新教材适用2023_2024学年高中数学全一册学案打包61套新人教A版必修第一册.zip

11集合的概念11集合的概念第 1 课时集合的含义第 1 课时集合的含义学习目标1通过实例了解集合的含义2理解元素与集合的“属于”关系，掌握常用数集的表示符号并会应用核心素养1通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养2借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.知识点 1元素与集合的相关概念(1)元素(2)集合(3)集合中元素的特性：_确定性_、_互异性_和无序性提醒：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性反过来，一组对象若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合想一想：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准(2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定练一练：判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)集合中的元素只能是数、点、代数式()提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等(2)高中数学人教 A 版必修第一册课本上的所有难题能组成一个集合()提示：难题的标准不明确，无法构成一个集合(3)分别由元素 0,1,2 和 2,0,1 组成的两个集合是相等的()提示：因为这两个集合中的元素是一样的知识点 2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa_Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合AaAa_不属于_集合A提醒：和具有方向性，左边是元素，右边是集合练一练：(多选题)已知集合A由x3 的数构成，则有(BC)A3AB1AC0A D1A解析由 13,03，13，故选 BC知识点 3常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号 N N_ N N*或 N N_Z Z Q Q_R R想一想：N N，N N*，N N有什么区别？提示：(1)N N 为非负整数集(或自然数集)，而 N N*或 N N表示正整数集，不同之处就是 N N 包括0，而 N N*(N N)不包括 0.(2)N N*和 N N的含义是一样的，初学者往往会误记为 N N*或 N N，为避免出错，对于 N N*和 N N，可形象地记为“星星(*)在天上，十字()在地下”练一练：下列元素与集合的关系判断正确的是_(填序号)0N N；Q Q；2Q Q；1Z Z；2R R.解析，2为无理数，2为实数，故填.题型探究 题型一 集合的基本概念典例 1 2023 年 9 月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由(1)你所在班级中的全体同学；(2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过 178 cm 的同学；(4)班级中年龄比较小的同学；(5)班级中体重超过 75 kg 的同学；(6)学习成绩比较好的同学解析(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合(3)因为“身高超过 178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合(4)“年龄比较小”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合(5)“体重超过 75 kg”是确定的，所以可以构成一个集合(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合归纳提升判断一组对象能否组成集合的策略(1)注意集合中元素的确定性看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合(2)注意集合中元素的互异性、无序性对点练习(1)在 2022 年女足亚洲杯比赛中，下列能构成集合的是(B)A所有著名运动员B获得前四名的球队C比较受欢迎的球队D参加比赛的所有高个子队员(2)下列各组中，集合P与Q相等的是(A)AP是由元素 1，3，构成的集合，Q是由元素，1，|3|构成的集合BP是由 构成的集合，Q是由 3.141 59 构成的集合CP是由 2,3 构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合DP是满足不等式1x1 的自然数构成的集合，Q是方程x21 的解集解析(1)对于 A，所有著名运动员，没有一个确定的标准，不满足集合元素的确定性，故 A 不能构成集合；对于 B，获得前四名的球队是确定的，能构成一个集合；对于 C，比较受欢迎的球队，没有一个确定的标准，不满足集合元素的确定性，故 C 不能构成集合；对于 D，参加比赛的所有高个子队员，没有一个确定的标准，不满足集合元素的确定性，故 D 不能构成一个集合(2)由于 A 中P，Q的元素完全相同，所以P与Q相等，而 B，C，D 中P，Q的元素不相同，所以P与Q不相等题型二 元素与集合的关系典例 2(1)(多选题)下列结论中，正确的是(BCD)A若aN N，则1aN NB若aZ Z，则a2Z ZC若aQ Q，则|a|Q QD若aR R，则3aR R(2)(多选题)已知集合A中元素满足x3k1，kZ Z，则下列表示正确的是(BC)A2A B11AC3k21A D34A解析(1)A 不正确，反例：a1N N，1a1N N；B 正确，因为整数的平方仍是整数；C 正确，因为有理数的绝对值仍是有理数；D 正确，因为实数的立方根仍是实数(2)令 3k12，解得k13，13Z Z，所以2A；令 3k111，解得k103，103Z Z，所以11A；因为k2Z Z，所以 3k21A；令 3k134，解得k11，11Z Z，所以34A归纳提升判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接给出的；判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可(2)推理法使用前提：对于某些不便直接表示的集合；判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可对点练习(1)(多选题)下列关系中，正确的有(ABC)A12R R B5Q QC|3|N N D|3|Q Q(2)若集合A中的元素x满足63xN N，xN N，则集合A中的元素为_2,1,0_.解析(1)12是实数，5是无理数，|3|3 是自然数，|3|3是无理数因此，A、B、C 正确，D 错误，故选 ABC(2)由题意可得：3x可以为 1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为 2,1,0.因此A中元素有 2,1,0.题型三 集合中元素的性质典例 3 已知3 是由x2,2x25x,12 三个元素构成的集合中的元素，求x的值分析3 是集合的元素说明x23 或 2x25x3，可分类讨论求解解析由题意可知，x23 或 2x25x3.当x23 时，x1，把x1 代入 2x25x，得集合的三个元素分别为3，3,12，不满足集合中元素的互异性；当 2x25x3 时，x32或x1(舍去)，当x32时，集合的三个元素分别为72，3,12，满足集合中元素的互异性，故x32.归纳提升解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性对点练习 已知集合A中仅含有两个元素a3 和 2a1，若3A，则实数a的值为_0 或1_.解析3A，3a3 或32a1.若3a3，则a0，此时集合A中含有两个元素3，1，符合题意若32a1，则a1，此时集合A中含有两个元素4，3，符合题意综上所述，实数a的值为 0 或1.1(多选题)下列给出的对象中，不能构成集合的是(ABC)A一切很大的数B好心人C漂亮的小女孩 D不小于 3 的自然数解析“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项 A、B、C 中的元素均不能构成集合，故选 ABC2下列元素与集合的关系中，正确的是(B)A1N N B0N N*C3Q Q D25R R解析因为1 是整数，不是自然数，所以 A 不正确；因为 0 不是正整数，所以 B 正确；因为3是无理数，不是有理数，所以 C 不正确；因为25是实数，所以 D 不正确3若 1A，且集合A与集合B相等，则 1_B(填“”或“”)解析由集合相等的定义可知，1B.4已知集合A由a2a1，|a1|两个元素构成，若 3A，则a的值为_1 或4_.解析3A，a2a13 或|a1|3.若a2a13，则a2 或a1.当a2 时，|a1|3，此时与集合元素的互异性相矛盾，因此应舍去当a1 时，|a1|03，满足题意若|a1|3，则a4 或a2(舍去)当a4 时，a2a1213，满足题意综上可知a1 或a4.第 2 课时集合的表示第 2 课时集合的表示学习目标1初步掌握集合的两种表示方法列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用2会用集合的两种表示方法表示一些简单集合核心素养1通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养2借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.知识点 1列举法把集合的所有元素_一一列举_出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法想一想：一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序例如：a，b与b，a表示同一个集合练一练：不等式x32 且xN N*的解集用列举法可表示为_1,2,3,4_.知识点 2描述法1设A是一个集合，把集合A中所有具有_共同特征_P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x)2具体步骤(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围(2)画一条竖线(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征提醒：用描述法表示集合的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确练一练：1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3()(2)集合(1,2)中的元素是 1 和 2.