近世代数期末考试题库.docx

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1、世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 ABR(实数集)，如果 A 到B 的映射j ：xx2， xR，则j 是从 A 到B 的（ c ） A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合B 中含有 2 个元素，那么，A 与B 的积集合AB 中含有（ d ）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G 中方程ax=b，ya=b， a,bG 都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一 B

2、、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n 阶有限群 G 的子群H 的阶必须是n 的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合 A = -1,0,1； B = 1,2，则有B A = 。2、若有元素eR 使每aA，都有ae=ea=a，则 e 称为环R 的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环 R 的乘法交换，则称R 是一个交

3、换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A 的若干个-变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1 ， 元a 的逆元是a -1 。8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ，如果I 是R 的最大理想，那么。9、一个除环的中心是一个-域。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设置换s 和t 分别为：s = 12345678 ，t = 12345678 ，判断s 和t 的奇偶性，并把s 和t6417352823187654写成对换的乘积。2、证明：任

4、何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇 1、解：把s 和t 写成不相杂轮换的乘积：s = (1653)(247)(8)t = (123)(48)(57)(6)可知s 为奇置换，t 为偶置换。s 和t 可以写成如下对换的乘积：s = (13)(15)(16)(24)(27)t = (13)(12)(48)(57)92 解：设 A 是任意方阵，令B = 1 ( A + A)2C = 1 ( A - A)，2，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且 A = B + C 。若令有 A = B1 + C1 ，这里 B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B - B1 = C

5、1 - C ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即： B = B1 ， C = C1 ，所以，表示法唯一。3、设集合Mm = 0,1,2, m -1, m(m f 1) ，定义M m 中运算“ + m ”为 a+ m b=(a+b)(modm),则（ M m ， + m ）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、设G 是群。证明：如果对任意的x G ，有x2 = e ，则G 是交换群。2、假定 R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么 F 包含R 的一个商域。1、对于 G

6、 中任意元x，y，由于(xy)2 = e ，所以xy = (xy)-1 = y-1 x-1 = yx（对每个 x，从x2 = e 可得 x = x-1 ）。2、证明在 F 里ab-1 = b-1a = a (a,b R,b 0)b-a Q = 所有b (a, b R, b 0)有意义，作F 的子集-Q 显然是 R 的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（c ）是子群。A、aB、a, eC、e, a3D、e, a, a32、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群D、G 为有理数集合，*为乘法C、G 为有理数集合，*为

7、加法B、G 为偶数集合，*为加法A、G 为整数集合，*为加法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ b）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设s 1 、s 2 、s 3 是三个置换，其中s 1 =（12）（23）（13），则s 3 =（ b ）s 2 =（24）（14），s 3 =（1324），A、s 2 1B、s 1 s 2C、s 2 2D、s 2 s 15、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ a ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、 是交换群二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在

8、每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换全同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环称为整环。3、已知群G 中的元素a 的阶等于 50，则a 4 的阶等于-25。4、a 的阶若是一个有限整数n，那么G 与-模 n 乘余类加群同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-2-。6、若映射j 既是单射又是满射，则称j 为-双射。7 、 a 叫做域 F 的一个代数元， 如果存在 F 的- 不都等于林 - a0 , a1 ,L, an 使得 a0 + a1+ a L+ ana n = 0 。8、a 是代数系统( A,0) 的元素，对任何x A 均成立

9、x o a = x ，则称a 为-单位元。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、-消去律成立。10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I,(1 2)，写出 H 的所有陪集。2、设 E 是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是 E 中的运算，（E， ）是一个代数系统，问（E， ）是不是群，为什么？1、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1

10、 3 2 )，(2 3 )H 的 3 个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102b=3102+85 102=185+17由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设e 是群的幺元。令 xa1*b，

11、则 a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b 是a*xb 的解。若xG 也是a*xb 的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以， xa1*b 是a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模 m 剩余类。若mab 也记为ab(m)。当m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使

12、得a*xb。2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：ab 当且仅当mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6 阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。A 、2 阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G 是群，G 有（ c）个元素，则不能肯定G 是交换群。A、4 个B、5 个C、6 个D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d）。4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ）A、偶数B、奇数C、4 的倍数D、2 的正整数次幂A、（N, ）B、（Z, ）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、 (P(A), )5、设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(12

