存在实数 a 使得 0f x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A21,e B1,e C2e,D21,e二、

4、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9.已知函数 sin 216f xx，则下列说法正确的是（）A f x的图象关于直线3x 对称B f x的图象关于点5,012对称C f x在,6 6上最小值为2D 将函数 f x图象上所有点横坐标伸长为原来的 2倍，再把得到的图象向左平移6个单位长度，可得到函数 sin13g xx的图象10.已知椭

5、圆222:12xyCm的焦点分别为10,2F，20,2F，设直线 l 与椭圆 C 交于M，N 两点，且点11,22P为线段MN的中点，则下列说法正确的是（）A26m B椭圆 C 的离心率为33C直线 l 的方程为320 xy D2F MN的周长为4 211在正方体1111ABCDA B C D中，E是侧面11ADD A上一动点，下列结论正确的是（）A三棱锥1BBCE的体积为定值B若1AE1BC，则1A E平面11ABCC若11ADB E，则1AB与平面1BCE所成角为6D若1B E平面1BDC，则1B E与AB所成角的正弦最小值为3312.已知定义在 R 上的函数 f x和 g x，gx是 g

6、 x的导函数且定义域为 R.若 g x为偶函数，50f xgx，450f xgx，则下列选项正确的是（）A41g B 45fC 1310ff D 2210gf 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知双曲线222210,0 xyabab的两条渐近线方程为33yx，若焦点到渐近线的距离为 1，则双曲线的方程为 _14各项均为正数的等比数列 na的前 n 项和为nS，且1233,4aaa成等差数列，若11a，则4S _15在三棱锥ABCD中，60ABDABC，2BCBD，4AB，则三棱锥ABCD外接球的表面积为 16.在直角ABC

7、中，,3,1ABAC ACAB，平面ABC内动点 P 满足1CP，则AP BP 的最小值为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）在数列 na中，11a，110nnnnaa.（1）求证：11nna为等差数列；（2）求 na的前 n 项和nS.18.（12 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3sincosabCC（1）求 B；（2）已知2 3BC，D 为边AB上的一点，若1BD，2ACD，求AC的长19.（12 分）从今年起，我国将于

8、每年 5 月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为 2023 年 5 月 22 日至 28 日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试 A，B，C 三个项目，三个测试项目相互不受影响.（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从,A B C三个项目中选一项测试，且他测试,A B C三个项目“通过”的概率分别为3 1 1,5 2 2.求他第一项测试“通过”的概率；（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三

9、项都没有通过不获奖.已知居民乙选择ABC的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为a，第三项通过的概率为b.若他获得一等奖的概率为18，求他获得二等奖的概率P的最小值.20.（12分）如图，在四棱台1 1 11ABCD ABCD中，底面ABCD是正方形，13B BD，11BBABBC，1122ABAB，12 2BB（1）求证：直线AC 平面1BDB；（2）求二面角1ABCD的余弦值21.（12分）与双曲线221xy有共同的焦点的椭圆2222:10 xyCabab经过点61,3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点0,2N的直线l交椭圆C于 A、B 两点，交 x 轴于点P，点 A 关于 x 轴的对称点

10、为D，直线BD交 x 轴于点Q.求OPOQ的取值范围.22.（12分）已知 11xxfxex，1g xa x.（1）求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）当0a 时，若关于 x 的方程 0f xg x存在两个正实数根1212,x xxx，渝北中学2023-2024学年高三12月月考渝北中学2023-2024学年高三12月月考 质量检测数学答题卡质量检测数学答题卡考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：注意事项注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。2选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。3非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。4请勿折叠，

11、保持卡面清洁。贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂正确填涂缺考标记缺考标记一、单选题（本题共一、单选题（本题共8 8小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共4040分）分）1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D二、多选题（二、多选题（全部选对的得全部选对的得5 5分，部分选对的得分，部分选对的得2 2分，有选错的得分，有选错的得0 0分分）9A B C D10A B C D11A B C D12A B C D三、填空题（本题共三、填空题（本题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共

12、2020分）分）13.14.15.16.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共6 6小题，共小题，共7070分）分）17.(10分)第1页 共6页18.（12分）第2页 共6页19.（12分）第3页 共6页#QQABIYCUogCIQABAARgCUQWaCgGQkBCAAAoGxAAIMAAAQBFABAA=#20.（12分）第4页 共6页21.（12分）第5页 共6页22.（12分第6页 共6页#QQABIYCUogCIQABAARgCUQWaCgGQkBCAAAoGxAAIMAAAQBFABAA=#渝北中学高三 12 月月考考试命题说明渝北中学高三 12 月月考考试命题说明高 2024

