湖南省百校大联考2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 湖南省百校大联考湖南省百校大联考 2023-2024 年高二年高二 12 月考试月考试 数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本

2、试卷上写在本试卷上无效无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4 本试卷主要考试内容：人教本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至 4 3 1 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1已知集合20Ax x=，1,2,3,4B=，则AB=（）A3,4 B2,3,4 C 4 D1,2 2复数z满足()2i7i0z+

3、=，则z=（）Ai3 Bi3+C3i D3i+3已知A为抛物线C：22xpy=（0p）上一点，点A到C的焦点的距离为 9，到x轴的距离为 6，则p=（）A3 B4 C6 D8 4若直线1l：10axy+=与直线2l：()210axay+=平行，则a=（）A1 B2 C1或 2 D1 或2 5有编号互不相同的五个砝码，其中 3 克、1 克的砝码各两个，2 克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过 4 克的概率为（）A310 B15 C25 D12 6已知函数()()sinf xAx=+（0A，0）的部分图象如图所示，则34f=（）学科网（北京）股份有限公司 A1 B1 C2

4、D2 7已知等差数列 na的前n项和为nS，且360S，370S，0b）的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为73的直线与E的右支交于点M，3MNNF=，MFON，则E的离心率为（）A3 B2 C3 D2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9甲同学通过数列 3，5，9，17，33，的前 5 项，得到该数列的一个通项公式为2nnam=+，根据甲同学得

5、到的通项公式，下列结论正确的是（）A1m=B2m=C该数列为递增数列 D665a=10某班有男生 30 人；女生 20 人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为 170，身高的方差为 24，女生身高的平均值为 160，身高的方差为 19，则（）A该班全体学生身高的平均值为 165 B该班全体学生身高的平均值为 166 C该班全体学生身高的方差为 46 D该班全体学生身高的方差为 44 11已知椭圆C：22221xyab+=（0a，0b）与双曲线D：2213yx=有相同的焦点1F，2F，且它们的离心率互为倒数，P是C与D的一个公共点，则（）A121212PFPFFF=B12122PFPFFF+=

6、C12PFF为直角三角形 DC上存在一点Q，使得12QFQF 12数学探究课上，小王从世界名画记忆的永恒中获得灵感，创作出了如图 1 所示的垂直时光 已知垂直时光是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角（其中M对应钟上数字 3，N对应钟上数字 9）设MN的中点为O，4 3MN=已知长度为 2 的时针OA指向了钟上数字 8，长度为 3 的分针OB指向了钟上数字 12，现在小王准备安装长度为 3 的秒针OC（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是 学科网（北京）股份有限公司 A若秒针OC指向了钟上数字

7、5，如图 2，则OABC B若秒针OC指向了钟上数字 5，如图 2，则NA平面OBC C若秒针OC指向了钟上数字 4，如图 3，则BC与AM所成角的余弦值为147 D若秒针OC指向了钟上数字 4，如图 3，则四面体OABC的外接球的表面积为1033 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知向量()2,mx=，()4,2nx=+，若mn，则x=_ 14已知()f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 且1k），则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆 已知点()1,0A，()4,0

8、C，()4,9D，动点P满足12PAPC=，则2 PDPC的最大值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在正项等比数列 na中，14a=，4322aaa=+（1）求 na的通项公式；（2）若2lognnba=，证明 nb是等差数列并求 nb的前n项和nS 18（12 分）已知圆1C：22450 xyx+=与圆2C关于直线l：10 xy+=对称（1）求2C的标准方程；（2）记1C与2C的公共点为A，B，求四边形12AC BC的面积 学科网（北京）股份有限公司 19（

9、12 分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2c，2a，23b成等差数列（1）若()()coscoscosacBbAC=，求sinsinAB（2）若1c=，当cosB取得最小值时，求ABC的面积 20（12 分）已知正项数列 na的前n项和为nS，且()282nnSa=+（1）求 na的通项公式；（2）若11nnnba a+=，求数列 nb的前n项和nT 21（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，90ABCBAD=，22 2BCAD=，PAB与PAD均为正三角形 （1）证明：AD平面PBC（2）证明：PB 平面PCD（3）设平面PAB平面1PCDl=，平面PAD平面2PBCl

