2023年中考数学压轴题专题33 圆与新定义综合问题【含答案】.pdf

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1、专题33圆与新定义综合问题典例剖析.【例11(2022 石景山区一模)在平面直角坐标系x Oy中，点尸不在坐标轴上，点。关于x 轴的对称点为尸1，点尸关于y轴的对称点为尸2，称尸出尸2为点尸的关联三角形”.(1)已知点/(1,2),求点/的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点8(加，m),。7的圆心为7(2,2),半径为2.若点8的“关联三角 形”与。T有公共点，直接写出加的取值范围；(3)已知。的半径为厂，OP=2r,若点尸的“关联三角形”与。有四个公共点，直接 写出NPP1P2的取值范围.54325 4 3 2 1 01-2-3-4-52 3 4 5 K【例2】2022 朝阳区二模)在

2、平面直角坐标系x Oy中，。的半径为1,AB=1,且/,B 两点中至少有一点在。外.给出如下定义：平移线段得到线段4 B CA,B 分别为点4,3的对应点)，若线段，B 上所有的点都在。的内部或。上，则线段 长度的最小值称为线段43到。的“平移距离”.(1)如图1,点4,囱的坐标分别为(-3,0),(-2,0),线段小小到的“平移距 离”为，点42,助的坐标分别为(-/日)，(，如),线段色灯到OO的“平移距离”为;(2)若点/,3都在直线夕=愿x+2向上，记线段到。的“平移距离”为d,求d 的最小值；(3)如图2,若点/坐标为(1,愿)，线段43到。的“平移距离”为1,画图并说明 所有满足条

3、件的点8形成的图形(不需证明).业三角形（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是;（填序号）等边三角形；等腰直角三角形；含30角的直角三角形；含120角的等腰三 角形.（2）如图1,48。是。O的内接三角形，4。为直径，D为48上一点,且80=240,作 DELOA,交线段04于点E交。于点E,连接3E交NC于点G.试判断和4夕后 是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出世的值；如果不是，请说明理由；BE（3）如图2,在（2）的条件下，当AF：FG=2：3时，求N3EQ的余弦值.【例4】（2022清苑区二模）【问题提出】如图1,。0与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为“，

4、且交。O于尸、。两点（。在尸、之间）.我们把点尸称为。关于直线a的“远点”，把尸。的值称为OO 关于直线a的“远望数”.（1）如图2,在平面直角坐标系x Oy中，点E的坐标为（0,4）,过点E画垂直于y轴的直 线加，则半径为1的。关于直线机的“远点”坐标是，直线机向下平移 个单位长度后与。相切.(2)在(1)的条件下求关于直线机的“远望数”.【拓展应用】(3)如图3,在平面直角坐标系x Qy中，直线/经过点(6、花，0),与y轴交于点N,点尸坐标为(1,2),以月为圆心，。9为半径作。?若。/与直线/相离，。是。尸关于 直线/的“远点”.且。/关于直线/的“远望数”是12、而，求直线/的函数表

5、达式.一.解答题(共20题)1.(2022长沙县校级三模)约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中 有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”.例如：如 图1,在/8C中，4D为边8c上的中线，与48。相似，那么称/BC为关于边 3C的“优美三角形”.(1)如图2,在48C中，B C=42AB,求证：N5C为关于边3C的“优美三角形”；(2)如图3,已知/BC为关于边3C的“优美三角形”，点。是/台。边3C的中点，以 B D为直径的。恰好经过点力.求证：直线口与。相切；若。的直径为2加，求线段的长；(3)已知三角形48c为关于边8。的“优美三角形，B

6、C=4,/B=30,求/8C的面 积.AA2.(2022西城区校级模拟)点尸(1,yi),Q(X2,工)是平面直角坐标系中不同的两个点，且X1WX2.若存在一个正数左，使点尸，。的坐标满足心-|=川11-%2|，则称尸，。为一对“限斜点”，人叫做点尸，0的“限斜系数”，记作左(尸，。).由定义可知，k(P,Q)=k(。，P).例：若尸(1,0),Q(3,具有=-3,所以点P,。为一对限斜点，且限斜系数”为上.4已知点/(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,).2(1)在点4,B,C,。中，找出一对“限斜点”：,它们的“限斜系数”为；(2)若存在点及 使得点,4是一对“限斜点”，点8