13、 届 数学学科 命题人：薛梅、倪志新 审题人 祁峨琳 高 2024 届 数学学科 命题人：薛梅、倪志新 审题人 祁峨琳 题号题型考查内容（考点）试题具体说明能力考查目标学科素养分值设计难度是否原创1单选题集合集合的并集理解数学运算50.852单选题向量向量的夹角公式识记、应用数学运算50.83单选题数列等比数列分析与综合逻辑推理50.754单选题棱台棱台体积公式理解、应用数学运算50.655单选题三角恒等变换二倍角、和差角公式理解、应用数学运算50.66单选题函数和不等式函数性质和均值不等式分析与综合逻辑推理50.557单选题直线和圆弦中点和最值问题分析与综合数学抽象50.58单选题函数与不等

14、式导数的应用创造性应用数学抽象50.29多选题三角函数图象图像性质理解、应用数学运算50.7510多选题椭圆椭圆定义和性质分析与综合数学运算50.6511多选题立体几何立几综合应用分析与综合数学抽象50.412多选题函数与导数函数的性质创造性应用数学抽象50.213填空题双曲线方程渐近线性质理解、应用数学运算50.814填空题数列数列通项和求和公式理解、应用数学运算50.6515填空题球外接球的表面积分析与综合数学抽象50.5516填空题向量与不等式向量的应用创造性应用数学抽象50.217解答题数列数列的证明及求和理解、应用数学运算100.618解答题解三角形正余弦定理理解、应用数学运算120

15、.6519解答题概率统计全概率公式分析与综合数学运算120.4520解答题立体几何线面垂直和二面角理解、应用数学抽象120.5521解答题解析几何椭圆方程及应用分析与综合数学运算120.422解答题导数综合切线方程及综合应用分析与综合数学运算数学抽象120.2全卷难度合计0.54原创题解析：渝北中学 2023-2024 学年高三 12 月月考质量监测数学 参考答案数学 参考答案 一、单项选择题单项选择题 题号12345678答案CBDCDCBA8.解：函数 f x的定义域为(0,)，由 0f x，得(e)ln0 xaxmaxx，所以)eln()(0 xmxaaxx，令lne(),()xxmg

16、xh xxx，由题意知，函数 yg x和函数 yh x的图象，一个在直线ya上方，一个在直ya下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由ln()(0)xg xxx，得21 ln()xg xx，所以当0,ex时，0,gxg x递增，当(e,)x时，0,gxg x递减，所以 maxlne1(e)eeg xg，g x没有最小值，由e()(0)xmh xxx，得22eee(1)()xxxmxmmxh xxx，当0m 时，在0,1x上 0,h xh x递增，在(1,)x上 0,h xh x递减，所以 h x有最大值，无最小值，不合题意，当0m 时，在0,1x上 0,h xh x递减，在(1,

17、)x上 0,h xh x递增，所以min1)()(eh xhm，所以 e1hg即1eem，所以21em，即m的取值范围为21,e故选 A.二、多项选择题二、多项选择题题号9101112答案ADACACDBC12解：因为()g x为偶函数，则()()gxg x，两边求导得()()gxg x，所以()g x为奇函数，因为()()50f xxg，()(4)50f xxg，所以()5()(4)f xg xgx，故()(4)gxgx，所以()(4)g xgx，即()g x的周期4T 且(0)(4)0gg，则 400gg，故 A 错误；在()()50f xxg，()(4)50f xxg中，令4x，可得(4

18、)(4)50fg，所以(4)5f，故 B正确；由()5()(4)f xg xgx，令2x，可得(2)(2)gg，则2(2)0gg，则 250f，即 25f，所以 225gf，故 D 错误；在()()50f xxg中，令1x 得，(1)(1)50fg，在()(4)50f xxg中，令3x 得，(3)(1)50fg，两式相加得(1)(3)100ff，即(1)(3)10ff，故 C正确.故选：BC.三、填空题三、填空题132213xy 14.15 1516 1641316.解：平面ABC内动点 P 满足1CP，所以点 P 的轨迹是以C为圆心，1 为半径的圆，因为,3,1ABAC ACAB，由勾股定理

19、可得：2224BCABAC，所以2BC，且22243 13cos22223ACBCABCAC BC ，所以30C，所以cos303AC BCACBC ，,APACCP BPBCCP 2AP BPACCPBCCPAC BCCPACBCCP ，1,4CPAP BPCPACBC ，2222342 313ACBCACBCACBCAC BC ，又向量ACBC 是长度为13的一个向量，由此可得，点 P 在圆C上运动，当CP 与ACBC 共线反向时，CPACBC 取最小值，且这个最小值为13，故AP BP 的最小值为413.四、解答题四、解答题17解：（1）由110nnnnaa，得11=nnnnaa，又11

