2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷含答案.docx

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1、2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）已知空间向量a=(2，-3，4)，b=(-4，m，n)，m，nR，若ab，则mn（）A2B2C14D142（5分）设直线l的斜率为k，且1k3，求直线l的倾斜角的取值范围（）A0，3)(34，)B0，6)(34，)C(6，34)D0，3)34，)3（5分）抛物线yax2的准线方程为y1，则a的值为（）A-12B2C-14D44（5分）已知等比数列an的前n项积Tn满足T7T2=32，则T9（）A128B256C512D10245（5分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计

2、的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1（a0，b0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）Ay212-x24=1B3y24-x24=1Cx24-y24=1Dy216-x24=16（5分）若等差数列an的前n项和为Sn，则“S20240，S20250”是“a1012a10130”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）设P是抛物线C1：x24y上的动点，M是圆C2：（x5）2+（y+4）24上的动点，d是点P到直

3、线y2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A52-2B52-1C52D52+18（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）与双曲线x2m2-y2n2=1（m0，n0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且F1PF2=3，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（）A2B3C4D5二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分（多选）9（5分）对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A若ab0，则a，b的夹角是钝角B若a=(1，2，3)，b=(-1，-1，1)，则abC若ab=bc，则a=cD若a=(1，0，0)，b=(0，2，

4、0)，c=(0，0，3)，则a，b，c可以作为空间中的一组基底（多选）10（5分）已知曲线C：mx2+ny21（）A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为nC若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y-mnxD若m0，n0，则C是两条直线（多选）11（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（）AS656Ban+1annCa202310122023D1a1+1a2+1a3+1a2023=20231012

5、（多选）12（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且D1Q=D1A1，0，1，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（）ACN与QM异面B三棱锥ADMN的体积跟的取值无关C不存在使得AMQMD当=12时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为92三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y50，l2：6x+（2m1）y5，若l1l2，则实数m 14（5分）已知数列an满足a12，an+1=an-1an+2，则a2023 15（5分）已知平面的一个法向量n=(-2，-2，

6、1)，点A（1，3，0）在平面内，若点B（m，0，2m）在平面内，则m 16（5分）如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|1，则双曲线的离心率是 四、解答题：本题共6小题，共70分17（10分）如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AB2，AA14，DABA1ABDAA160，A1N=3NC1，D1M=MB，设AB=a，AD=b，AA1=c（1）试用a，b，c表示AM，AN；（2）求MN的长度18（12分）已知直线l经过

7、两条直线2xy30和4x3y50的交点，且与直线x+y20垂直（1）求直线l的一般式方程；（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程19（12分）已知各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，a11（1）若数列an为等差数列，S1070，求数列an的通项公式；（2）若数列an为等比数列，a4=18，求满足Sn100an时n的最小值20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=12CE1，M为棱A1B1的中点（）求证：C1MB1D；（）求二面角BB1ED的正弦

8、值；（）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值21（12分）已知数列an满足a1+a2+an1an2（n2且nN*），且a24（1）求数列an的通项公式；（2）设数列2n(an-1)(an+1-1)的前n项和为Tn，求证：23Tn122（12分）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由2022-2023学年山东省临沂一

9、中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）已知空间向量a=(2，-3，4)，b=(-4，m，n)，m，nR，若ab，则mn（）A2B2C14D14【解答】解：ab，则b=a，即（4，m，n）（2，3，4）（2，3，4），-4=2m=-3n=4，解得2，m6，n8，则mn14，故选：C2（5分）设直线l的斜率为k，且1k3，求直线l的倾斜角的取值范围（）A0，3)(34，)B0，6)(34，)C(6，34)D0，3)34，)【解答】解：直线l的斜率为k，且1k3，1tan3，0，），0，3）34，），故选：D3（5分）抛物线yax2的准线方

10、程为y1，则a的值为（）A-12B2C-14D4【解答】解：由题意得抛物线的标准方程为x2=1ay，准线方程为y=-14a，又准线方程是y1，则-14a=1，解得a=-14，故选：C4（5分）已知等比数列an的前n项积Tn满足T7T2=32，则T9（）A128B256C512D1024【解答】解：等比数列an的前n项积Tn，T7T2=a3a4a5a6a7=a55=32，所以a52，所以T9=a1a2a3a4a5a6a7a8a9=a59=29=512故选：C5（5分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教