7、也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1.求点E的坐标；(3)。半径为3,点为。上一点，满足附=1的所有点T,都与点。是一对限斜点”，且都满足左(T,C)21,直接写出点的横坐标知/的取值范围.3-21-3-2-1-1D-t _B_L,1-2 3力C3.(2022常州一模)对于平面直角坐标系中的图形、N,给出如下定义：尸为图形 上任意一点，。为图形N上任意一点，如果尸、。两点间的距离有最小值，那么称这个 最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d(，N).已知点/(-2,6),5(-2,-2),C(6,-2).(1)d(点 O,/5C)；(2)线段是直线=%(-2Wx W2)上的一部分，若

8、d(L,4AB C)=1,且的长度最长时，求线段两个端点的横坐标;（3）。7的圆心为丁（/,0）,半径为1.若d（OT,AAB C）=1,直接写出，的取值范围.4.（2022秦淮区二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆；与矩形 两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第H类圆.【初步理解】（1）如图，四边形/8CQ是矩形，。和。2都与边相切，。2与边相 切，。1和。3都经过点8,。3经过点。，3个圆都经过点C.在这3个圆中，是矩形 4BCQ的第I类圆的是,是矩形4BCQ的第II类圆的是.【计算求解】（2）已知一个矩形的相邻

9、两边的长分别为4和6,直接写出它的第I类圆和第H类圆的半径长.【深入研究】（3）如图，已知矩形/8C。，用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）作它的1个第I类圆;作它的1个第II类圆.B45.（2022丰台区二模）在平面直角坐标系x Oy中，。的半径为1,4为任意一点，B为。上任意一点.给出如下定义：记4 3两点间的距离的最小值为夕（规定：点/在。上时，p=0）,最大值为q,那么把号的值称为点4与。的“关联距离”，记作d（/,O（9）.（1）如图，点。，E,尸的横、纵坐标都是整数.d（。，0（9）=;若点在线段9上，求d（，。）的取值范围；（2）若点N在直线上，直接写出d（N

10、,。0）的取值范围；（3）正方形的边长为处 若点尸在该正方形的边上运动时，满足d（P,。）的最小值为 1,最大值为技，直接写出机的最小值和最大值.6.（2022大兴区一模）在平面直角坐标系x Oy中，。的半径为1,已知点/,过点/作 直线对于点4和直线MN,给出如下定义：若将直线朋N绕点/顺时针旋转，直线 MN与。（9有两个交点时，则称MV是。的“双关联直线”，与。有一个交点尸时，则 称MV是。的“单关联直线”，AP是。的“单关联线段”.（1）如图1,A（0,4）,当MN与y轴重合时，设N与。交于C,Q两点.则N是。的“关联直线”（填“双”或单”）；的值为；AD（2）如图2,点/为直线y=-3

11、x+4上一动点，/尸是。的“单关联线段”.求04的最小值；直接写出/尸。面积的最小值.7.（2022宁波模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相 切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边.(1)如图1,/台。中，AB=CB,ZA=30，点。在/C边上，以。为半径的。恰 好经过点8,求证：。是45。的切圆.(2)如图2,/8C中，AB=AC=5,B C=6,。是45。的切圆，且另外两条边都是。的切边，求。的半径.(3)如图3,A/BC中，以为直径的。恰好是ABC的切圆，4C是。的切边,0O与B C交于点F,取弧B F的中点D,连接AD交B C于点E,过点E作

12、EHLAB于点H,若 CF=8,5F=10,求 4。和 的长.图3图18.(2022朝阳区一模)在平面直角坐标系中，对于直线/：y=kx+b,给出如下定义:若直线/与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.(1)如图1,。的半径为1,当左=1,6=1时，直接写出直线/关于。的“圆截距”；(2)点收的坐标为(1,0),如图2,若。的半径为1,当6=1时，直线/关于。的“圆截距”小于泥，求左的取值范围；如图3,若。的半径为2,当上的取值在实数范围内变化时，直线/关于。的“圆截距”的最小值2,直接写出6的值.9.(2022郭州区校级一模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学

13、家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.(1)若平行四边形是“婆氏四边形，则四边形是 (填序号)；矩形 菱形 正方形(2)如图，四边形/BCQ内接于圆，尸为圆内一点，ZAPD=ZB PC=90,且/。尸=ZPB C,求证：四边形为“婆氏四边形”；(3)在(2)的条件下，B D=4,且 AB=MDC.当。=2、笈时，求4c的长度；当DC的长度最小时，请直接写出tanZADP的值.10.(2022城关区校级模拟)如图，在平面直角坐标系X0中，点/与点8的坐标分别是(1,0)

