陕西省商洛市2023-2024学年高三上学期第一次模拟检测文数试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司商洛市商洛市 2024 届高三第一次模拟检测届高三第一次模拟检测数学试卷（文科）数学试卷（文科）考生注意：考生注意：1.本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.2请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容.第第卷卷一一选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题

2、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,0,1,3,0,2,3AB，则AB（）A.2,1 B.2,1,2 C.0,3 D.2,0,1,2,32.12i43i（）A.25i77 B.21i55C.25i77 D.21i553.在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，若24,3,sin3abA，则B（）A.6 B.6或56 C.3 D.3或234.已知1.1112310.9,log,log 23abc，则（）A.abc B.acbC.cab D.bac5.根据国家统计局发布的数据，我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是

3、（）学科网（北京）股份有限公司A.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%B.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%C.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的极差为14.9%D.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%6.已知5sin3sin2，则tan2（）A.34 B.34 C.43 D.437.已知抛物线2:6C yx，过点4,2A的直线l与抛物线C交于,M N两点，若MAAN，则直线l的斜率是（）A.23 B.34 C.43 D.328.已知函数 22

4、,1,32,1xax xf xa xx是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（）A.1,3 B.1,2 C.2,3 D.0,39.已知函数 221 exf xxxax在R上单调递增，则a的最大值是（）A.0 B.1e C.e D.310.已知某比赛在,A B C D这 4 支队伍之间进行，且D队伍有一名主力队员缺席，导致D队伍无缘前 2名，假设剩下的 3 支队伍的水平相当，则,A B这 2 支队伍都进入前 3 名的概率是（）A.13 B.12 C.23 D.3411.已知,A B是直线32y 与函数 sin(0)6f xx图象的两个相邻交点，若6AB，则（）A.4 B.4 或 8 C.2 D.

5、2 或 1012.在正四棱台1111ABCDABC D中，11124 3,10ABABAA，点P在底面ABCD内，且14AP，则P的轨迹长度是（）A.5 36 B.5 33 C.6 D.12第第 II 卷卷二二填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.学科网（北京）股份有限公司13.已知单位向量,a b满足27ab，则向量,a b的夹角是_.14.已知实数,x y满足约束条件22 0,1 0,2,xyxyx.，则zxy 的最大值为_.15.在正四面体ABCD中，,E F是棱,BC AB的中点，则异面直线DE与CF所成角的余弦值是_.16.过双曲线

6、2222:1(0,0)xyCabab的右焦点2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且C的左顶点为222,abB ABab，则C的离心率为_.三三解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.（12 分）在等差数列 na中，25612,11aaa.（1）求 na的通项公式；（2）若2nanb

7、，求数列 nb的前n项和nS.18.（12 分）镇安大板栗又称中国甘栗东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按30,40),40,50),50,60),60,70),70,80分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在30,40和70,80内的板栗中抽取 5 颗，再从这 5 颗板栗中随机抽取2 颗，求抽取到的 2 颗板栗中至少有 1 颗的质量在30,40内的概率.学科网（北京）股份有限公司19.（12 分）如图，在三棱柱111ABCAB

8、C中，1AA 平面,ABCABC是等边三角形，且D为棱AB的中点.（1）证明：AB 平面1CC D.（2）若1236AAAB，求点1B到平面1ABC的距离.20.（12 分）已知点121,0,1,0FF，动点M满足124MFMF，动点M的轨迹记为E.（1）求E的方程；（2）过点2F的直线l与E交于,A B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值.21.（12 分）已知函数 2sinf xxx.（1）求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）证明：516f x .（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做

9、，则按所做的第一个题目计分如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为13cos,3sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是cos3 sin80.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知直线1:3l，在第一象限内，直线1l与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求AB的值.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 2f xx.（1）求不等式 25f xx的解集；学科网（北京）股份有限公司（2）若 3f xxa恒成立，求a的取值范围.商洛市商洛市 202

10、4 届高三第一次模拟检测届高三第一次模拟检测数学试卷参考答案（文科）数学试卷参考答案（文科）1.C 由题意可得0,3AB.2.B 2212i43i12i43i8i6i21i43i43i43i169i55.3.A 由正弦定理可得sinsinabAB，则sin1sin2bABa，则6B 或56.因为2sin3A，所以6A，则6B.4.D 因为1.10121323100.90.91,loglog 31,log 2log 203，所以bac.5.C 我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%,3.1%，4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4

11、%.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%,A正确.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为5.5%7.6%6.55%,B2正确.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的极差为15.9%,C错误.我国今年 3 月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为12.5%3.1%4.6%5.5%7.6%10.6%12.7%18.4%88.125%,D正确.6.B 因为5sin3sin2，所以cos3sin，所以1tan3，则22tan3tan21tan4.7.D 设1122,M x yN xy，则124yy，

12、故直线l的斜率212122212121263266yyyykyyxxyy.8.B 因为 f x是定义在R上的增函数，所以1,30,1232,aaaa 解得12a.9.A 由题意可得 2 e2xfxxxa.因为 f x在R上单调递增，所以 2 e20 xfxxxa恒成学科网（北京）股份有限公司立，即2 e2xaxx恒成立.设 2 e2xg xxx，则 22 e2xgxx.当x 0 时，0gx，当0 x 时，0gx，则 g x在,0上单调递减，在0,上单调递增，故 min()00g xg，即0a.10.C 这 4 支队伍按排名先后的情况有,ABCD ABDC ACBD ACDB BACD BADC

