小学三年级刷题训练_应用题专题数学思维_含答案1.pdf

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1、第第 1 讲讲 周期问题周期问题 典型训练典型训练 1.如图，由一系列黑、白三角形按一定的规律排成一行。请问：第 26 个图形应该是什么样子？答案：【分析】观察知“黑色，白色，白色”为一个周期，那么 263=82，说明第 26 个图形是这个周期中的第 2 个，即白色。2.在学校运动会的开幕式上，46 名同学组成仪仗队站成一排。如图所示，每人手里都举着一面彩旗，从左到右颜色依次是红、黄、蓝、绿四种颜色依次循环。最右侧的同学手里的彩旗是多少颜色的？答案：黄色【分析】观察知“红，黄，蓝，绿”四种颜色为一个周期，那么 464=112，则知第 46名同学手里拿的彩旗同周期里的第 2 个相同，为黄色。3.

2、如图所示，将自然数从 1 开始顺次写在A、B、C、D、E这五个字母下面。问：208会出现在哪个字母下面？答案：C【分析】观察知：5 个数为一个周期，且分别对应的是“A、B、C、D、E”，那么，2085=413，可知 208 对应的是周期里的第 3 个字母 C。4.在一根绳子上依次穿 2 个红珠、3 个白珠、5 个黑珠，并按此方式重复。如果从头开始一共穿了 77 颗珠子，那么这 77 颗珠子中白珠比黑珠少多少颗？答案：13 颗【分析】由题意知：10 个一个周期，周期一揽子排列为“红珠，红珠，白珠，白珠，白珠，黑珠、黑珠、黑珠、黑珠、黑珠”，那么 7710=77，则知这 77 颗珠子里有 7 个周

3、期，且余 2 个红珠，3 个白珠，2 个黑珠。而在每个周期中，黑珠子比白珠子多2 个，7 个周期里共多 27=14（个），余下的珠子中白珠子比黑珠子多 1 个，则黑珠子比白珠子共多 14-1=13（个）。5.如图，四只小动物不断交换座位。一开始，小鼠坐第 1 号椅子，小猴坐第 2 号椅子，小兔坐第 3 号椅子，小猫坐第 4 号椅子。第一次前后两排交换，第二次在第一次交换的基础上左右两列交换，第三次又是前后两排交换，第四次再左右两列交换这样一直换下去。第十次交换座位后，四只小动物分别坐在第几号椅子上？答案：猫坐 1，兔坐 2，猴坐 3，鼠坐 4【分析】我们把开始的座次图当作第 1 幅图，第一次操

4、作后的图当作第 2 幅图，第十次操作的的图就是第 11 幅图，在这 11 幅图中，4 幅图为一个周期，则 114=23，则知第 11 幅图（即第十次操作后的图）同第二次操作后的图。6.将一些自然数排成一列，其中任意相邻的五个数之和都等于 15。已知第一个数等于 1，第二个数等于 2，第三个数等于 3，第四个数等于 4。问：（1）请写出这个数列的前十项：（2）第一百个数等于多少？答案：（1）前十项：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5；（2）5【分析】由题意知，这些自然数列如下排列：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，可见是 5 个数 1 个周期，周期里的数是（1，2，3，4，5），那么：

5、1005=20，则第一百个数就是周期里的第 5 个数 5。7.100 为同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左到右报数：先让第一位同学报 1.，然后从第二位同学开始，每位同学把前一位同学所报的数乘以 7，再报出乘积的个位来。请问：第 100 个同学报的是几？答案：3 【分析】根据题意可知报出的数如下：1，7，9，3，1，7，9，3，可见这些数是有规律的，且 4 个数为一个周期，周期里的数是 1，7，9，3。那么，1004=25，则知第 100 个同学报的是周期里的最后一个数 3。8.（1）如图所示，甲、乙两只蚂蚁，分别沿正方形ABCD和AEFG按照顺时针的方向爬行。甲 2 分钟能爬完正方形的

