湖南省名校联考联合体2023-2024学年高二上学期第三次联考数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 名校联考联合体名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第三次联考年秋季高二年级第三次联考 数学（数学（A 卷）卷）时量：时量：120 分钟满分：分钟满分：150 分分（考试范围：必修第一册（考试范围：必修第一册必修第二册必修第二册选择性必修一选择性必修一，选择性必修二至第五章，选择性必修二至第五章 5.2）得分：得分：_.一一选择题选择题；本题共；本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.若复数()()34i 1 2iz=+，

2、则z=（）A.5 B.5 5 C.10 D.10 5 2.已知集合 48,17321AxxBxx=时，()341 logf xxx=+，则()3f=（）A.-10 B.10 C.-12 D.12 4.已知函数()()230e1xf xfxx=+（()fx是()f x的导函数），则()()00ff+=（）A.32 B.32 C.12 D.12 5.敲击如图 1 所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为sin(0)yAt=.图 2 是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定,A的值分别为（）A.1,4001000 B.1,4001000 C.1,8005

3、00 D.1,800500 6.如图，将一个圆柱()2n nN等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n 越大，重新组合成的几何休就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为（）学科网（北京）股份有限公司 A.5 B.10 C.20 D.30 7.已知直线3yx=与曲线()ln 32yxa=+相切，则a的值为（）A.14 B.15ln33+C.2 D.1 8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正

4、四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为1,P为棱AE的中点，13DQDA=，设直线FP与CQ的夹角为，则tan=（）A.263 B.3 2626 C.216 D.156 二二多选题多选题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得求，全部选对的得.5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知实数0abc，则下列不等式正确的是（）A.acbc B.abbc C.22acbc D.

5、11acbc 10.为了解各种 APP 的使用情况，将使用人数排名前 5 的数据整理得到如下的柱状图，则（）学科网（北京）股份有限公司 A.APP 使用人数最多的是微信 B.微信 APP 的使用人数超过今日头条 APP 的使用人数的 2 倍 C.微信 APP 的使用人数超过今日头条 APP 与快手 APP 的使用人数之和 D.抖音 APP 的使用人数大于快手 APP 的使用人数的 125%11.对于数列 na，若()*22222,4nnaaan n+=+=N，则下列说法正确的是（）A.66a=B.数列 na是等差数列 C.数列42na是等差数列 D.4162nan=12.已知双曲线22:111

6、22xyC=与椭圆22:1xyk+=有公共的焦点12,F F，N是双曲线C的一条浙近线上的一点，O是椭圆的对称中心，点P，Q分别为,C上的动点，,N P位于y轴的同侧，且Q不在x轴上，则（）A.2k=B.0,2PON C.当P为C与的交点时，121cos3FPF=D.120,2FQF 三三填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量()()1,3,2,4atb=+=，且()3aba，则a=_.14.等比数列 na的n前项和为nS，若510133SS=，则1098aaa=+_.15.已知直线1:40lxy+=，直线2l过点134,2且与

7、直线1l相互垂直，圆22:6430C xyxy+=，若直线2l与圆C交于,M N两点，则MN=_.16.如图，在棱长为 3 的正方体1111ABCDABC D中，M在线段BC上，且1,3CMBC N=是侧面11CDDC上一点，且MN平面1ABD，则线段MN的最大值为_.学科网（北京）股份有限公司 四四解答题解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文宇说明解答应写出文宇说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知 na是各项均为正数的等比数列，14a=，且123,18,a aa+成等差数列.（1）求 na的通项公式；（2）设4411lo

8、glognnnbaa+=，求数列 nb的前n项和.18.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和为()*21,2nnnnSaaan+=N，且2466,21aaS+=.（1）求数列 na的通项公式；（2）若1,2,nnnaa nbn=为奇数为偶数求数列 nb的前2n项和2nT.19.（本小题满分 12 分）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且()()sinsin cossincos3aACBA bCc+=.（1）求B；（2）若D是AC边上一点，且13BDCDb=，设边AC上的高为h，求hc.20.（本小题满分 12 分）如图，四边形ABCD是正方形，PA 平面,ABCD

9、 FB,22,PA PAABFB E=为PA的中点，O为BDE的外心.学科网（北京）股份有限公司（1）求证：AO 平面PCF；（2）求平面PCF与平面BCF夹角的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知函数()()()33,f xxax g xbxxa b=+=R.（1）若曲线()yf x=在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线()yg x=在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断a与b之间的关系；（2）若6ba=，是否存在直线l与曲线()yf x=和()yg x=都相切？若存在，求出直线l的方程（若直线l的方程含参数，则用a表示）；若不存在，请说明理由.22.（本小题

