2022九年级数学上册全一册教案打包38套新版沪科版.zip

21.3 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程第 2 课时二次函数与一元二次不等式教学目标教学目标【知识与能力】1通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系；2会用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系。【情感态度价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神。教学重难点教学重难点【教学重点】二次函数与一元二次不等式之间的联系。【教学难点】用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。课前准备课前准备课件等。教学过程教学过程一、情境导入如图，是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，你能通过观察图象得到关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集吗？请你直接写出来二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次不等式的关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式例 1 抛物线 yax2bxc(a0)如图所示，则关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是()Ax2 Bx3C3x1 Dx3 或 x1解析：观察图象，可知当 x1 时，抛物线在 x 轴上方，此时 y0，即 ax2bxc0，关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是 x1.故选 D.方法总结：抛物线 yax2bxc 在 x 轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是一元二次不等式 ax2bxc0 的解集；在 x 轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的 x 的所有值就是一元二次不等式 ax2bxc0 的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式 ax2bxc0 或 ax2bxc0 的解集【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围例 2 二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则函数值 y 在 x 轴下方时，x 的取值范围是()Ax1 Bx3C1x3 Dx1 或 x3解析：由二次函数图象可知，当1x3 时，函数图象在 x 轴的下方故选 C.方法总结：利用数形结合思想来求解当 y0 时，对应 x 的值为 x11，x23，当 y0 时，看抛物线在 x 轴上方的部分，x 的取值范围是 x1 或 x3；当 y0 时，看抛物线在 x 轴下方的部分，x 的取值范围是1x3.例 3 已知二次函数 yx2bxc 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为(1，0)，与 y 轴的交点坐标为(0，3)(1)求出 b，c 的值，并写出此二次函数的关系式；(2)根据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出 b，c 的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量 x 的取值范围解：(1)由题意得1bc0，c3，解得b2，c3.故所求关系式为 yx22x3；(2)令 y0，得x22x30，解得 x11，x23，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(3，0)由图象可知函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围是1x3.探究点二：抛物线 yax2bxc 的位置与 b24ac 的关系例 4 求证：无论 a 是什么实数，二次函数 yx2axa2 的图象都与 x 轴有两个不同的交点解析：抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2bxc0(a0)的两根，于是问题就转化成证明 0 的问题证明：由题意知 a24(a2)a24a8(a2)24.无论 a 取什么实数，(a2)20，(a2)240，即 0.无论 a 是什么实数，二次函数 yx2axa2 的图象都与 x 轴有两个不同的交点三、板书设计二次函数与一元二次不等式1.确定抛物线对应的自变量的取值范围2.利用抛物线解一元二次不等式教学反思教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想21.4 二次函数的应用二次函数的应用第 1 课时二次函数在面积最值问题中的应用教学目标教学目标1经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；2会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值。教学重难点教学重难点【教学重点】利用二次函数求实际问题的最值。【教学难点】对实际问题中数量关系的分析。课前准备课前准备课件等。教学过程教学过程一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.设 AB 边的长为 x 米矩形 ABCD 的面积为 S 平方米当 x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】利用二次函数求最大面积例 1 小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米)随矩形一边长 x(单位：米)的变化而变化(1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数(1)矩形一边长为 x，则另一边长为602x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标解：(1)根据题意，得 S602x2xx230 x.自变量 x 的取值范围是 0 x30；(2)Sx230 x(x15)2225，因为 a10，所以 S 有最大值，即当 x15(米)时，S 最大值是 225(平方米)方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性 解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件例 2 用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 x 米，面积为 y平方米(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 x 为何值时，围成的养鸡场面积为 60 平方米？(3)能否围成面积为 70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断解：(1)yx(16x)x216x(0 x16)；(2)当 y60 时，x216x60，解得 x110，x26.