6、一条边，乙 1 分钟能爬完正方形的一条边，现在两只蚂蚁在A点同时出发，那么 50 分钟后甲、乙分别在什么位置？（2）如图所示，如果蚂蚁甲从C点出发，沿着CDAEFGABC 的路线爬行，1 分钟能爬完正方形的一条边；蚂蚁乙从F点出发，沿着FGABCDAEF的路线爬行，2 分钟能爬完正方形的一条边。它们同时出发，90 分钟后甲、乙分别在什么位置？答案：（1）蚂蚁甲爬到B点，蚂蚁乙爬到F点；（2）蚂蚁甲爬到A点，蚂蚁乙爬到D点；【分析】（1）甲的爬行路线是：BCDABCD，可见周期是（BCDA），4 个为 1 个周期，每个周期用时：24=8（分钟），由 508=6（个）2（分钟），知 50 分钟后甲

7、在 B 位置。乙的爬行路线是EFGAEFGA，可见周期是（EFGA），4 个为 1 周期，每个周期用时：14=4（分钟），由 504=12（个）2（分钟），知 50 分钟后乙在 F 位置。（2）由题意知，甲的爬行路线周期是（DAEFGABC），8 个为 1 个周期，每个周期用时 18=8（分钟），由 908=11（个）2（分钟），知 90分钟后甲在 A 位置。由题意知，乙的爬行路线周期是（GABCDAEF）也是 8 个为 1 周期，每个周期用时 28=16（分钟），由 9016=5（个）10（分钟）。知 90 分钟后乙在 D 位置。9.一个蜗牛从深 30 米的井底向上爬。第一天向上爬了 6 米

8、；第二天休息，于是向下滑了 4米；第三天再向上爬 6 米；第四天又向下滑 4 米按这样的规律进行下去，蜗牛第几天才能爬到井口？答案：第 25 天 【分析】由于最后一天不下滑了，所以最后一天单独思考，根据题意：还知两天共爬行 6-4=2，所以有：（30-6）2=12（次），天数共：122+1=25（天）。10.（1）今天是星期六，再过 60 天是星期几？（2）2008 年 6 月 1 日是星期日，2008 年 8 月 1 日是星期几？（3）2008 年 2 月 8 日是星期五，2009 年 2 月 8 日是星期几？答案：（1）星期三；（2）星期五；（3）星期日 【分析】（1）包括今天共有 60+

9、1=61（天），且周期为 7 天，即（星期六，星期日，星期一，星期二，星期三，星期四，星期五），则 617=8（个）5（天），所以再过60 天是星期三。（2）从 6 月 1 日到 8 月 1 日共有：30+31+1=62（天），周期为 7 天，即：星期日，星期一，星期二，星期三，星期四、星期五、星期六。则：627=8（个）6（天），所以 2008 年 8 月 1 日是星期五。（3）因为2008年是闰年，所以从2008年2月8日到2009年2月8日共有366+1=367（天）周期是：星期五，星期六，星期日，星期一，星期二，星期三，星期四。则 3677=52（个）3（天），所以答案是星期日。拓展训

10、练拓展训练 1.图中是一行按规律排列的图形。请问：第 88 个图形应该是什么？答案：【分析】通过观察，发现 5 个图案为一个周期，周期中的图案次序是（），则 885=17（个）3（个），所以答案是周期中的第 3 个图案。2.观察图中黑、白两色三角形的变化规律。请问：前 200 个图形中有多少个白色三角形？答案：133 个【分析】通过观察，发现（）为一个周期，则 2003=66（个）2（个），说明共有 66 个周期，还余下一个黑色三角形一个白色三角形，白色三角形共有：662+1=133（个）。3.如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“黎曼假设”4 个汉字不断重复，第二行是“庞加莱猜

11、想”5 个汉字不断重复，第三行则是“哥德巴赫猜想”6 个汉字不断重复。第 200 列从上向下依次是哪 3 个汉字？答案：设、想、德 【分析】第 200 列从一到下的 3 个汉字，即是每行中第 200 个汉字的组成，由 2004=50（个），知第一行第 200 个汉字是“设”。由 2005=40（个），知第二行第 200 个汉字是“想”，由 2006=33（个）2（个），知第三行第 200 个汉字是“德”。则第200 列从上到下依次是“设、想、德”。4.阿奇和其他 5 个小朋友围成一圈，圆圈中央摆放着 55 个乒乓球，从阿奇开始，小朋友们沿逆时针方向依次拿球，每人每次拿 3 个，直到把乒乓球全部