10、=，若直线1l与2l确定的平面为平面，线段AC的中点为N，求点N到平面的距离 22（12 分）已知双曲线C：22221xyab=（0a，0b）的焦距为2 7，点()4,3M在C上（1）求C的方程；（2）1F，2F分别为C的左、右焦点，过C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B，若直线PA，PB互相垂直，求12PFF周长的最大值 高二数学试卷参考答案高二数学试卷参考答案 1A 因为2Ax x=，所以3,4AB=学科网（北京）股份有限公司 2D ()()7i2i7i155i3i2i55z+=+3C 因为点A到C的焦点的距离为 9，到x轴的距离为 6，所以32p=，则6p=4B 因为12ll，所以

11、220aa+=，解得1a=或2a=当1a=时，1l与2l重合，不符合题意当2a=时，12ll，符合题意 5A 记 3 克的砝码为1A，2A，1 克的砝码为1C，2C，2 克的砝码为B，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()()1211112221221212,A AA BA CA CA BA CA CB CB CC C=，共有 10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过 4 克”包含 3 个样本点，故所求的概率为310 6B 由函数()()sinf xAx=+的图像可知2A=，313341234T=，则22T=由13132sin 221212f=+=，解得523

12、k=+，则()52sin 23f xx=，故3352sin 21443f=7C ()()()13636136181936181802aaSaaaa+=+=+，()1373719373702aaSa+=，190a，得该数列为递增数列 10BC 由题可知，该班全体学生身高的平均值为3217016016655+=，该班全体学生身高的方差为()()223224170 16619160 1664655+=学科网（北京）股份有限公司 11BC 由题可知，()12,0F，()22,0F，D的离心率为 2，则C的离心率为12，则4a=，2 3b=，121212PFPFFF=，12122PFPFFF+=A 不正

13、确，B 正确根据对称性，不妨设P在第一象限，则12128,2,PFPFPFPF+=解得125,3,PFPF=则2221212PFPFFF=+，所以12PFF为直角三角形C 正确设1QFx=，则28QFx=，若12QFQF，则2221212QFQFFF+=，即()22816xx+=，方程无解D 不正确 12ACD 如图，以O为坐标原点，OM，OB所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A，()0,0,3B，()0,2 3,0M，()0,2 3,0N若秒针OC指向了钟上数字 5，则3 3 3,022C，()1,3,0OA=，3 3 3,322BC=，()0,0,3O

14、B=，则0OA BC=，0OA OB=，所以OABC，OAOB，故OA 是平面OBC的一个法向量因为()1,3,0NA=，所以20OA NA=，所以OA与NA不垂直，从而NA与平面OBC不平行A 正确，B 不正确 若秒针OC指向了钟上数字 4，则3 3 3,022C，()1,3 3,0AM=，3 3 3,322BC=，1214cos,72 73 2AM BCAM BCAM BC=由1 5 3,022AC=，得19AC=因为120AOC=，所以OAC外接圆的半径192sin3ACrAOC=，则四面体OABC的外接球的半径294Rr=+，则210312R=，故四面体OABC的外接球的表面积为210

15、343R=C，D 正确 132 或4 因为mn，所以()()2420 x x+=，解得2x=或4 学科网（北京）股份有限公司 142ln3 因为()f x是定义在R上的奇函数，所以()00f=，()()11ln3ff=，则()()0212ln3ff+=154 设经过n年后，该商品年产量超过 20000 件，则10000 1.220000n，即1.22n因为31.21.7282=，所以至少需要经过 4 年 166 10 设(),P x y，则()()22221124PAxyPCxy+=+，整理得224xy+=，则P是圆C：224xy+=上一点，故()2226 10PDPCPDPAAD=，当且仅当