所以当 x10 或 6 时，围成的养鸡场的面积为 60 平方米；(3)方法一：当 y70 时，x216x70，整理，得 x216x700，由于 256280240，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为 70 平方米的养鸡场方法二：当 y70 时，x216x70，整理，得 x216x700，配方，得(x8)26，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为 70 平方米的养鸡场方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件例 3 现有一块矩形场地，如图所示，长为 40m，宽为 30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花(1)求出这块场地中种植 B 菊花的面积 y 与 B 场地的长 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当 x 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出 y 与 x 之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值解：(1)由题意知，B 场地宽为(30 x)m，yx(30 x)x230 x，自变量 x 的取值范围为 0 x30；(2)yx230 x(x15)2225，当 x15m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6 米，宽度 OM 为 12米现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如图所示)(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使 A、D 点在抛物线上，B、C 点在地面 OM 上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为 ya(x6)26，因为抛物线过 O(0，0)，所以 a(06)260，解得 a16，所以这条抛物线的函数关系式为 y16(x6)26，即 y16x22x；(3)设 OBm，则点 A 的坐标为(m，16m22m)，所以 ABDC16m22m.根据抛物线的轴对称，可得 OBCMm，所以 BC122m，即 AD122m，所以 lABADDC16m22m122m16m22m13m22m1213(m3)215.所以当 m3，即 OB3 米时，三根木杆长度之和 l 的最大值为 15 米三、板书设计图形面积最大值1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计教学反思教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题21.4 二次函数的应用二次函数的应用第 2 课时建立二次函数模型解决实际问题教学目标教学目标1能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；2经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学建模的思想和数学的应用价值。教学重难点教学重难点【教学重点】根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实际问题。【教学难点】建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。课前准备课前准备课件等。教学过程教学过程一、情境导入跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米，设拿绳的手此时距地面均为 1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米和 2.5 米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？二、合作探究探究点一：二次函数在建筑问题中的应用例 1 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米水面下降 1 米时，水面的宽度为_米解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为 yax2，把点(2，2)代入，得2a22，a12，y12x2，当 y3 时，12x23，x 6.故答案为 2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数解析式解决实际问题探究点二：二次函数在体育活动中的应用【类型一】运动轨迹问题例 2 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面209米，与篮圈中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 米(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当 x1 时函数 y 的值与最大摸高 3.1 米的大小解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮圈的坐标分别为 A(0，209)，B(4，4)，C(7，3)，其中 B 是抛物线的顶点设二次函数关系式为 ya(xh)2k，将点 A、B 的坐标代入，可得 y19(x4)24.将点 C 的坐标代入上式，得左边右边，即点 C 在抛物线上所以此球一定能投中；(2)将 x1 代入函数关系式，得 y3.因为 3.13，所以盖帽能获得成功【类型二】落点问题例 3 如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出(A 在 y 轴上)，运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起 据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点 C 距守门员多少米(取 4 37)?(3)运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米(取 2 65)?解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点 A 和顶点 M 的坐标，因为 OA1，OB6，BM4，所以点 A 的坐标为(0，1)，顶点 M的坐标是(6，4)根据顶点式可求得抛物线关系式因为点 C 在 x 轴上，所以要求 OC 的长，只要把点 C 的纵坐标 y0 代入函数关系式，通过解方程求得 OC 的长要计算运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米，实际就是求 DB 的长求解的方法有多种解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为 ya(x6)24，由已知：当 x0 时，y1，即 136a4，所以 a112.所以函数表达式为 y112(x6)24 或 y112x2x1；(2)令 y0，则112(x6)240，所以(x6)248，所以 x14 3613，x24 360(舍去)所以足球第一次落地距守门员约 13 米；(3)如图，第二次足球弹出后的距离为 CD，根据题意：CDEF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了 2 个单位)所以 2112(x6)24，解得 x162 6，x262 6，所以 CD|x1x2|4 610.所以 BD1361017(米)方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答三、板书设计建立二次函数模型1.