()(3)集合Ax|x10与集合B1表示同一个集合()2用描述法表示函数y3x1 图象上的所有点的是(C)Ax|y3x1By|y3x1C(x，y)|y3x1Dy3x1解析该集合是点集，故可表示为(x，y)|y3x1，故选 C题型探究 题型一 用列举法表示集合典例 1 用列举法表示下列集合：(1)36 与 60 的公约数组成的集合；(2)方程(x4)2(x2)0 的根组成的集合；(3)一次函数yx1 与y23x43的图象的交点组成的集合分析(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示(3)联立Error!Error!求方程组的解写出交点坐标用集合表示解析(1)36 与 60 的公约数有 1,2,3,4,6,12，所求集合为1,2,3,4,6,12(2)方程(x4)2(x2)0 的根是 4,2，所求集合为2,4(3)方程组Error!Error!的解是Error!Error!所求集合为(75，25).归纳提升用列举法表示集合的 3 个步骤(1)求出集合的元素(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次(3)用花括号括起来提醒：花括号“”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集 R R 不能表示成R R对点练习 用列举法表示下列集合：(1)不大于 10 的非负偶数组成的集合；(2)方程x2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y2x3 与y轴的交点所组成的集合解析(1)因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大于或等于 0 的意思所以不大于10 的非负偶数集是0,2,4,6,8,10(2)方程x2x的解是x0 或x1，所以方程的解组成的集合为0,1(3)将x0 代入y2x3，得y3，即交点是(0，3)，故直线y2x3 与y轴的交点组成的集合是(0，3)题型二 用描述法表示集合典例 2 用描述法表示下列集合：(1)比 1 大又比 10 小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被 3 除余数等于 1 的正整数组成的集合解析(1)xR R|1x10(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为(x，y)|x0(3)x|x3n1，nN N归纳提升用描述法表示集合的 2 个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母对点练习 用描述法表示下列集合：(1)大于 6 的全体奇数组成的集合；(2)二次函数y3x21 图象上的所有点组成的集合；(3)所有的三角形组成的集合解析(1)奇数可表示为 2k1，kZ Z，又因为大于 6，故k3，故可用描述法表示为x|x2k1，kN N，且k3(2)点可用实数对表示，故可表示为(x，y)|y3x21(3)x|x是三角形题型三 集合中的方程问题典例 3 集合Ax|kx28x160(1)若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合；(2)若集合A中有两个元素，求实数k的值组成的集合分析(1)集合中只有一个元素，说明对应方程的根只有一个，分别寻找使方程只有一个根的条件，注意对方程是否为二次方程进行讨论(2)寻找使方程产生两个不等实根的条件解析(1)当k0 时，方程kx28x160 变为8x160，解得x2，满足题意；当k0，要使集合Ax|kx28x160中只有一个元素，则方程kx28x160 有两个相等的实数根，所以6464k0，解得k1，此时集合A4，满足题意综上所述，k0 或k1，故实数k的值组成的集合为0,1(2)由题意可知，方程kx28x160 有两个不等实根，故k0，且6464k0，即k1，且k0.所以实数k的值组成的集合为k|k1，且k0归纳提升集合与方程的综合问题的解题思路(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根(2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解若知道其解集，利用根与系数的关系，可快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围对点练习(1)已知集合Ax|x2axb0，若A2,3，求a，b的值(2)已知集合Mx|ax22x20，aR R中至多有一个元素，求实数a的取值范围解析(1)由A2,3知，方程x2axb0 的两根为 2,3，由根与系数的关系得Error!Error!因此a5，b6.(2)当a0 时，方程化为2x20，解得x1，此时M1，满足条件当a0 时，方程为一元二次方程，由题意得48a0，即a12，此时方程无实数根或有两个相等的实数根综合(1)(2)可知，当a12或a0 时，集合M中至多有一个元素题型四 集合中的新定义问题典例 4 当xA时，若x1A且x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A0,1,2,3,5中“孤立元素”组成的“孤星集”为_5_.