13、3)，(132)，那么，在 S3 中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3 中的所有元素二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是的。2、如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f -1 f (a) = -a。3、区间1，2上的运算a o b = min a,b 的单位元是-2。4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=24。5、环Z8 的零因子有。

14、6、一个子群H 的右、左陪集的个数-相等。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商权。8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-特征。9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果an = e ，那么m 与n 存在整除关系为-mIn。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2 是A 的子环，则S1S2 也是子环。S1+S2 也是子环吗？3、设有置换s = (1345)(1245) ， t = (234)(456) S6 。1求st 和t-1s ；2确定置换st 和t-

15、1s 的奇偶性。群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共 8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2： 因为 S1，S2 是A 的子环，故a-b, abS1 和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以 S1S2 是子环。S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 st= (1243)(56) ， t-1s = (16524) ；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题

16、10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群，证明 b=a-1 的充分必要条件是 aba=a 和 ab2a=e。1、证明：假定m 是R 的一个理想而m 不是零理想，那么 a 0 m ，由理想的定义a-1a = 1 m ， 因而R 的任意元b = b 1 m这就是说m =R，证毕。2、证 必要性：将b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3

17、 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 AB 中含有（d）个元素。A.2B.5C.7D.102. 设ABR(实数集)，如果 A 到B 的映射j ：xx2， xR， 则j 是从A 到B 的（c）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3 中可以与(123)交换的所有元素有（a）A.(1)，(123)，(132)B

18、.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3 中的所有元素4. 设Z15 是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z15 的子群共有（ d）个。A.2B.4C.6D.85. 下列集合关于所给的运算不作成环的是（ b）A. 整系数多项式全体 Zx关于多项式的加法与乘法B. 有理数域 Q 上的n 级矩阵全体 Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C. 整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“ o ”： m， nZ， mo n0D. 整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“ o ”： m， nZ， mo n1二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确

19、答案。错填、不填均无分。6. 设“”是集合A 的一个关系，如果“”满足，则称“”是 A 的一个等价关系。7. 设(G，)是一个群，那么，对于 a，bG，则 abG 也是 G 中的可逆元，而且(ab)1 。8.设(23)(35)，(1243)(235)S5，那么(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9. 如果 G 是一个含有 15 个元素的群，那么，根据 Lagrange 定理知，对于 aG，则元素a 的阶只可能是5,15,1,3,。10. 在 3 次对称群S3 中，设 H(1)，(123)，(132)是S3 的一个不变子群，则商群 G/H 中的元素(12)H。11.设Z60，1，2，3，

20、4，5是以 6 为模的剩余类环，则 Z6 中的所有零因子是2,3,4。12. 设 R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么，n 是。13. 设 Zx是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主理想，则(x) 。14. 设高斯整数环Ziabi|a，bZ，其中i21，则Zi中的所有单位是 。2315. 有理数域 Q 上的代数元 +在Q 上的极小多项式是。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）16. 设 Z 为整数加群，Zm 为以 m 为模的剩余类加群， j 是Z 到Zm 的一个映射，其中j：kk， kZ，验证： j 是Z 到Zm 的一个同态满射，并求j 的同

21、态核 Kerj 。17.求以 6 为模的剩余类环 Z60，1，2，3，4，5的所有子环，并说明这些子环都是 Z6 的理想。18. 试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共 3 小题，第 19、20 小题各 10 分，第 21 小题 5 分，共 25 分）19. 设 Ga，b，c，G 的代数运算“ o ”由右边的运算表给出，证明：(G， o )作成一个群。oabcaabcbbcaccab20. 设aba0R = cd a, b, c, d Z,I = c 0 a, c Z,已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I 是R

22、的一个子环，但不是理想。21. 设(R，)是一个环，如果(R，)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、(1,-1), (1,0), (1,1)(2,-1), (2,0), (2,1)；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解：把s 和t 写成不相杂轮换的乘积：s = (1653)(247)(8)t = (123

23、)(48)(57)(6)可知s 为奇置换，t 为偶置换。s 和t 可以写成如下对换的乘积：s = (13)(15)(16)(24)(27)t = (13)(12)(48)(57)2、解：设 A 是任意方阵，令B = 1 ( A + A)2C = 1 ( A - A)，2，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且 A = B + C 。若令有 A = B1 + C1 ，这里 B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 B - B1 = C1 - C ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即： B = B1 ， C = C1 ，所以，表示法唯一。3、答：（ M m