12、拿完为止（最后剩下的球不足 3 个就全拿）。阿奇总共拿到了几个球？答案：10 个 【分析】想知道阿奇共拿到了几个球，就必须知道阿奇取了几次，由题意知：553=18（次）1（个），（18+1）6=3（周）1（次），所以阿奇共取了 4 次，而其中有 1 次只取了 1 个，则阿奇共取了：33+1=10（个）。5.如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了 100 步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 200 步，落在另一个圆圈里。这两个圆圈里的数的乘积是多少？答案：12【分析】只有知道落在的圆

13、圈里的数，才能算乘积。由题意知：红跳蚤的周期是（2，3，4，5，6，7，1），由 1007=14（周）2（个），知跳 100 步跳入数 3 的圈里。黑跳蚤的周期是（7，6，5，4，3，2，1），由 2007=28（周）4（个），知黑跳蚤跳200 步跳入数 4 的圈里，所以可知这两个圆圈里的数的乘积是 34=12。6.（1）工厂的仓库里有 80 吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。第一天卡车往仓库里运进 50 吨，第二天运出了 60 吨，第三天又运进 50 吨，第四天再运出 60 吨如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？（2）工厂的仓库里有 80 吨货物，同样是由一辆卡车负

14、责货物的运输。第一天，卡车从仓库里运出 60 吨，第二天再运进 50 吨，第三天又运出 60 吨，第四天再运进 50吨如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？答案：（1）第 16 天；（2）第 5 天 【分析】（1）由题意知：两天只能从 80 吨货物里运出 60-50=10（吨），所以 8010=8（次），仓库里的货物全部运完则需 82=16（天）。（2）由题意知：两天只能从 80 吨货物里运出 60-50=10（吨），但是求第几天时，仓库里的货物恰好被运完，则就要先减去 60 吨，因为只有这一次与众不同。即：（80-60）10=2（次），天数是 22+1=5（天）。7.如图所

15、示，16 幅图按规律排成一排。其中前三幅已经画出，请按规律画出第 16 幅图的样子。答案：【分析】从前三幅图可知，每个对应位置上的小笑脸都是在按顺时针方向转动，且 4 组为一个周期，由 164=4（周），知第 16 幅对应的是第四幅图，即。8.甲、乙、丙、丁兄弟四人各收藏了一些宝石。每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石。分配的规则就是：拥有宝石最多的人分给其他三人每人 1 颗。如果第 1 天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人分别有 10、7、5、4 颗宝石，那么第 100 天早上分完宝石后，四个人手中分别有几颗宝石？答案：甲、乙、丙、丁分别有 5、6、8、7 颗宝石【分析】按题意进行操作，如

16、下：甲乙丙丁10 75 47 86 58 57 65 6 8 7 6 7 5 8 7 8 6 5 可是，除第一天外，后面的每四天重复一次，所以第 100 天的算法如下：100-1=99（天），994=24（次）3（天），即第 100 天的分法和第 4 天的分法一样，甲、乙、丙、丁四人手中分别有宝石 5 颗、6 颗、8 颗、7 颗。9.500 名士兵排成一排，第一次从左到右 1 至 3 循环报数，第二次从左至右 1 至 4 循环报数。请问：既报过 1 又报过 4 的士兵有多少名？答案：42 名【分析】由题意知：两种报数状况如下：1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2

17、1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 可见即报过 1 又报过 4 的士兵是有规律出现的，由（500-3）12=41（组）5（个），知即报 1 又报 4 的士兵有：41+1=42（名）。10.如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数。当数到 200 的时候，正好数到哪根手指？答案：食指【分析】由图知数数情况如下：大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、，可见每数 8 个数就重复对应一次手指的排序，则由 2008=25（次）知当数到 200时正好数到食指。11.今天是 2008 年 3 月 16 日星期日，阿奇研究日历时，发现再过 1 天时