14、,(7,0).(1)对于坐标平面内的一点尸，给出如下定义：如果N/P3=45,那么称点尸为线段43 的“完美点”.设/、B、尸三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是,。的半径是；V轴正半轴上是否有线段48的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)若点尸在y轴负半轴上运动，则当N4PB的度数最大时，点尸的坐标为.11.(2021 常州一模)在平面直角坐标系宜中，。的半径是丁正，A,8为。O外两点,AB=2五.给出如下定义：平移线段使平移后的线段/B 成为。的弦(点4,B 1分别为点/,3的对应点)，线段44长度的最小值成为线段到。的“优距离”.图1 图2(1)如图1,

15、。中的弦尸1尸2、尸3尸4是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是;在点P，尸2,P3,尸4中，连接点4与点 的线段长度等于线段到。的“优距商;(2)若点/(0,7),B(2,5),线段44的长度是线段43到。的“优距离”，则点 的坐标为;(3)如图2,若4 3是直线y=-x+6上两个动点，记线段43到。的“优距离”为力 则d的最小值是;请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母.12.(2022秋姜堰区期中)如图1,在平面内，过。7外一点尸画它的两条切线，切点分别 为M、N,若NMPN290。，则称点尸为。7的“限角点”.(1)在平面直角坐标系x Oy中，当。半径为1时，在Pi(

16、1,0),尸3(-1，-1),尸4(2,-1)中，。的“限角点”是；(填写序号)(2)如图2,。4的半径为加,圆心为(0,2),直线/：=-a+6交坐标轴于点3、C,4若直线/上有且只有一个。的“限角点”，求人的值.(3)如图3,E(2,3)、F(1,2)、G(3,2),。的半径为泥,圆心。从原点O出发，以&个单位/s的速度沿直线/：y=x向上运动，若MG三边上存在。的“限角点”，请直接写出运动的时间/(s)的取值范围.尸给出如下定义：将点尸绕点逆时针旋转90,得到点P,点P关于点N的对称点为0,称点。为点尸的“对应点”.(1)如图1,若点在坐标原点，点N(1,1),点尸(-2,0)的“对应点

17、”。的坐 标为;若点尸的对应点。的坐标为(-1,3),则点尸的坐标为；(2)如图2,已知。的半径为1,是。0上一点，点N(0,2),若尸(心，0)(wl)为。外一点，点。为点尸的对应点，连接尸。.当点/(a,b)在第一象限时，求 点。的坐标(用含a,b,加的式子表示)；当点在。0上运动时，直接写出长的 最大值与最小值的积为.(用含，的式子表示)图1 图214.(2022秋海淀区校级月考)在平面直角坐标系中，已知。的半径为2,对于点P,直线/和。0,给出如下定义：若点P关于直线/对称的点在。上或。的内部，则称点P为。关于/的反射点.(1)已知直线/为x=3,在点Pi(4,0),Pi(4,1),尸

18、3(5,1)中，是OO关于/的反射点有；若点。为x轴上的动点，且点。为。关于/的反射点，则点。的横坐标的最大值 为.(2)已知直线/的解析式为歹=区+2(ZWO),当上=-1时，若点尸为直线上的动点，且点。为。关于/的反射点，则点尸的纵坐标，的取值范围是；点3(2,2),。(如，1),若线段3C的任意一点都为。关于/的反射点，则上的取 值范围是.54325432-4-3-2-1 1 2 3 4 5 1-4324 1 2 3 4 5I I-1-2-3-1-2-315.(2022钟楼区校级模拟)在平面直角坐标系x Oy中，正方形/3CQ的顶点分别为/(0,1),5(-1,0),C(0,-1),。(

19、1,0).对于图形给出如下定义：尸为图形”上任 意一点，。为正方形/BCD边上任意一点，如果P,0两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形的“正方距”，记作d().已知点E(3,0).直接写出d(点E)的值；过点E画直线=区-3左与y轴交于点R当d(线段所)取最小值时，求左的取值范 围；设7是直线=-尤+3上的一点，以T为圆心，衣长为半径作0 T.若d(OT)满足d(07)_10+泥，直接写出圆心T的横坐标的取值范围.汁 汁A A备用图16.(2021秋慈溪市期中)如图1,在OO中，弦/。平分圆周角NB/C,我们将圆中以/为公共点的三条弦氏4,CA,。/构成的图形称为圆中的“爪形/”，弦B

20、 A,CA,称为“爪 形/”的爪.(1)如图2,四边形内接于圆，AB=B C.证明：圆中存在“爪形。；若N ADC=20,求证：AD+CD=B D.(2)如图3,四边形48CD内接于圆，其中A4=8C,连接80.若此时“爪形 Q”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果.17.(2021秋润州区校级月考)在平面直角坐标系x Oy中，。的半径为尸是与圆心。不重合的点，点尸关于。的反称点的定义如下：若在射线。尸上存在一点尸，满足 CP+CP=2r,则称尸为点。关于。的反称点，如图为点夕及其关于。的反称点尸 的示意图.(1)当。的半径为1时，分别判断点“(3,1),N(-1,0),7(-1,V3)

