江苏省海安高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题数学含答案.pdf

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1、2024 届高三年级届高三年级 12 月份数学学科测试试卷月份数学学科测试试卷2023.12注意事项及说明：本卷考试时间为注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为分钟，全卷满分为 150 分分.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设集合U R，集合23,0MxxNx x，则UMN（）A.20 xx B.3x x C.2x x D.03xx 2.在复平面

2、内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量1,2OZ ，则iz（）A.3B.3 C.2 D.23.已知函数 2log4f xxax在3,4上单调递减，则a的取值范围是（）A.,2 B.2,C.,2 D.2,4.已知平面向量1,3,22aaab，则b在a上的投影向量为（）A.13,22B.13,44C.13,22D.13,445.Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把 200 个面包分给 5 个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.53B.103C.56D.1366.若直线l过

3、抛物线28xy的焦点，与抛物线交于,A B两点，且线段AB中点的横坐标为 4，则AB（）A.12B.14C.16D.187.已知圆222:O xyr，点,0P a bab 是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在直线为1l，直线2l的方程为20axbyr，则（）A.12ll，且2l与圆O相离 B.12ll，且2l与圆O相切C.12ll，且2l与圆O相交 D.12ll，且2l与圆O相离江苏省海安高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考试8.已知,2tantan2,tan822，则sin（）A.55B.55C.2 55D.2 55二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小

4、题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，请把答案填涂在答题卡相应位置上分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.甲乙两地 12 月初连续 7 天的日最高气温数据如图所示，则关于这 7 天，以下判断正确的是（）A.甲地日最高气温的平均数为5 CB.甲地日最高气温的极差为3 CC.乙地日最高气温的众数为6 CD.乙地日最高气温的中位数为5 C10.已知,x y为正实数，2xy，则（）A.xy的最大值为 1 B.2

5、yxy的最小值 3C.2212xyxy的最小值为56D.221155xy的最小值为4511.在平行六面体1111ABCDABC D中，,E F分别是,AB BC的中点，,P Q是线段11AC上的两个动点，且1PQ，以A为顶点的三条棱长都是 1，1160A ADA ABBAD，则（）A.EF平面11AC DB.15AC C.三棱锥BPQE的体积是定值 D.三棱锥1AABD的外接球的表面积是3212.定义在0,上的函数 f x满足如下条件：22f xyx fyy f x；当1x 时，0f x.则（）A.10f B.f x在1,上是增函数C.f x是周期函数 D.10f xfx三三填空题：本题共填空

6、题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.13.“北依长江，南临太湖江苏之南，明珠无锡.总要来趟无锡吧”!某游客从鼋头渚梅园蠡园锡惠公园灵山胜境拈花湾六个景点中任选三个进行游览，则他选中鼋头渚的概率为_.14，若某圆锥高为 4，其侧面积与底面积之比为 3：1，则该圆锥的体积为_.15.已知函数 sincosf xaxbx图象上有一最低点11,26，将此函数的图象向左平移3个单位长度得 yg x的图象，若函数 g x的图象在00322xxx处的切线与 g x的图象恰好有三个公共点，则00tanxx的值是_

7、.16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，过1F的直线l与圆222xya相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若112FTTP，则双曲线C的离心率为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）设ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin2ACabA.（1）求B；（2）若3c，且ABC的面积为32，求角B的角平分线的长.18.（本题满分 12

8、分）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75 分的考生才能进入面试环节，已知 2023 年共有 1000 人参加该公司的笔试，笔试成绩(70,25)XN.（1）从参加笔试的 1000 名考生中随机抽取 4 人，求这 4 人中至少有一人进入面试的概率；（2）甲乙丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为1 2 1,2 3 4.设这三名应聘人员中通过面试的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望 E Y.（参考数据：若2,XN，则0.6827,220.9545PXPX，44330.9973,0.841350.501,0.954

9、50.830.PX19.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面,ABCD AB,1,2CD ABBC ABBCCD，点G是PCD的重心.（1）求证：平面PAB 平面PBC；（2）若直线DG与平面PBC所成角的正弦值为2 23，求PA的长度.20.（本题满分 12 分）已知数列 na的首项11a，且满足112nnnaa，记*212,nnnbaanN.（1）证明：nb是等比数列；（2）记133nnnnbcbb，证明；数列 nc的前n项和12nS.21.（本题满分 12 分）将圆221xy上各点的横坐标变为原来的 5 倍，纵坐标变为原来的 4 倍，所得的曲线为C.记曲线C与x轴负

10、半轴和y轴正半轴分别交于A B两点，,041M tt 为x轴上一点.（1）求曲线C的方程；（2）连接BM交曲线C于点D，过点D作x轴的垂线交曲线C于另一点E.记AEM的面积为1S，记AEB的面积为2S，求12SS的取值范围.22.（本题满分 12 分）已知函数 lnf xx.（1）求函数 h xf xxa（其中0a）的单调区间；（2）若不等式 221(1)xf xk x对一切正实数x恒成立，求实数k的取值范围.12 月数学测试参考答案月数学测试参考答案1-8BDCB BCAD9.AD 10.ABD 11.ACD 12.ABD13.12 14.83 15.3 16.13217.（1）由题设及正弦