18、2008 年 3 月 17日星期一，再过 2 天则是 2008 年 3 月 18 日星期二请问：（1）再过多少天才是 2008 年儿童节呢？（2）2008 年的儿童节是星期几？答案：（1）77 天；（2）星期日 【分析】（1）从 2008 年 3 月 16 日到 2008 年 6 月 1 日（包括 6 月 1 日）共有天数是：15+30+31+1=77（天）。（2）从 2008 年 3 月 16 日到 2008 年 6 月 1 日（包括这两天）共有天数是：16+30+31+1=78（天），且这 78 天中的前 7 天对应的星期是：（星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六）。由

19、787=11（次）1（天）知这年的儿童节是星期日。12.哥哥比妹妹大 5 岁，而且两人生日相同。如果哥哥在 1982 年 6 月 17 日星期四出生的，那么妹妹是在星期几出生的？妹妹出生后第一次在星期二过生日的时候是哪一年？答案：星期三；1997 年 【分析】由题意知，妹妹是 1987 年 6 月 17 日出生的，从 1982 年 6 月 17 日到 1987 年 6 月17 日共有天数：4365+366+1=1827（天），由 18277=261（次）知妹妹是在星期三出生的，又由 3657=52（次）1（天）知平年除以 7 科 1，闰年除以 7 余 2。则应该是当余数为 6 时是星期二，即是

20、 1997 年是星期二过生日。超越训练超越训练 1.观察图中图形的规律，第 200 个图形应该是下面A、B、C、D四个图形中的哪一个？答案：A【分析】由颜色的规律知，周期数为 3，由图的形状知：周期数为 5，则由 2003=66（组）2（个）知第 200 个图形的颜色是黑色。又由 2005=40（组）知第 200 个图形的形状是。所以综合这两种情况知答案是 A。2.如图所示，7 个小朋友围成一圈，沿顺时针方向依次编号为1 7。然后，按如下方法给他们发糖：先给 1 号小朋友 1 块糖；然后沿顺时针方向隔过一个人后，给 3 号小朋友 1块糖；再沿顺时针方向隔过两个人后，给 6 号小朋友 1 块糖；

21、接着又沿顺时针方向隔过一个人后，给 1 号小朋友 1 块糖如此反复地间隔一个人、两个人，直到 1997 块糖全部分完。那么最先发到糖的那位小朋友一共得到了多少块糖？答案：286 块 【分析】通过操作，发现周期中的数是（1，3，6，1，4，6，2，4，7，2，5，7，3，5），由 199714=142（次）9（块），知 1 号小朋友拿到：1422+2=286（块）。3.如图所示，用红、黄、蓝 3 种颜色的彩笔，按规律给表格染色。第 20 行和第 30 列交叉处的方格所染的颜色是什么？答案：红色【分析】由表格分析知，第 20 行的第 1 个数是：203=6（次）2（个）即黄色。第 20 行和第 3

22、0 列交叉处的颜色就是第 20 行中的第 30 个颜色，由 303=10（次）知交叉处的颜色是红色。4.（1）某月有 31 天，有 4 个星期二和 4 个星期五，那么这个月的 20 日是星期几？（2）某月的星期二比星期一多，那么这个月的 25 日是星期几？答案：（1）星期四；（2）星期五【分析】（1）由题意知：该月的日期表如下：星期四 星期五 星期六 星期日 星期一 星期二 星期三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 所以这个月的 20 日是星期四。（2）由题意知

23、，该月的 1 号从星期二开始，就能满足题意。那么这个月的 25 日是星期五。5.500 名士兵排成一排，第一次从左到右1 5循环报数，第二次从右到左1 4循环报数。请问：既报 1 又报 5 的士兵有多少名？答案：25 名【分析】通过题意知，队伍后面的报数情况如下：1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 可见既报 1 又报 5 的士兵是每 20 位生生同次，则 500 名士兵中共有：50020=25（次），即有 25 名士兵既报 1 又报

24、 5。6.有六十多人站成一行，从左到右由 1 开始按 1、2、3、4 依次循环报数，然后从右到左由 1 开始按 1、2、3 依次循环报数，最后发现刚好有 12 个人既报了 1 又报了 2。请问：这一行最少有多少人？最多有多少人？答案：最少 62 人；最多 69 人 【分析】我们操作发现报数情况如下：1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 即周期数是 12，且每个周期中有 2 个人既报 1 又报 2。12 个人既报 1 又报 2，则最少的就应该有（12-2）2=5（个）周期，人数是：512+2=62（人）。最

