(13)--第5章 被控过程的数学模型.ppt

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1、 控制系统的控制过程品质主要取决于系统的结构控制系统的控制过程品质主要取决于系统的结构和系统中各组成环节的特性。和系统中各组成环节的特性。系统特性系统特性是指控制系统输入输出之间的关系。是指控制系统输入输出之间的关系。环节特性环节特性是指环节本身输入输出之间的关系。是指环节本身输入输出之间的关系。第第5 5章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型给定值给定值被控量被控量干扰干扰f 控制器控制器 变送器变送器执行器执行器被控对象被控对象+e实测值实测值1给定值给定值被控量被控量干扰干扰f 控制器控制器 变送器变送器执行器执行器被控对象被控对象+e实测值实测值 前几章的讨论中，我们已知变送器和执

2、行器的前几章的讨论中，我们已知变送器和执行器的特性是比例关系、控制器的特性由控制规律决定。特性是比例关系、控制器的特性由控制规律决定。本章讨论被控对象的特性。本章讨论被控对象的特性。被控对象被控对象X r i(s)X c i(s)2 5.1 被控过程数学模型的作用与要求被控过程数学模型的作用与要求 被控对象大都是生产中的工艺设备，它是控制系被控对象大都是生产中的工艺设备，它是控制系统的重要环节。无论是设计、还是操作控制系统，都统的重要环节。无论是设计、还是操作控制系统，都需要了解被控对象的特性。需要了解被控对象的特性。在经典控制理论中，被控对象的特性一般用单输在经典控制理论中，被控对象的特性一

3、般用单输入、输出的数学模型描述。最常用的是传递函数。入、输出的数学模型描述。最常用的是传递函数。传递函数是指用拉氏变换式表示的对象特性。传递函数是指用拉氏变换式表示的对象特性。被控对象被控对象x r(t)x c(t)X c(s)X r(s)W(s)=35.2 建立被控过程数学模型的基本方法建立被控过程数学模型的基本方法求对象的数学模型有两条途径：求对象的数学模型有两条途径：q机机理理法法：根根据据生生产产过过程程的的内内部部机机理理，列列写写出出有有关的平衡方程，从而获取对象的数学模型。关的平衡方程，从而获取对象的数学模型。q测测试试法法：通通过过实实验验测测试试，来来识识别别对对象象的的数数

4、学学模模型。型。由由于于影影响响生生产产过过程程的的因因素素较较多多，单单纯纯用用机机理理法法建建模模较较困困难难，一一般般用用机机理理法法的的分分析析结结论论，指指导导测测试试结果的辨识。结果的辨识。45.3 机理法建模机理法建模5.3.1 机理法建模的基本原理机理法建模的基本原理通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。5.3.2 单容过程建模单容过程建模当当对对象象的的

5、输输入入输输出出可可以以用用一一阶阶微微分分方方程程式式来来描描述述时时，称称为为单单容容过过程程或或一一阶阶特特性性对对象象。大大部部分分工工业业对象可以用一阶特性描述。对象可以用一阶特性描述。典型代表是水槽的水位特性。典型代表是水槽的水位特性。5 5.3.2.1 单容贮液箱液位过程单容贮液箱液位过程I 如如图图是是一一个个水水槽槽，水水经经过过阀阀门门l不不断断地地流流入入水水槽槽，水水槽槽内内的的水水又又通通过过阀阀门门2不不断断流流出出。工工艺艺上上要要求求水水槽槽的的液液位位h保保持持一一定定数数值值。在在这这里里，水水槽槽就就是是被被控控对对象象，液位液位h就是被控变量。就是被控变

6、量。如如果果想想通通过过调调节节阀阀门门1来来控控制制液液位位，就就应应了了解解进进水水流流量量Q1变变化化时时，液液位位h是是如如何变化的。何变化的。6此此时时，对对象象的的输输入入量量是是流流入入水水槽槽的的流流量量Q1，对对象的输出量是液位象的输出量是液位h。W(S)Q1h机理建模步骤：机理建模步骤：从从水水槽槽的的物物料料平平衡衡关关系系考考虑虑，找找出出表表征征h与与Q1关关系的方程式。系的方程式。设水槽的截面积为设水槽的截面积为A Ql0=Q20时时，系系统统处处于于平衡状态，即平衡状态，即静态。静态。这时液位稳定在这时液位稳定在h0h0阀门阀门1阀门阀门2Q10Q207 假定某一

