【数学】等差数列的概念课件1 2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、复习回顾复习回顾1、数列的概念、数列的概念2、数列的通项公式、数列的通项公式3、数列的递推公式、数列的递推公式 一般地，我们把按照确定的顺序一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列排列的一列数称为数列.数列中的每数列中的每一个数都叫做数列的项一个数都叫做数列的项.数列的一般形式是：数列的一般形式是：a1，a2，an，简记为简记为an.如果数列的第如果数列的第n项项an与序号与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的这个公式就叫做这个数列的通项公式通项公式如果一个数列的如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系相邻两项或多项之间的

2、关系可以用一个式子来表示，那么可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。这个式子叫做这个数列的递推公式。我们知道，数列是一种特殊的函数我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性、奇偶性等如单调性、奇偶性等)后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型函数模型.

3、类似地，在类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律特殊变化规律的数列，建的数列，建立它们的通项公式和前立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手单的数列入手.4.2.1等差数列的概念探究新知探究新知 请看下面几个问题中的数列请看下面几个问题中的数列.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，

4、最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为：到外各圈的石板数依次为：9，18，27，36，45，54，63，72，81.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码型号的女装上衣对应的尺码分别是分别是：38，40，42，44，46，48.测量某地垂直地面方向上海拔测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到以下的大气温度，得到从距离地面从距离地面20m起每升高起每升高100m处的大气温度处的大气温度(单位单位:C)依次依次为为：25，24，23，22，21.某人向银行贷款某人向银行贷款a万

5、元，贷款时间为万元，贷款时间为n年年.如果个人贷款月利如果个人贷款月利率为率为r，那么按照，那么按照等额本金等额本金方式还款，他从某月开始，每月应方式还款，他从某月开始，每月应还本金还本金b元，每月支付给银行的利息元，每月支付给银行的利息(单位：元单位：元)依次为依次为：ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，.如果按月还款，等如果按月还款，等额本金还款方式的额本金还款方式的计算公式是计算公式是每月归还本金每月归还本金=贷贷款总额款总额贷款期总贷款期总月数，月数，利息部分利息部分=(贷款总贷款总额额-已归还本金累已归还本金累计额计额)月利率月利率.在代数的学习中，我们常常通过运算发现规律

6、在代数的学习中，我们常常通过运算发现规律问题问题1、你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？9，18，27，36，45，54，63，72，81 38，40，42，44，46，48.25，24，23，22，21 ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，.探究新知探究新知对于对于，我们发现，我们发现 18=9+9，27=18+9.81=72+9，换一种写法，就是换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9.81-72=9.如果用如果用an表示数列表示数列，那么有那么有 a2-a1=9，a3-a2=9，a9-a8=9.这表明，数列这表明，数列有这样的取值规

7、律：有这样的取值规律：从第从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数数列数列也有这样的取值规律也有这样的取值规律 改变表达方式使数列改变表达方式使数列的取值规律更突出了的取值规律更突出了.1、等差数列、等差数列探究新知探究新知 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于项起，每一项与它的前一项的差等于同一个同一个常数常数，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做等差数列等差数列.这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差，通常用，通常用字母字母d表示表示.请大家说一说请大家说一说，这四个例子的公

8、差分别是多少这四个例子的公差分别是多少？注意：注意：(1)公差公差d是由是由后项减前项后项减前项所得，不能用前项减后项来求；所得，不能用前项减后项来求；(2)对于数列对于数列an，若，若anan1d(d是与是与n无关的数或字母无关的数或字母)，n2，则此数列，则此数列是等差数列，是等差数列，d为公差，为公差，d可以是正数，负数，也可以为可以是正数，负数，也可以为0；(3)当当d0，则该数列为常数列；，则该数列为常数列；当当d0时，等差数列是一个单调递增数列；时，等差数列是一个单调递增数列；当当d0时，等差数列是一个单调递减数列时，等差数列是一个单调递减数列.随堂练习随堂练习1、判断下列数列是否

9、是等差数列如果是，写出它的公差、判断下列数列是否是等差数列如果是，写出它的公差(1)95，82，69，56，43，30；(2)1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；(3)1，-2，3，-4，5，-6(4)是是不是不是 不是不是 是是d=-13 2、等差中项、等差中项探究新知探究新知由由三个数三个数a，A，b组成的组成的等差数列等差数列可以看成是最简单的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，这时，A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项.根据等差数列的定义可以知道，根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.随堂练习随堂练习2、求下列各组数的等差中项：、求下列各组数的等

10、差中项：(1)647和和895；771问题问题2、你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗?探究新知探究新知设一个等差数列设一个等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d.根据等差数列的定义可得根据等差数列的定义可得an+1and，所以所以a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，anan-1d于是于是a2=a1+d，a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，归纳可得归纳可得an=a1+(n-1)d(n2)当当n=1时，上式为时，上式为a1=a1+(1-1)d=a1这就是说，上式当这就是说