25、多的有122=6（个）周期，人数是 8+612-11=69（人）。7.实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一个指针，而且都是每分钟跳一次。第一只钟一圈又 12 个格，格线上依次标有0 11，指针一次跳过 2 个格（例如从 4 跳到 6）。第二只钟一圈有 7 个格，格线上依次标着 0 至 6，指针一次跳过 3 个格。开始时两个指针都指向 0，如果把这看作两个指针第 1 次指向同一个标数，那么当两个指针第 30 次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？答案：6 【分析】通过操作发现，每 42 分钟是一个周期，且每个周期中出现 4 次指同一个标数。则304=7（个）2（次），所以当两个指针第 3

26、0 次指向同一个标数时，它们的指针指着 6。8.如图，在A、B两地之间有 7 个车站，一辆列车不断地往返于A、B两地之间。它从A出发，每天行驶到下一站，到达B地后的下一天又回到 7 号站，如此反复。已知列车第 4 次驶入 4 号站时是星期六，那么它第 20 次驶入 5 号站时是星期几？答案：星期日【分析】由题意知：从开始到第 4 次驶入 4 号站共有天数：162-3=29（天），又由第 4 次驶入 4 号站时是星期六知开始在 A 地时是星期六。从开始到第 20 次驶入 5 号站共有天数：（202）16）-4=156（天）。由 1567=22（个）2（天）知第 20 次驶入5 号站时是星期日。第

27、第 2 讲讲间隔与间隔与方阵方阵 典型应用典型应用 1、社区门口有一条长为社区门口有一条长为 100 米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔 10 米种一棵，米种一棵，而且马路的两端都要种。一共需要种多少棵树？而且马路的两端都要种。一共需要种多少棵树？【分析】共有：10010111+=（颗）。11 棵 2、学校门前有条长学校门前有条长 100 米的马路，马路两侧一共种了米的马路，马路两侧一共种了 42 棵树。每侧相邻两棵树之间的距棵树。每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且马路的两端都种了。请问：相邻两棵树之间的距离是多大？离都相等，而且马路的两端都

28、种了。请问：相邻两棵树之间的距离是多大？【分析】马路一侧种了 21 棵树，则相邻两颗树之间的距离为：()1002115=米。3、包包上楼，从第一层走到第三层需要上包包上楼，从第一层走到第三层需要上 36 级台阶。如果各层楼之间的台阶数相同，那么级台阶。如果各层楼之间的台阶数相同，那么包包从第一层走到第六层一共需要上多少级台阶？包包从第一层走到第六层一共需要上多少级台阶？【分析】根据题意，一层楼梯有 18 级台阶，包包从第一层到第 6 层，需要走 5 层，共为 90级。4、学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。请问：学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。请问：（1）包包和同班女生站成

29、一排，她发现自己的左侧有）包包和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有 7 人、右侧有人、右侧有 8 人。女生一共有多少人。女生一共有多少人？人？（2）铮铮和同班男生站成一排，他发现自己是左起第）铮铮和同班男生站成一排，他发现自己是左起第 7 个、右起第个、右起第 9 个。男生一共有多少个。男生一共有多少人？人？（3）昊昊也在男生队伍里。他发现自己是左起第）昊昊也在男生队伍里。他发现自己是左起第 4 个，他的右侧应该有几人？他应该是右个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？起第几人？【分析】（1）女生一共有：7+8+1=16 人；（2）共有；7+9-1=15 人；（3）他的右侧应该有：11

30、人；他是右起第 12 人5、运动会闭幕式结束后，大家准备散场。班长包包让全班同学运动会闭幕式结束后，大家准备散场。班长包包让全班同学站成一行清点人数（她自己站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）。她先从左往右数，发现铮铮是第并不在队伍中）。她先从左往右数，发现铮铮是第 25 个；然后她又从右往左数，发现昊昊正个；然后她又从右往左数，发现昊昊正好是第好是第 29 个。如果队伍里一共有个。如果队伍里一共有 31 人，那么铮铮和昊昊之间有几个人？人，那么铮铮和昊昊之间有几个人？【分析】昊昊是从左往右数的第 3 个，所以他们之间有 21 人。6、一整块大豆腐长一整块大豆腐长 40 厘米，宽厘米，宽 2