7、时刻，阀门假定某一时刻，阀门1突然开大突然开大1，则则Q1突然突然增大，不再等于增大，不再等于Q2，于是，于是 h也就开始变化。也就开始变化。Q1与与Q2之差被囤积在水槽中，造成液位上升。之差被囤积在水槽中，造成液位上升。（Ql-Q2）/A=dh/dtRS 阀门阀门2阻力系数；阻力系数；K 阀门阀门1比例系数；比例系数；1 阀门阀门1的开度；的开度；式中：式中：h0阀门阀门1阀门阀门2Q10Q20h Q1=K1 8即即解得解得写成标准形式写成标准形式 令：令：T=ARs 时间常数；时间常数；K=KRs放大倍数。放大倍数。进行拉氏变换进行拉氏变换TS H(S)+H(S)=K1(S)传递函数为：传

8、递函数为：9 阶跃响应（飞升）曲线阶跃响应（飞升）曲线输入量输入量1作一阶跃变化（作一阶跃变化（1）时，其输出）时，其输出（h）随时间变化的曲线。）随时间变化的曲线。11tthKT因因则则时域表达式时域表达式 又称又称一阶惯性特性或单容特性一阶惯性特性或单容特性10 因为工艺过程就是能量或物质的交换过程，在因为工艺过程就是能量或物质的交换过程，在此过程中，肯定存在此过程中，肯定存在能量的储存和阻力。能量的储存和阻力。（1）容量系数容量系数反映对象存储能量的能力。反映对象存储能量的能力。如水槽面积如水槽面积A，它影响时间常数，它影响时间常数 T 的大小。的大小。（2）阻力系数阻力系数反映对象对物

9、料或能量传递反映对象对物料或能量传递的阻力。的阻力。如阀门阻力系数如阀门阻力系数 RS，它影响放大系数，它影响放大系数 K 的大的大小。小。T=ARSK=K RS对象的特性参数对象的特性参数K、T反映了对象的物理本质。反映了对象的物理本质。115.3.2.2 被控过程的自衡特性与单容贮液箱液位过程被控过程的自衡特性与单容贮液箱液位过程II从从一一阶阶惯惯性性特特性性曲曲线线可可以以看看出出，对对象象在在扰扰动动作作用用下下，其其平平衡衡状状态态被被破破坏坏后后，在在没没有有人人工工干干预预或或调调节节器器干干预预下下，能能自自动动达达到到新新的的平平衡衡状状态态，这种特性称为这种特性称为“自衡

10、特性自衡特性”。用用自衡率自衡率表征对象自衡能力的大小表征对象自衡能力的大小11tthKT12 并并不不是是所所有有被被控控过过程程都都具具有有自自衡衡特特性性。同同样样的的单容水槽如果出水用泵抽出，则成为无自衡特性。单容水槽如果出水用泵抽出，则成为无自衡特性。与放大系数与放大系数K互为倒数互为倒数如如果果大大，说说明明对对象象的的自自衡衡能能力力大大。即即对对象象能能以以较较小小的的自自我我调调整整量量h（），来来抵抵消消较大的扰动量较大的扰动量1。11tthKT13Q2=0 令令h0阀门阀门1Q10Q20h单容无自衡特性单容无自衡特性 若阀门若阀门1突然开大突然开大1，则则Q1增大，增大，

11、Q2不变化。不变化。Q1=K1 称飞升速度称飞升速度则：则：传函：传函：14即：即：h（t）=1dt又称积分特性又称积分特性h0阀门阀门1Q10Q20h 若阀门若阀门1阶跃增大阶跃增大1，则则h（t）持续增长。）持续增长。t1h0th图图5.5 非自衡单容液位控制过非自衡单容液位控制过程阶跃响应曲线程阶跃响应曲线0155.3.3 多容过程建模多容过程建模有一个以上贮蓄容量的过程称为多容过程。有一个以上贮蓄容量的过程称为多容过程。5.3.3.1 多容液位过程多容液位过程如图所示为双容对象。如图所示为双容对象。由由两两个个一一阶阶惯惯性性环环节节串串联联起起来来，操操纵纵变变量量是是1，被被控控变

