高考数学一轮复习基础知识：集合与常用逻辑用语.docx

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1、高考数学一轮复习基础知识集合与常用逻辑用语集合1集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算常用逻辑用语(1)理解命题的概念(2)了解“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，

2、会分析四种命题的相互关系(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义(5)理解全称量词与存在量词的意义(6)能正确地对含有一个量词的命题进行否定第一讲 集合知识能力解读知能解读 (一)集合的基本概念及表示方法1集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集通常用大写字母，表示集合中的每个对象叫做这个集合的元素通常用小写字母，表示2集合中元素的三个特征(1)确定性设是一个给定的集合，是某一具体的对象，则是的元素，或者不是的元素，两种情况必有一种且只有一种成立这个特性常用来判断涉及的总体能否构成集合(2)互异性集合中的元

3、素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同元素都认为是一个元素，在用列举法表示时也只能写一个例如方程的解组成的集合，必须写成这个特性常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素(3)无序性集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而排列次序不同的集合认为是相同的集合例如集合与集合是相同的集合这个特性常用来判断两个集合的关系3集合的分类(1)集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作注意：空集中没有任何元素要区分和，集合中

4、有1个元素0，而中没有任何元素，两者有着本质的不同空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程的解集和不等式的解集都是空集4集合的表示方法(1)列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法使用列举法时，需注意以下几点：元素间用分隔号“，”；元素不重复；元素无顺序；对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号如：从1到100的所有整数组成的集合可以表示为(2)描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，即其中竖线“”左边表示集合中的代表元素，右边表示集合中元素满足的条件如：所有的直角三角形的集

5、合可以表示为是直角三角形(3)图示法为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合如图所示，表示集合5常用数集的符号为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集的表示方法，请牢记数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或知能解读 (二)集合间的基本关系 表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同，子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素或真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素或空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，提示：“”是表示集合中的元素与集合关系的

6、符号，而“”与“”是表示两个集合间包含和真包含关系的符号，在书写时应注意区分有两种情况：和若，则中至少存在一个元素不属于知能解读 (三)集合与集合间的运算集合运算自然语言描述符号表示Venn图表示并集一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作，读作“并”，或交集一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，读作“交”，且全集与补集(1)一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作(2)对于一个集合，由全集中不属于的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，且2集合中常用的

7、运算性质(1)若，则；若，则(2)；若，则(3)，(4)，(5)，(6)(7)，(8)若，则，反之变成立知能解读 (四)有限集的子集个数公式设有限集中有个元素，则的子集有个，其中真子集的个数为，非空子集的个数为，非空真子集的个数为解题方法荟萃数学思想方法思想方法 (一)分类讨论思想它是根据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别求解，并综合得出答案的一种数学思想在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应该是科学的、合理的，要满足无重复、无遗漏、最简的原则(二)数形结合思想数形结合的解题方法，就是把数学问题中的数量关系和几何图形结合起来进行探索分析的思维方法其实质就

8、是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，抽象思维和形象思维结合起来，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，通过“数”和“形”的联系与转化，化难为易，增强直观性，从而使问题得到解决数形结合包含两重意义：(1)以形助数；(2)以数解形所谓“以形助数”就是将待研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形，通过几何图形的直观性寻找原问题的解题思路，从而获解；所谓“以数解形”就是借助代数计算等确定几何图形的某些属性 (三)补集思想 (四)分析法 (五)列举法 (六)Venn图法解题规律技巧 (一)集合语言与集合思想在解题中的应用 (二)利用数轴解决集合间的关系问题 (三)集合中元素的“三性”及应用 (四)点集运算

9、转化处理易混易错辨析(一)因没有弄清集合的代表元素而导致错误(二)勿忘空集防“陷阱”高考命题研究纵观近几年高考试题，集合部分以考查基础知识为主，涉及集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等核心考点是集合的交集、并集和补集运算，既有列举法表示的集合，又有描述法表示的集合，有时还会与不等式、函数、方程等知识结合，题型为选择题或填空题，难度不大高考热点 (一)集合的基本概念(二)集合间的基本关系的判定与应用(三)集合的基本运算(四)集合中的新定义题附录 常用公式定理1常用符号属于不属于包含于真包含于包含真包含不包含于不包含空集符号集合相等符号交集符号并集符号全集符号补集符号自然数集整数集正整数

10、集有理数集实数集无理数集复数集奇数集偶数集2常用公式3常用定理传递性：若集合，则；若集合，则第二讲 常用逻辑用语知识能力解读知能解读 (一)四种命题及其关系1命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题例如：“3是12的约数”“是整数”都是命题说明：(1)并不是任何语句都是命题一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命一题(2)一个命题，一般可以用小写英文子母表示，如，2四种命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做

11、原命题的逆命题一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的否命题一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做原命题的逆否命题3表示形式一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若，则；逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则4四种命题的关系四种命题的关系如图所示：点拨：互为逆否的两个命题的真假性相同，互逆或互否的两个命题的真假性没有关系(二)充分条

