贵州省黔东南州2024届高三上学期12月统测试题金太阳数学含解析.pdf

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1、贵州省黔东南州贵州省黔东南州 2024 届届 12 月份高三统测月份高三统测数数 学学注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本

2、试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数1123iz，29iz ，则12zz的实部与虚部分别为（）A.3，2B.3，2iC.2，3D.2，3i2.设集合1lg(1)2Axx，1,0,1,2,3B ，则AB（）A.0,1,2,3B.1,0,1,2C.0,1,2D.0,13.若某等差数列的前 3 项和为 2

3、7，且第 3 项为 5，则该等差数列的公差为（）A.3B.4C.3D.44.若0,2，3cos25，则2sin()sin23cos()cos2（）A.3B.3C.5D.535.若平面，截球O所得截面圆的面积分别为2，3，且球心O到平面的距离为 3，则球心O到平面的距离为（）A.2 2B.2C.2 3D.46.已知()f x是奇函数，且在0,上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在(,0)上单调递增的是（）A.()()()g xf xfxB.()()()g xf xfxC.()22xxg xfD.()()()g xfxf x7.已知贵州某果园中刺梨单果的质量M（单位：g）服从正态分布230,N，且

4、(28)0.2P M，若从该果园的刺梨中随机选取 100 个单果，则质量在28g 32g的单果的个数的期望为（）A.20B.60C.40D.808.P是抛物线26yx上异于坐标原点O的一点，点Q在x轴上，OPPQ，F为该抛物线的焦点，则PF PQ （）A.12B.11C.10D.9二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.若函数()2sin54f

5、xx，则（）A.()f x的最小正周期为 10B.()f x的图象关于点4,05对称C.()f x在250,4上有最小值D.()f x的图象关于直线154x 对称10.在正四棱台1111ABCDA BC D中，3AB，112A B，12AA，则（）A.该正四棱台的体积为19 26B.直线1AA与底面ABCD所成的角为60C.线段1AC的长为14D.以1A为球心，且表面积为6的球与底面ABCD相切11.已知P是圆22:1C xy上一点，Q是圆22:(3)(4)4Dxy上一点，则（）A.|PQ的最小值为 2B.圆C与圆D有 4 条公切线C.当|PQ取得最小值时，点P的坐标为43,55D.当|121

6、PQ 时，点D到直线PQ的距离小于 212.已知函数2()logf xx，(1,0)0,4x.若关于x的方程()f xa有 3 个实数解1x，2x，3x，且123xxx，则（）A.123x x x的取值范围是11,4 B.123xxx的取值范围是1,4C.234xx的最小值为 4D.131231116x xx xx的最小值是 13三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.7122y的展开式中，3y的系数为_.14.向量(2,1)AB 在向量10,2AC上的投影向量为AC，则|ABAC _.15.烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设

7、水的初始温度为20，加热后的温度函数0.1()100etT tk（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是_/min.16.过双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且C的左顶点为B，222|abABab，则C的离心率为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取 1000 名大学生进行统计，得到如下22列联

8、表：男大学生女大学生合计关注原创音乐剧250300550不关注原创音乐剧250200450合计5005001000（1）从关注原创音乐剧的 550 名大学生中任选 1 人，求这人是女大学生的概率.（2）试根据小概率值0.005的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.附：22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中nabcd.0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.（12 分）ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3 cossin3bAaBc.（1）求角B；（2）若26

9、ac，求b的最小值.19.（12 分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，4AB，2BC，2 5ACPAPB，D，E 分别为PC，PA的中点.（1）证明：平面BCE 平面PAB.（2）求平面PBC与平面BDE的夹角的余弦值.20.（12 分）已知nS为等比数列 na的前n项和，11a，且3223SSa，1(1)(12)nnnbnan a.（1）若nb为等差数列，求数列nb的通项公式；（2）若nb为等比数列，12323nnTbbbn b，求nT.21.（12 分）已知点1(1,0)F，2(1,0)F，动点M满足124MFMF，动点M的轨迹记为E.（1）求E的方程.（2）若不垂直于x

10、轴的直线l过点2F，与E交于 C，D 两点（点 C 在 x 轴的上方），1A，2A分别为E在x轴上的左、右顶点，设直线1AC的斜率为110kk，直线2A D的斜率为2k，试问12kk是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（12 分）已知函数31()ecos3xf xxxx.（1）当3,x时，证明：()()f xfx.（2）试问0 x 是否为()f x的极值点？说明你的理由.贵州省黔东南州贵州省黔东南州 2024 届届 12 月份高三统测月份高三统测数学参考答案数学参考答案1.A 因为1123iz，29iz ，所以1232izz，其实部与虚部分别为3，2.2.C 因为1101A

