【数学】变化率问题第二课时课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、5.1.1变化率问题第二课时复习引入1.高高台跳水运动员的速度台跳水运动员的速度(1)(1)平平均速度均速度时间段时间段t0,t0+t内的平均速度内的平均速度(2)(2)瞬瞬时速度时速度当当t=t0时时的瞬时速度的瞬时速度平平均速度的极限为瞬时速均速度的极限为瞬时速度度 h(t)4.9t24.8t11 2.什么叫直线与圆相切？什么叫直线与圆相切？如果一条直线与一个圆只有一个公共点，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切那么这条直线与这个圆相切.追问追问:如果一条直线与一如果一条直线与一条抛物线条抛物线只有一个公共点，只有一个公共点，那么这条直线与这那么这条直线与这条抛物线

2、条抛物线相切相切吗？吗？.F思考：思考：对对于一般的曲线于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？，如何定义它的切线呢？下面以下面以抛物线抛物线f(x)=x2为例进行研究为例进行研究.新知探究探究：你认为应该如何定义你认为应该如何定义抛物线抛物线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的切线处的切线？问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率 与与研究瞬时速度类似，为了研研究瞬时速度类似，为了研究抛物线究抛物线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的处的切线，我们通常在点切线，我们通常在点P0(1,1)的附的附近任取一点近任取一点P(x,x2)，考察抛物线，考察抛物线f(x)=x2的割线的割线P0P

3、的变化情况的变化情况.xyOf(x)x2112234P0 我们发现，当点P_，割线P0P _位置.这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)x2在点P0(1,1)处的切线观察 如图，当点如图，当点P(x,x2)沿着抛物线沿着抛物线f(x)=x2趋趋近于点近于点P0(1,1)时，割线时，割线P0P有什么变化趋势有什么变化趋势?T无限趋近于一个确定的无限趋近于一个确定的无限趋近于点无限趋近于点P0时时探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1)处的切线P0T 的斜率k0呢？从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率

4、与割线P0P的斜率有内在联系记点P的横坐标 x=1+x，则点P的坐标即为(1+x,(1+x)2).于是割线P0P 的斜率 我们可以用割线我们可以用割线P0P的斜率的斜率k近似地表示切线近似地表示切线P0T的斜率的斜率k0，并且可以，并且可以通过不断缩短通过不断缩短横坐标横坐标间隔间隔|x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：来提高近似表示的精确度，得到如下表格：x可以是正值，也可以是负值，但不为0.我们可以用割线我们可以用割线P0P的斜率的斜率k近似地表示切线近似地表示切线P0T的斜率的斜率k0，并且可以通过，并且可以通过不断缩短不断缩短横坐标横坐标间隔间隔|x|来提高近似表示的精确度，得到

5、如下表格：来提高近似表示的精确度，得到如下表格：x 0 xx观察：利用计算工具计算更多割线利用计算工具计算更多割线P0P的斜率的斜率k的值，当的值，当x无限趋近于无限趋近于0时，割线时，割线P0P的的斜率斜率k有什么变化趋势？有什么变化趋势？发现：当当x无限无限趋近于趋近于0，即，即无论无论x从从小于小于1的一边，还是从大于的一边，还是从大于1的一边无限趋的一边无限趋近于近于1时时，割线割线P0P的斜率的斜率k近都无限趋近于近都无限趋近于2.从从几何图形上看，当横坐标间隔几何图形上看，当横坐标间隔|x|无限无限变小变小时，时，点点P无限趋近于点无限趋近于点P0，于是，于是割线割线P0P无无限趋

6、近于点限趋近于点P0处的处的切线切线P0T.这时，这时，割割线线P0P的斜率的斜率k 无限趋近于点无限趋近于点P0处处的的切线的斜率切线的斜率k0.因此，因此，切线切线P0T 的的斜率斜率k0=2.xyO121234PP0T 事事实上，由实上，由 可以可以发现，当发现，当x在在无限趋近于无限趋近于0时时，无限无限趋趋近于近于2，我们把，我们把2叫做叫做“当当x无限无限趋近于趋近于0时，时，的的极限极限”，记为，记为1.你认为应该怎样定义抛物线你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点在点(x0,x02)处的切线处的切线?试求抛物线试求抛物线f(x)=x2在点在点(1,1)处切线的斜率处切线的斜

7、率.想一想，动一动 思考 观察问题观察问题1中的函数中的函数h(t)4.9t24.8t11的图象，平的图象，平均速度均速度 的的几何意义是什么几何意义是什么?瞬时速度瞬时速度v(1)呢呢?th1O(1,h(1)(1+t,h(1+t)典型例题例2.求抛物线f(x)x22x3在点(1,2)处的切线方程典型例题求抛物线yf(x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可求抛物线在某点处的切线方程的步骤：感悟提升1.求求抛物线抛物线yx23x在在x2处的切线斜率处的切线斜率巩固练习2.求抛物线f(x)3x24x1在点(2,3)处的切线方程巩固练习课堂小结回顾本节课的学习内容，回答下列问题回顾本节课的学习内容，回答下列问题:1.1.割线的斜率与切线的斜率有什么关系？割线的斜率与切线的斜率有什么关系？2.2.你能总结一下求切线斜率的过程方法吗？你能总结一下求切线斜率的过程方法吗？无限逼近无限逼近