31、0 厘米。厨师准备把它切成一些长厘米。厨师准备把它切成一些长 5 厘米，宽厘米，宽 4 厘米的小厘米的小块，而且每次只能沿着直线切。如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？块，而且每次只能沿着直线切。如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？【分析】长分成 8 份，需要切 7 刀；宽切成 5 份，需要切 4 刀，所以至少需要用 11 刀。7、学校有一个圆形水池，水池的周长为学校有一个圆形水池，水池的周长为 40 米。如果绕着水池每隔米。如果绕着水池每隔 4 米种一棵树，一共要种米种一棵树，一共要种几棵树？几棵树？【分析】由于是圆形水池，共需要用：40410=棵 8、50 个男生沿

32、着个男生沿着 300 米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在，每相邻米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？【分析】由于每两个男生之间加入了两名女生，所以共加入了 100 名女生。加入女生之后，两名学生之间的距离变为：3001502=（米）。9、有有 100 个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少

33、人？从外向里算起的第个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？【分析】100 个人分成的方阵为 1010，所以这个方针的最外层至少需要有：410436=（人）；从外向内，少了 8 个人，为 28 人；第 3 层为 20 人；10、一个实心方阵，最外层一共有一个实心方阵，最外层一共有 20 人。请问：人。请问：（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？）如果要组成一个更大的方阵，至

34、少需要增加多少人？（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？多少人？【分析】（1）最外层有：()20446+=（人）；这个方阵共有 36 人；（2）如果要组成一个更大的方阵，至少为 49 人，所以要增加 13 人；（3）如果在这个方阵外面再增加一层，相当于变为一个 88 的方阵，还需要增加 28 人。拓展应用拓展应用 1、刘老师想做一张木凳。他先把一根木头锯成刘老师想做一张木凳。他先把一根木头锯成 4 段，用了段，用了 12 分钟。如果要把另一根木头分钟。如果要把另一根木头锯成锯成 8 段，需要几分钟？（假设刘老师每锯断一次所花的时

35、间相同）段，需要几分钟？（假设刘老师每锯断一次所花的时间相同）【分析】刘老师锯成 4 段，需要用 12 分钟，需要锯 3 次，锯每一次需要 4 分钟，现在要锯成 8 段，需要锯 7 次，共需要用 28 分钟。2、包包和铮铮去刘老师家玩，刘老师住在包包和铮铮去刘老师家玩，刘老师住在 15 层。两人同时从一楼往上走，速度都保持不层。两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当包包走到第变，当包包走到第 3 层的时候，铮铮恰好走到了第层的时候，铮铮恰好走到了第 5 层。请问：当铮铮走到刘老师家的层。请问：当铮铮走到刘老师家的时候，包包走到了第几层？时候，包包走到了第几层？【分析】包包步行 2 层的时候，

36、铮铮可以走 4 层；当铮铮步行了 14 层的时候，包包只能走7 层。所以包包到了第 8 层。3、有一块三角形的土地，三条边的长度分别为 120 米、150 米、80 米。在边界上每隔 10 米种一棵树，三角形的每个顶点都必须种。一共要种多少棵树？【分析】一共要种：12010115010180101335+=（棵）4、体育课上教师让体育课上教师让 42 名同学站成一行。铮铮发现有一半人站在他自己的左边；昊昊发现名同学站成一行。铮铮发现有一半人站在他自己的左边；昊昊发现自己是从右往左数的第自己是从右往左数的第 12 个。铮铮和昊昊之间有多少人？个。铮铮和昊昊之间有多少人？【分析】【分析】铮铮是从左