12、变量量是是第第二二个个水槽的水位水槽的水位h2。1 1C22316可以求出传递函数：可以求出传递函数：由两个一阶惯性特由两个一阶惯性特性乘积而成。性乘积而成。又称二阶惯性。又称二阶惯性。式中：式中：T1A1 R2 T2A2 R3 KK R31 1C2A1A2R2R3K2317 当当输输入入量量是是阶阶跃跃增增量量1 时时，被被控控变变量量h2的的反反应应（飞飞升升）曲曲线呈线呈S型。型。所谓滞后是指被控变量的变化落后于扰动变化所谓滞后是指被控变量的变化落后于扰动变化的时间。的时间。0t h2（）h2为简化数学模型，为简化数学模型，可以用带滞后的单容过可以用带滞后的单容过程来近似。程来近似。0t

13、h2（）h2018 0tc cT0 h2（）在在S形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为响应曲线的起点，则曲线可表达为轴的交点近似为响应曲线的起点，则曲线可表达为带滞后的一阶特性：带滞后的一阶特性：h2(t)=K01(1e )t c c -(tc)T00 t c c19被控过程的容量系数被控过程的容量系数A越大，越大，c越大；容量个数越大；容量个数越多（阶数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。越多），阶跃响应曲线上升越慢。h()Othn=1 n=2 n=3 n=4 n=5 切线在时间轴上截出的时间段切线在时间轴上截出的时间段c为容量滞后。为

14、容量滞后。5.3.3.2 容量滞后与纯滞后容量滞后与纯滞后1.容量滞后容量滞后0tc cT0h2（）202.纯滞后纯滞后由由信信号号或或能能量量的的传传输输时时间间造造成成的的滞滞后后现现象象，是是纯粹的滞后。纯粹的滞后。如图是一个用蒸汽来控制水温的系统。蒸汽作用如图是一个用蒸汽来控制水温的系统。蒸汽作用点与被调量测量点相隔点与被调量测量点相隔 l 距离，蒸汽量阶跃增大引起距离，蒸汽量阶跃增大引起的水温升高，要经过路程的水温升高，要经过路程 l 后才反应出来。后才反应出来。0t021v 水的流速；水的流速；0t0纯滞后时间纯滞后时间v有些对象容量滞后有些对象容量滞后与纯滞后同时存在，很与纯滞后

15、同时存在，很难严格区分。常把两者难严格区分。常把两者合起来，统称为滞后时合起来，统称为滞后时间间 =o+c0tc cT0h2（）0 0225.4 测试法建模测试法建模根据工业过程中某因果变量的实测数据，进行数根据工业过程中某因果变量的实测数据，进行数学处理后得到的数学模型。学处理后得到的数学模型。测定对象特性的实验方法主要有三种：测定对象特性的实验方法主要有三种：（1）时域法）时域法输入阶跃或方波信号，测对象的输入阶跃或方波信号，测对象的飞升曲线或方波响应曲线。飞升曲线或方波响应曲线。（2）频域法）频域法输入正弦波或近似正弦波，测对输入正弦波或近似正弦波，测对象的频率特性。象的频率特性。（3）

16、统计相关法）统计相关法输入随机噪音信号，测对象输入随机噪音信号，测对象参数的变化。参数的变化。235.4.1 阶跃响应曲线法建模阶跃响应曲线法建模给对象输入一阶跃信号或方波信号测其输出响应。给对象输入一阶跃信号或方波信号测其输出响应。5.4.1.1 阶跃响应曲线的测定阶跃响应曲线的测定11tthKT在在被被控控过过程程处处于于开开环环、稳稳态态时时，将将选选定定的的输输入入量量做做一一阶阶跃跃变变化化（如如将将阀阀门门开开大大），测测试试记记录录输输出出量量的的变变化化数数据据，所所得得到到的的记记录录曲曲线线就就是是被被控控过过程程的阶跃响应曲线。的阶跃响应曲线。1阶跃响应曲线的直接测定24