13、，,BCAD BCDA CABD CADB CBAD CBDA，共 12 种，其中,A B这 2 支队伍排在前 3 位的情况有,ABCD ABDC ACBD BACD BADC BCAD CABD CBAD，共 8 种，故所求概率82123P.11.D 设 f x的最小正周期为T，则16ABT或56ABT，即266或1066，解得2或10.12.B 如图 1，连接AC，作1AHAC，垂足为H，易证1AH 平面ABCD.因为11124 3,10ABABAA，所以6AH，则22112AHAAAH.因为点P在底面ABCD内，且14AP，所以2 3PH.以H为圆心，2 3为半径画圆，如图 2，则MN是

14、P的轨迹.分别作,HEAM HFAN，垂足分别为,E F.由题意可得3,2 3HEHFHMHN，则3MHENHF，从而56MHN，故P的轨迹长度是55 32 363.13.3 因为27ab，所以22447aa bb.因为|1ab，所以12a b，则1cos,2|a ba ba b，故向量,a b的夹角是3.14.4 画出可行域（图略），当直线zxy 经过点2,6A时，z取得最大值，且最大值为 4.15.16 如图，取线段BF的中点G，连接,DG EG DF.易证EGCF，则DEG是异面直线DE与CF所成的角或其补角.设4AB，则2 3,1DECFDFGF，从而学科网（北京）股份有限公司2213

15、,132EGCFDGGFDF.在DEG中，由余弦定理可得2221cos26DEEGDGDEGDE EG.16.2 设O为坐标原点，C的焦距为2c.过点A作AH垂直于x轴，垂足为H（图略）.易得2,abAFb AHc，则由22|OAOHOF，得2aOHc，所以2223|aabBHaABAHcc，得3cab，所以2222()33cabca，故2cea.17.解：（1）设数列 na的公差为d，由题意可得251612512,511,aaadaad解得11,2ad.故1121naandn.（2）由（1）可得212nnb，则2112nnb，从而14nnbb.因为12b，所以 nb是首项为 2，公比为 4

16、的等比数列.由等比数列的前n项和公式可得211121 42211 43nnnnbqSq.18.（1）解：因为0.0080.018100.260.5,0.260.032 100.580.5，所以该板栗园的板栗质量的中位数在50,60内.设该板栗园的板栗质量的中位数为m，则500.0320.260.5m，解得57.5m，即该板栗园的板栗质量的中位数约为 57.5.学科网（北京）股份有限公司（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在30,40内的板栗中抽取0.00850.0080.0122 颗，分别记为,a b；从质量在70,80内的板栗中抽取0.012530.0080.012颗，分别记为,c d

17、e.从这 5 颗板栗中随机抽取 2 颗的情况有,ab ac ad ae bc bd be cd ce de，共 10 种，其中符合条件的情况有,ab ac ad ae bc bd be，共 7 种，故所求概率710P.19.（1）证明：由三棱柱的性质可知1CC1AA.因为1AA 平面ABC，所以1CC 平面ABC.因为AB 平面ABC，所以1CCAB.因为D为AB的中点，且ABC是等边三角形，所以CDAB.因为1,CD CC 平面1CC D，且1CCCDC，所以AB 平面1CC D.（2）解：因为1236AAAB，所以13,2AAAB，则11BBC的面积12 332S .作AEBC，垂足为E，

18、易证AE 平面11BBC.因为ABC是等边三角形，所以3AE，则1 11133333A BB CVS AE.因为1CC 平面ABC，所以11,CCAC CCBC，则1113ACBC，故1ABC的面积11213 12 32S .设点1B到平面1ABC的距离为d，则三棱锥11BABC的体积11112 333BABCVS dd.因为111 1BABCA BB CVV，所以2 333d，所以32d.学科网（北京）股份有限公司20.解：（1）因为121242MFMFFF，所以E是以12,F F为焦点，且长轴长为 4 的椭圆.设E的方程为22221(0)xyabab，则24a，可得2a.又1c，所以222

19、3bac，所以E的方程为22143xy.（2）由题意可知直线l的斜率不为 0，设直线1122:1,l xmyA x yB xy.联立221,1,43xmyxy整理得2234690mymy，则222(6)4 34914410mmm，12122269,3434myyy ymm .由弦长公式可得2221222691143434mABmyymmm 2212134mm.点O到直线l的距离211dm，则OAB的面积22161.234mSAB dm设21 1tm，则226661313143ttStttt.因为1t，所以134tt，所以32S，当且仅当0m 时，32S.21.（1）解：cos2,01,00fx

20、xx ff.故曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为yx.（2）证明：由（1）得 cos2fxxx.令函数 u xfx，则 sin20uxx，所以 u xfx是增函数.因为 1101,cos1022ff，学科网（北京）股份有限公司所以存在01,02x，使得000cos20fxxx，即22001cos4xx，所以当0,xx 时，0fx，当0,xx时，0fx，则 f x在0,x上单调递减，在0,x上单调递增，所以 2220000000111sinsincossinsin444f xf xxxxxxx.因为01,02x，所以0110sinsinsin262x，所以22001111115sinsin44422416xx .故 516f x .22.解：（1）由13cos,3sinxy（为参数），得22(1)3xy，即22220,xyx则曲线C的极坐标方程为22 cos20.（2）联立2,32 cos20,解得2A或1A（舍去）.联立,3cos3 sin80,解得4B.故2ABAB.23.解：（1）25f xx等价于2 0,2 25xxx或20,225,xxx解得3x，即不等式 25f xx的解集为,3.（2）3f xxa恒成立，即23xxa恒成立.因为222xxaxxaa，所以23a，解得1a或5a，即a的取值范围是,51,.