2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷含答案.docx

《2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷含答案.docx（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）已知过点A（1，a），B(2，-3)的直线的倾斜角为60，则实数a的值为（）A-23B23C3D-32（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a57，a1022，则S10（）A65B75C80D853（5分）如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c，则CM=（）A14a+14b-12cB14a-14b-12cC-14a-14b+12cD-34a+14b-

2、12c4（5分）若圆C1：x2+y24与圆C2：x2+y22mx+m2m0外切，则实数m（）A1B1C1或4D45（5分）已知直线a，b与平面，下列四个命题中正确的是（）A若a，b，la，lb，则lB若a，b，则abC若a，b，则abD若直线a上存在两点到平面的距离相等，则a6（5分）如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB2，则异面直线O1B，O2A所成的角为（）A6B3C23D567（5分）设a=13，b=2ln(sin16+cos16)，c=12ln2，则（）AcbaBcabCabcDacb8（5分）在四面体PABC中，PAPB，ABC是边

3、长为2的等边三角形，若二面角PABC的大小为 120，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A139B269C529D1049二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）（多选）9（5分）下列求导数的运算正确的是（）A(x3-1x)=3x2+1x2B(ln2)=12C（xex）（x+1）exD(sinx3)=cosx3（多选）10（5分）设正项等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，公比为q，已知a1a54，a2+a45，则下列结论正确的是（）Aq=12B若an为递增数列，

4、则Sn+12=an+1Ca32D若an为递减数列，当且仅当n3时，Tn取得最大值（多选）11（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足BM=tBA，t0，1，下列结论正确的是（）A若t1，则A1B1平面MPQB若t1，则过点M，P，Q的截面面积是92C若t=12，则点A1到平面MPQ的距离是36D若t=12，则AB与平面MPQ所成角的正切值为22（多选）12（5分）已知抛物线C：y24x，点A（1，0），B（0，m）（m0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（）A焦点坐标为（2，0

5、）B向量OP与OM的数量积为5C直线MN的斜率为mD若直线PQ过焦点F，则OF平分PAQ三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，神墙共30分）13（5分）已知点A（0，1，0），点B（2，3，2），向量AC=12AB，则点C的坐标为 14（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点P在圆O：x2+y29上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是 15（5分）若曲线ylnx+ax在x1处的切线经过点P（2，0），则实数a 16（5分）一个圆锥母线与底面所成的角为30，体积为8，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为 17（5分）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的

6、增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为cn，则c10 .（1.182.14，1.192.36，1.1102.59 ）18（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上，O为坐标原点，且PF=4FQ，|OP|OF|，则椭圆的离心率是 四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19（12分）已知函数f（x）x33x+a （aR）（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围20（12分）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，2），且圆C关

7、于直线2x+y0对称（1）求圆C的方程；（2）过点D（3，1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程21（12分）设正项数列an的前n项和为Sn，an2+2an4Sn1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn3n1，求数列anbn的前n项和Tn22（12分）如图，在四边形ABCD中（如图1），BACBCD90，ABAC，BCCD，E，F分别是边BD，CD上的点，将ABC沿BC翻折，将DEF沿EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC平面BCFE（如图2）（1）求证：CFPB；（2）求二面角PEFB的余弦值.23（12分）已知双曲线M：x2-y23=1，在双曲线M的右支上存在不

8、同于点A（2，3）的两点P，Q记直线AP，AQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k，且k1，k，k2成等差数列（1）求k的取值范围；（2）若OPQ的面积为6（O为坐标原点），求直线PQ的方程2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）已知过点A（1，a），B(2，-3)的直线的倾斜角为60，则实数a的值为（）A-23B23C3D-3【解答】解：由题意可得，直线的斜率ktan60=3=a+31-2，故a23故选：A2（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a

9、57，a1022，则S10（）A65B75C80D85【解答】解：a57，a1022，5d15，解得d3，a57，a17125，S1010（5）+59385故选：D3（5分）如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c，则CM=（）A14a+14b-12cB14a-14b-12cC-14a-14b+12cD-34a+14b-12c【解答】解：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC，BD相交于O，由于M为OC1的中点，则CM=12(CO+CC1)=1212(CB+CD)+AA1=-14AD-14AB+12AA1=-14a

10、-14b+12c，故选：C4（5分）若圆C1：x2+y24与圆C2：x2+y22mx+m2m0外切，则实数m（）A1B1C1或4D4【解答】解：圆C1：x2+y24，圆心为C1（0，0），半径r12，圆C2：x2+y22mx+m2m0，即x2+（ym）2m，圆心为C2（m，0），半径为m（m0），圆C1：x2+y24与圆C2：x2+y22mx+m2m0外切，则|C1C2|r1+r2，即m=2+m，解得m4故选：D5（5分）已知直线a，b与平面，下列四个命题中正确的是（）A若a，b，la，lb，则lB若a，b，则abC若a，b，则abD若直线a上存在两点到平面的距离相等，则a【解答】解：对于A，