17、有有些些工工艺艺对对象象不不允允许许长长时时间间施施加加较较大大幅幅度度的的扰扰动动，那那么么施施加加脉脉宽宽为为t t的的方方波波脉脉冲冲，得得到到的的响响应应曲曲线称为线称为“方波响应方波响应”。矩形脉冲法测定被控过程的阶跃响应曲线矩形脉冲法测定被控过程的阶跃响应曲线25 一个是在一个是在t=0时加入的正阶跃信号时加入的正阶跃信号x1（t）另另 一个是在一个是在 t=t 时加入的负阶跃信号时加入的负阶跃信号x2（t）x（t）=x1（t）+x2（t）其中，其中，x2（t）=-x1（t-t）方波响应可以转换成飞升曲线。方波响应可以转换成飞升曲线。原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。原理：方波

18、信号是两个阶跃信号的代数和。tttttxxxx0 x0 x026 根根据据此此式式，方方波波响响应应可可逐逐点点拆拆分分为为飞飞升升曲曲线线y1（t）和和 y2（t）。）。对应的响应也为两个阶跃对应的响应也为两个阶跃响应之和：响应之和：y（t）=y1（t）+y2（t）=y1（t）-y1（t-t）ty2(t)OtxOO tttx1(t)x2(t)=x1(t-t)txy1(t)y(t)y(t)275.4.1.2 由阶跃响应曲线确定被控过程传递函数由阶跃响应曲线确定被控过程传递函数 大多数工业对象的特性可大多数工业对象的特性可以用具有纯滞后的一阶或二阶以用具有纯滞后的一阶或二阶惯性环节来近似描述：惯

19、性环节来近似描述：1 xtt y0ty0028 对于少数无自衡特性的对象，可用带滞后的积对于少数无自衡特性的对象，可用带滞后的积分特性近似描述：分特性近似描述：xtt y0ty00 由对象的阶跃响应曲线基由对象的阶跃响应曲线基本可以辨识对象的特性模型结本可以辨识对象的特性模型结构和特性参数。构和特性参数。29一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：1.由阶跃响应曲线确定一阶惯性加滞后环节由阶跃响应曲线确定一阶惯性加滞后环节模型模型ttx0y()yxv放大倍数放大倍数K的物理意义的物理意义K表表明明了了稳稳态态时时，输输出出对输入的放大倍数对输入的放大倍数

20、。求法：。求法：K=y()/x0vK 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。越大，表示对象的输入对输出的影响越大。30v时间常数的物理意义时间常数的物理意义对对象象受受到到阶阶跃跃输输入入后后，输输出出达达到到新新的的稳稳态态值值的的63.2所需的时间，就是时间常数所需的时间，就是时间常数T。或或对对象象受受到到阶阶跃跃输输入入后后，输输出出若若保保持持初初始始速速度度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。tT0.632Y()求法：求法：31在在相相同同的的阶阶跃跃输输入入作作用用下下，对对象象的的时时间间常常数数不不同同时时，被被控控变变量量的的响响应应

21、曲曲线线如如图图所所示示。vT反映了对象输出对输入的响应速度反映了对象输出对输入的响应速度T越越大大，响响应应越越慢慢。如如水水槽槽对对象象中中 T=ARS，说说明水槽面积越大，水位变化越慢。明水槽面积越大，水位变化越慢。32vT也反映了过渡过程时间也反映了过渡过程时间被被控控变变量量变变化化到到新新的的稳稳态态值值所所需需要要的的时时间间理理论论上上需需要要无无限长。限长。当当t时，才有时，才有yKx0 ，但是当但是当t=3T 时，便有时，便有：即即：经经过过3T时时间间，输输出出已已经经变变化化了了满满幅幅值值的的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。这时，可以近似地认为动态过程基本

22、结束。tTY()3T33例：例：被控过程的单位阶跃响应是一条被控过程的单位阶跃响应是一条 S 形单调曲形单调曲线，用有纯滞后的一阶环节近似描述该过程的特性。线，用有纯滞后的一阶环节近似描述该过程的特性。作图法：作图法：0tTy（）1）在响应曲线的拐）在响应曲线的拐点处作一条切线，该切线点处作一条切线，该切线与时间轴的交点切出与时间轴的交点切出；2）以）以为起点，与为起点，与y()的交点切出的时间段的交点切出的时间段为为T；3）K=y()/134 由于阶跃响应曲线的拐点不易找准，切线的方向由于阶跃响应曲线的拐点不易找准，切线的方向也有较大的随意性，因而作图法求得的也有较大的随意性，因而作图法求得