21、关于O。的反称点是否存在？若存 在，直接求其坐标；将。沿x轴水平向右平移1个单位为。0,点。在直线歹=-尤+1上，若点尸关于。的反称点P存在，且点P不在坐标轴上，则点尸的横坐标的取值范围；(2)。的圆心在工轴上，半径为1,直线y=-x+12与x轴，y轴分别交于点4、B,点E 与点D分别在点A与点B的右侧2个单位，线段AE、线段3Q都是水平的，若四边形AB DE 四边上存在点P,使得点夕关于。的反称点P在OC的内部，直接写出圆心C的横坐标 的取值范围.18.(2021 建邺区二模)【概念学习】在平面直角坐标系x Oy中，。的半径为1,若。平移d个单位后，使某图形上所有点在。内或。上，则称d的最小

22、值为。对该图形的“最近覆盖距离”.例如，如图，A(3,0),B(4,0),则。对线段的“最近覆盖距离”为3.【概念理解】(1)。对点(3,4)的“最近覆盖距离”为.(2)如图，点尸是函数y=2x+4图象上一点，且。对点尸的“最近覆盖距离”为3,则点尸的坐标为.【拓展应用】(3)如图，若一次函数歹=区+4的图象上存在点C,使。对点。的“最近覆盖距离”为1,求左的取值范围.(4)D(3,加)、E(4,加+1),且-4VaV2,将。=心+6与轴交于点M 且与歹轴交十点N,若线段上存在点/关于。的“生长点”，直接写出6的取值范围是.20.(2022东城区校级开学)在平面直角坐标系x Qy中，给出如下定

23、义：若点。在图形 上，点。在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N).特 别地，若图形，N有公共点，规定d(跖 N)=0,如图，点/(-2向，0),B(0,2).（1）如果。的半径为 2,那么 d（A,。0）=,d（B,。0）=；（2）如果。的半径为r,且d（。，线段/B）0,求r的取值范围；（3）如果。（0,小）是y轴上的动点，。的半径为1,使d（。，线段48）1,直接 写出加的取值范围为.典例剖析.【例1】(2022石景山区一模)在平面直角坐标系x Oy中，点。不在坐标轴上，点。关于x 轴的对称点为尸1，点尸关于y轴的对称点为尸2，称尸1尸尸2为点尸的关联

24、三角形”.(1)已知点/(1,2),求点/的关联三角形”的面积；(2)如图，已知点8(m,m),。7的圆心为7(2,2),半径为2.若点8的“关联三角 形”与。丁有公共点，直接写出机的取值范围；(3)已知OO的半径为厂，OP=2y，若点尸的“关联三角形”与OO有四个公共点，直接【分析】(1)根据x轴，y轴对称，求出相应的对称点坐标，根据三角形面积公式求出面积 即可；(2)四边形。是。丁的外接四边形，0求出点。的坐标，即可判断；(3)分两种情形：当尸尸2与。相切于点E时，如图2中，当尸尸1与。相切于点尸时，如图3中，分别求解即可.【解答】解：(1).点4(1,2)关于x轴对称的对称点(1,-2)

25、,点/关于产轴对称的 点/2(-1,2),SAAA.A.=1.X2X4=4；2(2).。丁的圆心为了(2,2),半径为2,四边形。是。T的外接四边形(如图1中)，：.D(4,4),.点3的“关联三角形”与。T有公共点，且3(加，),/.2-近(3)当尸尸2与。相切于点E时，如图2中,：OE=r,OP=2r,：./OPE=30,：.ZOPP=ZOPP=60,.当60 ZOPiP90时，点2的“关联三角形”与。有四个公共点.：.ZOPF=ZOPP=3Q,.,.当0。ZOPiP 30时，点P的关联三角形”与O。有四个公共点，综上所述，点尸的“关联三角形”与。有四个公共点，/尸尸上2的取值范围为：0=