11、，上式当n=1时也成立时也成立归纳法归纳法3、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式探究新知探究新知首项为首项为a1，公差为，公差为d的等差数列的等差数列an的通项公式为：的通项公式为：an=a1+(n-1)d问题问题2、你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗?探究新知探究新知设一个等差数列设一个等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d.根据等差数列的定义可得根据等差数列的定义可得anan-1d(n2)，所以所以a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，anan-1d 当当n=1时，上式两边都等于时，上式两边都等于a1 an=a1+(n

12、-1)d叠加可得叠加可得an-a1=(n-1)d(n2)，即即an=a1+(n-1)d(n2).叠加法叠加法问题问题3、观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关数有关?探究新知探究新知首项为首项为a1，公差为，公差为d的等差数列的等差数列an的通项公式为：的通项公式为：an=a1+(n-1)d 由于由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，所以当，所以当d0时，等差数列时，等差数列an的第的第n项项an是一是一次函数次函数f(x)=dx+(a1-d)(xR)当当x=n时的函数值，即时的函数值，即an=f(n).如图，

13、在平面直角坐标系中画出函数如图，在平面直角坐标系中画出函数f(x)=dx+(a1-d)的的图象，就得到一条斜率为图象，就得到一条斜率为d，截距为，截距为a1-d的直线的直线.在这条直线在这条直线上描出点上描出点(1，f(1)，(2，f(2)，(n，f(n)，就得到，就得到了等差数列了等差数列an的图象的图象.事实上，公差事实上，公差d0的的等差数列等差数列an的的图象是点图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上上.反之，任给函数反之，任给函数f(x)=kx+b(k、b为常数为常数)，构成一个，构成一个等差数列等差数列kn

14、+b，其首项为其首项为(k+b)，公差为公差为k.解：当解：当n2时，时，anan-1(pn+q)-p(n-1)+q (pn+q)-(pn-p+q p，它是一个与它是一个与n无关的数无关的数,所以所以an是等差数列是等差数列.随堂练习随堂练习3、已知数列、已知数列an的通项公式为的通项公式为an=pn+q，其中其中p，q为常数为常数，那么这那么这个数列一定是等差数列吗？个数列一定是等差数列吗？典型例题典型例题1、(1)已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=5-2n，求求an的公差和首项的公差和首项；(2)求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第20项项；(3)在等差数列在等

15、差数列an中，已知中，已知a510，a1231，求首项，求首项a1与与d.解：解：(1)当当n2时，由时，由an的通项公式为的通项公式为an=5-2n，可得可得an-1=5-2(n-1)=7-2n.于是于是d=anan-1=(5-2n)-(7-2n)=-2.把把n=1代入通项公式代入通项公式an=5-2n，可得可得a1=3(2)由已知条件，得由已知条件，得d=5-8=-3把把a1=8，d=-3代入代入an=a1+(n-1)d，得，得an=8-3(n-1)d=11-3n，把把n=20代入上式，得代入上式，得a20=11-320=-49所以，这个数列的第所以，这个数列的第20项是项是-49典型例题

16、典型例题1、(1)已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=5-2n，求求an的公差和首项的公差和首项；(2)求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第20项项；(3)在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a510，a1231，求首项，求首项a1与与d.解：解：(3)由由an=a1+(n-1)d，得，得典型例题典型例题2、-401是不是等差数列是不是等差数列-5，一，一9，-13，的项的项?如果是，是第几项如果是，是第几项?解：由解：由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得，得数列数列an的通项公式为的通项公式为an=a1+(n-1)d=-5-4(n-1)=-4n-1，设设-

17、4n-1=-401，解得，解得n=100-401是这个数列的第是这个数列的第100项项典型例题典型例题3、(1)三个数成等差数列，它们的和为三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为，它们的平方和为116，求这三个数，求这三个数.(2)已知四个数成等差数列，它们的和为已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为，中间两项的积为40，求这四个，求这四个数数.解：解：(1)设这三个数为设这三个数为a-d，a，a+d，则，则所以所以这三个数这三个数为为4，6，8或或8，6，4.典型例题典型例题3、(1)三个数成等差数列，它们的和为三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为，它们的

18、平方和为116，求这三个数，求这三个数.(2)已知四个数成等差数列，它们的和为已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为，中间两项的积为40，求这四个，求这四个数数.解：解：(2)设这四个数分别为设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则，则所以所以这这四四个数个数依次为依次为-2，4，10，16或或16，10，4，-2.课堂小结课堂小结1、等差、等差数列的概念数列的概念3、等差中项、等差中项 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，项起，每一项与它的前一项的差都等每一项与它的前一项的差都等于同一个常数于同一个常数，即，即an+1-an=d(n2)，那么这个数列就叫做那么这个数列就叫做等差数列等差数列.这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d表示表示.由三个数由三个数a、A、b组成的等差数列组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，这时，A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.4、等差等差数列的通项公式数列的通项公式 an=a1+(n-1)d2、数列数列kn+b是是等差数列，其首项为等差数列，其首项为(k+b)，公差为，公差为k.