37、边数第铮铮是从左边数第 22 个人；昊昊是从左往右数第个人；昊昊是从左往右数第 31 个人；两人之间共有个人；两人之间共有 8 人。人。5、班里一共有班里一共有 42 名学生，站成一圈做游戏。现在从包包开始数。请问：名学生，站成一圈做游戏。现在从包包开始数。请问：（1）如果铮铮是顺时针数第）如果铮铮是顺时针数第 26 个，昊昊是顺时针数第个，昊昊是顺时针数第 17 个，铮铮与昊昊之间有多少名同个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？学？（2）如果铮铮是顺时针数第）如果铮铮是顺时针数第 22 个，昊昊是逆时针数第个，昊昊是逆时针数第 13 个，铮铮与昊昊之间有多少名同个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？学？

38、（3）如果铮铮是顺时针数第）如果铮铮是顺时针数第 27 个，昊昊是逆时针数第个，昊昊是逆时针数第 31 个，铮铮与昊昊之间有多少名同个，铮铮与昊昊之间有多少名同学？学？【分析】（1）铮铮与昊昊之间有 26-17-1=8 名学生；（2）由于昊昊是逆时针第 13 个，则昊昊是顺时针第 30 个，两者之间有 8 名同学；（3）由于昊昊是逆时针第 31 个，则昊昊是顺时针第 12 个，两者之间有 13 名同学。6、若干名同学站成一个若干名同学站成一个 1515 的实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有的实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外算起的第七层有多少人？

39、多少层？从里向外算起的第七层有多少人？【分析】（1）最外层有：415456=（人）；（2）由于每层每行少两人，则这个方阵共有 8 层；（3）从里往外第 7 层，即为从外往里第 2 层，比最外一层少 8 人。共有 48 人。7、一个实心方阵，最外层共有一个实心方阵，最外层共有 44 人。请问：人。请问：（1）这个方阵共有多少人？）这个方阵共有多少人？（2）要让这个方阵减少一行一列，一共减少了多少人）要让这个方阵减少一行一列，一共减少了多少人？【分析】（1）这个方阵最外层每行共有：()444412+=人，所以这个方阵共有 144 人；（2）要让这个方阵减少 1 列，少了 12 人，再少 1 行，则

40、可以再少 11 人。所以一共减少了 23 人。8、红领巾小学三年级有红领巾小学三年级有 120 名学生。他们排成一个三层的空心方阵。请问：名学生。他们排成一个三层的空心方阵。请问：（1）这个方阵最外层每边有多少人？）这个方阵最外层每边有多少人？（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？【分析】（1）令最里面一层有x人，则外面一层为8x+人，最外面一层有：16x+人。所以共有；32

41、4120 x+=，解之得：32x=，所以最外面一层有 48 人。则最外层每边共有；()484413+=（人）；（2）如果再在外面增加一层，应该增加 48+8=56 人；（3）如果在里面增加一层，应该增加 32-8=24 人；9、用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖这层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖这样依次铺下去，一共使用了样依次铺下去，一共使用了 400 块瓷砖。请问：这个

42、墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？瓷砖相差多少块？【分析】根据题意，最里面可能是一个瓷砖，也可能是 4 个瓷砖。（1）若最里面是 1 块瓷砖，则从里到外的瓷砖数为：()()19172518143400nnn+=；（2）若最里面为 4 块瓷砖，则从里到外的瓷砖数依次为：()2412204814400nn+=，则10n=，所以最外层为红色瓷砖，共有 10 层，所以红色瓷砖多，从外到内，每两层，红色瓷砖比白色瓷砖多 8 块，所以共多了 40 块。10、刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 6 棵树苗；后来又运来了 34

43、棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵。那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【分析】若增加了 1 层，则现在最外层共有：40 棵树，所以最外层每边共有：()404411+=；若增加了层，则401624=+，此时最外层有：()24447+=（棵）树。11、如图 21-1，一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成。现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的 A、B、C 点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有 10 朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？【分析】将三个小三角形抽离出来，一个小三角形草地有花共：2 3 41054+=（

44、朵），所以共有 543=162 朵。12、有 10000 人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分成 25 队，每队以 20 人为一排。前进过程中，排与排之间相隔 1 米，队与队之间相隔 6 米。那么这支游行队伍的长度为多少米？【分析】根据题意，每支队伍有 400 人，则共可以分成 20 排，所以这支队伍的长度为：19 2524 6619+=（米）。超越应用超越应用 1、如图 21-2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为 100 米、宽为 70 米。现在需要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树？【分析】由于()

