2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷含答案.docx

《2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷含答案.docx（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线x+3y-1=0的倾斜角为（）A30B60C120D1502（5分）若数列an的通项公式an=1+(-1)n（nN*），则an的前9项和S9（）A4B6C8D103（5分）已知向量a=(1，1，x)，b=(-2，2，3)，若(2a-b)b=1，则x（）A3B3C1D64（5分）等差数列an的公差为2，且a1+a5+a915，则a2+a6+a10（）A21B24C27D305（5分）运用微积分的方法，可以推导得椭圆x2a2

2、+y2b2=1（ab0）的面积为ab现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，则该储油罐的容积约为（3.14）（）A20m3B30m3C40m3D50m36（5分）若抛物线x22y上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A92B8C172D97（5分）在三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABC=90，SAABBC，则直线AB与SC夹角的余弦值是（）A13B23C33D638（5分）若系列椭圆Cn：anx2+y2=1（0an1，nN*）的离心率en=(12)n，则an（）A1-(14)nB1-(12)

3、nC1-(12)nD1-(14)n二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）下列双曲线中，以直线3x4y0为渐近线的是（）Ax216-y29=1By216-x29=1Cx29-y216=1Dy29-x216=1（多选）10（5分）已知直线l的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为n1，n2，则（）A若n1，则lB若n1=0，则lC若n1n2，则D若n1n2=0，则（多选）11（5分）如图所示几何体，是由正方形ABCD沿直线AB旋转90得到，G是圆弧CE的中点，H是圆弧D

4、F上的动点，则（）A存在点H，使得EHBDB存在点H，使得EHBGC存在点H，使得EH平面BDGD存在点H，使得直线EH与平面BDG的夹角为45（多选）12（5分）已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面上一定点，设|AB|t（t0）若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（）A当0t2时，E为椭圆B当t2时，E为双曲线C当t2时，E为双曲线一支D当t2且t越大时，E的离心率越大三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知数列an的前n项和Sn=-2n2+4n（nN*），则a5 14（5分）若直线l：x2y+m0与圆C：x2+y22y

5、40相切，则实数m 15（5分）已知椭圆x26+y22=1与双曲线x2y22的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的面积为 16（5分）如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，AB2，M，N分别是对角线BD，AE上的动点，则线段MN的最小长度为 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知A（2，0），B（1，3）（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；（2）若一圆的圆心在直线x+2y20上，且经过点A，B，求该圆的方程18（12分）如图，在平行六面体ABCDABCD中，BAD=BAA=DAA，ABADAA设AB=a，A

6、D=b，AA=c（1）用基底a，b，c表示向量AC，BD，AB，AD；（2）证明：AC平面ABD19（12分）已知等比数列an中，a1+a315，a2+a430（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=2an，n为奇数，an3，n为偶数，（nN*），求bn前10项和S1020（12分）已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，且经过M（1，2）（1）求C的方程；（2）若直线l过C的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|8，求l的方程21（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA13，ABC=90，M是BB1的中点，N在棱CC1上，且C1N2NC已知平面A1MN与平面ABC

7、的夹角为30（1）求BC的长；（2）求点A到平面A1MN的距离22（12分）在直角坐标系xOy上，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3，0)，C的上、下顶点与F连成的三角形的面积为3（1）求C的方程；（2）已知过点F的直线l与C相交于A，B两点，问C上是否存在点Q，使得OA+OB=OQ？若存出，求出l的方程若不存在，请说明理由2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线x+3y-1=0的倾斜角为（）A30B60C120D150

8、【解答】解：由于直线x+3y-1=0 的斜率为-13=-33，故该直线的倾斜角为56，即150，故选：D2（5分）若数列an的通项公式an=1+(-1)n（nN*），则an的前9项和S9（）A4B6C8D10【解答】解：数列an的通项公式an=1+(-1)n（nN*），n2k1（kN*）时，an0；n2k（kN*）时，an2则an的前9项和S950+428，故选：C3（5分）已知向量a=(1，1，x)，b=(-2，2，3)，若(2a-b)b=1，则x（）A3B3C1D6【解答】解：向量a=(1，1，x)，b=(-2，2，3)，则2a-b=（2，2，2x）（2，2，3）（4，0，2x3），(2a