23、的T、值误差值误差较大。可以用计算法来求特性参数。较大。可以用计算法来求特性参数。计算法的原理是根据曲线上的已知两点解方程。计算法的原理是根据曲线上的已知两点解方程。两点法：两点法：先将先将y（t）转换成无量纲的形式）转换成无量纲的形式y*（t）。）。0t1y*(t)35有滞后的一阶惯性环节，单位阶跃响应为：有滞后的一阶惯性环节，单位阶跃响应为：0 t ty*(t)=y*(t2)y*(t1)t1 t20t1y*(t)在在无无量量纲纲飞飞升升曲曲线线上上，选选取取t1、t2两两时时刻刻的的响响应应y*（t）的坐标值：）的坐标值：解方程组解方程组 36得得 y*（t1）=0.39y*（t2）=0.

24、63=2 t1 t2T=2（t1-t2）y*(t2)y*(t1)t1 t20t1y*(t)为计算方便，取特殊两点：为计算方便，取特殊两点：则则 375.4.2 测定动态特性的频域法测定动态特性的频域法被控过程的动态特性也可用频率特性来表示：被控过程的动态特性也可用频率特性来表示：方法：在对象的输入端加特定频率的正弦信号，方法：在对象的输入端加特定频率的正弦信号，同时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位）。在同时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位）。在选定范围的各个频率点上重复上述测试，便可测得该选定范围的各个频率点上重复上述测试，便可测得该对象的频率特性。对象的频率特性。Y(t)X(t)38

25、5.4.3 测定动态特性的统计相关分析法测定动态特性的统计相关分析法 相关分析法是在生产正常进行中，向被控过程输相关分析法是在生产正常进行中，向被控过程输入一种对正常生产过程影响不大的特殊信号入一种对正常生产过程影响不大的特殊信号伪随伪随机测试信号机测试信号，通过对被控过程的输入、输出数据进行，通过对被控过程的输入、输出数据进行相关分析得到被控过程的数学模型；有时也可以不加相关分析得到被控过程的数学模型；有时也可以不加专门信号，直接利用生产过程正常运行时所记录的输专门信号，直接利用生产过程正常运行时所记录的输入、输出数据，进行相关分析得到数学模型。入、输出数据，进行相关分析得到数学模型。这种方

26、法对系统运行干扰程度低。若系统备有这种方法对系统运行干扰程度低。若系统备有计算机在线工作，整个试验可由计算机完成。计算机在线工作，整个试验可由计算机完成。395.4.4 最小二乘法建立被控过程的数学模型最小二乘法建立被控过程的数学模型 前面讨论的方法都是建立连续时间数学模型。前面讨论的方法都是建立连续时间数学模型。为了适应计算机控制技术的发展，需要建立被控过为了适应计算机控制技术的发展，需要建立被控过程的离散时间数学模型。程的离散时间数学模型。如果对被控过程的输入信号如果对被控过程的输入信号u(t)、输出信号、输出信号y(t)进进行采样，则可得到一组输入序列行采样，则可得到一组输入序列u(k)

27、和输出序列和输出序列y(k)：线性定常对象线性定常对象U(t)y(t)40输入序列和输出序列之间的关系总可用差分方程输入序列和输出序列之间的关系总可用差分方程进行描述（纯滞后时间已剔除）。进行描述（纯滞后时间已剔除）。y(k)+a1y(k1)+a2y(k2)+any(kn)b1u(k1)+b2u(k2)+bnu(kn)式中式中:k 采样次数；采样次数；n 模型阶数模型阶数 在确定了模型的阶数在确定了模型的阶数n后；还需要确定上述模型中后；还需要确定上述模型中的参数的参数ai、bi。最小二乘法就是在最小二乘法就是在n和和0已知的前提下，根据输入、已知的前提下，根据输入、输出数据，推算模型参数输出数据，推算模型参数a1,a2,an及及b1,b2 bn 的的方法。方法。41小结小结机理法建模机理法建模单容对象单容对象双容对象双容对象测试法建模测试法建模时域法时域法频域法频域法统计法统计法作图法作图法计算法计算法4243作业作业P170 5-9，5-15，5-17，5-18