河南省顶级名校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共3页 学科网（北京）股份有限公司高一高一 12 月月考数学试题月月考数学试题第第卷卷一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的一个选项是符合题目要求的.1.已知集合 lg0,0,1,2,3?AxxB=，则AB=（）A.2,3B.1,2,3C.(1,)+D.(2,3)2.已知5cos13=，且为第二象限角，则sin=（）A.1213B.513C.1213D.1253.函数()2log27f xxx=+的零点一定位于区间（）A ()1,2B.

2、()2,3C.()3,4D.()5,64.tan(420)的值为（）A.33B.33C.3D.35.“11x”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos35=，则sin6+=（）A.45B.45C.45D.357.若对于任意的0 x，不等式()2310 xa x+恒成立，则实数 a的取值范围为（）A.)5,+B.()5,+C.(,5 D.(),58.设函数()2,01,0 xxf xx x=，则满足()()12f xfx+，则下列结论正确的是（）A 33xy B.33xy C.1122loglogxy D.11xy 11.若,(0,),1a bab+=，

3、则下列说法正确的是（）A.ab的最大值为14 B.11abab+的最小值是4 C.144ab的最大值为2 D.12ab+的最小值为32 2+12.函数21,()321,xxaf xxxxa=+，则下列结论正确的是（）A.当0a=时，函数()f x的单调递增区间为(0,1)B.不论a为何值，函数()f x既没有最小值，也没有最大值 C.不论a为何值，函数()f x的图象与x轴都有交点 D.存在实数a，使得函数()f x为 R 上的减函数 第第卷卷 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin

4、2022P位于第_象限.14.函数23xya+=（0a，且1a）的图象过定点 A，则点 A 的坐标是_ 15.设25abm=，且211ab+=，则m=_ 16.若扇形周长为 10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径 r 为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.第第 17题题 10 分，其他每题分，其他每题 12 分，解答应写出文字说分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤.17.化简求值：（1）23log 3 log 4lg2lg5；.第3页/共3页 学科网（北京）股份有限公司（2）27sin()costancos6336+18.已知3

5、costan(2021)sin22()3sin()sin2f+=+.（1）化简()f；（2）若是第四象限角，且20211cos24+=，求()f的值.19.已知二次函数2()41f xaxx=（1）当a取何值时，不等式()0f x 对一切实数x都成立：（2）若()f x在区间(1,1)内恰有一个零点，求实数a取值范围 20.已知二次函数()2f xxbxc=+，不等式()0f x+（其中Ra）21.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收

6、益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.（1）现有三个奖励函数模型：()0.038f xx=+，()0.8200 xf x=+，()20100log50f xx=+.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.（2）根据()1中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元，公司的投资收益至少为多少万元？22.已 知 定 义 域 为()(),00,I+的 函 数()f x满 足 对 任 意12,x xI都 有()()()121221f x xx f xx f x+（1）求证：()f x是奇函数；（2）设()()f xg xx=，且当 x1 时，()

7、0g x 的解 .的的 第1页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 高一高一 12 月月考数学试题月月考数学试题 第第卷卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的一个选项是符合题目要求的.1.已知集合 lg0,0,1,2,3?AxxB=，则AB=（）A.2,3 B.1,2,3 C.(1,)+D.(2,3)【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的性质化简集合 A，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合 lg01Axxx x=，又0,1,2,3B

8、=，所以AB=2,3 故选：A.2.已知5cos13=，且为第二象限角，则sin=（）A.1213 B.513 C.1213 D.125【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得.【详解】因为5cos13=,所以212sin1 cos13=，因为为第二象限角，所以12sin13=.故选：C.3.函数()2log27f xxx=+的零点一定位于区间（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,6【答案】B.第2页/共14页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】利用零点存在性定理即可判定函数的零点所在区间.【详解】因为()22log 22 2720f=+=所