分析准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键解析由“孤立元素”的定义知，对任意xA，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x1，也没有x1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0 有 1 相伴，1,2 则是前后的元素都有，3 有 2 相伴，只有 5 是“孤立元素”，从而集合A0,1,2,3,5中“孤立元素”组成的“孤星集”为5，故填5归纳提升解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决也就是“以旧带新”法对点练习 设P1,2,3,4，Q4,5,6,7,8，定义P*Q(a，b)|aP，bQ，ab，则P*Q 中元素的个数为(C)A4 B5C19 D20解析由题意可以采用列举的方式易得：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，P*Q中元素的个数为 19 个故选 C1下列集合中恰有 2 个元素的集合是(B)Ax2x0 By|y2y0Cx|yx2x Dy|yx2x解析选项 A 是以方程为元素的集合，其中只有一个元素B 选项中化简得0,1符合题意C 选项是个无限集，D 选项也是无限集2(多选题)由大于3 且小于 11 的偶数所组成的集合是(AD)A2,0,2,4,6,8,10B0,2,4,6,8,10Cx|3x11，x2kDx|3x11，x2k，kZ Z解析由题意可知，满足题设条件的有选项 AD，故选 AD.3下列集合中，不同于另外三个集合的是(C)Ax|x1 By|(y1)20Cx1 D1解析C 中集合是含有一个方程作为元素的集合，其他三个都是以实数 1 为元素的集合4设集合Ax|x23xa0，若 4A，用列举法表示集合A为_1,4_.解析4A，1612a0，a4，Ax|x23x401,412集合间的基本关系12集合间的基本关系学习目标1理解集合之间的包含与相等的含义2能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系3在具体情境中，了解空集的含义核心素养1通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养2借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.知识点 1子集、真子集、集合的相等(1)Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为_Venn 图_.(2)两个集合之间的关系定义符号表示图形表示子集如果集合A中_任意一个_元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A_B(或B_A)真子集如果集合AB，但存在元素_xB_，且_xA_，就称集合A是集合B的真子集AB(或B_A)集合相等如果集合A的_任何一个_元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个_元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A_B(3)子集的性质任何一个集合是它本身的_子集_，即AA对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么_AC_.想一想：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“”与“”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A1,3，B2,3，这两个集合就没有包含关系(2)“”是表示元素与集合之间的关系，比如 1N N，1N N.“”是表示集合与集合之间的关系，比如 N NR R，1,2,33,2,1“”的左边是元素，右边是集合，“”的两边均为集合练一练：1已知集合M1，N1,2,3，则有(D)AMNBMNCNM DMN解析11,2,3，11,2,3故选 D.2用适当的符号填空：(1)a_a，b，c；(2)0_x|x20；(3)_xR R|x210；(4)0,1_N N；(5)0_x|x2x；(6)2,1_x|x23x20知识点 2空集(1)定义：不含_任何_元素的集合叫做空集，记为_.(2)规定：_空集_是任何集合的子集提醒：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集想一想：，0，0与之间有怎样的关系？提示：与 0与0与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0 是实数不含任何元素；0含一个元素 0不含任何元素；含一个元素，该元素是关系00或练一练：下列四个集合中，是空集的为(B)A0Bx|x8，且x4解析x8，且x0，Qx|2x50Px|x2x0，Qx|x1(1)n2.分析(1)正确判断元素与集合、集合与集合的关系(2)结合每个集合中元素的形式和元素的取值进行判断(3)根据数集的意义、不等式表示的范围等方法进行判断解析(1)不含任何元素，0，故 A 错误；空集是任何集合的子集，故 B 正确；0,22,0，故 C 正确；D 错误，应该是00,1,2(2)在 A 中，M和N表示不同的点；在 B 中，M是空集，N是单元素集；在 C 中，M是数集，N是点集；在 D 中，My|yx21，xR Ry|y1，Nt|t(y1)21，yR Rt|t1因此，MN.故选 D.(3)因为P是偶数集，Q是 4 的倍数集，所以QP.Px|x30 x|x3，Qx|2x50 x|x52.所以PQ.Px|x2x00,1在Q中，当n为奇数时，x1(1)n20，当n为偶数时，x1(1)n21，所以Q0,1，所以PQ.归纳提升(1)集合间基本关系判定的两种方法和一个关键(2)证明集合相等的两种方法用两个集合相等的定义，证明两个集合A，B中的元素全部相同，即可证明AB；证明AB，同时BA，推出AB.