26、24.11综上，。的半径为丝或2支；5 11(3)解：连接4尸，如图,cEBD.15为。的直径，：.AFB C.是ZBC的切圆，ZC是0O的切边，：.AB LAC.：./ACF/B AF.AF BF-=-.CF AF.AF 10 1=一.8 AF:.AF=4 娓.c=Vcf2+af2=12，=-/aF2+BF2=疾.。是弧Bb的中点，/FAD=/B AD.FE=AF_ 4代二2BE-AB 67 5 一3演 FE=2k,则 6E=34，；B F=FE+B E=13：.2k+3k=O.：.k=2.：.EF=4,B E=6.,:EH LAB,AC1AB,：.EH/AC.BE E H ,-.BC AC

27、._ 6_ _ E H8+10 W:.EH=4.8.(2022朝阳区一模)在平面直角坐标系x Oy中，对于直线/：y=kx+b,给出如下定义:若直线/与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.(1)如图1,。的半径为1,当攵=1,6=1时，直接写出直线/关于。的“圆截距”;(2)点A/的坐标为(1,0),如图2,若OM的半径为1,当6=1时，直线/关于。的“圆截距”小于诋，求女的取值范围；如图3,若O”的半径为2,当上的取值在实数范围内变化时，直线/关于。的“圆截 距”的最小值2,直接写出b的值.【分析】(1)根据上和6的值直接写出直线的解析式，设直线与x轴交于点/,与

28、歹轴交于 点8,根据勾股定理求出“圆截距”即可；(2)根据圆的垂径定理，确定弦长为生而时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析 5式，根据直线的增减性确定左的取值范围即可；当最短弦长为2时，分弦在x轴上方和x轴下方两种情况讨论求解.【解答】解：k=,b=,二.直线/的解析式为y=x+l,设直线与x轴交于点4,与y轴交于点8,则/(-1,0),B(0,1),；.AB=V 12+12=V2即直线/关于。的“圆截距”为企；(2)图2如图2,设直线与丁正半轴交点为P,且P(0,1),.点的坐标为(1,0),O”的半径为1,二.圆与x轴正半轴交点为0(2,0),当6=1时，直线/的解析式为y=h c+l,

29、当直线经过点。时，2H1=O,解得k=-；2过点作M/LL尸0,垂足为E：OP=,0。=2,-2=7 12+22=V5 J/.sin ZPQO=-=P Q疾 5sinZPQO-,MQ 5设直线PQ与圆的另一个交点为C,则 QC=2QF=-,5关于。加的“圆截距”小于空区,5：.k的取值范围是-工无V0；2设直线尸用与圆的交点为N,.,点P(0,1),点”的坐标为(1,0),：.OP=OM,：.ZPMO45 ,：,ZQMN=45 ,根据圆的对称性，直线尸。和直线尸。关于直线0N对称，此时比=。3,:./DMN=45 ,：.ZDMQ=90,二。的坐标为(1,-1),:+1=-1,解得k=-2,直线

30、尸。的解析式为y=-2x+l,关于0M的“圆截距”小于空区，5化的取值范围是左V-2；综上，上的取值范围是攵-2或-工%0.2当上的取值在实数范围内变化时，直线/关于。”的“圆截距”的最小值2,设直线与y轴交点为。(0,/77),则过0点的“圆截距”的最小值2,如下图，BP RT=2,MQRT,由题知，为等边三角形，A ZM/?2=60,.*.2M=2Xsin 60=%，由勾股定理得，00=北 2 _ 2=泥,根据图形的对称性可知，6的值为土加.9.(2022郭州区校级一模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角

31、线互相垂直的圆 内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.(1)若平行四边形A8CQ是“婆氏四边形，则四边形/BCD是 (填序号)；矩形 菱形 正方形(2)如图，四边形/BCD内接于圆，。为圆内一点，ZAPD=ZB PC=90,且N4DP=ZPB C,求证：四边形为“婆氏四边形”；(3)在(2)的条件下，B D=4,且43=我。.当。=2我时，求4c的长度；当QC的长度最小时，请直接写出t a n N/Q0的值.【分析】(1)利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“婆氏四边形”的定义和正方 形的判定定理解得即可；(2)连接4C,交PD于点、G,交B D于点E,利

32、用相似三角形的判定与性质得到力尸Cs DPB,NPAC=NPDB；再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；(3)设利用相似三角形的性质得到CE=JEx，在Rt ADEC中，利用勾股定 理列出方程即可求得x的值，进而利用相似三角形的性质求得4E的长，结论可求；设QC的长度为a,CE=x,在Rt a OEC中，利用勾股定理列出方程，利用 20即可求 得。的最小值，利用(3)中的方法求得x值，再利用相似三角形是性质和直角三角形 的边角关系定理即可求得结论.【解答】(1)解：若平行四边形是“婆氏四边形，则四边形是正方形.理由：四边形AB CD是平行四边形，/AB C=ZADC.二四边形是圆内接四边

