2022八年级数学上册全一册教案打包47套新版北师大版.zip

-1-1.1 探索勾股定理1.1 探索勾股定理第 1 课时认识勾股定理第 1 课时认识勾股定理教学目标【知识与能力】1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题.【过程与方法】1.经历“测量猜想归纳验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.【情感态度价值观】通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.教学重难点【教学重点】勾股定理的探索及应用.【教学难点】勾股定理的探索过程.课前准备【教师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.教学过程第一环节：创设情境，引入新课内容：2002 年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号今天我们就来一同探索勾股定理（板书课题）第二环节：探索发现勾股定理1探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：-2-结论 1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边通过对特殊情形的探究得到结论 1，为探究活动二作铺垫.效果：1探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2探究活动二内容：由结论 1 我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形 C 的面积的？与同伴交流（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定）图 1图 2图 3学生的方法可能有：方法一：如 图 1，将 正 方 形 C 分 割 为 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 和 一 个 小 正 方 形，方法二：如图 2，在正方形 C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，13132214CS133221452CS-3-方法三：如图 3，正方形 C 中除去中间 5 个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图 3 中 两 块 红 色（或 两 块 绿 色）部 分 可 拼 成 一 个 小 正 方 形，按 此 拼 法，（4）分析填表的数据，你发现了什么？学生通过分析数据，归纳出：结论 2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质由于正方形 C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2.3议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长，来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以 5 厘米、12 厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度2 中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论 2 的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根 24m 处.大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程）练习：1基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2生活中的应用：小明妈妈买了一部 29 in（74 cm）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有13542CSabcabc222cba弦股勾?225100 x1517-4-58 cm 长和 46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第 1 题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识效果：例题和练习第 2 题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容：教师提问：1这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么2方法：（1）观察探索猜想验证归纳应用；（2）“割、补、拼、接”法.3思想：（1）特殊一般特殊；（2）数形结合思想意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：1教科书习题 1.1.2观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业 1 是为了巩固基础知识而设计；作业 2 是为了扩展学生的知识面；作业 3 是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握教学设计反思（一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用222cba222cbaabcabc-5-学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习 教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理-1-1.1 探索勾股定理1.1 探索勾股定理第 2 课时验证勾股定理第 2 课时验证勾股定理教学目标【知识与能力】1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.【情感态度价值观】培养学生大胆探索,不怕失败的精神.教学重难点【教学重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【教学难点】用拼图法验证勾股定理.课前准备【教师准备】教材图 1-4,1-5,1-6,1-7 的图片.【学生准备】4 个全等的直角三角形纸片.教学过程第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建过渡语一样的科学结论,可能会有很多的证明方式,人们对勾股定理的验证,就给出了多种的证明方式,我们也一起来尝试下吧.1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4 图 1-4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材 P5 图 1-5 和图 1-6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?-2-生:讨论交流.师总结:图1-5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1-6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图 1-5 采用的是“补”的方法,而图 1-6 采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图 1-5 中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.生:得出(a+b)2,412ab+c2两种方法.(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图 1-5 验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图 1-6 也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图 1-4 及“做一做”,让学生观察图 1-5 和图 1-6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材 P5 例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材 P8 图 1-8.-3-【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距 400 m,10 s 后,汽车与他相距 500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?解析根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是 5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车 10 s 行驶了 300 m,那么它 1 h 行驶的距离为 300660=108000(m),即它行驶的速度为 108 km/h.知识拓展利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a+b)(a+b),又可以表示为12(2ab+c2),所以可得12(a+b)(a+b)=12(2ab+c2),化简可得a2+b2=c2.第三环节：课堂小结-4-1.勾股定理的验证方法测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故 A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选 D.2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=12ab4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选 A.3.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.-5-解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是 412ab+c2,即(a+b)2=412ab+c2,化简得a2+b2=c2.答案:(a+b)2412ab+c2a2+b2=c24.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第 6 页随堂练习.