11、定理得sin sinsin sin2ACABA.因为sin0A，所以sinsin2ACB.由180ABC，可得sincos22ACB，故cos2sincos222BBB.因为cos02B，故1sin22B，因此60B.（2）因为1133sin32222ABCSacBa，所以2 3,3a 设ABC的角平分线交AC于D，因为ABCABDCBDSSS，所以112 333sin30sin302232BDBD，所以6,5BD 18.（1）记A“至少有一人进入面试”，由已知得70,5，所以11 0.6827750.8413522P XP，则 41 0.841350.499P A 即这 4 人中至少有一人进

12、入面试的概率为 0.499.（2）X的可能取值为0,1,2,3，12110111,2348P X11312311151,23423423412P X 12311112132,2342342348P X 12113,23412P X 则随机变量X的分布列为X0123P1851238112所以153117012381281212E X .19.（1）证明：PA平面,ABCD BC 平面,ABCDPABC.又,ABBC PAABA PA AB平面,PABBC平面PAB，又BC 平面,PBC 平面PAB 平面PBC；（2）取CD中点为E，连接AE，因为,ABBC AB,1,2CD ABBCCD，则AB

13、,CE ABCE，即四边形ABCE为矩形，故ABAE，又PA平面,ABCD AB AE 平面ABCD，则可得,AB AE AP两两垂直，故以A为坐标原点，以,AB AE AP所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，设0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0PAmAPmCDB，易证PCPD，又0GPGCGD，所以点G是PCD的重心，210,1,3 33 3mmGDG，又1,0,0,1,0PBmBC ，设平面PBC的一个法向量,nx y z，则00n PBn BC ，即00 xmzy，取,0,1m，设DG与平面PBC所成角为,090，224|2 23sin3|1019mDG

14、 nDG nmm.化简得，427100mm，解得22m 或5,2m或5，即PA的长度为2或5.20.（1）因为1112,1nnnaaa，所以24,0naa，所以2120nnnbaa，因为222122212122,2nnnnnnaaaa，所以2222nnaa；因为2122122212,2nnnnnnaaa a，所以21212nnaa，所以121222122nnnnnnbaabaa，所以 nb是以 5 为首项，2 为公比的等比数列.（2）由（1）可得15 2nnb，因为11113333nnnnnnbcbbbb，所以11111113325 232nnnSbb得证.21.（1）设曲线C上任一点的坐标为

15、,x y，圆221xy上的对应点的坐标为,x y，由题意可得1,51,4xxyy，因为 221xy，所以曲线C的方程为2212516xy；（2）连接BE交x轴于点G.直线4:4BMyxt，联立2244,1,2516yxtxy 解得点222504100,2525ttDtt，因为,D E关于x轴对称，所以222504100,2525ttEtt所以直线4:425tBE yx，所以25,0Gt，22222051125410054222525ABEABGAEGBEtttSSSAGyyttt 22221141002505(5)222525AEMEttSAMytttt所以222222225052505251

16、2525,101020520525AEMAEBtttttSttSttttttt因为41t，所以1259 12,10405AEMAEBStSt.法二：（转化为M到AE的距离与B到AE距离之比）22.（1）lnh xxxa，因为0a，所以 ln,;ln,0.xxaxah xxxaxa当xa时，1ln,10h xxxa h xx 恒成立，此时 h x在,a上单调递增；当0 xa时，11ln,1xh xxxa h xxx.当01a时，0h x恒成立，此时 h x在0,a上单调递增；当1a 时，当01x时 0h x，当1xa时 0h x，此时 h x在0,1上单调递增，在1,a上单调递减.综上，当1a

17、时，h x的增区间为0,；无减区间；当1a 时，h x增区间为 0,1,a；减区间为1,a.（2）不等式 221(1)xf xk x对一切正实数x恒成立，即221 ln(1)xxk x对一切正实数x恒成立.当01x时，210;ln0 xx，则21 ln0 xx；当1x 时，210;,ln0 xx，则21 ln0 xx.因此当0 x 时，21 ln0 xx恒成立.又当0k 时，2(1)0k x，故当0k 时，221 ln(1)xxk x恒成立.下面讨论0k 的情形.当0 x 且1x 时，22211 ln(1)1ln1k xxxk xxxx.设 1ln(01k xh xxxx且 2222 1112

18、1),.(1)(1)xk xkxh xxxx x记224(1)442kkk.当0，即02k时，0h x恒成立，故 h x在0,1及1,上单调递增.于是当01x时，10h xh，又210 x ，故 210 xh x，即221 ln(1)xxk x.当1x 时，10h xh，又210 x ，故 210 xh x，即221 ln(1)xxk x.又当1x 时，221 ln(1)xxk x.因此当02k时，221 ln(1)xxk x对一切正实数x恒成立.当0，即2k 时，设2210 xik x 的两个不等实根分别为1212,x xxx.函数 22 11xxk x图像的对称轴为11xk，又 1420k，于是1211xkx .故当1,1xk时，0 x，即 0h x，从而 h x在1,1k 在单调递减；而当1,1xk时，10h xh，此时210 x ，于是 210 xh x，即221 ln(1)xxk x，因此当2k 时，221 ln(1)xx k x对一切正实数x不恒成立.