16、A，D，P三点共线，且A在DP之间时取得最大值 17解：（1）设 na的公比为q，由4322aaa=+，得220qq=，解得2q=或1q=（舍去），因为14a=，所以1112nnnaa q+=（2）由（1）可知，122loglog 21nnnban+=+，则()1211nnbbnn+=+=因为12b=，所以 nb是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，故()211322nn ndnnSnb+=+=18解：（1）将1C的方程转化为()2229xy+=，知1C的圆心为()2,0，半径为 3 设2C的圆心为(),a b，半径为r，因为1C与2C关于直线l：10 xy+=对称，所以210,2201,2

17、3,abbar+=，解得1,3,3,abr=故2C的标准方程为()()22139xy+=（2）()()22122 1033 2C C=+=，根据对称性可知1C到直线AB的距离123 222C Cd=，学科网（北京）股份有限公司 则22 93 2ABd=，则四边形12AC BC的面积12192SAB C C=19解：（1）因为()()coscoscosacBbAC=，所以()()sinsincoscoscossinACBACB=，则sincossincoscossincossinABCBABCB=，则sincoscossinsincoscossinABABCBCB=，则()()sinsin,AB

18、CB=所以ABCB=，即AC=或ABCB+=（舍去）因为2c，2a，23b成等差数列，所以22232cba+=由AC=，得ac=，则223ab=，即3ab=，则sin3sinAaBb=（2）由22232cba+=，得2222133bac=，则22222222122233cos22263633acacacbacacBacaccaca+=+=，当且仅当22ac=时，等号成立，此时25sin1 cos3BB=，所以ABC的面积15sin23SacB=20解：（1）当1n=时，()2111828Saa=+=，解得12a=当2n 时，由()282nnSa=+，得()21182nnSa=+，则221184

19、4nnnnnaaaaa=+，则()()1140nnnnaaaa+=因为0na，所以14nnaa=，所以 na是以 2 为首项，4 为公差的等差数列，则()1142naandn=+=（2）由（1）可知()()11111142424 4242nnnba annnn+=+，则1 111 111114 264 6104 4242nTnn=+学科网（北京）股份有限公司 1 114 24284nnn=+21（1）证明：因为90ABCBAD=，所以ABBC，ABAD，所以ADBC，因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD平面PBC（2）证明：取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形 过P作

20、PO 平面ABCD，垂足为O连接OA，OB，OD，OE 由PAB和PAD均为正三角形，得PAPBPD=，所以OAOBOD=，即点O为正方形ABED对角线的交点，则OEBD，因为PO 平面ABCD，所以POOE，又BDPOO=，所以OE 平面PBD，所以OEPB，因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD，因此PBCD 因为22222BDABADPBPD=+=+，所以PBPD，又CDPDD=，所以PB 平面PCD（3）解：设ABCDQ=，连接PQ，则直线1l为直线PQ，因为ADBC，平面PAD平面2PBCl=，所以2BCl 由（1）知，OE，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OE 的方向

21、为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B，()2,1,0C，()1,0,0A，()0,0,1P，()2,1,0Q，11,022N ()2,1,1PQ=，()2,2,0BC=，设平面的法向量为(),nx y z=，则nBC，nPQ，所以20,220,xyzxy=，取1y=，得()1,1,3n=又11,122PN=，所以点N到平面的距离33 111111PN ndn=学科网（北京）股份有限公司 22解：（1）由题可知，2222222 7,1691,cabcab=+，解得2,3,ab=故C的方程为22143xy=（2）由题可知，直线PA，PB的斜率均存在，设(),P m n，过P且与C相切的直线l：ykxt=+，联立方程组221,43,xyykxt=+整理得()2223484120kxktxt=，则()()()2222284 3441248144 1920ktkttk=+=，整理得2243tk=从而()2224230mkmnkn+=因为切线PA，PB互相垂直，所以2122314nk km+=，即221mn+=()221782 7PFmnm=+=+，()222782 7PFmnm=+=，则()2212162 642832PFPFm+=+，则124 2PFPF+，当且仅当0m=时，等号成立 因为122 7FF=，所以12PFF周长的最大值为4 22 7+