11、堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1（a0，b0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）Ay212-x24=1B3y24-x24=1Cx24-y24=1Dy216-x24=1【解答】解：设双曲线的一个焦点为（0，c），一条渐近线方程为y=abx，即axby0，则焦点到渐近线的距离d=bca2+b2=b=2，e=ca=2，c2a2+b2，b2，a2=43，b24，双曲线方程为：3y24-x24=1故选：B6（5分）若等差数列an的前n项和为Sn，则“S20240，S20250”是“a1012a10130”的（）A充要条件B必要不充分

12、条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由S20240，S20250可得an单调递增，且公差大于0，故S20230，S2023=(a1+a2023)202320，S2025=(a1+a2025)202520，即a1+a20232a10120，a1+a20252a10130，即a10120，a10130，因此a1012a10130，当a10120，a10130时，此时an单调递减，则不可能满足S20240，S20250，因此“S20240，S20250”是“a1012a10130”的充分不必要条件，故选：C7（5分）设P是抛物线C1：x24y上的动点，M是圆C2：（x5）2+（y+

13、4）24上的动点，d是点P到直线y2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A52-2B52-1C52D52+1【解答】解：圆（x5）2+（y+4）24的圆心（5，4），半径为2抛物线x24y的准线方程为：y1，如图：d为P到y2的距离，P为抛物线x24y上一动点，M为（x5）2+（y+4）24上一动点，d+PM最小值就是FC2的连线与抛物线的交点是P，与圆的交点为M，过P作PN垂直直线y1的交点为N，有抛物线的定义可知：PFPN，即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值，F（0，1），C2（5，4），|FC2|=52+(-4-1)2=52，d+|PM|1+|FC2|252-1所以d+

14、PM最小值为52-1，故选：B8（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）与双曲线x2m2-y2n2=1（m0，n0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且F1PF2=3，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（）A2B3C4D5【解答】解：设|PF1|s，|PF2|t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t2a，st2m，解得sa+m，tam，在三角形F1PF2中，F1PF2=3，可得4c2s2+t22stcos3=a2+m2+2am+a2+m22am（a2m2），即有a2+3m24c2，可得a2c2+3m2c2=4，即为1e12+3e

15、22=4，则3e12+e22=14（1e12+3e22）（3e12+e22）=14（6+e22e12+9e12e22）14（6+29）3，当且仅当e22e12=9e12e22，即e229e12，取得最小值3故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分（多选）9（5分）对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A若ab0，则a，b的夹角是钝角B若a=(1，2，3)，b=(-1，-1，1)，则abC若ab=bc，则a=cD若a=(1，0，0)，b=(0，2，0)，c=(0，0，3)，则a，b，c可以作为空间中的一组基底【解答】解：对于A，若ab0，则a，b的夹角满足

16、cos0，所以是钝角或，所以选项A错误；对于B，因为ab=-12+30，所以ab，选项B正确；对于C，根据向量的数量积定义知，ab=bc时，a=c不一定成立，选项C错误；对于D，因为ba+b，所以向量a、b、c不共面，a，b，c可以作为空间中的一组基底，选项D正确故选：BD（多选）10（5分）已知曲线C：mx2+ny21（）A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为nC若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y-mnxD若m0，n0，则C是两条直线【解答】解：A若mn0，则1m1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B若mn0，则

17、方程为x2+y2=1n，表示半径为1n的圆，故B错误；C若m0，n0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y-mnx，若m0，n0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y-mnx，故C正确；D当m0，n0时，则方程为y1n表示两条直线，故D正确；故选：ACD（多选）11（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（）AS656Ban+1annCa20231

18、0122023D1a1+1a2+1a3+1a2023=20231012【解答】解：由题意得a11，a2a12，a3a23，anan1n，由以上式子累加得an1+2+n=n(n+1)2（n2），a11满足上式，an=n(n+1)2，由已知a23，a36，a410，a515，a621，S6a1+a2+a3+a4+a5+a61+3+6+10+15+2156，故A正确；anan1n，则an+1ann+1，故B错误；由通项公式得a2023=202320242=10122023，故C正确；1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，1a1+1a2+1a2023=2（1-12+12-13+12023-12