【选做题】教材第 7 页习题 1.2 第 3 题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图 是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()-6-A.=B.+=C.四边形=四边形D.+=四边形3.北京召开的第 24 届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书周髀算经中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,BAC=90,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?-7-7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转 90得到矩形ABCD.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中DAB=90,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.四边形=+=12b2+12ab,又四边形=+=12c2+12a(b-a),12b2+12ab=12c2+12a(b-a),a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中DAB=90,连接BE.验证a2+b2=c2.-8-证明:连接,五边形=,又五边形=,a2+b2=c2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积和是12ab4=13-1=12,即2ab=12,则(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.故选 A.)2.D(解 析:由+=四边形,可 知12ab+12c2+12ab=12(a+b)2,c2+2ab=a2+2ab+b2,整理得a2+b2=c2,证明中用到的面积相等的关系是+=四边形.故选 D.)3.解:(1)大正方形的面积=4 个三角形的面积+小正方形的面积,即c2=412ab+(a-b)2=a2+b2.(2)如 图 所 示.(3)2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96,ab=48,S=12ab=12 48=24.4.440(解析:如图所示,延长AB交KL于P,延长AC交LM于Q,则ABCPFBQCG,PB=AC=8,CQ=AB=6,图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20,矩形KLMJ的面积=2220=440.故答案为 440.)5.D(解 析:依 题 意 有:a2+b2=大 正 方 形 的 面 积=13,2ab=四 个 直 角 三 角 形 的 面 积 和=13-1=12,ab=6,则a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(a2+b2)2-2(ab)2=132-262=169-72=97.故选 D.)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a2+b2,它们的面积都等于边长为a+b的正方形的面积-4 个直角边分别为a,b的直角三角形的面积和,a2+b2=c2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接DD,依题意,图中的四边形DACD为直角梯形,DBD为等腰直角三角形,RtDAB和 RtBCD的形状和大小完全一样,设梯形DACD的面积为S,则S=12(a+b)(a+b)=12(a2+b2)+ab,又S=SRtDBD+2SRtABD=12c2+212ab=12c2+ab,12(a2+b2)+ab=12c2+ab,因此a2+b2=c2.-9-8.163(解析:八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,CG=NG,CF=DG=NF=GK,S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CGDG,S2=GF2,S3=(NG-NF)2=NG2+NF2-2NGNF,S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+NG2+NF2-2NGNF=3GF2=16,GF2=163,S2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,S五边形ACBED=SACB+SADE=12ab+12b2+12ab,又S五 边 形ACBED=SACB+SABD+SBDE=12ab+12c2+12a(b-a),12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),a2+b2=c2.板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.不足之处在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散.再教设计勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.备课资源-10-古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位两尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗?解析要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在 RtBCD中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如图所示,AD表示莲花的高度,CD是水的深度,CB是莲花吹倒后离原位的距离.设CD=x尺,则AD=BD=+12尺.在 RtBCD中,BCD=90,由勾股定理得BD2=CD2+BC2,即 +122=22+x2.解得x=3.75.所以所求的湖水深度为 3.75 尺.方法总结建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.-1-1.2 一定是直角三角形吗1.2 一定是直角三角形吗教学目标【知识与能力】1理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形.【过程与方法】经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力.【情感态度价值观】体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.教学重难点【教学重点】理解勾股定理逆定理的具体内容.【教学难点】理解勾股定理逆定理的具体内容.教学过程第一环节：情境引入内容：情境：1直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？2如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情.效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础.第二环节：合作探究内容 1：探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，5，12，13；7，24，25；8，15，17；并回答这样两个问题：1这三组数都满足吗？2分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数.意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊一般特殊”的发展规律.效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：5，12，13 满足，可以构成直角三角形；7，24，25 满足，可以构成直角三角形；8，15，17 满足，可以构成直角三角形.从上面的分组实验很容易得出如下结论：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形内容 2：说理提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现.你认为这个发现正确吗？你cba,222abccba,222abc222abc222cba222cbacba,222abc-2-能给出一个更有说服力的理由吗？意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.满足的三个正整数，称为勾股数.注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识.活动 3：反思总结提问：1同学们还能找出哪些勾股数呢？2今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？3到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?4通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系第三环节：小试牛刀内容：1下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由.9，12，15；15，36，39；12，35，36；12，18，22解答：2一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（）A250 B150C200 D不能确定解答：B3如图，在中，于，则是（）A等腰三角形 B锐角三角形 C直角三角形D钝角三角形解答：C4将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定解答：A意图：通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用效果：每题都要求学生独立完成（5 分钟），并指出各题分别用了哪些知识.第四环节：登高望远内容：1一个零件的形状如图 2 所示，按规定这个零件中都应是直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图 3 所示，这个零件符合要求吗？