9、以，()()230ff，又()2log27f xxx=+在()0,+上连续不间断，且单调增，所以()2log27f xxx=+的零点一定位于区间()2,3，故选：B.4.tan(420)的值为（）A.33 B.33 C.3 D.3【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：()()tan(420)tan 300720tan300tan 36060tan603=.故选：C.5.“11x”的（）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要【答案】B【解析】【分析】先解11x，得0 x，由0 x 和1x 的关系可得答案.【详解】因为11x，所以110

10、x，可得0 x，于是有0 x 是1x 的必要非充分条件，所以“11x”的必要非充分条件.故选 B.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，化简不等式是求解关键，熟记四类条件的判定方法是求解的前提，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.已知3cos35=，则sin6+=（）第3页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 A.45 B.45 C.45 D.35【答案】D【解析】【分析】根据626+=+及诱导公式即可求解.【详解】3cos35=，3sincoscos62635+=+=.故选:D 7.若对于任意的0 x，不等式()2310 xa x+恒成立，则实数 a的取值范围为（）A.)5,+B.()5,+C.

11、(,5 D.(),5【答案】C【解析】【分析】变换231xxax+，设()231xxf xx+=，均值不等式计算最值得到答案.【详解】不等式()2310 xa x+可化为，231xxax+，令()231xxf xx+=，由题意可得()minaf x，()113235f xxxxx=+=，当且仅当1xx=，即1x=时等号成立，()min5af x=，所以实数 a取值范围为(,5.故选：C.8.设函数()2,01,0 xxf xx x=，则满足()()12f xfx+，求解，即可得出结果.【详解】因为()2,01,0 xxf xx x=，当0 x 时，()2xf x=显然单调递减；当0 x 时，(

12、)2f xx=也是单调递减；且()0021 01f=，即函数图像连续不断，所以()f x在其定义域上单调递减，由()()12f xfx+，解得1x，则下列结论正确的是（）A.33xy B.33xy C.1122loglogxy D.11xy【答案】AB【解析】第5页/共14页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.【详解】因为函数3xy=在()0,+上单调递增，所以当0 xy时，33xy，故 A 正确；因为函数3yx=在()0,+上单调递增，所以当0 xy时，33xy，故 B 正确；因为函数12logyx=在()0,+上单调递减，所以当0 xy时

13、，1122loglogxy时，11xy，（当且仅当1aa=即1a=时取等号，故等号不取）12bb+，（当且仅当1bb=即1b=时取等号，故等号不取），所以114abab+，故错误；第6页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C，因为1ab+=，所以1ab=，所以144ab=111444442 42444bbbbbb=+=，当且仅当144bb=即14b=时，取等号，故正确；对于 D，()1221222332 2babaabaabbba+=+=+，当且仅当2baab=即21,22ab=时，取等号，故正确 故选：ACD 12.函数21,()321,xxaf xxxxa=+，则下列结论正确的是

14、（）A.当0a=时，函数()f x的单调递增区间为(0,1)B.不论a为何值，函数()f x既没有最小值，也没有最大值 C.不论a为何值，函数()f x的图象与x轴都有交点 D.存在实数a，使得函数()f x为 R 上的减函数【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，根据指数函数和二次函数的单调性可知 A 正确；对于 B，根据指数函数与二次函数的图象可知 B 正确；对于 C，根据函数1()3xf x=的图象与x轴没有交点，当12a +时，函数()221(12)f xxxx=+的图象与x轴没有交点，可知 C 不正确；对于 D，当12a +时，可判断出函数()f x为 R 上的减函数，可知 D 正确

15、.【详解】对于 A，当0a=时，函数21,0()321,0 xxf xxxx=+，当0 x 时，1()3xf x=为减函数，当0 x 时，2()21f xxx=+的单调递增区间为(0,1)，故 A 正确；对于 B，当xa时，1()3xf x=为减函数，所以不论a为何值，当x趋近于负无穷时，()f x趋近于正无穷，即()f x没有最大值；当xa时，2()21f xxx=+的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不 第7页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 论a为何值，当x趋近于正无穷时，()f x趋近于负无穷，即()f x没有最小值；故 B 正确；对于 C，当xa时，函数1()3xf x=的图