11、若a，b，la，lb，a，b相交，则l，故A错误；对于B，若a，则a或a，又b，则由线面垂直的性质定理可得ba，故B正确；对于C，若a，b，则a与b平行、相交或异面，故C错误；对于D，若若直线a上存在两点到平面的距离相等，则a与平行或相交，故D错误故选：B6（5分）如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB2，则异面直线O1B，O2A所成的角为（）A6B3C23D56【解答】解：设过B的母线为BD，连接AD，则O1O2BD，O1O2BD，四边形O1O2DB为平行四边形，O1BO2D，AO2D为异面直线O1B，O2A所成的角或其补角，AB2，DB1，

12、AD=22-12=3，又O2AO2D1，cosAO2D=11+12-(3)2211=-12AO2D=23，异面直线O1B，O2A所成的角为3，故选：B7（5分）设a=13，b=2ln(sin16+cos16)，c=12ln2，则（）AcbaBcabCabcDacb【解答】解：解b=2ln(sin16+cos16)=ln（sin16+cos16）2ln（1+sin13），令f（x）xsinx，则f（x）1cosx在（0，2）上单调递增，xsinx0，xsinx，13sin13，ln（1+sin13）ln（1+13），令g（x）xln（x+1），则g（x）1-1x+1=xx+1，当x（0，+）时，

13、g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递增，xln（x+1），ln（1+13）13，故ab，c=12ln2=ln2=ln68，13=ln3e=ln6e2，8e2，ca，故cab，故选：B8（5分）在四面体PABC中，PAPB，ABC是边长为2的等边三角形，若二面角PABC的大小为 120，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A139B269C529D1049【解答】解：取AB的中点D，过D作DO平面PAB，设正三角形ABC的重心为G，作OG平面ABC，PAPB，O为四面体PABC的外接球的球心，又二面角PABC的大小为 120，则DOG60，又|DG|=13|CD|=13232=33，则|O

14、D|=|DG|sin60=23，设四面体PABC的外接球的半径为R，则R2=|AD|2+|DO|2=12+(23)2=139，则四面体PABC的外接球的表面积为4R2=529，故选：C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）（多选）9（5分）下列求导数的运算正确的是（）A(x3-1x)=3x2+1x2B(ln2)=12C（xex）（x+1）exD(sinx3)=cosx3【解答】解：（x3-1x）3x2+1x2，A正确；（ln2）0，B错误；（xex）ex+xex（x+1）e

15、x，C正确；（sinx3）=13cosx3，D错误故选：AC（多选）10（5分）设正项等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，公比为q，已知a1a54，a2+a45，则下列结论正确的是（）Aq=12B若an为递增数列，则Sn+12=an+1Ca32D若an为递减数列，当且仅当n3时，Tn取得最大值【解答】解：设等比数列an的公比为q（q0），数列an为等比数列，a1a5a2a44，a2+a45，a2=1a4=4或a2=4a4=1，当a2=1a4=4时，则q2=a4a2=4，解得q2（负值舍去），a3a2q122，当a2=4a4=1时，则q2=a4a2=14，解得q=12（负值舍去），故q

16、2或q=12，故A错误，故a3=a2q=412=2，综上所述，a32，故C正确；若an为递增数列，则q2，即a1=12，an=a1qn-1=122n-1=2n-2，即an+1=2n-1，Sn=12-2n-221-2=2n-1-12，故Sn+12=an+1，故C正确；若an为递减数列，则q=12，a18，a24，a32，a41，a5=12，故当且仅当n3或n4时，Tn取得最大值，故D错误故选：BC（多选）11（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足BM=tBA，t0，1，下列结论正确的是（）A若t1，则A1B1平面MPQB若t1，则过点M，

17、P，Q的截面面积是92C若t=12，则点A1到平面MPQ的距离是36D若t=12，则AB与平面MPQ所成角的正切值为22【解答】解：对A，B选项，若t1，则M与A重合，如图所示：延长B1B与QP交于点E，易知A1B1不平行AE，A1B1不平行平面MPQ，A选项错误；连接MD1，QD1，则根据题意易知MD1PQ，过点M，P，Q的截面为等腰梯形PQD1M，又根据题意易得PMQD1=5，PQ=2，D1M=22，易得等腰梯形PQD1M的高为5-12=32，等腰梯形PQD1M的面积为12(2+22)32=92，B选项正确；对C，D选项，若t=12，则M为AB的中点，连接A1C1，如图所示：易知A1C1M