cba,222abc222abccmcmcm25,20,152cm2cm2cmABCBCAD D20,12,9ACADBDABCDBCA ,图 3图 2DABCC CC C1312534DABBAD-3-FDABCEAB北北C解答：符合要求，又，2一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行 240 海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传 90，继续航行 70 海里，则距出发地 250 海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？解答：由题意画出相应的图形AB=240 海里,BC=70 海里,，AC=250 海里;在ABC 中=(250+240)(250-240)=4900=即ABC 是 Rt答:船转弯后,是沿正西方向航行的.意图：利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理.效果：学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可；利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形（），以便于计算.第五环节：巩固提高内容：1如图 4，在正方形 ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.解答：4 个直角三角形，它们分别是ABE、DEF、BCF、BEF2如图 5，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？图 4 图 5解答：是直角三角形，不是直角三角形意图：第一题考查学生充分利用所学知识解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解；第二题在于考查学生如何利用网格进行计算，从而解决问题.效果：学生在对所学知识有一定的熟悉度后，能够快速做答并能简要说明理由即可.注意防漏解及网格的应用.22254390DAB2221312590DBC2222240250 ABAC2702BC222ACBCAB222cba222cba222abc-4-第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结出：1今天所学内容会利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形；满足的三个正整数，称为勾股数；2从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：数学是源于生活又服务于生活的；数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊一般特殊”的发展规律；利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算.意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用.第七环节：布置作业课本习题 13 第 1，2，4 题.教学反思：1充分尊重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长，满足，是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题；充分引用教材中出现的例题和练习.2 注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊一般特殊”的发展规律.3在利用今天所学知识解决实际问题时，引导学生善于对公式变形，便于简便计算.4注重对学习新知理解应用偏困难的学生的进一步关注.5对于勾股定理的逆定理的论证可根据学生的实际情况做适当调整，不做要求.由于本班学生整体水平较高，因而本设计教学容量相对较大，教学中，应注意根据自己班级学生的状况进行适当的删减或调整.附：板书设计能得到直角三角形吗情景引入 小试牛刀：登高望远合作探究 课后作业：222cba222cba222cba222cba222abc222cbacba,222abc-1-1.3 勾股定理的应用1.3 勾股定理的应用教学目标【知识与能力】能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.【过程与方法】在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.【情感态度价值观】激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验.教学重难点【教学重点】应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.【教学难点】从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程第一环节：情境引入内容：情景 1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？情景 2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景 1 复习公理：两点之间线段最短；情景的创设引入新课，激发学生探究热情效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础第二环节：合作探究内容：学生分为人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解 在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念效果：学生汇总了四种方案：AAA-2-（1）（2）（3）（4）学生很容易算出：情形（1）中AB的路线长为：，情形（2）中AB的路线长为：所以情形（1）的路线比情形（2）要短学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA剪开圆柱得到矩形，情形（3）AB是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可如图：（1）中AB的路线长为：（2）中AB的路线长为：AB（3）中AB的路线长为：AO+OBAB（4）中AB的路线长为：AB得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察接下来后提问：怎样计算AB？在RtAAB中，利 用 勾 股 定 理 可 得，若已知圆柱体高为 12cm，底面半径为3cm，取 3，则注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能 但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条 因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1审题分析实际问题；2建模建立相应的数学模型；3求解运用勾股定理计算；4检验是否符合实际问题的真实性第三环节：做一做内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是 30 厘米，AB长是 40 厘米，BD长是 50 厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？解答：（2）AAd2dAAAAdAAA B222BAAAAB22212(3 3),15ABAB222230402500ADAB-3-3220BAAD和AB垂直意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论第四环节：小试牛刀内容：1甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨 8：00 甲先出发，他以 6 km/h 的速度向正东行走，1 时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向正北行走上午 10：00，甲、乙两人相距多远？解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00 甲到达B点，乙到达C点则:AB=26=12（km）AC=15=5（km）在RtABC中:BC=13（km）即甲乙两人相距 13 km2如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离 解答：.3有一个高为 1.5 m，半径是 1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m，问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为x m则最长时:最长是 2.5+0.5=3（m）最短时:最短是 1.5+0.5=2（m）答:这根铁棒的长应在 23m 之间意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算22500BD 222ADABBD22222251216913BCACAB2222152062525AB2221.522.5xx1.5x-4-效果：学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解第五环节：举一反三内容：1如图，在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 s 内从A爬到B？解：如图，在 RtABC 中:500202.不能在 20 s 内从A爬到B.2在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5 尺.由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.即 52+x2=（x+1）2.25+x2=x2+2x+1.2x=24.x=12，x+1=13答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺意图：第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第 2 题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程效果：学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用第六环节：交流小结内容：222221020ABACBC=500BABABC-5-师生相互交流总结：1解决实际问题的方法是建立数学模型求解2在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