16、象与x轴没有交点，当xa时，由2210+=xx得12x=+或12x=，所以当12a +时，函数()221(12)f xxxx=+的图象与x轴没有交点，故 C不正确；对于 D，当12a +时，函数1()3xf x=在(,a上为减函数，函数2()21f xxx=+在(,)a+上为减函数，且103a，2221(1)20aaa+=+，21213aaa+，所以此时函数()f x为 R 上的减函数，故 D正确.故选：ABD.第第卷卷 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P位于第_象限.

17、【答案】四【解析】【分析】利用诱导公式一及三角函数值的符号法则判断点P的横纵坐标的正负即得.【详解】()tan2022tan 5 360222tan2220=+=，()sin2022sin 5 360222sin2220=+=，且1a）的图象过定点 A，则点 A 的坐标是_【答案】()2,2【解析】【分析】利用指数函数的性质即可得解.【详解】因为23xya+=（0a，且1a）的图象过定点 A，令20 x+=，则2x=，032ya=，第8页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 所以点 A 的坐标为()2,2.故答案为：()2,2.15.设25abm=，且211ab+=，则m=_【答案】20【解

18、析】【分析】显然0,m 用对数式表示出,a b后代入211ab+=，运用对数运算法则化简可得答案.【详解】依题意有0,m 2525,log,log,abmam bm=25212112log 2log 5log 20,20loglogmmmmabmm=+=+=+=.故答案为：20 16.若扇形周长为 10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径 r 为_.【答案】5sin122sin1+【解析】【分析】设扇形半径为R，则弧长为102R，根据面积公式结合二次函数性质确定52R=，2=，根据5sin12rADr=+=解得答案.【详解】设扇形半径为R，则弧长为102R，面积()2215251025224S

19、RRRRR=+=+，当52R=时，面积最大.此时圆心角为1022RR=，的 第9页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 如图所示：根据对称性知1ADC=，sin1rOD=，5sin12rADr=+=，解得5sin122sin1r=+.故答案为：5sin122sin1+.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.第第 17题题 10 分，其他每题分，其他每题 12 分，解答应写出文字说分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤.17.化简求值：（1）23log 3 log 4lg2lg5；（2）27sin()costancos6336+.【答案】

20、（1）1 （2）54【解析】【分析】（1）根据对数在运算性质即可求解，（2）根据特殊角三角函数值即可求解.【小问 1 详解】原式lg3 2lg211lg2lg3=【小问 2 详解】原式()113532224=+=18.已知3costan(2021)sin22()3sin()sin2f+=+.（1）化简()f；（2）若是第四象限角，且20211cos24+=，求()f的值.【答案】（1）tan （2）1515【解析】的 第10页/共14页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式化简求出sin，再根据同角三角函数的基本关系求出cos，即可得解；【小问 1

21、详解】解：3costan(2021)sin22()3sin()sin2f+=+sin(tan)(cos)tansin(cos)=.【小问 2 详解】解：20211cossin24+=，即1sin4=，又是第四象限角，215cos1 sin4=.sin15()tancos15f=.19.已知二次函数2()41f xaxx=（1）当a取何值时，不等式()0f x 时，二次函数开口向上，不等式()0f x 不对一切实数x都成立，不满足题意；当a0时，则有1640a，解得4a .第11页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 故当(),4a 时，不等式()0f x 对一切实数x都成立；【小问 2 详解