对点练习 能正确表示集合MxR R|0 x2和集合NxR R|x2x0关系的 Venn图是(B)解析解x2x0 得x1 或x0，故N0,1，易得NM，其对应的 Venn 图如选项 B所示题型二 确定集合的子集、真子集典例 2(1)已知集合A1,2,3，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有(D)A2 个 B3 个C4 个 D5 个(2)已知集合A(x，y)|xy2，x，yN N，试写出A的所有子集解析(1)满足题意的集合A可以是1，3，1,2，1,3，2,3共有 5 个(2)因为A(x，y)|xy2，x，yN N，所以A(0,2)，(1,1)，(2,0)所以A的子集有：，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)归纳提升子集、真子集个数有关的 4 个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集有 2n个；(2)A的非空子集有 2n1 个；(3)A的真子集有 2n1 个；(4)A的非空真子集有 2n2 个对点练习 满足a，bAa，b，c，d，e的集合A的个数是(C)A2 B6C7 D8解析由题意知，集合A可以为a，b，a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e题型三 由集合间的关系求参数范围问题典例 3 已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1(1)若AB，求实数m的取值范围；(2)若BA，求实数m的取值范围分析借助数轴分析，注意对B为空集情况的讨论解析(1)当AB时，如图所示，此时B.Error!Error!即Error!Error!m不存在，即不存在实数m使AB.(2)当B时，若BA，如图所示，Error!Error!或Error!Error!解这两个不等式组，得 2m3.当B时，满足BA，由m12m1，得m2.综上可得，m的取值范围是m|m3归纳提升已知两个集合之间的关系求参数的策略1已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解2若集合为不等式的解集，常借助数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意区间端点处的值是否可取；若集合用列举法表示，可依据元素间的关系，转化为方程(组)求解对点练习(1)已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2，若BA，则实数m_1_；(2)已知集合Ax|x4，Bx|2axa3，若BA，求实数a的取值范围解析(1)因为BA，所以m22m1，即(m1)20，所以m1.当m1 时，A1,3,1，B3,1，满足BA，故m1.(2)当B时，只需 2aa3，即a3；当B时，根据题意作出如图所示的数轴，可得Error!Error!或Error!Error!，解得a4 或 2a3.综上可得，实数a的取值范围为a2.误区警示 忽视“空集”的存在典例 4 已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为(D)A1 B1C1,1 D1,0,1错解因为BA，而Bx|x1a，因此有1aA，所以a1，故选 C错因分析空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为.在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解 本例求解过程中有两处错误，一是方程ax1 的解不能写成x1a，二是忽视了BA时，B可以为空集事实上a0 时，方程无解正解因为BA，所以当B，即a0 时，Bx|x1a，因此有1aA，所以a1；当B，即a0 时满足条件综上可得实数a的所有可能取值的集合是1,0,1故选 D.方法点拨已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到1下列六个关系式：a，bb，a；a，bb，a；0；0；00其中正确的个数是(C)A1B3C4 D6解析正确，错误，故选 C2下列关系式正确的是(B)A00 B0C0,1(0,1)D(a，b)(b，a)解析对于 A,00，故 A 错误；对于 C，0,1是双元素集，而(0,1)是点集，故 C错误；对于 D，(a，b)和(b，a)是两个不同的点，故 D 错误，故选 B.3集合Ax|0 x3 且xZ Z的真子集个数是(C)A5 B6C7 D8解析Ax|0 x2_；(2)若BA，则a的取值范围为_a|1a2_.解析(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a2.(2)若BA，则集合B中的元素都在集合A中，则a2.因为a1，所以 1a2.1.3集合的基本运算1.3集合的基本运算第 1 课时并集与交集第 1 课时并集与交集学习目标1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点、难点)2能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用(难点)核心素养1借助 Venn 图培养直观想象素养2通过集合并集、交集的运算提升数学运算素养.知识点 1并集1定义2性质AA_A_，AA想一想：集合AB的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？