18、P，A1到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d，则根据等体积法思想可得：VC1-MPQ=VM-PQC1，又PMPQ=2，MQ=5+1=6，SMPQ=126(2)2-(62)2=32，13SMPQd=13SPQC1MB，1332d=1312111，d=33，C选项错误；又易知BC1PQ，B到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d=33，又MB1，设AB与平面MPQ所成角为，则sin=dMB=33，cos=63，tan=sincos=22，D选项正确故选：BD（多选）12（5分）已知抛物线C：y24x，点A（1，0），B（0，m）（m0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，

19、AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（）A焦点坐标为（2，0）B向量OP与OM的数量积为5C直线MN的斜率为mD若直线PQ过焦点F，则OF平分PAQ【解答】解：A由抛物线C：y24x，可得2p4，p2=1，焦点F（1，0），因此A不正确；B设直线AP的方程为tyx+1，P（x1，y1），M（x2，y2），联立ty=x+1y2=4x，化为y24ty+40，0，y1+y24t，y1y24，OPOM=x1x2+y1y2（ty11）（ty21）+y1y2（t2+1）y1y2t（y1+y2）+14（t2+1）t4t+15，因此B正确；C设P（x1，y1），Q（x3，y3），N（x4，y4），

20、设直线BP的方程为k（ym）x，代入抛物线方程可得：y24ky+4km0，0，y1y34km，.设直线AQ的方程为y=y3x3+1（x+1），代入抛物线方程可得y2-4(x3+1)y3y+40，y3y44，kMN=y2-y4x2-x4=y2-y4y224-y424=4y2+y4=44y1+4y3=y1y3y1+y3=4km4k=m，因此C正确D设P（x1，y1），Q（x3，y3），直线PQ的方程为：ymx+m，代入抛物线方程可得m2x2（2m2+4）x+m20，则x1+x3=2m2+4m2，x1x31，kAP+kAQ=y1x1+1+y3x3+1=(-mx1+m)(x3+1)+(-mx3+m)(

21、x1+1)(x1+1)(x3+1)，分子2mx1x3+2m2m+2m0，OF平分PAQ，因此D正确故选：BCD三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，神墙共30分）13（5分）已知点A（0，1，0），点B（2，3，2），向量AC=12AB，则点C的坐标为 （1，2，1）【解答】解：设C（x，y，z），则AC=（x，y1，z），而12AB=12（2，2，2）（1，1，1），故x1，y2，z1，故答案为：（1，2，1）14（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点P在圆O：x2+y29上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是 （x2）2+y2=94【解答】解：设Q（x，y），P（m，n），因

22、为点P在圆O：x2+y29上运动，所以m2+n29，又4+m=2xn=2y，所以（2x4）2+4y29，即（x2）2+y2=94故答案为：（x2）2+y2=9415（5分）若曲线ylnx+ax在x1处的切线经过点P（2，0），则实数a-12【解答】解：由ylnx+ax，得y=1x+a，y|x11+a，又x1时，ya，曲线ylnx+ax在x1处的切线方程为y（1+a）（x1）+a，把点P（2，0）代入，可得01+2a，即a=-12故答案为：-1216（5分）一个圆锥母线与底面所成的角为30，体积为8，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为 8【解答】解：圆锥的母线与底面所成角为30，设

23、母线长为x，则圆锥的高为12x，圆锥的底面半径r=32x体积为8，可得13(32x)212x=8，解得x4，过圆锥顶点的平面截圆锥，两条母线的夹角为90时，所得截面面积的最大，最大值为1244=8故答案为：817（5分）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为cn，则c101472.（1.182.14，1.192.36，1.1102.59 ）【解答】解：由题意得：c11200，c212001.1100，c312001.121001.1100，c1012001.19100（1.18+1.17+1.16+

24、1.1+1）12002.3581001(1-119)1-1.112002.361000（1.191）1472故答案为：147218（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上，O为坐标原点，且PF=4FQ，|OP|OF|，则椭圆的离心率是 135【解答】解：设椭圆的左焦点为F，|FQ|m，|OP|OF|，PFF为直角三角形且FPF90，PF=4FQ，|PF|4m，|PF|+|PF|2a，|QF|+|QF|2a，|QF|2am，|PF|2a4m，（2a4m）2+（5m）2（2am）2，解得m=310a，|PF|=45a，|PF|=65a，（45a）2+（6

25、5a）2（2c）2，ca=135故椭圆的离心率是135故答案为：135四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19（12分）已知函数f（x）x33x+a （aR）（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围【解答】解：（1）f（x）x33x+a，f（x）3x233（x+1）（x1），f（x）的符号草图为：f（x）的单调递减区间为（1，1）；（2）根据（1）可得f（x）的极大值为f（1）a+2，f（x）的极小值为f（1）a2，又f（x）有三个零点，f(-1)=a+20f(1)=a-20，a（2，2），a的取