24、 ， + m ）不是群，因为M m 中有两个不同的单位元素 0 和 m。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G 中任意元x，y，由于(xy)2 = e ，所以xy = (xy)-1 = y-1 x-1 = yx（对每个 x，从x2 = e 可得 x = x-1 ）。2、证明在 F 里ab-1 = b-1a = a (a,b R,b 0)b-a Q = 所有b (a, b R, b 0)有意义，作F 的子集-Q 显然是 R 的一个商域证毕。近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分

25、)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H 的 3 个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。3、解 方法一、辗转相

26、除法。列以下算式： a=b+102b=3102+85 102=185+17由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b 是a*xb 的解。若xG 也是a*xb 的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以， xa1*b 是a*xb

27、的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模 m 剩余类。若mab 也记为ab(m)。当m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、m n ； 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分

28、）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共 8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2： 因为 S1，S2 是A 的子环，故a-b, abS1 和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以 S1S2 是子环。S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 st= (1243)(56) ， t-1s = (16524) ；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 1

29、0 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定m 是R 的一个理想而m 不是零理想，那么 a 0 m ，由理想的定义a-1a = 1 m ， 因而R 的任意元b = b 1 m这就是说m =R，证毕。2、证 必要性：将b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”，错的打“”；每小题 1 分，共 10 分）1、设 A 与B 都是非空集合，那么 A B = x x A且x B。

30、（ f）2、设 A 、B 、D 都是非空集合，则 A B 到D 的每个映射都叫作二元运算。（ f）3、只要 f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f -1 。（ t）4、如果循环群G = (a) 中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （t）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（ f ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为g G,h H; g -1Hg H 。 （ t）7、如果环R 的阶 2 ，那么R 的单位元1 0 。（ t）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（ t）9、F (x) 中满足条件 p(a) = 0 的多项式叫做

31、元a 在域F 上的极小多项式。 （ f ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与Z (p) 同构的子域，这里Z 是整数环，(p) 是由素数 p 生成的主理想。（ f）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1 分，共 10 分）1、设 A1 , A2 ,L, An 和D 都是非空集合，而 f 是 A1 A2 L An 到D 的一个映射，那么（ 2）集合 A1 , A2 ,L, An , D 中两两都不相同； A1 , A2 ,L, An 的次序不能调换； A1 A2 L An 中不同的元对应的象

32、必不相同；一个元(a1 , a2 ,L, an )的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4ab o在整数集Z 上， a b = a + b ；在有理数集Q 上， a b =；ab在正实数集R + 上， a o b = a ln b ；在集合n Z n 0上， a o b = a - b 。3、设o 是整数集Z 上的二元运算，其中a o b = maxa,b（即取a 与b 中的最大者），那么o 在Z 中（ 4 ）3不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、设(G,o)为群，其中G 是实数集，而乘法o : a o b = a + b + k ，这里k 为G 中固

33、定的常数。那么群(G,o)中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ 4 ）0 和- x ；1 和 0； k 和x - 2k ；- k 和- (x + 2k) 。5、设a,b, c 和x 都是群G 中的元素且x2a = bxc -1, acx = xac ，那么x = （ 2 ）1 bc-1a-1 ； c-1a-1 ； a-1bc-1 ； b-1ca 。6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类H , aH,bH, cH。如果 6，那么G 的阶 G2=（ 3 ）6；24；10；12。7、设 f : G1 G2 是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2）4 f 的同态核是G1 的不变子群； G2

34、的不变子群的逆象是G1 的不变子群； G1 的子群的象是G2 的子群； G1 的不变子群的象是G2 的不变子群。8、设 f : R1 R2 是环同态满射， f (a) = b ，那么下列错误的结论为（ 4 ）3若a 是零元，则b 是零元；若a 是单位元，则b 是单位元；若a 不是零因子，则b 不是零因子；若R2 是不交换的，则R1 不交换。9、下列正确的命题是（ 4 ）1欧氏环一定是唯一分解环；主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环。10、若I 是域F 的有限扩域， E 是I 的有限扩域，那么（1）4(E : I ) = (E : I )(I : F )；(F : E

35、) = (I : F )(E : I )；(I : F ) = (E : F )(F : I )；(E : F ) = (E : I )(I : F )。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空 1 分，共 10 分）1、设集合 A = -1,0,1； B = 1,2，则有B A =。2、如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f -1 f (a) =a。3、设集合 A 有一个分类，其中 Ai 与 Aj 是 A 的两个类，如果 Ai Aj ，那么 Ai I Aj =0。4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果an = e ，那么