11、xx，所以0,1,2AB.公众号：高中试卷君3.B 设该等差数列为 na，则1232327aaaa，则29a，所以公差32594daa.4.C 因为23cos22cos15 ，0,2，所以5cos5，2 5sin5，所以tan2，所以2sin()sin2sincos2tan15253cossin1tan1cos()cos2.5.A 平面，截球O所得截面圆的半径分别为1r，2r，则212r，223r，则212r，223r.设球O的半径为R，球心O到平面的距离为d，则22222123rrdR，所以2 2d.6.D 因为()f x是奇函数，且在0,上单调递减，所以()f x在R上单调递减，所以()f

12、x在R上单调递增，()()yfxf x在R上单调递增，22xxyf在R上单调递减，()()yf xfx在R上单调递减.又()()()g xfxf x满足()()gxg x，所以()()()g xfxf x为奇函数，而()()()g xf xfx不满足()()gxg x，故()()()g xfxf x既是奇函数，又在(,0)上单调递增.7.B 因为M（单位：g）服从正态分布230,N，且(28)0.2P M，所以(2832)2(0.50.2)0.6PM，若从该果园的刺梨中随机选取 100 个单果，则质量在28g 32g的单果的个数(100,0.6)XB，所以()1000.660E X.8.D 依

13、题意可得3,02F.设(,)(0)P x y x，(,0)Q t.因为OPPQ，所以2260OP QPx xtyxtxx ，因为0 x，所以6tx，所以2333()()6669222PF PQxxtyxxtxxx .9.AD 2105T，A 正确.因为405f，所以()f x的图象不关于点4,05对称，B 错误.因为152sin42f，所以()f x的图象关于直线154x 对称，D 正确.若250,4x，则,544x，所以()f x在250,4上有最大值，没有最小值，C 错误.10.BCD 连接AC，1AC，过1A作1A HAC，垂足为H.因为3AB，112A B，所以3 2AC，112 2A

14、C，所以3 22 2222AH，221162A HAAAH，所以该正四棱台的体积22221111119 636A HVABABA BA B，A 错误.直线1AA与底面ABCD所成的角为1A AH，由111cos2AHA AHAA，所以160A AH，B 正确.222211263 21422ACCHA H，C 正确.设以1A为球心，且表面积为6的球的半径为R，则246R，解得162RA H，所以以1A为球心，且表面积为6的球与底面ABCD相切，D 正确.11.AB 因为|5CD，所以|PQ的最小值为|122CD ，所以圆C与圆D外离，圆C与圆D有 4条公切线，A，B 均正确.因为直线CD的方程为

15、43yx，代入221xy，得35x ，当|PQ取得最小值时，P为线段CD与圆C的交点，所以点P的坐标为34,55，C 错误.过点C作圆D的切线，切点为M（图略），则22|5221CM，当P为线段MC的延长线与圆C的交点，且点Q与M重合时，|121PQ ，此时点D到直线PQ的距离等于 2，D 错误.12.ABD 作出()f x的大致图象，如图所示.212223logloglogaxxx ，其中31,4x，所以0,2a，则111,4x ，21,14x，231x x.当(1,0)(0,1)x 时，2()logf xx是偶函数，则120 xx，所以123111,4x x xx ，12331,4xxxx

16、，A，B 均正确.232342 44xxx x，当且仅当23244xxx，即22x 时，等号成立，但12,14，C 错误.因为22323233313121231221111xxxxxxxxx xx xx x xxxx ，所以231312331116161xx xx xxx.设函数216()114g xxxx，则32216216()2xg xxxx，当12x时，()0g x，当24x时，()0g x，所以min()(2)14813g xg，D 正确.13.352 7122y的展开式中，3y的系数为4337135C(2)22 .14.2 2 因为向量AB 在向量AC上的投影向量为1221|4AB

17、ACACACACACAC ，所以22|2(1 1)2 2ABAC.15.8e 因为水的初始温度为20，所以(0)10020Tk，解得80k，所以0.1()8etT t，则8(10)eT，所以加热到第10min时，水温的瞬时变化率是8C/mine.16.2 设O为坐标原点，C的焦距为2c.过点A作AH垂直于x轴，垂足为H（图略）.易得2AFb，|abAHc，则由22OAOHOF，得2|aOHc，所以2223|aabBHaABAHcc，得3cab，所以2222()33cabca，故2cea.17.解：（1）从关注原创音乐剧的 550 名大学生中任选 1 人，这人是女大学生的概率为300655011