33、形，A ZAB C+ZADC=ISO.A ZAB C=ZADC=90.平行四边形是矩形.四边形ZBCO是“婆氏四边形”，：.ACB D.矩形43CQ是正方形.故答案为：；(2)证明：连接4C,交PD于点G,交B D于点、E,如图,:/APD=/B PC=9G,且NADP=NPB C,：.APDsB PC.AP P D-=-.P C P BV ZAPD=ZB PC=90,ZAPD+ZDPC=ZB PC+ZDPC.即：ZAPC=ZDPB.：.dAPCs ADPB.：.ZPAC=ZPDB.V ZAPD=90,A ZPAC+ZPGA=90./PGA=/DGE,:.NPDB+/DGE=90.：.ZGED

34、90.：.AC-LB D,.四边形/BCQ内接于圆，.四边形力BCD为“婆氏四边形”；(3)解：由(2)知：AC工B D与点、E,设CE=x,：/AEB=/DEC=9G,/B 4C=/B DC,AAB EsDCE.BE AB =.CE CD,:ab=6dc,:.B E=gCE=Mx.：B D=4,.DE4-y/3x.：CE2+DE2=CD2,-x2+（4-V3x）2=（2V3）2-解得：V2.当=禽+/时.，B E=Q=3W4,.%=W5不合题意，舍去.:.BE=Mx=3-娓.：.DE=B D-B E=y+.：LAB EsADCE,.迪也3D E CD V3/.AE=3&+愿.：.AC=AE+

35、CE=3y/2+y/3+43-&=2百+2企；设QC的长度为a,CE=x,:/AEB=/DEC=90,/B AC=NB DC,：.AAB EsADCE.BE AB*CE W:AB=DC,：.BE=42CE=42x.V5Z）=4,：.DE=4-愿x.CE2+DE2CD2,x2+（4-V3x）2=a2-.4 x+16-f l2=0.A=（-873）2-4X4（16-/）20,J24.：a0,a2,有最小值2.即QC的长度最小值为2.A x2+（4-V3x）2=22-解得：X=:.CE=M.:.B E=3.:.DE=B D-B E=1.：.AE=y/3DE=y3.：.AC=AE+CE=2yJj-由(

36、2)知：APDs/BPC,.AP 二 AC 二 2加二我而司:4 一.在 RtAP Z)中，tan ZADP-.P D 210.(2022城关区校级模拟)如图，在平面直角坐标系x Oy中，点/与点8的坐标分别是(1,0),(7,0).(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果N/PB=45,那么称点。为线段A8 的“完美点”.设4、8、尸三点所在圆的圆心为C,则点。的坐标是(4,3),G)。的半径是 3后；y轴正半轴上是否有线段A8的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有,请说明理由；(2)若点尸在丁轴负半轴上运动，则当N/P8的度数最大时，点P的坐标为(0,-6.【分析】(

37、1)过点。作CZ)_L/8于点。，利用圆周角定理和垂径定理计算。，4。的长 度，进而得到线段OQ的长度即可得到点。坐标；利用勾股定理即可求得/C的长度，则OC的半径可求；设OC交歹轴于点。，E,连接CD,CE,过点。作CG_LCQ于点G,CF上4B于点、F,利用（1）的结论和垂径定理计算线段EG的长度，则线段OE,0。的长度可求，结论可 得；（2）设。与歹轴切于点P 在歹轴上任取一点。（与点。不重合），连接80,AQ,B Q 与OC交于点。，连接力。，利用圆周角定理和三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，得到当点。为。与y轴的切点时，当N/尸8的度数最大，利用切割线定理求出线段。的 长即可得出

38、结论.【解答】解：（1）点/与点8的坐标分别是（1,0）,（7,0）,：.OA=1,08=7.：.AB 6.过点C作CQL48于点。，如图，则 4D=8D=Lb=3.2：.OD=AO+AD=4.V ZAPB=45,:.NACB=2NAPB=90：CDAB,CA=CB,：.CDAB=3.2：.C(4,3)./c=VaD2-K：D2=3V2.0C的半径是3&.故答案为：(4,3)；3&；V轴正半轴上有线段的完美点”，理由：设。交歹轴于点。，E,连接CD,CE,过点。作CG_LCD于点G,CF_L4g于点R 如 图，则ZAEB=ZADB=ZAPB=45.VCGVDE,CFL4B,Z(9=90,四边形