运动轨迹问题2.落点问题3.涵洞问题教学反思教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题-1-21.4 二次函数的应用21.4 二次函数的应用第 2 课时建立二次函数模型解决实际问题第 2 课时建立二次函数模型解决实际问题教学目标1掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；2进一步体会数形结合的数学思想方法。教学重难点【教学重点】将实际问题转化为数学问题。【教学难点】建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。课前准备课件等。教学过程一、情境导入红光旅社有 100 张床位，每床每日收费 10 元，客床可全部租出，若每床每日收费提高 2元，则租出床位减少 10 张，若每床每日收费再提高 2 元，则租出床位再减少 10 张，以每提高 2 元的这种变化方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：利用二次函数进行决策和判断例 1 某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y35x23x1 的一部分，如图所示(1)求演员运动过程中距离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是 4m，问这次表演能否成功？请说明理由解析：(1)转化为求二次函数y35x23x1 的最大值问题；(2)求x4 时对应的y值，然后与BC比较，若等于 3.4，即表演成功，否则就不成功解：(1)y35x23x135(x52)2194.a350，函数有最大值为194.演员运动过程中距离地面的最大高度是194m；(2)将x4 代入函数关系式中得y3.4.BC3.4m，这次表演能成功方法总结：将生活中的问题转化为二次函数问题求解，要把握函数的相关性质与生活中实际问题的对应关系探究点二：二次函数的综合运用-2-例 2 如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(4，0)和(2，0)，且BC23.直线AC与直线x4 交于点E.求以直线x4 为对称轴，且过点C与原点O的抛物线对应的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E.解析：以x4 为对称轴的抛物线，我们一般可以设其对应的函数表达式为ya(x4)2m，然后再根据抛物线经过点O与点C求出a与m的值解：由已知得点C的坐标为(2，23)设抛物线所对应的函数表达式为ya(x4)2m，该抛物线过点O(0，0)，C(2，23)，16am0，4am23，解得a36，m833.所求抛物线对应的函数关系式为y36(x4)2833.设直线AC对应的函数表达式为ykxb，则4kb0，2kb23，解得k33，b433.直线AC对应的函数表达式为y33x433，点E的坐标为(4，833)当x4 时，y36(x4)2833833，抛物线一定过点E.例 3 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线已知正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为 6 米，手到地面的距离AO和BD均为 0.9 米，身高为 1.4 米的小丽站在距点O水平距离为 1 米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数表达式为yax2bx0.9.(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)如果小刚站在OD之间，且离点O的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时恰好通过他的头顶，请你计算出小刚的身高；(3)如果身高为 1.4 米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合图象，写出t的取值范围解析：对于第(1)问，由题意可知E点的坐标为(1，1.4)，B点的坐标为(6，0.9)，将-3-这两点的坐标代入yax2bx0.9，可以求出抛物线对应的函数表达式；对于第(2)问，实质是求当x3 时的函数值；对于第(3)问，结合图象，并根据轴对称性求t的取值范围解：(1)由题意得点E(1，1.4)、B(6，0.9)在抛物线上，将它们代入yax2bx0.9，得ab0.91.4，36a6b0.90.9.解得a0.1，b0.6.所求抛物线对应的函数表达式是y0.1x20.6x0.9；(2)当x3 时，y0.1320.630.91.8.小刚的身高是 1.8 米；(3)由抛物线的轴对称性可知 1t5.三、板书设计二次函数的综合应用1.审清题意、分析情况2.建立二次函数模型3.计算、比较、得出结论教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计、建立二次函数的数学模型，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况-1-21.5 反比例函数21.5 反比例函数第 1 课时反比例函数第 1 课时反比例函数教学目标1领会反比例函数的意义，理解并掌握反比例函数的概念；2会判断一个函数是否是反比例函数；3会求反比例函数的表达式。教学重难点【教学重点】理解和领会反比例函数的概念。【教学难点】根据条件求反比例函数的表达式。课前准备课件等。教学过程一、情境导入你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明 实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？二、合作探究探究点一：反比例函数的概念【类型一】辨别反比例函数例 1 在下列反比例函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？(1)yx5；(2)y3x；(3)y23x；(4)xy12；(5)y2x1；(6)y2x；(7)y2x1；(8)ya5x(a5，a是常数)解析：根据反比例函数的概念，必须是形如ykx(k是常数，k0)的函数，才是反比例函数如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数但还要注意ykx(k是常数，k0)的一些常见的变化形式，如xyk，ykx1等，所以(4)(7)也是反比例函数在(5)中，y是(x1)的反比例函数，而不是x的反比例函数(1)中的y是x的正比例函数故(2)(3)(4)(6)(7)(8)表示y是x的反比例函数-2-方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成ykx(k是常数，k0)或xyk(k0)及ykx1(k0)的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数如果两个变量的积是一个不为 0 的常数，则这两个变量就是反比例关系；否则便不成反比例关系【类型二】根据反比例函数的概念求值例 2 若y(k2k)xk22k1 是反比例函数，试求(k3)2015的值解：根据反比例函数的概念，得k22k11，k2k 0，所以k0或k2，k 0且k 1.即k2.因此(k3)2015(23)20151.易错提醒：反比例函数表达式的一般形式ykx(k是常数，k0)也可以写成ykx1(k0)，利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意ykx中k0 这一条件，不能忽略，否则易造成错误探究点二：确定反比例函数的表达式【类型一】利用待定系数法求反比例函数的表达式例 3 已知y是x的反比例函数，当x4 时，y3.