空间几何体的外接球与内切球问题-2024届新高考题型归类.pdf

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1、1空间几何体的外接球与内切球问题空间几何体的外接球与内切球问题目录一、必备秘籍二、典型题型目录一、必备秘籍二、典型题型题型一：内切球等体积法题型二：内切球独立截面法题型三：外接球公式法题型四：外接球补型法题型五：外接球单面定球心法题型六：外接球双面定球心法题型一：内切球等体积法题型二：内切球独立截面法题型三：外接球公式法题型四：外接球补型法题型五：外接球单面定球心法题型六：外接球双面定球心法三、专项训练一、必备秘籍三、专项训练一、必备秘籍1球与多面体的接、切1球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个

2、多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题(等体积法)类型一球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PBC+VO-PCD+VO-PAD+VO-PAB即：VP-ABCD=13SABCDr+13SPBCr+13SPCDr+13SPADr+13SPABr，可求出r.类型二球的外接问题1、公式法类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法(补长方体或正方体)2、补形法(补长方体或正方体)墙角模型(三条线两个

3、垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)空间几何体的外接球与内切球问题-2024届新高考题型归类2对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD，AD=BC，AC=BD)3 3、单面定球心法、单面定球心法(定定+算算)步骤：定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asinA)；过外心 O1做(找)底面 ABC 的垂线，如图中 PO1 面 ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；

4、计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4 4、双面定球心法、双面定球心法(两次单面定球心两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：选定底面ABC，定ABC外接圆圆心O1选定面PAB，定PAB外接圆圆心O2分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型题型二、典型题型题型一：内切球等体积法题型一：内切球等体积法1(2223全国专题练习)正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()3A.1：3B.1：3+3C.3+1：3D.3-1：32(2

5、223下朔州阶段练习)正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为3(2324上萍乡期末)已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则PA PB 的取值范围为.4(2223上张家口期中)球O为正四面体ABCD的内切球，AB=4，PQ是球O的直径，点M在正四面体ABCD的表面运动，则MP MQ 的最大值为5(2223上河南阶段练习)已知正四面体ABCD的棱长为12，球O内切于正四面体ABCD,E,F是球O上关于球心O对称的两个点，则AE BF 的最大值为.6(2223上扬州期中)中国古代数学名著 九章算术 中将底面为矩形且有

6、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为题型二：内切球独立截面法题型二：内切球独立截面法1(2324上淮安开学考试)球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为()A.43B.4 23C.83D.42(2223下咸宁期末)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径r1:r2=2:3，则圆台的体积与球的体积之比为()A.32B.1912C.2D.1963(2223全国专题练习)若圆锥的内切球(球面与圆锥的

7、侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.4(2324上佛山开学考试)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的体积为43，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为5(2223下成都阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，高为4 2，则该圆锥的内切球表面积为.题型三：外接球公式法题型三：外接球公式法41(1617全国单元测试)若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为()A.50B.100C.150D.2002(2223全国专题练习)设球O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O的截面，则最小截面的面

8、积为()A.3B.4C.5D.63(1415上佛山阶段练习)正方体的外接球(正方体的八个顶点都在球面上)与其内切球(正方体的六个面都与球相切)的体积之比是题型四：外接球补型法题型四：外接球补型法1(2324上成都开学考试)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，PAPB,PAPC,PBPC,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.4 3B.12C.48D.32 32(2223下揭阳期中)在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5，SB=AC=41，SC=AB=34，则该三棱锥的外接球表面积是()A.50B.100C.150D.2003(2324上成都开学考试)已知四面体ABCD满足AB=CD=3，A

9、D=BC=5，AC=BD=2，且该四面体ABCD的外接球的表面积是()A.2B.6C.611D.44(2223下黔西阶段练习)正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.5(2223下黔西期中)如图，已知在三棱锥P-ABC中，PAPB，PBPC，PCPA，且PA=2PB=2PC=2，求该三棱锥外接球的表面积是题型五：外接球单面定球心法题型五：外接球单面定球心法1(2324上汉中模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC,PA=6,BC=3,CAB=6,O为ABC外接圆的圆心，O为三棱锥P-ABC外接球的球心，OQPA，则三棱锥P-ABC的外接球O

10、的表面积为52(2324上秦皇岛开学考试)三棱锥P-ABC中，ABBC,P在底面的射影O为ABC的内心，若AB=4,BC=3，PO=5，则四面体PABC的外接球表面积为.3(2223下石家庄阶段练习)已知球O是正四面体P-ABC的外接球，E为棱PA的中点，F是棱PB上的一点，且FC=2EF，则球O与四面体P-EFC的体积比为.4(2223下淄博期末)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，其中AD=2，AB=3，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为.题型六：外接球双面定球心法题型六：外接球双面定球心法1(2223上抚州期中)已知菱形ABCD的

11、各边长为2,D=60.如图所示，将ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB=3.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EFAC则点F的轨迹的面积为.2(2223赣州模拟预测)如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB=4，把ADE沿着DE翻折至ADE的位置，得到四棱锥A-BCED，则当四棱锥A-BCED的体积最大时，四棱锥A-BCED外接球的球心到平面ABC的距离为.3(2223下湖南期末)为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活

12、动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图(一)所示的四6边形PABC中，AB=BC=2，PA=PC，ABC=60，PAPC.第二步：以AC为折痕将PAC折起，得到三棱锥P-ABC，如图(二).第三步：折成的二面角P-AC-B的大小为120，则活动结束后计算得到三棱锥P-ABC外接球的表面积为.三、专项训练三、专项训练一、单选题一、单选题1(2223下河南模拟预测)已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为().A.16B.20C.24D.252(2223下宁德期中)正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为()A.23B.43C

13、.83D.33(2324上河北开学考试)长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是()A.125 23B.125 2C.50D.1254(2223下临夏期末)已知四棱锥P-ABCD的体积为83，侧棱PA底面ABCD，且四边形ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为()A.12B.8C.4D.25(2324上广东阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A，若三棱锥A-EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2

14、B.3C.6D.86(2324上安徽开学考试)在封闭的等边圆锥(轴截面为等边三角形)内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为()7A.3B.6C.9D.127(2324上莆田阶段练习)三棱锥P-ABC中，ABC是边长为2 3 的正三角形，PA=4,PAAB,D为BC中点且PD=5，则该三棱锥外接球的表面积为()A.16B.32C.48D.648(2223九江一模)三棱锥A-BCD中，ABD与BCD均为边长为2的等边三角形，若平面ABD平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为()A.83B.203C.8D.20二、填空题二、填空题9(2324柳州模拟预测)已知圆锥的底面直径为2 3，轴截

15、面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.10(2223唐山二模)已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为11(2223大同模拟预测)四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑在鳌臑P-ABC中，PA平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是12(2324上辽宁阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为8，则该圆锥的内切球的体积为.13(2324上成都阶段练习)已知三棱锥S-ABC底面ABC是边长为2的等边三角形，平面SAB底面ABC，SA=SB=2，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.14(2324上遂宁阶段练习)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O2的表面积之比为.15(2223下赣州阶段练习)已知圆锥的内切球半径为1，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为