12、件、必要条件、充要条件定义从集合观点看若，则是的充分条件若集合，则是的充分条件若，则是的必要条件若集合，则是的必要条件若且，则是的充分不必要条件若集合，则是的充分不必要条件若且，则是的必要不充分条件若集合，则是的必要不充分条件若，则是的充分必要条件若集合，则是的充分必要条件若，则是的既不充分也不必要条件若集合且，则是的既不充分也不必要条件说明：由上表可知，判断充分条件、必要条件、充要条件时应采用以下方法：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，如果，则充分性成立，是的充分条件；(3)再考虑从结论推条件，如果，则是的必要条件，必要性成立；(4)证明命题的条件是充要的，则既要证明

13、充分性又要证明必要性(三)逻辑联结词：“或”“且”“非”(1)或：联结两个命题，得到新命题或记作(2)且：联结两个命题，得到新命题且记作(3)非：对一个命题全盘否定，得到新命题非p记作(四)真值表表示命题真假的表叫做真值表利用真值表可判断含逻辑联结词的命题的真假且或非真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真提示：“”有假则假，全真才真；“”有真就真，全假才假，“”与“”真假相反(五)命题的否定与否命题(1)命题的否定只否定命题的结论，它和原命题真假相反；而否命题是既否定条件，又否定结论，它和原命题的真假性无关(2)写“非”或否命题时，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定因此掌握常见的正面叙

14、述词语以及它们的否定同语卜分必要，具体列表如下：正面词语等于()大于()小于()能是都(全)是否定词语不等于()不大于()不小于()不能不是不都(全)是正面词语至多一个至少有一个至多个或且否定词语至少两个一个也没有至少个非且非非或非(3)命题“”与“”的否定；(六)量词与命题1全称量词短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示2全称命题含有全称量同的命题，叫做全称命题全称命题就是形如“对中的所有，有成立”的命题，用符号简记为3存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示4特称命题

15、(存在性命题)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)，用符号简记为5全称命题与特称命题的否定命题命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题解题方法荟萃数学思想方法思想方法 (一)转化与化归思想在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，最终解决问题，这就是转化与化归思想转化后的新问题与原问题实质一样时，这样的转化我们叫它等价转化(二)数形结合思想(三)分类讨论思想(四)反证法(1)反证法是常用的间接证法之一它的实质是当证明“若，则”感到困难时，改证命题“若，则”不成立(2)反证法证题的步骤：第一步，假设结论的反面成立；第

16、二步，从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；第三步，由矛盾判定假设不成立，从而肯定结论正确由于反证法是很有用的方法，所以应当学会使用反证法来证明用直接法证明感到困难的问题，在立体儿何中经常使用这种方法证明否定形式的命题也经常用反证法解题规律技巧规律技巧 (一)应用互为逆否命题的等价性解题由于原命题与它的逆否命题等价，即具有相同的真假性，在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题，这种方法是间接证明命题的方法(二)利用集合关系判断充要条件设与相应的集合为，与相应的集合为，则有如下结论：(1)若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件；(2)若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条

17、件；(3)若，则与互为充要条件(也称等价条件)；(4)若且，则既不是的充分条件，也不是的必要条件(三)全称命题与特称命题的真假判定方法要判定全称命题“”是真命题，必须对限定集合中的每一个元素验证成立；若要判定全称命题“是假命题，只要能找出某一个，使得不成立即可(举反例法)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，能找到一个，使得成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题易混易错辨析易混易错 (一)分不清条件的充分性与必要性而致误在利用充分条件、必要条件解题时，常因弄反条件的充分性与必要性致错(二)对命题的否定与否命题区别不清而致误命题的否定只否定命题的结论，不否定

18、命题的条件，而否命题既要否定命题的结论，又要否定命题的条件高考命题研究命题、逻辑联结词与充要条件在高考中的考查，以命题的基本概念及充要条件为主，重点考查命题真假的判定、充要条件的判定，考题多为选择题另外，高考中这部分知识也可以和其他知识如函数、方程、不等式、数列、解析几何等相结合在知识交汇点处命制综合性大题，以考查学生分析问题和解决问题的能力全称命题、特称命题的否定及其真假判断也是高考的热点高考热点 (一)命题的四种形式与关系及其真假判断结合其他章节内容来考查命题的概念及其真假判断是常考题，应加以重视(二)充要条件的判定充要条件的判定，重在“从定义出发”，利用命题“若，则”的真假进行区分，具体

19、解题时，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，防止南辕北辙(三)含有逻辑联结词的命题的真假判断判断含有逻辑联结词的命题的真假关键是理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，利用真值表判断命题的真假(四)全称命题与特称命题(存在性命题)的真假判断要判断全称命题“”是真命题，需要对集合中每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使得不成立，那么这个命题就是假命题要判断特称命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题就是假命题(五)全称命题与特称命题(存在性命题)的否定附录 常用公式定理1常用符号或且非任意存在是成立的充分条件是成立的必要条件是成立的充要条件，是成立的充分不必要条件，是成立的必要不充分条件，是成立的充要条件2常用结论(1)原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题先进价(2)原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆(3)原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否(4)在或命题中，一真为真(5)在且命题中，一假为假(6)非命题，与命题的真假相反(7)全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题