18、.（2）零假设为0H：是否关注原创音乐剧与性别无关联.根据列表中的数据，经计算得到2221000(250200300250)10001099500550450，当0.005时，7.87910 x，根据小概率值0.005的独立性检验，推断0H不成立，即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联.18.解：（1）由3 cossin3bAaBc及正弦定理，可得3sincossinsin3sinBAABC.因为sinsin()sincoscossinCABABAB，所以sinsin3sincosABAB.又sin0A，所以sin3cosBB，则tan3B，又(0,)B，所以3B.（2）由余弦定理得222222

19、2215272cos(62)(62)777bacacBacacccc cc，当157c，127a 时，2b取得最小值277，所以b的最小值为3 217.19.（1）证明：因为4AB，2BC，2 5AC，所以222ABBCAC，所以ABBC.因为平面PAB 平面ABC，且平面PAB 平面ABCAB，所以BC 平面PAB.又BC 平面BCE，所以平面BCE 平面PAB.（2）解：取AB的中点O，连接PO.以O为坐标原点，OB 的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，其中y轴与BC平行，则(0,0,4)P，(2,0,0)A，(2,0,0)B，(1,0,2)E，(2,2,0)C，(1,1,2

20、)D.设平面BDE的法向量为(,)mx y z，(3,0,2)BE ，(1,1,2)BD ，则320,20,m BExzm BDxyz 令3z，得(2,4,3)m.设平面PBC的法向量为,nx y z，0,2,0BC ，则20,20,n BCyn BDxyz 令2x，得(2,0,1)n.因为77 145cos,|145295m nm nmn ，所以平面PBC与平面BDE的夹角的余弦值为7 145145.20.解：（1）设 na的公比为q，则1nnaq，1(1)(12)112nnnnbnan aaq nn.由3223SSa，得2132qqq，即220qq，解得1q 或 2.将2q 代入，得12n

21、nb，不符合条件；将1q 代入，得|23|32nbnn，此时nb为等差数列，所以32nbn.（2）由（1）可知，若nb为等比数列，则12nnb.由0122122232(1)22nnnTnn，得1231222232(1)22nnnTnn，则012112222222(1)2112nnnnnnTnnn，故(1)21nnTn.21.解：（1）因为121242MFMFF F，所以E是以1F，2F为焦点，且长轴长为 4 的椭圆.设E的方程为22221(0)xyabab，则24a，可得2a.又1c，所以2223bac，所以E的方程为22143xy.（2）设直线:(1)lyk x，11,C x y，22,D

22、xy.联立221,43(1),xyyk x消去y得2222348430kxk xk，易知0，且2122834kxxk，21224334kx xk.由1112ykx，2222ykx，得1212112122212112122122221222yxk xxkx xxxkyxk xxx xxx.（方法一）因为12212262,34151,34xxkx xk 所以1212542x xxx，所以121212121212125134222122253934226222xxxxxxkkxxxxxx，所以12kk为定值，且定值为13.（方法二）因为1212212121222232x xxxxkkx xxxx，所

23、以222222222122222222224316332321134343434993438132333234343434kkxxxkkkkkkkkxxxkkkk ，所以12kk为定值，且定值为13.22.（1）证明：2()esin1xfxxx，要证()()f xfx，只需证321ecosesin13xxxxxxx，即证3212sin143xxxx.设函数321()1(3)3m xxxxx，则2()(1)0m xx，则()m x在3,)上单调递增，则()(3)222sin4m xmx，所以当3,)x时，3212sin143xxxx得证，从而当3,)x时，()()f xfx得证.（2）解：()fx的导数()ecos2xfxxx.令函数()ecos2xg xxx，()esin2xg xx，当0 x 时，()0g x.()g x的导数()ecosxgxx，当0 x 时，()0gx，则()g x在(0,)上单调递增.因为(0)1g，(1)e2sin10g，所以0(0,1)x，00gx.所以当0 xx时，()0g x，()g x单调递减；当0 xx时，()0g x，()g x单调递增.又(0)0g，所以当(,0)x 时，()0g x；当00,xx时，()0g x.所以()fx在(,0)上单调递增，在00,x上单调递减，当0,xx 时，()(0)0fxf，