9、-b)b=1，则8+3（2x3）1，解得x3故选：B4（5分）等差数列an的公差为2，且a1+a5+a915，则a2+a6+a10（）A21B24C27D30【解答】解：等差数列an的公差为2，且a1+a5+a915，则a2+a6+a10（a1+a5+a9）+3d15+3221故选：A5（5分）运用微积分的方法，可以推导得椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的面积为ab现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，则该储油罐的容积约为（3.14）（）A20m3B30m3C40m3D50m3【解答】解：长为7m的储油罐，它

10、的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，可得a=32，b0.9，h7，所以该储油罐的容积：abh=3.14320.9730（m3）故选：B6（5分）若抛物线x22y上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A92B8C172D9【解答】解：抛物线x22y上一点P到y轴的距离为4，P到x轴的距离为8，根据抛物线的几何性质可得：P到该抛物线焦点的距离为p2+yP=12+8=172，故选：C7（5分）在三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABC=90，SAABBC，则直线AB与SC夹角的余弦值是（）A13B23C33D63【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC

11、为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AB1，则A（1，0，0），B（0，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），所以AB=（1，0，0），SC=（1，1，1），计算ABSC=1，|SC|=1+1+1=3，所以cosAB，SC=ABSC|AB|SC|=113=33，所以直线AB与SC夹角的余弦值是33故选：C8（5分）若系列椭圆Cn：anx2+y2=1（0an1，nN*）的离心率en=(12)n，则an（）A1-(14)nB1-(12)nC1-(12)nD1-(14)n【解答】解：由系列椭圆Cn：anx2+y2=1（0an1，nN*），可得a2=1an，b1，

12、离心率en=1-b2a2=1-an，1an（12）n2，an1（14）n故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）下列双曲线中，以直线3x4y0为渐近线的是（）Ax216-y29=1By216-x29=1Cx29-y216=1Dy29-x216=1【解答】解：对于A：双曲线x216-y29=1，则渐近线方程为y34x，即3x4y0，故A正确；对于B：双曲线y216-x29=1，则渐近线方程为y43x，则4x3y0，故B错误；对于C：双曲线x29-y216=1，则渐近线

13、方程为y43x，则4x3y0，故C错误；对于D：双曲线y29-x216=1，则渐近线方程为y34x，即3x4y0，故D正确；故选：AD（多选）10（5分）已知直线l的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为n1，n2，则（）A若n1，则lB若n1=0，则lC若n1n2，则D若n1n2=0，则【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若n1，则l，A正确；对于B，若n1=0，则n1，则l或l，B错误；对于C，若n1n2，且平面，不重合，则有，C正确；对于D，若n1n2=0，则，D正确；故选：ACD（多选）11（5分）如图所示几何体，是由正方形ABCD沿直线AB旋转90得到，G是圆弧CE的中

14、点，H是圆弧DF上的动点，则（）A存在点H，使得EHBDB存在点H，使得EHBGC存在点H，使得EH平面BDGD存在点H，使得直线EH与平面BDG的夹角为45【解答】解：对于A，若存在点H，使得EHBD，则BEDH，四边形BDHE是平行四边形，所以BEDH，所以H在圆弧DF外，所以选项A错误；对于B，当H与点D重合时，BG平面EDF，所以BGED，即BGEH，选项B正确；对于C，建立空间直角坐标系，如图所示：设BC2，则B（0，0，2），D（2，0，0），G（2，2，2），E（0，2，2），设H（m，n，0），m2+n24；由BG=（2，2，0），BD=（2，0，2），EH=（m，n2，2），