10、满分 12 分）已知斜率为12的直线与抛物线2:2(0)C xpy p=相交所得的弦中点的横坐标为 1.（1）求抛物线C的方程；（2）点,S T是曲线C上位于直线1y=的上方的点，过点,S T作曲线C的切线交于点Q，若F为抛物线C的焦点，以ST为直径的圆经过点F，证明：45SQT=.学科网（北京）股份有限公司 名校联考联合体名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第三次联考年秋季高二年级第三次联考 数学（数学（A 卷）参考答案卷）参考答案 一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项在每小题给出的四个选项中

11、，只有一个选项是符合题目要求的是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D B C D A CD AD AC ABC 1.B 【解析】因为()()234i 1 2i36i4i8i11 2iz=+=+=，所以221125 5z=+=.故选 B.2.A 【解析】因为17321 210Bxxxx=，又 48Axx=，所以()()210,210,ABxxAB=的最小正周期为T，则334800T=，解得1200T=，则21200=，解得400=.故选 B.6.C 【解析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径

12、为r，高为h，则220rh=，则10rh=，因为新几何体的高为 5，所以圆柱的高为 5，即5h=，解得2r=，所以圆柱的体积为220Vr h=.故选 C.7.D 【解析】设切点坐标为()00,3xx，因为()ln 32yxa=+，所以33yxa=，所以切线的斜率0333kxa=，又()003ln 32xxa=+，即03ln12x=+，解得023x=，所以由031xa=，得031ln12 11ax=+=.故选 D.8.A 【解析】由题意，12,23FPFEEPACAE CQAQACADAC=+=，又由正八面体ABCDEF的棱长都是 1，且各个面都是等边三角形，在ACE中，由1,2ACAECE=，

13、可得222ACAECE+=，所以ACAE，学科网（北京）股份有限公司 所以2122233FP CQACAEADACAC ADAC=+211211111 111 103232322AE ADAE AC+=+=，22222111101244FPACAEACAC AEAE=+=+5;2=22222244441711 11;3939323CQADACADAD ACAC=+=+=所以13 352coscos,355723FP CQFP CQFP CQ=，所以26sin35=，则26sin35tancos3 3535=263.故选 A.二二多选题多选题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分

14、，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得求，全部选对的得 5 分，部分选分，部分选对的得对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.CD 【解析】对于 A 项，因为0,0abc，所以acbc，此时27abbc=，故 B 错误；对于 C 项，因为0c，又0ab，所以22acbc，故 C 正确；对于 D 项，由 A 得0acbc，故 D 正确.故选 CD.10.AD 【解析】对于 A 项，APP 使用人数最多的是微信，故 A 正确；学科网（北京）股份有限公司 对于 B 项，微信 APP 的使用人数占 7 格，今

15、日头条 APP 的使用人数占近 4 格，所以微信 APP 的使用人数小于今日头条 APP 的使用人数的 2 倍，故 B 错误；对于 C 项，微信 APP 的使用人数占 7 格，今日头条 APP 的使用人数占近 4 格，快手 APP 的使用人数占 4格，所以微信 APP 的使用人数小于今日头条 APP 与快手 APP 的使用人数之和，故 C 错误；对于 D 项，抖音 APP 的使用人数占 5 格多，快手 APP 的使用人数占 4 格，则快手 APP 的使用人数的125%等于 5 格，所以抖音 APP 的使用人数大于快手 APP 的使用人数的125%.故 D 正确.故选 AD.11.AC 【解析】

16、由()*22224,2nnaan na+=N，得426442,86aaaa=，故 A 正确；又()22222244,41nnnnaan aan+=+=+，两式相减得2424nnaa+=，令*1121,nnn=N，可得1142424nnaa+=，所以 na不是等差数列，42na是等差数列，故 B 错误，C 正确；同理，令*112,nn n=N，则114444nnaa+=，所以4na是以42a=为首项，公差为 4 的等差数列，所以()421442nann=+=，故 D 错误.故选 AC.12.ABC 【解析】双曲线22:11122xyC=的焦点为()()121,0,1,0FF，则211k =，解得

17、2k=，故 A 正确；双曲线22:11122xyC=的渐近线方程为yx=，如图，设M（与N点位于y轴的同侧）是双曲线C的另一条渐近线上的一点，则()0,PONMON，因为2MON=，所以0,2PON，故 B 正确；学科网（北京）股份有限公司 当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，12122 2,2PFPFPFPF+=，解得123 22,22PFPF=，又122FF=，在12FPF中，由余弦定理得222121212121cos23PFPFFFFPFPFPF+=，故 C 正确；设12,QFm QFn=，则2 2mn+=，则由余弦定理得22222212122cos22mnFF