22、】i.当()f x仅有一个零点时，由16404aa ，此时零点为4122xa ，符合题意；ii.当()f x有两个零点时，16404aa 当 105fa，则由2()5410f xxx=解得另一个零点为15x=，符合题意；当 103fa，则由2()3410f xxx=解得另一个零点为13x ，符合题意；当 110ff，由零点存在定理，则有 11530ffaa，解得(3,0)(0,5)a.综上，()f x在区间(1,1)内恰有一个零点时，实数a的取值范围为 4 3,0)(0,5.20.已知二次函数()2f xxbxc=+，不等式()0f x+（其中Ra）【答案】（1）()22f xxx=（2）答案

23、见解析【解析】【分析】（1）根据不等式()0f x 的解集为1,2，得到()0f x=的根，由韦达定理求出未知数b和c，即可求出函数()f x的解析式（2）将（1）求出的函数()f x的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解.【小问 1 详解】由题意 在()2f xxbxc=+中，()0f x+()221224axaxxx+即()()120axx+当0a=时，不等式化为：20 x，解得：2x，当0a 时，10a的解为：1xa，当0a，不等式化为1()(2)0+a xxa，即1()(2)0+xxa，若12a=，即12a=，则不等式化为：()220 x，其解集为空集 若12a，即12a ，则

24、不等式1()(2)0+xxa的解集为1|2xxa，即102a，则不等式1()(2)0+xxa的解集为1|2xxa时，不等式的解集为1|2x xxa；当102a时，不等式的解集为1|2xxa；当12a=时，不等式的解集为；当12a 时，不等式的解集为1|2xxa 21.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.（1）现有三个奖励函数模型：()0.038

25、f xx=+，()0.8200 xf x=+，()20100log50f xx=+.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.【第13页/共14页 学科网（北京）股份有限公司（2）根据()1中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元，公司的投资收益至少为多少万元？【答案】（1）不符合，不符合，符合，理由见解析 （2）8000万元【解析】【分析】（1）根据公司要求知函数()f x为增函数，同时应满足()100f x 且()5xf x，一一验证所给的函数模型即可；（2）由20100log50350 x+，解不等式即可.【小问 1 详解】由题意，符合公司要求的函数()f x在3000 9000，上

26、单调递增，且对任意3000 9000 x，恒有()100f x 且()5xf x.对于函数()()0.038f xxf x=+，在3000 9000，上单调递增，当3000 x=时()300098100f=+，因为()()20209000100log 900050100log 16000050450f xf=+=，而300060055x=，所以当3000 9000 x，时()5xf x，恒成立，因此()20100log50f xx=+为符合公司要求的函数模型.【小问 2 详解】由20100log50350 x+，得20log3x ，所以8000 x，所以公司的投资收益至少为8000万元.22.

27、已 知 定 义 域 为()(),00,I+的 函 数()f x满 足 对 任 意12,x xI都 有()()()121221f x xx f xx f x+（1）求证：()f x是奇函数；第14页/共14页 学科网（北京）股份有限公司（2）设()()f xg xx=，且当 x1 时，()0g x 的解【答案】（1）证明见详解 （2）()()1,22,+【解析】【分析】（1）根据题意赋值结合奇函数定义证明；（2）根据题意整理可得()()()1212g x xg xg x+，赋值结合单调性定义可证()g x在()0,+上单调递减，并根据偶函数的定义证明()g x是偶函数，根据奇偶性、单调性解不等式

28、.【小问 1 详解】令121xx=，则()()()111fff+，即()10f，令121xx=，则()()()111fff-，即()10f，令120,1xxx=，则()()()1fxxff x，即()()fxf x=，故()f x是奇函数.【小问 2 详解】()()()121221f x xx f xx f x+，则()()()12121212f x xf xf xx xxx+，即()()()1212g x xg xg x+，则()()1112222xxg xg xg xgxx=+，即()()1122xg xg xgx=，令120 xx，则121xx，120 xgx，()()120g xg x，即()()12g xg xg xg x，则2002xxxx，解得12x，故不等式()()2g xg x的解集为()()1,22,+.