15、设平面BDG的法向量为n=（x，y，z），则nBD=0nBG=0，即2x-2z=02x+2y=0，令x1，则y1，z1，所以n=（1，1，1）；若EH平面BDG，则EHn=mn+22mn0，解得mn=2，所以H是圆弧DF的中点，即存在点H，使EH平面BDG，选项C正确；对于D，当H与点F重合时，EH与平面BDG的夹角最大，因为EF=BA=（0，0，2），所以cosn，EF=nEF|n|EF|=-232=-33，所以EF与平面BDG所成角的正弦值为33；由3322，所以直线EH与平面BDG的夹角小于45，选项D错误故选：BC（多选）12（5分）已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在

16、平面上一定点，设|AB|t（t0）若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（）A当0t2时，E为椭圆B当t2时，E为双曲线C当t2时，E为双曲线一支D当t2且t越大时，E的离心率越大【解答】解：当0t2时，点B在圆A内，由题设可知：|MB|MP|，所以|MA|+|MB|MA|+|MP|AP|2|AB|t，故点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a2，2ct，所以e=ca=t2，t越大时，E的离心率越大，故A正确，当t2时，由题设可知：|MB|MP|，所以|MA|MB|MA|MP|AP|2|AB|t，故点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a2，2ct，所以e=ca=t

17、2，t越大时，E的离心率越大，故B正确，C不正确；综上：当t2且t越大时，E的离心率越大，故D正确故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知数列an的前n项和Sn=-2n2+4n（nN*），则a514【解答】解：由题意可得，a5S5S4252+45（242+44）252+45+242442（5242）+429+414故答案为：1414（5分）若直线l：x2y+m0与圆C：x2+y22y40相切，则实数m7或3【解答】解：由圆C：x2+y22y40，得x2+（y1）25，圆心为（0，1），半径为5，直线l：x2y+m0与圆C相切，圆心（0，1）到直线x2y+m0

18、的距离d=|0-2+m|5=5，即|m2|5，m7或m3，故答案为：7或315（5分）已知椭圆x26+y22=1与双曲线x2y22的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的面积为 43【解答】解：由双曲线与椭圆方程可知A，B，C，D关于坐标轴对称，故联立方程组可得一组解为：x=3且y1，第一象限的点A（3，1），四边形ABCD的面积为23243故答案为：4316（5分）如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，AB2，M，N分别是对角线BD，AE上的动点，则线段MN的最小长度为 233【解答】解：以A为坐标原点，AB，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直线坐标系Ax

19、yz，设M（a，0，2a），N（b，b，0），0a2，0b2，则|MN|2（ab）2+b2+（2a）2，由柯西不等式可得（12+12+12）（ab）2+b2+（2a）2（ab+b+2a）24，即有（ab）2+b2+（2a）243，当且仅当abb2a，即a=43，b=23时，取得等号，所以|MN|233，即|MN|的最小值为233故答案为：233四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知A（2，0），B（1，3）（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；（2）若一圆的圆心在直线x+2y20上，且经过点A，B，求该圆的方程【解答】解：（1）A（

20、2，0），B（1，3），故线段AB的中点为C（32，32）由于kAB=3-01-2=-3，故线段AB的垂直平分线l所在直线的斜率为13，故线段AB的垂直平分线l所在直线的方程为y-32=13（x-32），即x3y+30（2）若一圆的圆心在直线x+2y20上，设圆心为D（22m，m），由于圆经过点A，B，故半径为rDADB，即（22m2）2+m2（22m1）2+（m3）2，求得m1，故该圆的半径为5，圆心为（0，1），故要求的圆的方程为x2+（y1）2518（12分）如图，在平行六面体ABCDABCD中，BAD=BAA=DAA，ABADAA设AB=a，AD=b，AA=c（1）用基底a，b，c表示