18、mnFQFmnmn+=()222()24(2 2)2442222111222(2)22 2mnmnmnmnmnmnmnmnmmm+=+，由()21,21m+，得()21,1m，得)2(2)0,1m，得(2(2)1,0m，得(2(2)21,2m+，得)221,2(2)2m+，得)2210,1(2)2m+，即12cosFQF)0,1，所以120,2FQF.故 D 错误.故选ABC.三三填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.5 【解析】()()()33 1,32,45,35abtt=+=+，因为()3aba，所以()()135530tt+=，

19、解得5t=，所以()221,2,1(2)5aa=+=.14.43 【解析】设等比数列 na的公比为q，首项为1a，且0q，若1q=，则510511033SS=，与题设矛盾，所以1q.则()()515510101111113311aqSqSqaqq=+，解得2q=，所以()222210889888824112 13aa qa qqaaa qaaqq=+.15.47 【解析】由直线1:40lxy+=，可得斜率114k=，因为12ll且直线2l过点134,2，所以直线2l的斜率为24k=，所以2l的方程为()13442yx=+，化简得82450 xy+=，又由圆 学科网（北京）股份有限公司 22:6

20、43C xyxy+=0，即22:(3)(2)16Cxy+=，可得圆C的圆心坐标为()3,2C，半径为4r=，则圆心C到直线2l的距离为()()228322451728(2)d+=+，所以弦长22221722 4472MNrd=.16.14 【解析】如图，在线段CD上取一点E，使得13CECD=，在线段1DD上取一点F，使得1113D FDD=，连接1,ME EF CD，因为1113D FCMCEBCCDDD=，所以ME,BD EF1CD，又1AB1CD，所以EF1AB，因为ME 平面1,ABD BD 平面1ABD，所以ME平面1ABD，同理，因为EF 平面11,ABD AB 平面1ABD，所以

21、EF平面1ABD，又MEEFE=，所以平面MEF平面1ABD，因此，N在线段EF上.因为22222112,13214MEMF=+=+=，所以线段MN的最大值为14.四四解答题解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）设 na的公比为q，由 na的各项均为正数知0q，因为123,18,a aa+成等差数列，所以()132218aaa+=+，又14a=，所以()2442 418qq+=+，化简得()()240qq+=，解得4q=或2q=（舍去），故 na的通项公式为14 44nnna=.学

22、科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知()14414411111logloglog 4 log 411nnnnnbaan nnn+=+，设 nb的前n项和为nS，则11111111112231111nnSnnnnnn=+=+.18.【解析】（1）由212nnnaaa+=，得211nnnnaaaa+=，所以数列 na为等差数列.设数列 na的公差为d，由2466,21,aaS+=得11246,6 5621,2adad+=+=解得11,1,ad=所以()111nann=+=.（2）当n为奇数时，nnban=；当n为偶数时，1122nannb=，所以()()()()321213212421 321

23、222nnnnTbbbbbbn=+=+212223nn+=+.19.【解析】（1）因为()()sinsin cossincos3aACBA bCc+=，所以2sinsin sin cossin sin cos3sin sinAACBABCAC+=，又()0,A，所以sin0A，所以sinsin cossin cos3sinACBBCC+=，所以()sinsin cossin cos3sinBCCBBCC+=，所以sin cossin cossin cossin cos3sinBCCBCBBCC+=，所以2sin cos3sinCBC=，又()0,C，所以sin0C，所以3cos2B=.又()0

24、,B，所以56B=.学科网（北京）股份有限公司（2）在BCD中，由余弦定理得22222229cos22BDCDBCbaBDCBD CDb+=，在ABD中，由余弦定理得22222259cos24BDADABbcBDAAD BDb+=，因为180BDCBDA+=，所以coscosBDCBDA=.即222222295924babcbb=，整理得2222bca=.在ABC中，由余弦定理得2223cos22acbBac+=，则23222aaacc=，所以3ac=.所以2226bcc=，即7bc=.所以11sin22ABCSacBbh=，即11137222c cch=，解得2114hc=，则2114hc=