(1)写出y与x的函数表达式；(2)当x2 时，求y的值；(3)当y12 时，求x的值解：(1)设ykx(k0)，当x4 时，y3，3k4，解得k12.因此，y与x的函数表达式为y12x；(2)把x2 代入y12x，得y1226；(3)把y12 代入y12x，得 1212x，x1.方法总结：(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为ykx(k0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式ykx(k0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值【类型二】利用待定系数法求组合型函数的表达式例 4 已知yy1y2，其中y1与x成正比例关系，y2与x成反比例关系，并且当x2时，y4；当x1 时，y5.求y与x的函数表达式解：y1与x成正比例关系，设y1k1x(k10)y2与x成反比例关系，设y2k2x(k20)-3-yk1xk2x.把x2，y4 及x1，y5 代入yk1xk2x，得2k1k224，k1k25，解得k11，k24.yx4x.易错提醒：当一个函数的表达式由若干个常见的函数(正比例函数、反比例函数等)组成时，它们各自有待定系数，不能一律为k.本题易出现设y1kx(k0)，y2kx(k0)的形式，导致两个待定系数都是k的错误探究点三：列反比例函数关系式例 5 如图所示，某学校广场有一段 25 米长的旧围栏(图中用线段AB表示)现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为 100 平方米的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CDCF)，已知整修旧围栏的价格为 1.75 元/米，建新围栏的价格为 4.5 元/米，设所利用的旧围栏CF的长度为x米，修建草坪围栏所需的费用为y元(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若利用旧围栏 12 米，则计划修建费用应为多少元？解析：可先利用面积把长与宽表示出来，求出y与x之间的关系，再利用x12 求出y的值解：(1)S矩形CDEF100，CFx，CD100 x，y1.75x4.5(x200 x)6.25x900 x(10 x25)；(2)由(1)知y6.25x900 x(10 x25)，当x12 时，y6.25x900 x6.251290012150，即计划修建费用应为 150 元方法总结：解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围三、板书设计反比例函数概念：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成ykx（k为常数，k 0）的形式，那么称y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为0确定表达式：待定系数法教学反思结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象 利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，从而培养学生学习数学的兴趣-4--1-21.5 反比例函数21.5 反比例函数第 2 课时反比例函数的图象和性质第 2 课时反比例函数的图象和性质教学目标1会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；2理解并掌握反比例函数的性质。教学重难点【教学重点】反比例函数的图象和性质。【教学难点】根据具体条件合理利用反比例函数的图象和性质。课前准备课件等。教学过程一、情境导入已知某面粉厂加工出 4000 吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？二、合作探究探究点一：反比例函数的图象和性质【类型一】反比例函数图象的画法例 1 在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y5x和y5x的图象解：(1)列表：(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出 相 应 的点(3)连线：在各象限内，分别用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y5x和y5x的图象，如图x321123y5x5352555253y5x5352555253-2-【类型二】反比例函数的性质例 2 在反比例函数y1x的图象上有三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若x1x20 x3，则下列各式正确的是()Ay3y1y2 By3y2y1Cy1y2y3 Dy1y3y2.解析：本题方法较多，一是根据x1，x2，x3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数的性质比较；三是利用特值法(方法一)比较法：由题意，得y11x1，y21x2，y31x3，因为x1x20 x3，所以y3y1y2.(方法二)图象法：如图，在直角坐标系中做出y1x的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y3y1y2.(方法三)特殊值法：设x12，x21，x31，则y112，y21，y31，所以y3y1y2.故选 A.方法总结：此题的三种解法中，图象法直观明了，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答选择题很有效，要注意学会使用探究点二：反比例函数与一次函数的综合【类型一】反比例函数与一次函数图象的综合例 3 在同一直角坐标系中，函数ykxk与ykx(k0)的图象大致是()-3-解析：在同一直角坐标系中，函数ykxk与ykx(k0)的图象只有两种情况，当k0 时，ykx分布在第一、三象限，此时ykxk经过第一、三、四象限；当k0 时，ykx分布在第二、四象限，此时ykxk经过第一、二、四象限故选 D.方法总结：判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误【类型二】反比例函数与一次函数图象与性质的综合例 4 如图所示，一次函数yaxb的图象与反比例函数ykx的图象交于M、N两点(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围解析：(1)把点N(1，4)代入ykx即可求出反比例函数解析式，进而求出点M，再把M、N代入一次函数即可求出一次函数的解析式；(2)由图象可知当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围是x1 或 0 x2.解：(1)由反比例函数定义可知k(1)(4)4.y4x，而M(2，m)在反比例函数图象上m422，M(2，2)将M、N两点坐标代入一次函数解析式得2ab2，ab4，解得a2，b2，y2x2；(2)由图中观察可知，x的取值范围为x1 或 0 x 0时，两支双曲线分别位于第一、三象限当k 0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小当k 0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大反比例函数图象中比例系数k的几何意义教学反思通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲-1-21.5 反比例函数21.5 反比例函数第 3 课时反比例函数的应用第 3 课时反比例函数的应用教学目标教学目标【知识与能力】1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力。