21、向量AC，BD，AB，AD；（2）证明：AC平面ABD【解答】解：（1）根据题意，AB=a，AD=b，AA=c，BD=AD-AB=b-a，AD=AD-AA=b-c，AB=AB-AA=a-c，AC=AB+AD+AA=a+b+c；（2）证明：设BAD=BAA=DAA=，ABADAAt，则有ab=bc=ab=t2cos，|a|b|c|t2，由（1）的结论，AC=a+b+c，BD=b-a，AB=a-c，则ACBD=（a+b+c）（b-a）=ab+b2+bc-a2-ab-ac=0，则有ACBD，同理：ACAD，又由BDADD，必有AC平面ABD19（12分）已知等比数列an中，a1+a315，a2+a4

22、30（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=2an，n为奇数，an3，n为偶数，（nN*），求bn前10项和S10【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，a1+a315，a2+a430，a1（1+q2）15，a1（1+q2）q30，联立解得q2，a13，an32n1（2）数列bn满足bn=2an，n为奇数，an3，n为偶数，（nN*），n为奇数时，bn32n；n为偶数时，bn2n1bn前10项和S10（b1+b3+b9）+（b2+b4+b10）3（2+23+29）+（2+23+29）42(45-1)4-1=272820（12分）已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，且经过M

23、（1，2）（1）求C的方程；（2）若直线l过C的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|8，求l的方程【解答】解：（1）根据题意可设所求抛物线方程为：y22px，p0，则根据题意可得42p1，p2，抛物线C的方程为y24x；（2）根据（1）可知抛物线的焦点F（1，0），当AB垂直x轴时，|AB|2p48，设直线l的方程为yk（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x-1)y2=4x，可得k2x2（2k2+4）x+k20，x1+x2=2+4k2，|AB|p+x1+x22+2+4k2=8，k21，k1，直线l的方程为y（x1），即为xy10或x+y1021（12分）如图，在直三棱柱

24、ABCA1B1C1中，ABAA13，ABC=90，M是BB1的中点，N在棱CC1上，且C1N2NC已知平面A1MN与平面ABC的夹角为30（1）求BC的长；（2）求点A到平面A1MN的距离【解答】解：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，设BCa，则A1（3，0，3），M（0，0，32），N（0，a，1），A1M=（3，0，-32），A1N=（3，a，2），设平面A1MN的法向量为m=（x，y，z），由mA1M=-3x-32z=0mA1N=-3x+ay-2z=0，可取x1，则z2，y=1a，即m=（1，1a，2），又平面ABC的法向量为

25、n=（0，0，1），由平面A1MN与平面ABC的夹角为30，可得cos30=mn|m|n|=21+1a2+4=32，解得a=3，即BC=3；（2）由A（3，0，0），M（0，0，32），可得AM=（3，0，32），又平面A1MN的法向量为m=（1，33，2），所以点A到平面A1MN的距离为d|AMm|m|3+0+31+13+4=33222（12分）在直角坐标系xOy上，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3，0)，C的上、下顶点与F连成的三角形的面积为3（1）求C的方程；（2）已知过点F的直线l与C相交于A，B两点，问C上是否存在点Q，使得OA+OB=OQ？若存出，求出l的方

26、程若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得c=3122bc=3a2=b2+c2，解得a24，b21，所以椭圆的方程为：x24+y21；（2）假设存在Q点满足条件，当直线l的斜率为0时，则A（2，0），B（2，0），可得OA+OB=0，这时不存在Q点，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xmy+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x=my+3x2+4y2=4，整理可得（4+m2）y2+23my10，因为F在椭圆内，显然0，y1+y2=-23m4+m2，x1+x2m（y1+y2）+23=834+m2，因为OA+OB=OQ，所以可得Q的坐标为（834+m2，-23m4+m2），将Q的坐标代入椭圆的方程：163(4+m2)2+12m2(4+m2)2=1，整理可得m44m2320，解得m28，即m22，所以直线l的方程为：x22y+3，即直线l的方程为x22y-3=0：37103942