2024届云南省“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）数学试题含答案.pdf

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1、#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#2024届云南省“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）数学试题#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 1 页（共 10 页）2024 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）数学参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C B A D D【解析】1因为 2 3A ，0 2B，则(0)(2)B R，所以 2 0)(2

2、 3AB R，故选 D 2 设i()zxy xyR，则izxy，由23 i13izzxy，可得1xy，所以1iz ，所以221i(1i)2ii1i1i2zz，故选 A 3()f x 为偶函数，则(0)sin1f ，解得()2kkZ，当1k 时，32；又当32时，()cos2f xx 为偶函数，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B 4沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为2x，则由三角形相似可得1211xx，即12121x，所以正方体棱长为22，故选C 52222222sincos2 cossin2tan2tan2222222sin2cos2cossin1tan222，故选B 6记

3、iA为第i次摸到的是红球，则12122()(|)()P A AP AAP A，又12121()()(|)P A AP A P AA 2115410，2121212112121322()()()()(|)()(|)54545P AP A AP A AP A P AAP A P AA，所以121(|)4P AA，故选A 7设曲线E上任意一点为()P xy，则由题设可得2222(1)(1)(1)(1)xyxy|6 2|PAPBAB，可得曲线E的轨迹是以A B，为焦点且长轴长为6 2的椭圆，所以BCD的周长等于(|)(|)26 212 2DBDACBCA，故选D#QQABaYCAogCAABBAABg

4、CQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 2 页（共 10 页）8设一个切点为000exxx，则由1()exxfx，可得该点处的切线方程l：00exxy 0001()exxxx，当l 经过点 P 时，有000001(1)eexxxxmx，即02001exxxm，则过点 P切 线 的 条 数 即 为 方 程02001exxxm的 解 的 个 数.设21()exxxg x，则2211()exxxxg x 22exxx(1)(2)exxx，所以()g x 在(1)(2)，上单调递减，在(1 2)，上单调递增.当x 时，()g x ，当x 时，()0g x，又

5、由224215(2)eeg，(1)e 0g ，可得250em，时，02001exxxm有三个解，故选 D 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）题号 9 10 11 12 答案 BCD ACD ACD AB【解析】9对于选项 A，9 个数据从小到大排列，由于90.756.75，所以第 75 百分位数应该是第 7个数 8，故 A 错误；对于选项 B，由 M，N相互独立得：()()()P MNP M P N，所以()(|)()()P MNP N MP NP M，(

6、|)()()()1P N MP NP NP N，故 B 正确；对于选项 C，由20.0018.61210.828x，可以认为 X 和 Y 独立，故 C 正确；对于选项 D，样本点都在直线47yx，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为 1，故 D 正确，故选 BCD 10 对 于 A，因 为()0bab，所 以()bab，故 A 正 确；对 于 B，因 为222|2|(2)|4|2|122 3ababaa bb，所以 B 错误；对于 C，因为|aba，都是单位向量，由平行四边形法则和菱形性质知c对应有向线段平分a b，的夹角，由题设知3a b ，coscos|62|3c ac ac a

7、，所以 C 正确；对于 D，由 A 选项知：()bab，所以由向量减法的几何意义直接看出结果成立.另法：|abab恒成#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 3 页（共 10 页）立，则22()()abab，即2222222aa bbaa bb，整理得2(1)0，此式恒成立，所以 R，|abab恒成立，所以 D 正确，故选 ACD 11A 选项，如图 1，由圆的切线性质及勾股定理可得：22|26422PAPOOA，所以 A 选项正确；B 选项，O 到直线 l：60 xy的距离为0063 2|2，而22|PAOP

8、 22|(3 2)414OA，所以|PA 的最小值为14，所以三角形PAO面积的最小值为1142142，所以 B 选项错误；C 选项，设(6)P aa，22(6)|22aaOP 2212362aa，线段OP的中点坐标为622aa，所以以OP为直径的圆的方程为222621236224aaaaxy，22(6)0 xyaxa y，由224xy，两 式 相 减 得 直 线 AB 的 方 程 为：(6)4()640axa ya xyy，由0640 xyy，解得23xy，所以直线 AB 过定点2233，C 选项正确（法二：直线 AB 的方程也可直接由圆的切点弦方程直接求出）；D 选项，由 C 选项知，圆心

9、 O 到直线 AB 的距离242 20321236daa，所以2224 7|2=2 443ABrdd，D 选项正确，故选 ACD 12对于 A 选项，如图 2，连接AC交 BD于点 O，连接OA，则由题设知BDACBDA O，所以BDA OCBDA C平面，故，A 选项正确；对于 B，由题意 可 知12A DCA BCSSA CBMA MBM，因 为2224A BA MBM，故2222A MBMA MBM，当且仅当2A MBM时取得等号，故A DCA BCSS，的最大值为2，而122sin6032A BDCBDSS ，则四图 1 图 2#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQ

10、kACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 4 页（共 10 页）面体ABCD的表面积的最大值为max()42 3A DCA BCA BDCBDSSSS，B正确；C选项，不妨假设存在点A，使得BMCD，取CD的中点为N，连接MNBN，M为线段A C的中点，故MNA D；由于在菱形ABCD中，ABBCA BBC，而M为线段A C的中点，故BMCA.由于CDA CC CDA C，平面A DC，故BM平面A DC，MN 平面A DC，故BMMN，而3BAD，故3BCD，即BCD为正三角形，则BCBD，故332BNBC.又MNA D，且112MNA D，故222.BMBNMN由于

11、BMCA，故22422A MA BBMA C，2 2.因为3A OOC，满足A OOCA C，即当2 2A C时，使得BMCD，C 错误；对于 D，因为OCBD OABD，故A OC为二面角ABDC的平面角，即1cos3A OC，所以222223361263233A OOCA CA CA CA O OC，即2A C，而2A DA BBDBCCD，则四面体 ABCD为正四面体，故将其补成如图 3 所示正方体，且正方体棱长为2，则四面体 ABCD的体积32112 2(2)4(2)2323V，则四面体 ABCD的内切球半径3646BDCVrS，D 错误，故选 AB 三、填空题（本大题共 4 小题，每

12、小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16 答案 135 24xy 8 3 3 【解析】13设展开式的第1r 项是26612 31661C(3)C 3(1)rrrrrrrrTxxx，令4r，所以5T 46 446C 3(1)135.14由题意可知：圆心M 到点(0 1)，的距离与到直线1y的距离相等，所以根据抛物线的定义可知圆心 M 的轨迹是以(0 1)，为焦点，1y为准线的抛物线，故得圆心M 的轨迹方程为24.xy 图 3#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 5 页（共 10 页）15由已知(

13、)()f xfx，且(12)()fxfx，(24)(12(12)(12)f xfxfx (12)()()fxfxf x，即函数()f x 是以 24 为周期的周期函数，故(2024)f(84248)(8)12(4)(4)8ffff .16 如图 4 所示，设圆 C 逆时针绕圆 O 转过的圆心角AOC，点A 转到点1A，则由题设知12ACO，过点 C 作CDx 轴，再过 点1A 作1ABCD，垂 足 为 B，则13.ACB 设1()A xy，则1|cos|cos(3)3coscos3xOCAC，1|sin|sin(3)3sinsin3yOCAC，所 以21|AA 223(3coscos32)(3

14、sinsin3)4cos36cos212cos144(4cos3cos)26(2cos1)12cos143216cos12cos24cos20，令cost，则21|AA 32()16122420 1 1f ttttt，又()24(21)(1)1 1f tttt，.()0f t由，111()0122tf tt 得；，得，易知max1()272f tf，故1 max|3 3.AA 四、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）解：（1）因为sinsinsinABC，成等差数列，所以2sinsinsinBAC.由正弦定理得2bac，又53bc，所以7a

15、.由余弦定理得，2223571cos23 52A ，(0)A，故2.3A （5 分）（2）由三角形内角平分线性质知：35BDABCDAC，又CD B，三点共线，所以5=388ADABAC，所以22253553388888|=28ADABACABABACAC 15.8 （10 分）18（本小题满分 12 分）证明：（1）由数列na的前n项积为nT，得1(2)nnnTnTa，由题设+12nnnnTTTa，图 4#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 6 页（共 10 页）可得+11+1122nnnnnnTTTTTT

16、，所以数列 nT是等差数列.（4 分）由题设113a，故113T，12111122133TTTa ，1223TT ，所以 nT是首项为13，公差为23的等差数列，故122(1)1.333nTnn （7 分）（2）315003150015010212lg|lg|lg|lg|lg|lg|aaaaa aTaa 2lg15001lg999lg10003.3 （12 分）19（本小题满分 12 分）解：（1）设小张答对的题目数为 X，可知随机变量 X 服从超几何分布，X 的取值分别为1，2，3，4 有1373410C C71(1)C21030P X，2273410C C633(2)C21010P X，3

17、173410C C1051(3)C2102P X，4073410C C351(4)C2106P X，故小张答对的题目数 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 130 310 12 16 设小王答对的题目数为Y，可知随机变量Y服从二项分布(4)YBpY，的取值分别为 0，1，2，3，4，有4(0)(1)P Yp，1334(1)C(1)4(1)P Ypppp，222224(2)C(1)6(1)P Ypppp，3334(3)C(1)4(1)P Yp ppp，4(4)P Yp#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 7

18、 页（共 10 页）故小王答对的题目数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P 4(1)p 34(1)pp 226(1)pp 34(1)pp 4p （8 分）（2）由（1）可知13111430102()1234()654E XE Yp ，若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数，则14()()45E XE Yp，即，可得7010p（12 分）20（本小题满分 12 分）（1）证明：如图 5，过 E 在平面1AEC 内作1EGAC交1ACG于，因 为 平 面1ABC 平 面1AEC，平 面1ABC平 面11AECAC，所以1EGABC平面.故111EGABABAE，又，所以1AB 平面1AEC