提示：不一定AB的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和拓展正确理解并集的概念(1)AB仍是一个集合，它是由A与B两个集合中的所有元素(重复元素只出现一次)组成的对于任意两个集合A，B，A(AB)；若ABB，则AB.(2)“xA或xB”这一条件包括下列三种情况：xA，但xB；xB，但xA；xA，且xB.用 Venn 图表示如图所示因此，AB是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合练一练：设集合M0,1,2，N2,4，则MN(D)A0,1,2B2C2,4 D0,1,2,4解析MN0,1,22,40,1,2,4知识点 2交集1定义2性质AAA，A.练一练：1已知集合A1,0,1,2，Bx|x21，则AB(A)A1,0,1 B0,1C1,1 D0,1,2解析Bx|x21x|1x1，AB1,0,1,2x|1x11,0,1，故选 A2已知集合Mx|5x3，Nx|4x5，则MN(A)Ax|4x3Bx|5x4Cx|3x5Dx|5x5解析MNx|5x3x|4x5x|4x3，故选 A题型探究 题型一 并集的概念及其应用典例 1(1)设集合A1,2,3，B2,3,4,5，求AB；(2)设集合Ax|3x5，Bx|2x6，求AB.分析第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便解析(1)AB1,2,32,3,4,51,2,3,4,5(2)画出数轴如图所示：ABx|3x5x|2x6x|37，则MN(B)A7,9 B5,7,9C3,5,7,9 D1,3,5,7,9(2)设集合A1,2,4，Bx|x24xm0，若AB1，则集合B(D)A3,1 B0,1C1,5 D1,3解析(1)Nx|x72，故MN5,7,9，故选 B.(2)AB1，1B，1 是方程x24xm0 的根，14m0，m3.Bx|x24x30 x|(x1)(x3)01,3题型三 集合的交集、并集性质的应用典例 3(1)设集合Mx|2x5，Nx|2tx2t1，tR R，若MNM，则实数t的取值范围为_t|t2_.(2)设Ax|x22x0，Bx|x22axa2a0若ABB，求a的取值范围；若ABB，求a的取值分析(1)把MNM转化为NM，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解(2)先化简集合A，B，再由已知条件得ABB和ABB，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围解析(1)由MNM得NM，当N时，2t12t，即t13，此时MNM成立当N时，由数轴可得Error!Error!解得13t2.综上可知，实数t的取值范围是t|t2(2)由x22x0，得x0 或x2.A0,2ABB，BA，B，0，2，0,2当B时，4a24(a2a)4a0，a0；当B0时，Error!Error!a0；当B2时，Error!Error!无解；当B0,2时，Error!Error!得a1.综上所述，得a的取值范围是a|a1 或a0ABB，AB.A0,2，而B中方程至多有两个根，AB，由知a1.归纳提升利用交、并集运算求参数的思路(1)涉及ABB或ABA的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系对点练习(1)已知Ax|axa3，Bx|x5若AB，求实数a的取值范围；若ABB，求实数a的取值范围(2)已知集合Mx|2x40，集合Nx|x23xm0当m2 时，求MN，MN；当MNM时，求实数m的值解析(1)因为AB，所以Error!Error!解得1a2.因为ABB，所以AB，所以a5 或a35 或a4.(2)由题意得M2当m2 时，Nx|x23x201,2，MN2，MN1,2MNM，MN，M2，2N，2 是关于x的方程x23xm0 的解，即 46m0，解得m2.1设集合Ax|2x4，B2,3,4,5，则AB(B)A2B2,3C3,4 D2,3,4解析由题设有AB2,3，故选 B.2(多选题)若集合MN，则下列结论正确的是(BC)AMNN BMNNC(MN)N DN(MN)解析MN，MNM，MNN.(MN)N，(MN)N.故选 BC3设集合A2,4,6，B1,3,6，则如图中阴影部分表示的集合是(C)A2,4,6 B1,3,6C1,2,3,4,6 D6解析 图中阴 影表示AB，又因为A 2,4,6，B 1,3,6，所 以AB1,2,3,4,6，故选 C4若集合Ax|1x5，Bx|x1，或x4，则AB R R_，AB_x|1x1，或 4x5_.解析借助数轴可知：ABR R，ABx|1x1，或 4x0，Bx|2xa，Bx|x2，又ABB，AB.a2.第 2 课时补集及综合运用第 2 课时补集及综合运用学习目标1在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示2理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集3会用 Venn 图、数轴进行集合的运算核心素养1通过补集的运算，培养数学运算素养2借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.知识点 1全集1概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的_所有元素_，那么就称这个集合为全集2记法：通常记作_U_.想一想：全集一定是实数集 R R 吗？提示：不一定全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集 R R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集 Z Z.