【过程与方法】用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。【情感态度价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神。教学重难点教学重难点【教学重点】利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。【教学难点】分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。课前准备课前准备课件等。教学过程教学过程一、情境导入我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压p(kPa)与气体体积V(m3)之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？二、合作探究探究点一：生活中的反比例函数例 1 做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识将一定体积的面团做成拉面，苗条的总长度y(m)是面条粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示(1)写出y与S之间的函数表达式；-2-(2)当面条的横截面积为 1.6mm2时，面条的总长度是多少米？(3)要使面条的横截面积不多于 1.28mm2，面条的总长度至少是多少米？解：(1)由题意可设y与S之间的函数关系式为ykS.点P(4，32)在图象上，32k4，k128.y与S之间的函数表达式为y128S(S0)；(2)把S1.6mm2代入y128S中，得y1281.680.当面条的横截面积为 1.6mm2时，面条的总长度是 80m；(3)把S1.28mm2代入y128S中，得y100.由图象可知，要使面条的横截面积不多于 1.28mm2，面条的总长度至少应为 100m.方法总结：解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系(即题中的变量与常量之间的关系)，抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题探究点二：物理学科中的反比例函数例 2 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木板，构筑成一条临时通道木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示(1)请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；(2)当木板面积为 0.2m2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过 6000Pa，木板的面积至少要多大？解：(1)设木板对地面的压强p(Pa)与木板面积S(m2)的反比例函数关系式为pkS(S0)因为反比例函数的图象经过点A(1.5，400)，所以k600.所以反比例函数的关系式为p600S(S0)；(2)当S0.2 时，p6000.23000，即压强是 3000Pa；(3)由题意知600S6000，所以S0.1，即木板面积至少要有 0.1m2.方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系pFS，当压力一定时，p与S成反比例另外利用反比例函数的知识解决实际问题，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型三、板书设计-3-反比例函数的应用反比例函数在实际生活中的应用反比例函数与其他学科知识的综合教学反思教学反思经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想-1-21.6 综合与实践获取最大利润21.6 综合与实践获取最大利润教学目标【知识与能力】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力。【过程与方法】应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题。【情感态度价值观】在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心。教学重难点【教学重点】二次函数在最优化问题中的应用。【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握。课前准备课件等。教学过程一、问题引入在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢?本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2(0t6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t2(0t6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.因此,当t=3时,h有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m.一般地,当a0(或a0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-2a/b时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(或大)值.二、新课教授问题1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l-2-是多少时,场地面积S最大?师生活动:学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答.教师巡视、指导,最后给出解答过程.解:矩形场地的周长是60 m,一边长l,则另一边长为(30-l),场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0l30).因此,当l=15(m)时,S有最大值=225(m2).即当l是15 m时,场地面积S最大,最大值是225 m2.问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?师生活动:教师分析存在的问题,书写解答过程.分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10 x件,实际卖出(300-10 x)元.销售额为(60+x)(300-10 x)元,买进商品需付40(300-10 x)元.因此,所得利润为y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x),(0 x30)即y=-10 x2+100 x+600=-10(x2-10 x)+600=-10(x2-10 x+25)+850=-10(x-5)2+850(0 x30)所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.思考:在降价的情况下,最大利润是多少?(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6 125元.)思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗?(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)问题3:图中是抛物线形拱桥,当