【数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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1、5.5.1 两角和与差的两角和与差的正弦、正弦、余弦和正切公式余弦和正切公式探究：探究：如何用如何用，的正弦、余弦来表示的正弦、余弦来表示cos(cos()?)?xyO终边终边A(1,0)P1PA1终边终边-终边终边如图，在直角坐标平面如图，在直角坐标平面xOy内作单位圆内作单位圆O，并作出角，并作出角、和和.由圆的旋转对称性知：由圆的旋转对称性知：AP=A1P1（2k+.kZ）A1(cos,sin)P(cos(-),sin(-)A(1,0)P1(cos,sin)各点坐标：各点坐标：在坐标平面内的任意两点在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),xyO.P1(x1,y1)P

2、2(x2,y2)M1(x1,0)M2(x2,0)N1(0,y1)N2(0,y2)QP1Q=M1M2=x1x2，QP2=N1N2=y1y2，由勾股定理，可得由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=(x1x2)2+(y1y2)2,=x1x22+y1y22由此得到平面内由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离公式：两点间距离公式：P1P2=两点间距离公式两点间距离公式P(cos(-),sin(-)A(1,0)P1(cos,sin)A1(cos,sin)AP=A1P1（2k+.kZ）思考：思考：如果两个任意角终边重合如果两个任意角终边重合 ，上述结论成立吗？，上述结论成立

3、吗？（2k+.kZ）当当，终边重合时，终边重合时，cos cos，sin sin 左侧左侧cos2k1，右侧，右侧sin2cos21，上述结论仍然成立上述结论仍然成立两角差的余弦公式两角差的余弦公式简记作简记作(1)(1)公式的结构特征公式的结构特征:左边左边两角差的余弦，两角差的余弦，右边是右边是同名三角函数乘积的和，同名三角函数乘积的和，可用口诀可用口诀“余余正正余余正正，符，符号相反号相反”记忆公式记忆公式(2)(2)公式公式中中的的角角，:可以是任意具体的角，也可以是一个可以是任意具体的角，也可以是一个“团体团体”判断正误判断正误:(1)存在角存在角，使，使cos()cos cos.(

4、)(2)对于任意角对于任意角，总有，总有cos()cos cos.()(3)对于任意角对于任意角，总有，总有cos()cos cos sin sin.()解法1:cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45解法2:例例1、利用公式、利用公式C（）证明、求值：证明、求值：证明：证明：证明：证明：例例2.已知已知sin =(p p),cos =是第三象限角是第三象限角,求求cos(-)的值的值.解解:已知已知则则cos =又又 是第三象限角是第三象限角,则则sin =cos(-)=cos c

5、os +sin sin 1 1 1 1、证明：、证明：、证明：、证明：左边右边，得证左边右边，得证证明：证明：课本p217练习练习思考：思考：由公式由公式C()出发出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？公式吗？cos()=?sin()=?sin()=?tan()=?tan()=?注意到注意到=()cos()=cos cos +sin sin 则则由公式由公式C()，有，有思考：你能依据与之间的联系，利用公式C()，推导出两角和的余弦公式cos()吗？cos(a+b)=cosa-(-b)=cosacos(-b)+sinasin(-b)=cosac

6、osb-sinasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.于是我们得到两角和的余弦公式,简记作 C(a+b).两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式cos()=cos cos +sin sin cos(+)=cos cos sin sin 使用条件：使用条件：，都是都是任意角任意角.记忆口诀：记忆口诀：“余余正正，符号相反余余正正，符号相反”.也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.探究探究以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？如何利如何利用两

7、角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式？用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式？公式五公式五公式六公式六简记简记作作(+)“正余余正，符号相同”新知探究现在我们可以如何得到两角差的正弦公式？现在我们可以如何得到两角差的正弦公式？方法方法：在公式在公式S()中用中用代替代替，sin()sin cos()cos sin()sin cos cos sin.简记简记作作(-)可以得到可以得到两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式简记简记作作(+)简记简记作作(-)利用和（差）公式求利用和（差）公式求75，15的正弦、余弦的值的正弦、余弦的值.解：解：sin75=sin(45+

8、30)=sin45cos30+cos45sin30cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30sin15=?cos15=?探究探究你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从S()，C()出发，推导出用任意角出发，推导出用任意角，的正切表示的正切表示tan()，tan()的公式吗？的公式吗？简记为简记为T()用用替换上式中的替换上式中的可得可得:简记为简记为T()简记为简记为T()问题：问题：如何从如何从tan(+)tan(+)出发，推导出出发，推导出tan(-)tan(-)？两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式

9、符号上同符号上同，下不同下不同正切公式正切公式变形形(C(-)(C(+)cos(-)=cos cos +sin sin cos(+)=cos cos -sin sin (S(+)(S(-)sin(+)=sin cos +cos sin sin(-)=sin cos -cos sin (T(+)(T(-)两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式余余正正余余正正符号相反符号相反正余余正正余余正符号相符号相同同符号上同符号上同 下不同下不同 例例3已知已知 ，是第四象限角，求是第四象限角，求 ，的值的值解：由 ，是第四象限角，得所以于是有问1：如果去掉：如果去掉“是第四象是第

10、四象限角限角”这个条件，答案如何？个条件，答案如何？问2：在本在本题条件条件下有下有 那么那么对于任意角于任意角，此等式成立，此等式成立吗？若成立，？若成立，你会用几种方法予以你会用几种方法予以证明？明？例例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos 72sin 42；（2）cos 20cos 70sin 20sin 70；(3)解解:(1)sin72 cos42-cos72 sin42=sin(72-42)=sin30(2)cos20 cos70-sin20 sin70=cos(20+70)=cos90=0.(3)=tan6

11、0 2 2 2 2（2 2 2 2）已知已知 的值的值解：课本p220练习练习解：2 2 2 2（2 2 2 2）5 已知已知sin（）cos cos（）sin ，是第三象限角，是第三象限角，求求 的值的值利用两角和或差的正弦公式化简下列各式：利用两角和或差的正弦公式化简下列各式：步骤如下：第一步：提常数第一步：提常数：第二步：定角度第二步：定角度：第三步：逆用公式化简得：第三步：逆用公式化简得：完成课本p220练习练习4 4单调递增、减区间单调递增、减区间?1.两角和、差的余弦公式2.两角和、差角的正弦公式3.两角和、差的正切公式sin2 =sin(+)=sin cos+cos sin=2s

12、in cos.cos2 =cos(+)=cos cos-sin sin=cos2-sin2 tan2 =tan(+)（S S2 2 ）（C C2 2 ）（T T2 2 ）2倍角的正弦倍角的正弦.2倍角的余弦倍角的余弦.2倍角的正切倍角的正切.sin2 =2sin cos.cos2 =cos2-sin2 tan2 从左向右：升幂缩角;从右向左：降幂扩角.思考：细心观察二倍角公式，有何结构特征？正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.例例5 已知已知 求求sin4,cos4,tan4 的值的值.解解:则则sin4 =2sin2 cos2 cos4 =1-2sin22 tan4 =由由 得得例例6在在ABC中中,cos A=tan B=2,求求tan(2A+2B)的值的值.解法解法1:则则则则 tan 2A=tan(2A+2B)=在在ABC中，中，解法解法2:则则则则 tan(A+B)=tan(2A+2B)=tan2(A+B)在在ABC中中，例例6在在ABC中中,cos A=tan B=2,求求tan(2A+2B)的值的值.探究探究：由二倍角公式我们还可以想到哪些式子之间的关系？完成课本p223练习练习