知识点 2补集拓展正确理解全集、补集的概念(1)全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集 R R，而在整数范围内解不等式，全集为整数集 Z Z；(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割，若没有定义全集，则不存在补集的说法；(3)A和UA都是全集U的子集若xU，则xA或xUA，二者必居其一练一练：1已知集合Ax|x7，则R RA(B)Ax|5x7Bx|5x7Cx|x7Dx|x5x|x7解析Ax|x7，R RAx|5x7，故选 B.2已知集合U1,2,3,4,5，集合A1,3,4，B2,4，则(UA)B(A)A2,4,5B1,3,4C1,2,4 D2,3,4,5解析UA2,5，(UA)B2,52,42,4,5题型探究 题型一 补集的基本运算典例 1(1)已知全集为U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合B_2,3,5,7_.(2)已知全集Ux|x5，集合Ax|3x5，则UA_x|x3，或x5_.分析(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助 Venn 图求解(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解解析(1)A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，B2,3,5,7(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示由补集的定义可知 UAx|x0，Ax|2x6，则UA_x|0 x2，或x6_.解析(1)因为AxN N*|x61,2,3,4,5,6，B2,4，所以AB1,3,5,6故选 C(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，UAx|0 x2，或x6题型二 交集、并集、补集的综合运算典例 2 已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB)分析对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出UA及UB，再求解解析如图，由图可得UAx|x2，或 3x4如图，由图可得UBx|x3，或 2x4如图，由图可得ABx|2x2，(UA)Bx|x2 或 3x4，A(UB)x|2x3归纳提升求集合交、并、补运算的方法对点练习(1)已知集合U1,2,3,4，A1,3，B1,3,4，则A(UB)_1,2,3_.(2)设UR R，Ax|x0，Bx|x1，则A(UB)(B)Ax|0 x1Bx|0 x1Cx|x0 Dx|x1解析(1)UB2，A(UB)1,2,3(2)UR R，Bx|x1，UBx|x1又Ax|x0，A(UB)x|0 x1题型三 与补集相关的参数值的求解典例 3 已知全集UR R，设集合Ax|xm0，Bx|2x4(1)若(UA)B，求实数m的取值范围；(2)若(UA)B，求实数m的取值范围分析由(UA)B或(UA)B为切入点，借助数轴分析UA与B的关系，从而得出m的取值范围解析(1)由已知Ax|xm，得UAx|xm，因为Bx|2x4，(UA)B，在数轴上表示，如图，所以m2，即m2，所以m的取值范围是m|m2(2)由已知得Ax|xm，所以UAx|x2，解得m2.所以m的取值范围是m|m2归纳提升由集合的补集求解参数的方法(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解(2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解对点练习(1)设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，则实数a的值为_2_.(2)设UR R，Ax|axb，若UAx|x4，则ab_7_.解析(1)UA5，5U，且 5Aa22a35，解得a2 或a4.当a2 时，|2a1|35，此时A3,2，U2,3,5，符合题意当a4 时，|2a1|9，此时A9,2，U2,3,5，不满足条件UA5，故a4 舍去综上知a2.(2)UR R，Ax|axb，UAx|xb又UAx|x4，a3，b4，ab7.误区警示 忽视空集的特殊性典例 4 已知AxR R|x3，BxR R|ax2a1，若ABA，则实数a的取值范围为_a|a3_.错解ABA，BA，从而有Error!Error!或Error!Error!解得a3.故实数a的取值范围是a3.错因分析由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有AA，所以错解忽略了B时的情况正解ABA，BA当B时，有Error!Error!或Error!Error!解得a3.当B时，由a2a1，得a1.综上可知，实数a的取值范围是a|a3，故填a|a3方法点拨有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A；(2)对于任意集合A，皆有AA，因此，如果AB，就要考虑集合A或B可能是，如果ABA，就要考虑集合B可能是.1已知全集U0,1,2，且UA2，则A(D)A0B1C D0,1解析U0,1,2，UA2，A0,1，故选 D.2已知全集UR R，集合Ay|yx23，xR R，Bx|2x4，则图中阴影部分表示的集合为(B)Ax|2x3 Bx|2x3Cx|2x3 Dx|2x3解析yx233，所以