39、。尸CG为矩形.：.CG=OF=4,OG=CF=3.在 中，：EG2=CE2-CG2,AG=Vce2-cg2=V2-:.GE=DG=.：.OE=OG-GE=3-OD=OG+DG=3+yJ2-:.E(0,3-近),D(0,3+&).轴正半轴上有线段45的“完美点”，“完美点”的坐标为(0,3+&)或(0,3-V2);(2)设。与y轴负半轴切于点尸，在7轴负半轴上任取一点。(与点。不重合)，连接3。，AQ,3。与。交于点。，连接/Q,如图，ZADB ZAQB,：.ZAOB ZAQB.当。运动到OC与轴切时，N/尸8的度数最大./P是。的切线，:.op2=oa*ob.；.OP=T0A0B=7 1X

40、7=V7.：.p（o,-V7）.故答案为（o,-V7）.11.（2021常州一模）在平面直角坐标系x Oy中，。的半径是 m，4,3为。外两点,AB=2版.给出如下定义：平移线段使平移后的线段/B 成为。的弦（点T,B,分别为点/,8的对应点），线段44长度的最小值成为线段到。的“优距离”.图1 图2（1）如图1,。中的弦尸1尸2、尸3尸4是由线段43平移而得，这两条弦的位置关系是 平行；在点尸1，尸2,尸3,尸4中，连接点/与点 P2的线段长度等于线段到G）。的“优距离”；（2）若点/（0,7）,B（2,5）,线段44的长度是线段A8到。的“优距离”，则点H的坐标为（1,3）；（3）如图2,

41、若/,8是直线y=-x+6上两个动点，记线段A8到。的“优距离”为d,则d的最小值是2一；请你在图2中国出d取得最小值时的不意图，并标记相应的字 母.【分析】（1）根据平移的性质，可以得到尸1尸2尸3P4，由图可以得到4尸2的长度等于 线段到。的“优距离”；（2）根据定义和（1）提示，可以知道，平移/瓦使对应点落在圆上，即在圆上满足48/A B ,AB=A B,这样的B 只有两条，别切位于圆心两侧，根据题意画出草 图，可以得到如图1的位置，线段是线段48到。的优距离，利用/和8坐标，求 出直线解析式，从而得到直线加B 的比例系数左=-1,同时可以得到4W为等腰 直角三角形，因为/B =2让,过

42、。作B,利用垂径定理和勾股定理，求出 OH=2尬,利用N/MO=45,得到。刀11为等腰直角三角形，过作HE，轴于点，从而可以求得“（2,2）,得到直线H B 解析式为歹=7+4,设，（a,-a+4）,过/作x轴于尸，在Rt a H Ob中，利用勾股定理，列出方程即可求解；（3）由（2）可知，48经过平移，对应点落在圆上，AB/A B ,AB=A B,符合条 件的/B 只有两条，并且位于。点两侧，如图2,根据垂线段最短，当8时，d 最小，过。作B,分别交4 B 于H,交48于T,用（2）中方法求解。和 OT,得到T的长度，即可解决.【解答】解：（1）.18平移得到乃乃，：.AB/PPi,同理，

43、AB P3P4,.尸1尸2尸3尸4,由图可得，连接点4与点02的线段长度等于线段43到。的“优距离”，故答案为：平行，为,；（2）如图1,过夕作3GJ_y轴于G,则G（0,5）,，ZG=8G=2,NG4B=NGA4=45,:.AB=B G=2瓜设直线45为=辰+7,代入点8,得k=-1,直线 AB 为 y=-x+7,设直线4B交x轴于M,轴，.Gx 轴，A ZAMO ZGB A45 ,由（1）可得，平移48,使对应点落在O上，此时48/B,且B,这样的对应线段有两条，分别位于圆心。点两侧，所以当4,在如图位置时，线段44的长度是到。的“优距离”，过。作0_L/B,分别交B 于，交AM于T A

44、B /AM,：.ZOHB =ZOTM=90,:./TOM=90-ZAMO45 ,连接H O,VOHVA 1 B,H=B =#B?=V5在 中，qh=7a/O2-Az H2=2V2 J过作HELc轴于E,.sin Zr(9M=sin 45o=_IO H 2:.HE=OE=2,：.H(2,2),：AB/A B,二.设直线B 为y=-x+z,代入点，得加=4,二.直线4 B 为产-x+4,设/(a,-a+4),过/作/T7，轴于尸，在 Rt Z/O月中，A。2=。卢+/产，/.a2+(-a+4)2=10,：.a=l 或 3,V-V10a/5,：AB/A B,：.ZOTM=ZOHB =90,二.OTL