26、值范围为（2，2）20（12分）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，2），且圆C关于直线2x+y0对称（1）求圆C的方程；（2）过点D（3，1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程【解答】解：（1）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，2），则线段AB的垂直平分线方程为：yx3，即 xy30，又圆心在直线2x+y0上，联立2x+y=0x-y-3=0，解得x=1y=-2，所以其圆心为C（1，2），R|AC|4，所以圆C的标准方程（x1）2+（y+2）216；（2）若直线l的斜率存在，方程可设为yk（x+3）+1，即kxy+3k+10，圆心C（1，2）到直线l的距离d=|k+2+3k+1|1+k2=4

27、，解得k=724，所求的一条切线为7x24y+450，当直线l的斜率不存在时，x3与圆相切，所以直线l的方程为x3和7x24y+45021（12分）设正项数列an的前n项和为Sn，an2+2an4Sn1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn3n1，求数列anbn的前n项和Tn【解答】解：（1）an2+2an4Sn1，an-12+2an-1=4Sn-1-1，（n2），两式相减可得：an2-an-12+2(an-an-1)=4an，（n2），（an+an1）（anan12）0，（n2），又an0，anan12，（n2），又a12+2a1=4a1-1，a11，数列an是以首项为1，公差为

28、2的等差数列，an2n1；（2）bn3n1，又由（1）知an2n1，anbn=2n-13n-1，Tn=130+331+2n-13n-1，13Tn=131+332+2n-33n-1+2n-13n，23Tn=1+2(13+132+13n-1)-2n-13n=2(1-13n1-13)-1-2n-13n 2-2n+23n，Tn=3-n+13n-122（12分）如图，在四边形ABCD中（如图1），BACBCD90，ABAC，BCCD，E，F分别是边BD，CD上的点，将ABC沿BC翻折，将DEF沿EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC平面BCFE（如图2）（1）求证：CFPB；（2）求二面

29、角PEFB的余弦值.【解答】（1）证明：平面PBC平面BCFE，平面PBC平面BCFEBC，又FC平面BCFE，且FCBC，FC平面PBC，FCPB；（2）解：取BC中点O，连接PO，PBPC，POBC，平面PBC平面BCFEBC，平面PBC平面BCFE，PO平面PBC，PO平面BCFE，以C为原点，CB，CF所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC2，则P（1，0，1），C（0，0，0），D（0，2，0），设F（0，t，0）（0t2），由FPFD，得1+t2+1=|t2|，解得t=12，F（0，12，0），设E（m，2m，0），由EPED，得(m-1)2+(2-m)2+1=

30、m2+(-m)2，解得m1，E（1，1，0），平面BEF的一个法向量为m=（0，0，1），设平面PEF的一个法向量为n=（x，y，z），则nEF=x+12y=0-y+z=0，令y2，则x1，z2，平面PEF的一个法向量为n=（1，2，2），设二面角PEFB的平面角为，易知为锐角，则cos|cosm，n|=|mn|m|n|=23，二面角PEFB的余弦值2323（12分）已知双曲线M：x2-y23=1，在双曲线M的右支上存在不同于点A（2，3）的两点P，Q记直线AP，AQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k，且k1，k，k2成等差数列（1）求k的取值范围；（2）若OPQ的面积为6（O为坐标原点），求直

31、线PQ的方程【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ：ykx+m，由y=kx+m3x2-y2-3=0，消去y得（3k2）x22kmxm230，因为点P，Q在双曲线的右支上，所以4k2m2+4（m2+3）（3k2）0m2k2+30（*），x1+x2=2km3-k20，x1x2=m2+3k2-30，得k230，又k1，k，k2成等差数列，所以2k=k1+k2=y1-3x1-2+y2-3x2-2=kx1+m-3x1-2+kx2+m-3x2-2=k(x1-2)+2k+m-3x1-2+k(x2-2)+2k+m-3x2-2 =2k+(2k+m-3)(1x1-2+1x2-2)，2k+

32、m30或1x1-2+1x2-2=0，即x1+x24，P，Q不同于点A，2k+m30，2km3-k2=4，m=6k-2k，由（*）得，(6k-2k)2k2-3，k47k2+120，即（k23）（k24）0，k24，k（，2）（2，+）；（2）|PQ|=1+k24k2m2(3-k2)2-4(m2+3)(k2-3)(3-k2)2=21+k2k2-33(m2+3-k2)，点O到直线PQ的距离d=|m|1+k2，SOPQ=12|m|1+k221+k2k2-33(m2+3-k2)=6，|m|m2+3-k2=2(k2-3)，两边平方得m2(m2+3-k2)=2(k2-3)2=2k2m24，m2+3-k2=k22，(6k-2k)2=3k22-3，5k442k2+720，k2=125（舍去）或k26，k=6m=-6或k=-6m=6，则直线PQ方程为y=6(x-1)