19、，故1AB EC，在RtABE中，3AB，1AE ，2BE.同理，在RtEDC中，2 3EC，222222(2 3)16BECEBC，.CEBE 又1BEABB，CE 平面1ABE.又CEBCDE 平面，平面1ABE 平面BCDE.（6 分）（2）解：如图，作1AHBE，垂足为 H，在1ABE中，可得132AH，12EH，由（1）知，EBEC，平面1ABE 平面 BCDE，以点 E 为坐标原点，EB，EC 分别为x，y 轴，过点 E 垂直平面 BCDE 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得(2 0 0)B，(0 2 3 0)C，113022A，33 3022D，图 5#QQABaYCAo

20、gCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 8 页（共 10 页）则133022BA，33022DC，13 33222DA，.由（1）知1AB 平面1AEC，所以112(3 03)BAn ，是平面1AEC 的一个法向量.设平面1DAC的一个法向量为2()a b cn ，则22100nDCnDA ，即330223 332022ababc，令3a，可得3b ，13c ，2(3313)n ，121222222212330(3)3(13)8 181cos181|(3)0(3)(3)(3)(13)nnnnnn ，又120nn ，则2212128

21、 1813 2353sin=1cos1181181nnnn ，.所以二面角1EACD的正弦值为3 2353181.（12 分）21（本小题满分 12 分）证明：（1）法 1：导数法 法 2：判别式法(略)由双曲线的方程22221xyab，可得22222()byxaa，即2222()()bbf xxag xxaaa或，其中函数()f x 的图象即为双曲线在x轴的上半部分，函数()g x的图象即为双曲线在x轴的下半部分.1、当00y时，由 导 数 的 几 何 意 义 可 知：以 点00()A xy，为 切 点 的 切 线 斜 率00220()bxkfxa xa，所以切线方程为：000()()yyf

22、xxx，即000220()bxyyxxa xa.又22000()byf xxaa，故2200ayxab，#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#数学参考答案第 9 页（共 10 页）代入整理得2200002222x xy yxyabab，又切点00()A xy，在双曲线上，故2200221xyab，所以切线方程为：00221.x xy yab 2、当00y 时，以点00()A xy，为切点的切线斜率00022()bxkg xa xa，所以切线方程为：000()()yyfxxx，即000220()bxyyxxa xa.又2200

23、0()byg xxaa，故2200=ayxab，代入整理得2200002222x xy yxyabab.又切点00()A xy，在双曲线上，故2200221xyab，所以切线方程为：00221.x xy yab 3、当00y 时，切点为(0)a，切线方程为xa，满足00221x xy yab，综上：22221(00)xyabab，上一点00()A xy，为切点的切线l的方程为00221x xy yab.（8分）（2）由（1）知，切线l的方程可化为2222000b x xa y ya b，由点到直线的距离公式得 222222422440001122424222222222000000|=()()

24、()()b x ca bb x ca bb x ca bF NF Nb xa yb xa yb xa y，由2200221xyab，可得22200222yxaba b，代入上式分母整理得424242222224000022202()0ba bb xa yb xaaxb c xb，所以2222422222422001122222224222400|()|=a ba bb b x ca bb b x ca bF NF Nbb c xb x c，所以1122|F NF N为定值2.b （12分）#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=

25、#数学参考答案第 10 页（共 10 页）22（本小题满分12分）（1）解：2()10141013ln(0)2xf xxx x，2101310141013(1)(1013)()1014.xxxxfxxxxx 令()0011013()011013fxxxfxx，得或；令，得，故函数()f x的单调递增区间为：(0 1)(1013)，；递减区间为：(1 1013).，（4分）（2）证明：法一：构造函数 法二：对数均值(略)注：若用此法证，要首先证明对数均值不等式，否则酌情扣2-3分.法一：由（1）知123011013xxx，先证明：122xx，构造函数()()(2)(01)F xf xfxx，则2

26、(1)(1013)(1)(1011)2026(1)()()(2)2(2)xxxxxF xfxfxxxxx，所以()0(0 1)F x在，上恒成立.()(0 1)F x故在，上单调递增，有()(1)(1)(1)0F xFff，所以()(2)(0 1)f xfx在，上恒成立.又101x，所以211()()(2)f xf xfx，又212(1 1013)xx，由（1）知()(1 1013)f x在，上单调递减，故212xx，即122xx.再证明322026xx：，构造函数()()(2026)(11013)G xf xfxx，则2(1)(1013)(2025)(1013)2(1013)()()(2026)2026(2026)xxxxxG xfxfxxxxx，所以()0(1 1013)G x在，上恒成立，()(1 1013)G x故在，上单调递增，有()(1013)(1013)(1013)0G xGff，所以()(2026)(1 1013)f xfx在，上恒成立.又211013x，所以322()()(2026)f xf xfx，又322026(1013)xx，由（1）知()(1013)f x 在，上单调递增，故322026xx，即322026xx.由、得312024.xx （12分）#QQABaYCAogCAABBAABgCQQVqCAIQkACACKoOAAAEsAABgQFABAA=#