20、1a=，所以数列nna是以1为首项，1为公比的等比数列，即11111nnnna ，即11nnan，所以111111nnnnaann ，所以数列11nna是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）得11nnan，当n为偶数时，123421nnnnSaaaaaaa1 2341nn 1 2341nn 111 2n；当n为奇数时，12341nnnSaaaaaa 1 23421nnn 1 23421nnn 111n 12nn 12n；综上所述，,21,2nnnSnn为偶数为奇数；18.解：（1）3sincosabCC，根据正弦定理得，sinsin3sincosABCC，即sincoscossin3

21、sinsinsincosBCBCBCBC，所以cossin3sinsinBCBC，因为sin0C，所以cos3sinBB，所以3tan3B，因为0,B，所以6B（2）因为2 3BC，1BD，6B，根据余弦定理得22232cos1 122 1 2 372CDBCBDBC BDB ，7CD 2BDCA，sinsincos2BDCAA在BDC中，由正弦定理知，sinsinBCCDBDCB，2 371cos2A，21cos7A，0,2A，所以2 7sin7A sin2 3tancos3ACDAAAC，212AC19解：（1）记事件1M“第一项测试选择了项目 A”，2M“第一项测试选择了项目B”，3M“

22、第一项测试选择了项目C”，记事件N“第一项测试通过”，由题意知，1231231,3NM NM NM N P MP MP M，123311,522P N MP N MP N M，又事件123,M N M N M N互斥，则123P NP M NP M NP M N，即 1122331 3 1 1 1 183 5 3 2 3 2 15P NP MP N MP MP N MP MP N M ，即居民甲第一项测试“通过”的概率是815.（2）由居民乙获一等奖的概率为18，可知218a b.则212223131C12848Pabaa baabaa.令 213,0148Pf aaaa，23222214+2

23、11812444aaaafaaaaa当102a时，0fa；当112a时，0fa.所以 f a在区间10,2上是减函数，在区间1,12上是增函数.所以min11133()24288f af.所以P的最小值为38.20（1）证明：设AC，BD交于点 O，连接1B A，1BC，1BO，因为BCBA，11B BAB BC，11B BB B，所以11B BCB BA，所以11B ABC，又因为 O 为正方形的对角线交点，即 O 是线段AC的中点，所以1BOAC，又因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD，又因为1BOBDO，1,BO BD 平面1BDB，所以AC 平面1BDB（2）解：底面ABCD是正方

24、形，2AB，2 2BD，ACBD，又13B BD，12 2BB，1B BD为等边三角形，O 为BD中点，1BOBD，又1BOAC，,ACBDO AC BD平面ABCD，1BO 平面ABCD，1BO，OB，OC两两互相垂直，以OB，OC，1OB 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，20,0,B，00,2,C，106,0,B，,0,2 0A所以1111112BABBB ABBBA 12 0622 02,3 22622，2,0,2BC ，设平面1BCA的法向量,mx y z，则，即，令，则，取平面的法向量，设平面与平面所成夹角为，则，所以二面角的余弦值为21解：（1）双曲线的焦点

25、为，则，即，又点在椭圆上，则，解得，所以椭圆的方程为.（2）由题意，设直线 的方程为，则，设，则，直线的方程为：，令，得点的横坐标为，100m BAm BC 3 226022220 xyzxy3x 3y 2z 3,3 2,m BCD0,0,1n BCD1BCA|210coscos5|10,m nm nm n 1ABCD105221xy2,02,02c 222ab61,32222:10 xyCabab2226311ab23a 21b C2213xyl2ykx2,0Pk11,A x y22,B xy11,D xyBD112121yyxxyyxx0y Q12211 212122 1121212222

26、2224Qx kxx kxkxxxxx yx yxyykxkxk xx 联立，整理得，则，解得或，则，从而，当且仅当，即2 33k 时等号成立，所以的取值范围为.22.（1）解：，曲线在点处的切线方程为.（2）证明：由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根.由，知，令，则，当时，在上单调递增;当时，在上单调递减.所以.因为有两个零点，即，得.因为实数是的两个根，所以，从而.令，则，变形整理得.要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证，两点连线的斜率要比，两点连线的斜率小即可.22213ykxxy22311290kxkx22124 3190kk 1k 1k 1221231

27、kxxk122931x xk2222291222182433131122124 31431Qkkkkkkkxkkkkk 23322 3222PQOkPOQxxkkk232kkOPOQ2 3,2231xfxexx 01f 03f yf x 0,0f310 xy 0f xg x1212,x xxx11xea xx1212,x xxx0a 211xx xh xeaxa xhxealnxa 0hx h xln,a lnxa 0hx h x0,lna minln2lnh xhaaaa xh xeaxa2ln0aaa2ae12,xx1xea x121211xxea xea x12121211xxxxxexee11x21xe lnln11212x xxx1101 lnyx,ln11,ln,ln,ln因为，所以只要证，整理得.令，则，所以在上单调递减，即，lnln11lnln1112ln0 01 12ln01g xxxxx 22211210 xxgxxx g x0,1 10g xg