45、MN,又MON是等腰直角三角形，0r=yMN=yVo M2-K)N2=372，.,htot-ohS，：A AAB,OTLAB,：.AA/OT,又 AB/B,四边形/4777为平行四边形，d=AA=HT=9即d的最小值为企-12.(2022秋姜堰区期中)如图1,在平面内，过。7外一点尸画它的两条切线，切点分别 为M、N,若/MPN洛0,则称点。为OT的“限角点”.(1)在平面直角坐标系x Oy中，当。半径为1时，在Pi(1,0),p(-1,工)，P3(-1，-1)，。4(2,-1)中，。的“限角点”是；(填写序号)(2)如图2,。/的半径为衣，圆心为(0,2),直线/：=-m+6交坐标轴于点8、

46、C,4若直线/上有且只有一个。的“限角点”，求6的值.(3)如图3,E(2,3)、F(1,2)、G(3,2),。的半径为衣，圆心Q从原点O出发,以我个单位/的速度沿直线/：y=x向上运动，若AEFG三边上存在。的“限角点”，请 直接写出运动的时间-(s)的取值范围.式进行判断即可；(2)由题意可知，当夕为圆/的“限角点”时，a 2 2当，=昱互时，EFG边上开始出现。的“限角点”，2当圆Q移动到E点在圆上时，DE=近，(L2)2+U-3)2=2,解得尸金巫或尸豆返，2 2.3一+w/5*时,瓦7G边上存在。的“限角点”，当圆Q再次移动到点E在圆上时，DE=五,Ct-2)2+(Z-3)2=2,解

47、得 t=54V5 或5V5,2 2当，=旦2应时，跖G三边上开始又要出现。的“限角点”；2设直线EG的解析式为丁=京+6,直线y=x与直线EG的交点设为点H,.f2k+b=3*l3k+b=2，解得。=-1，lb=5解得 y=-x+5,联立方程组y-x+5,ly=x百x2解得，：，5ly=7：.H(i当。H=2 时，2(L$)2=4,2解得 尸祀+1或t=-,当片企+与,FG边上存在。的“限角点”，2.5+尸_l）为。外一点，点。为点尸的对应点，连接P。.当点（a,b）在第一象限时，求 点。的坐标（用含a,b,加的式子表示）；当点M在。上运动时，直接写出。长的 最大值与最小值的积为 4於-16m

48、+8.（用含用的式子表示）图1 图2【分析】(1)根据定义直接运算即可：先求出。点关于N(1,1)的对称点为尸(3,-1),将P绕M点顺时针旋转90得到 点尸，过尸作P凡Lx轴于点E 过点尸作尸E_Lx轴于点E,可证明尸OE之OPb(44S),再由全等的性质求出P点坐标即可；(2)过点作跖，比轴于点尸，过点P作PELEF交于点E,由(1)可得AMPFmA PME(44S),根据三角形全等的性质求出P Ca+b,b+m-a),再由对称性求出Q C-a-b,4-b-m+a)；。点绕。点逆时针旋转90后得到点G,则G(0,用)，由可求出GP=&,贝UP 在以G为圆心，。工为半径的圆上，设G点关于N点

49、的对称点为，则(0,4-加)，求 得QH=M，则0点在以为圆心加为半径的圆上，再根据两个相交圆的性质，分别求 出尸。的最大值为2m+2&-4,尸。的最小值为2加-2&-4,最后求出乘积即可.【解答】解:(1).,尸(-2,0),尸点绕点逆时针旋转90得到点P(0,-2),.点P关于点N的对称点为Q,：.Q(2,0)；故答案为：(2,0)；的坐标为(-1,3),.0点关于N(1,1)的对称点为P(3,-1),将P绕M点顺时针旋转90得到点P,过户作PFLc轴于点R过点尸作尸E_Lx轴于点,V ZPOP=9Q,/.ZPOE+ZFOP=90,V ZEPO+ZEOP=90,ZFOP=ZEPO,*：OP

50、=OP,r./POE/OPF(AAS),：.EO=PF=,PE=OF=3,：.P(-1.-3),故答案为：(-1,-3)；(2)过点作7LLr轴于点R过点P作交于点由(1)可得AMPF注APME(AAS),：.MF=EP,FP=ME,M(a,b),P(m,0),.EF=b+m-a,EP=b,.P(a+b,b+m-a),V 点、N(0,2),.Q(-a-b,4-h-m+a)；P点绕O点逆时针旋转90后得到点G,G(0,m),.P(a+b,b+m-a),.*.GP=5/2(a2+b2)J,：M(a,b)在圆。上，a2+b1=,:.GP=5.P在以G为圆心，&为半径的圆上，设G点关于N点的对称点为，