36、m 与n 存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个 5-循环置换p = (31425) ，那么p -1 =。7 、若 I 是有单位元的环 R 的由 a 生成的主理想， 那么 I 中的元素可以表达为x。8、若 R 是一个有单位元的交换环， I 是 R 的一个理想，那么 R I 是一个域当且仅当 I 是一个最大理想。9、整环I 的一个元 p 叫做一个素元，如果、p 既不是零元，也不是单位，且 q 只有平凡因子。10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误 1 分，更正

37、错误 2 分。每小题 3 分，共 15 分）1、如果一个集合 A 的代数运算o 同时适合消去律和分配律，那么在a1 o a2 oLo an 里，元的次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。 消去律成立3、设I 和S 是环R 的理想且I S R ，如果I 是R 的最大理想，那么S 0 。 S=I 或S=R4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和d 都是a 和b 的最大公因子，11那么必有d = d 。 一定有最大公因子；d 和d只能差一个单位因子5 、 a 叫做域 F

38、 的一个代数元， 如果存在 F 的都不等于零的元 a0 , a1 ,L, an 使得 a0 + a1+ a L+ a a n = 0 。n 不都等于零的元五、计算题（共 15 分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换123412341234 1234p1 = ,p 2 = ,p 3 = ,p 4 = 12341243 2134 2143组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及p -1,p -1,p -1,p -1 和G 的所有子群。12342、设Z6 = 0,1,2,3,4,5是模 6 的剩余类环，且 f (x), g(x) Z6x。如果 f (x) = 3x3 +

39、5x + 2、g(x) = 4x2 + 5x + 3，计算 f (x) + g(x) 、 f (x) - g(x) 和 f (x)g(x) 以及它们的次数。六、证明题（每小题 10 分，共 40 分）1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ab = ba ，又设a 的阶 a = m ，b 的阶 b = n ，并且(m, n) = 1 ，证明： ab 的阶 ab = mn 。2、设R 为实数集， a,b R, a 0 ，令 f(a,b) : R R, x a ax + b,x R ，将R 的所有这样的变换构成一个集合G = f(a,b)a,b R, a 0，试证明：对于变换普通的乘法， G 作成一

40、个群。3、设I1 和I 2 为环R 的两个理想，试证I1 I I 2 和I1 + I 2 = a + b a I1 ,b I 2 都是R 的理想。4、设R 是有限可交换的环且含有单位元 1，证明： R 中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代数试卷参考解答一、判断题12345678910二、单项选择题12345678910三、填空题1、(1,-1), (1,0), (1,1)(2,-1), (2,0), (2,1)。2、a 。3、f 。4、m n 。5、变换群。6、(13524)。7、 xi ayi , xi , yi R 。 8、一个最大理想。9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子

41、。10、E 的每一个元都是 F 上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合 A 的代数运算o 同时适合消去律和分配律，那么在a1 o a2 oLo an 里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I 和S 是环R 的理想且I S R ，如果I 是R 的最大理想，那么S 0 。S=I 或S=R那么必有d=d。一定有最大公因子；d 和d只能差一个单位因子5 、 a 叫做域 F 的一个代数元， 如果存在 F 的都不等于零的元 a0 , a1 ,L, an 使得 16a0 + a1

42、+ a L+ a a n = 0 。n不都等于零的元测验题一、 填空题（42 分）1、设集合M 与M 分别有代数运算o 与o ，且M M ，则当o 满足结合律时， o 也满足结合律；当o 满足交换律时， o 也满足交换律。2、对群中任意元素a,b,有(ab)-1 =；3、设群 G 中元素a 的阶是 n，n|m 则am =e；4、设 a 是任意一个循环群，若| a |= ，则 a 与整数加群同构；若| a |= n ，则 a 与n 次单位根群；同构；5 、 设 G=a为 6阶 循 环 群 ， 则 G的 生 成 元 有a, a5；e,e, a3,e, a2 , a4 ,e, a, a2 , a3 , a4 , a5；子群有；6、n 次对称群Sn 的阶是n!;；置换t = (1378)(24) 的阶是4； 1234 1234 12347、设a = 2，b = 3414 ，则ab =7、13241；328、设s = (14)(235)，t = (136)(25) ，则sts -1 =；9、设 H 是有限群G 的一个子群，则|G|=|H|:(G