45、35,505=，则对于长与宽的一半来说，不计定点，分别需要种植 9 棵树与6 棵树，则最少要种9 2 3 6 2 3 1299 +=（棵树）。2、在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图21-3 中的阵列类似。从外向内一共 8 层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学。已知参加表演的六年级同学有 126 名，请问：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？【分析】（1）每相邻两层相差 6 人，则 120=60+66，所以最外层有：66 人；

46、（2）这个阵列中共有：6660 544842 36 3024360+=（人）；（3）现在用一、二年级将其填满，还需要有：6 3 6 26 137+=（人）。3、若干名男生站成一排，站好后铮铮的左侧有 15 人，昊昊恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他们自己）一共有 3 人。队伍里可能有多少人？（写出所有可能的答案）【分析】若铮铮在昊昊的右侧，则共有：11 2223+=（名）；若铮铮在昊昊的左侧，则共有：19 238=（名）；4、铮铮拿出一根绳子，对折之后在中间剪了一刀，结果绳子被剪成了 3 段。如果铮铮把这根绳子对折 3 次，再从中间剪 2 刀，绳子会被剪成几段？如果铮铮把这根绳子对折 4

47、 次，再从中间剪 3 刀，绳子会被剪成几段？【分析】由于对折 1 次会有两根；对折 2 次会有四根；对折 3 次会有 8 根；此时再从中间剪两刀，中间部分会有 8 段，左边会有 5 段，右边会有 4 段，共有 17 段；如果铮铮把这根绳子对折 4 次，从中间剪 3 刀，中间部分会有 162=32 段；右半部分会有162=8 段；左部分会有 9 段，此时共会有 49 段。5、水池周围种了一些树，铮铮和包包沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵树。由于两人的出发地点不同，因此铮铮数的第 20 棵在包包那儿是第 7 棵，铮铮数的第 7 棵在包包那儿是第 94 棵。请问：水池四周一共种了多少棵树？【分

48、析】令铮铮一开始在第 1 棵树上，则铮铮数的第 20 棵树由于在包包那儿是第 7 棵树，所以一开始包包在第 14 棵树上。铮铮数的第 7 棵树与包包数的第 94 棵树即第 94+14-1=107 棵树是同一个位置，所以水池四周一共种了 100 棵树。6、昊昊用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去 28 个棋子，使得图形变成一个三层的空心方阵。开始时昊昊可能摆了多少个棋子？【分析】若这 28 个棋子是放在里面，则开始时昊昊共摆了 36+44=80 个；若这 28 个棋子时放在外面，则共有 20+12=32 个棋子；若这 28 个棋子可以部分放在最外层，部分放在最里层，则有：2810

49、 24 2=+。所以开始时，昊昊可能摆了：243256+=个棋子；7、阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等。已知方阵最外面一圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生如此下去直到最里面。如果男生总数比女生总数多 52 人，那么共有学生多少人？【分析】由于 52 不是 8 的倍数，所以最里层为男生，有 4 名学生，共有 13 层。他们的和为：4 122028 3644 52100104 13 2676+=。8、如图 21-4，这是一些棋子摆成的正三角形点阵。和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”。（1）如果有一个 5 层的空心三角阵，最外层每边有 20 个棋子，那么一共有

50、多少枚棋子？（2）如果一个空心三角阵共有 294 枚棋子，那么它最多有多少层？（3）如果一个空心三角阵共有 294 枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？（4）已知一个空心三角阵共有 108 枚棋子，如果增加 42 枚棋子后可以让它增加一层，请你表示出如何增加这 42 枚棋子。【分析】（1）共有：3 19 3 173 15 3 13 3 11 195+=枚；（2）；（3）87 枚；（4）中心用 7 枚补一条边，外面用 35 枚补两条边第第 3 讲讲 和差倍问题和差倍问题 典型典型应用应用 1.甲班和乙班一共有 60 人，如果从甲班调 6 个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的 2