19、024）2（1-12024）=20231012，故D正确故选：ACD（多选）12（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且D1Q=D1A1，0，1，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（）ACN与QM异面B三棱锥ADMN的体积跟的取值无关C不存在使得AMQMD当=12时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为92【解答】解：对于A，连接AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为AQC的中位线，MNCQ，则CN，QM共面，故A错误；对于B，VADMNVNADM=13SADM1=1312121=13为定值，故B正确；对于

20、C，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则D1（0，0，2），A1（2，0，2），Q是棱A1D1上一点，且D1Q=D1A1，0，1，Q（2，0，2），AM=（1，1，0），QM=（12，1，2），AMQM=21+12，0时，AMQM，故C错误；对于D，当=12时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为梯形ACFQ，如图，AG=22-22，QG=5-12=322，当=12时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为：S=12(2+22)322=92，故D正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y50，l2：6x

21、+（2m1）y5，若l1l2，则实数m1或-92【解答】解：因为l1：（m+2）x+（m+3）y50，l2：6x+（2m1）y5，且l1l2，所以6（m+2）+（m+3）（2m1）0，即2m2+11m+9（2m+9）（m+1）0，解得m1或m=-92，所以m1或m=-92故答案为：1或-9214（5分）已知数列an满足a12，an+1=an-1an+2，则a20232【解答】解：求不动点，设f(x)=x-1x+2，令f（x）x得：x-1x+2=x，化简得：x2+x+10，显然该方程无解，这种情况下an一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，a12，所以a2=a1-1a

22、1+2=14，a3=a2-1a2+2=-13，a4=a3-1a3+2=-45，a5=a4-1a4+2=-32，a6=a5-1a5+2=-5，a7=a6-1a6+2=2=a1，从而an是以6为周期的周期数列，故a2023a3376+1a12故答案为：215（5分）已知平面的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A（1，3，0）在平面内，若点B（m，0，2m）在平面内，则m2【解答】解：平面的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A（1，3，0）在平面内，点B（m，0，2m）在平面内，AB=（m+1，3，2m），ABn=-2（m+1）6+2m0，m2故答案为：216（5分）如图，已知双曲线x2a2-y

23、2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|1，则双曲线的离心率是 3【解答】解：设APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为M，N，则|AM|AN|，|F1M|F1Q|，|PQ|PN|，又由OAF1OAF2，|AF1|AF2|，|F1Q|F1M|F2N|F2P|+|PN|F2P|+|PQ|，|PF1|PF2|F1Q|+|PQ|PF2|F2P|+2|PQ|PF2|2|PQ|2，又|PF1|PF2|2a，则2a2，a1，又|F1F2|6，2c6，c3，双曲线的离心率e=c

24、a=31=3，故答案为：3四、解答题：本题共6小题，共70分17（10分）如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AB2，AA14，DABA1ABDAA160，A1N=3NC1，D1M=MB，设AB=a，AD=b，AA1=c（1）试用a，b，c表示AM，AN；（2）求MN的长度【解答】（1）连接AM，AN，如图所示：A1N=3NC1，D1M=MB，AB=a，AD=b，AA1=c，BD1=BC+BA+BB1=AD-AB+AA1=b-a+c，AM=AB+BM=a+12BD1=a+12(b+c-a)=12a+12b+12c，A1C1=A1B1+B1C1=a+b，A1N=34A1C1

25、=34a+34b，AN=A1A+A1N=34a+34b+c；（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB2，AA14，DABA1ABDAA160，则ab=22cos60=2，ac=24cos60=4，bc=24cos60=4，又MN=MA+AN=-12(a+b+c)+34a+34b+c=14a+14b+12c，(MN)2=(14a+14b+12c)2=116(a2+b2+4c2+2ab+4ac+4bc)=116(22+22+442+22+44+44)=274，MN=|MN|=274=332，故MN的长度为33218（12分）已知直线l经过两条直线2xy30和4x3y