25、.20.【解析】（1）因为2,PAFB E=为PA的中点，所以PEFB=，又FBPE，所以四边形PEBF是平行四边形，所以PFEB，又PF 平面,BDE EB 平面BDE，所以PF平面BDE.连接EF，如图所示，同理，易证四边形ABFE是平行四边形，所以EFAB，又CDAB，所以EF CD，所以四边形EFCD是平行四边形，所以CFDE，又CF 平面,BDE DE 平面BDE，所以CF平面BDE.又PFCFF=，所以平面PCF平面BDE.学科网（北京）股份有限公司 因为四边形ABCD是正方形，PA 平面,2,ABCD PAAB E=为PA的中点，所以,AB AD AE两两互相垂直，且ABADAE

26、=，所以由勾股定理可知BDBEDE=，则三棱锥ABDE是正三棱锥，那么BDE的外心O就是BDE的中心，也是A在底面BDE上的垂心，所以AO 平面BDE，所以AO 平面PCF.（2）以A为原点，,AD AB AP 分别为,x y z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设222PAABFB=，则1ABADFB=，则点()()()()0,0,2,1,1,0,0,1,1,0,1,0PCFB，则()()1,1,2,0,1,1PCPF=.设平面PCF的法向量为(),nx y z=，则 由()()()(),1,1,220,0,1,10,n PCx y zxyzn PFx y zyz=+=得,xzyz=

27、令1z=，得平面PCF的一个法向量为()1,1,1n=；又易知平面BCF的一个法向量为()0,1,0m=；设平面PCF与平面BCF夹角大小为，则(0,1,0)(1,1,1)3cos|313m nm n=，所以平面PCF与平面BCF夹角的余弦值为33.21.【解析】（1）()()223,3fxxa gxbx=+，曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线斜率为()13fa=+，学科网（北京）股份有限公司 曲线()yg x=在点()()1,1g处的切线斜率为()13gb=，又()()11,11fa gb=+=，曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程为()()()131yaax+=+

28、，即()32;ya x=+令0 x=，得2y=；令0y=，得23xa=+，则切线()32ya x=+与坐标轴的交点分别为()20,2,03a+，切线()32ya x=+与坐标轴围成的三角形的面积为11222233Saa=+；曲线()yg x=在点()()1,1g处的切线方程为()()()131ybbx=，即()32ybx=+，令0 x=，得2y=；令0y=，得23xb=，则切线()32ybx=+与坐标轴的交点分别为()20,2,03b，切线()32ybx=+与坐标轴围成的三角形的面积为21222233Sbb=；由题意，2233ab=+，所以ab=或6ba=.（2）设直线l与曲线()yf x=相

29、切于点()11,A x y，与曲线()yg x=相切于点()22,B xy，()()223,3fxxa gxbx=+，曲线()yf x=在点A处的切线为()()()3211113yxaxxaxx+=+，即()231132yxa xx=+，曲线()yg x=在点B处的切线为()()()3222223ybxxbxxx=，即()232232ybxxx=+，则2212331233,22,xabxxx+=则221212336,xxbaxx+=所以2166x=，解得121,1,xx=或121,1,xx=当121,1xx=时，直线():32;l ya x=+学科网（北京）股份有限公司 当121,1xx=时，

30、直线():32;l ya x=+故存在直线l与曲线()yf x=和()yg x=都相切，直线l的方程为()32ya x=+或()32ya x=+.22.【解析】（1）设弦的两端点分别为()(),AABBA xyB xy，则12,2ABABAByyxxxx+=，则222,2,AABBxpyxpy=得()222ABABxxp yy=，得()()()2ABABABxxxxp yy+=，得2ABABAByyxxpxx+=，即1222p=，解得2p=，故抛物线C的方程是24xy=.（2）设221212,44xxS xT x，又()0,1F，则221212,1,144xxFSxFTx=，因为以ST为直径的

31、圆经过点F，所以FSFT，则22121211044xxFS FTx x=+=，即22221212121164x xxxx x+=，则()222212121216416x xxxx x+=+.由24xy=，有2xy=，过点211,4xS x的切线的斜率为112xk=，则切线SQ的方程为()211142xxyxx=，同理，切线TQ的方程为()222242xxyxx=，联立方程组解得1212,24xxx xQ+，由点,S T是曲线C上位于直线1y=上方的点，可知124x x ，学科网（北京）股份有限公司 则221211221212,2424xxxx xxxxx xQSQT=，由于0,2SQT，则co

32、s|cos,|QS QTSQTQS QTQS QT=()()()221212122222221122211221216216216xxxxxxxxxxxxxxxx+=+()()()()122221212121222222222221212121212144168416,441644411416416x xx xx xx xx xxxxxx xxxxx+=+.代入()222212121216416x xxxx x+=+，得()()()()()2222121212121222222212121212128416482cos24416816x xxxx xxxx xSQTxxxxx xxxx x+=+，所以45SQT=.