26、50的交点，且与直线x+y20垂直（1）求直线l的一般式方程；（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程【解答】解：（1）由题意知2x-y-3=04x-3y-5=0，解得x=2y=1，直线2xy30和4x3y50的交点为（2，1）；设直线l的斜率为k，l与直线x+y20垂直，k1；直线l的方程为y1（x2），化为一般形式为xy10；（2）设圆C的半径为r，则圆心为C（3，0）到直线l的距离为d=|3-0-1|1+1=2，由垂径定理得r2d2+（12|AB|）2（2）2+（1222）24，解得r2，圆C的标准方程为（x3）2+y2419（12分）已知各项均

27、为正数的数列an，其前n项和为Sn，a11（1）若数列an为等差数列，S1070，求数列an的通项公式；（2）若数列an为等比数列，a4=18，求满足Sn100an时n的最小值【解答】解：（1）数列an为公差为d的等差数列，S1070，a11，可得10+12109d70，解得d=43，则an1+43（n1）=43n-13；（2）数列an为公比为q的等比数列，a4=18，a11，可得q3=18，即q=12，则an（12）n1，Sn=1-(12)n1-12=2（12）n1，Sn100an，即为2（12）n1100（12）n1，即2n101，可得n7，即n的最小值为720（12分）如图，在三棱柱AB

28、CA1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=12CE1，M为棱A1B1的中点（）求证：C1MB1D；（）求二面角BB1ED的正弦值；（）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值【解答】证明：（I）以C为原点，CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），C1M=(1，1，0)，B1D=(2，-2，-2)，C1MB1D=2-2+0=

29、0，C1MB1D；解：（）依题意，CA=(2，0，0)是平面BB1E的一个法向量，EB1=(0，2，1)，ED=(2，0，-1)，设n=(x，y，z)为平面DB1E的法向量，则nEB1=0nED=0，即2y+z=02x-z=0，不妨设x1，则n=(1，-1，2)，cosCA，n=CAn|CA|n|=66，sinCA，n=1-16=306，二面角BB1ED的正弦值306；（）依题意，AB=(-2，2，0)，由（）知，n=(1，-1，2)为平面DB1E的一个法向量，cosAB，n=ABn|AB|n|=-33，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为3321（12分）已知数列an满足a1+a2+an1

30、an2（n2且nN*），且a24（1）求数列an的通项公式；（2）设数列2n(an-1)(an+1-1)的前n项和为Tn，求证：23Tn1【解答】（1）解：因为a1+a2+an1an2，所以a1+a2+anan+12，两式相减得an+12an（n2），当n2时，a1a22，又a24，所以a12，a22a1，所以an+1=2an(nN*)，所以an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n(nN*)；（2）证明：2n(an-1)(an+1-1)=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，所以Tn=(12-1-122-1)+(122-1-123-1)+(12n-1-12n+

31、1-1)=1-12n+1-11，由n1，得 2n+14，得2n+113，得12n+1-113，得-12n+1-1-13，所以1-12n+1-123，综上所述，23Tn122（12分）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P （1，32），可得1a2+94

32、b2=1(ab0) 由离心率e=12得ca=12，即a2c，则b23c2，代入解得c1，a2，b=3故椭圆的方程为x24+y23=1（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk（x1）代入椭圆方程x24+y23=1并整理得（4k2+3）x28k2x+4k2120设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3 在方程中，令x4得，M的坐标为（4，3k），从而k1=y1-32x1-1，k2=y2-32x2-1，k3=3k-324-1=k-12注意到A，F，B共线，则有kkAFkBF，即有y1x1-1=y2x2-1=k所以k1+

33、k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-32（1x1-1+1x2-1）2k-32x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1 代入得k1+k22k-328k24k2+3-24k2-124k2+3-8k24k2+3+1=2k1又k3k-12，所以k1+k22k3故存在常数2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x01），则直线FB的方程为y=y0x0-1(x-1)令x4，求得M（4，3y0x0-1）从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12(x0-1)，联立x24+y23=1y=y0x0-1(x-1)，得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），则直线PA的斜率k1=2y0-2x0+52(x0-1)，直线PB的斜率为k2=2y0-32(x0-1)所以k1+k2=2y0-2x0+52(x0-1)+2y0-32(x0-1)=22y0-x0+12(x0-1)=2k3，故存在常数2符合题意