专题03圆锥曲线的方程（基础13种题型+能力提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新高考专用）含解析.pdf

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1、专题 03 圆锥曲线的方程（基础 13 种题型+能力提升题）-【好题汇编】备战 2023-2024 学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新高考专用）专题 03 圆锥曲线的方程一椭圆的标准方程（共一椭圆的标准方程（共 3 小题）小题）1（2022 秋洛阳期末）“0t1”是“曲线表示椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2022 秋宁阳县校级期末）以双曲线1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是3（2022 秋渝北区校级期末）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，短轴长为 2（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l：ykx+m（k0）与椭圆 C 交于不

2、同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线过定点（1，0），求实数 k 的取值范围二椭圆的性质（共二椭圆的性质（共 9 小题）小题）4（2022 秋台江区校级期末）以椭圆+1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）Ay216xBy28xCy216xDx216y5（2022 秋道里区校级期末）椭圆的焦距为（）A4B6C8D106（2022 秋葫芦岛期末）设椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B 若|BF2|F1F2|4，则该椭圆的方程为（）ABCD7（2023 春海淀区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF2F1F2，过 P 作

3、 F1P 的垂线交 x 轴于点 A，若，记椭圆的离心率为 e，则 e2（）ABCD8（2022 秋潮阳区期末）已知 P，Q 是椭圆 3x2+6y21 上满足POQ90的两个动点（O 为坐标原点），则等于（）A45B9CD9（2022 秋信阳期末）已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，|PF1|2|PF2|，若 C 的离心率为，则F1PF2（）A150B120C90D6010（2022 秋阳泉期末）设椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C上的点，PF2x 轴，PF1F230，则椭圆 C 的离心率等于11（2022 秋崂山区校级期末）已知椭圆 C1：1 的左右焦

4、点分别为 F1、F2，双曲线 C2：1（a0，b0）与 C1共焦点，点在双曲线 C2上（1）求双曲线 C2的方程；（2）已知点 P 在双曲线 C2上，且F1PF260，求PF1F2的面积12（2022 秋河北区期末）已知椭圆1（ab0）的一个顶点为 A（0，1），离心率为，过点 B（0，2）及左焦点 F1的直线交椭圆于 C，D 两点，右焦点设为 F2（1）求椭圆的方程；（2）求CDF2的面积三直线与椭圆的综合（共三直线与椭圆的综合（共 3 小题）小题）13（2022 秋西昌市期末）已知椭圆，离心率为点 P（x0，y0）为椭圆 C 上一动点（其中 x00，y00），点 F1，F2为椭圆 C 左右

5、焦点，直线 3x0 x+4y0y0 与直线PF2在一象限交于点 M，则线段 PM 长度为（）A2BC1D414（2022 秋阳泉期末）已知 F1是椭圆的左焦点，上顶点 B 的坐标是，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，直线 l 过点 F1且与椭圆相交于 P，Q 两点，过点 F1作 EF1PQ，与直线 x3 相交于点 E，连接 OE，与线段 PQ 相交于点 M，求证：点 M 为线段 PQ 的中点15（2022 秋萍乡期末）已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，点 P 在椭圆 C 上，PF1F1F2，|PF1|（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知 M 是直线

6、 l：xt 上的一点，是否存在这样的直线 l，使得过点 M 的直线与椭圆 C 相切于点 N，且以 MN 为直径的圆过点 F2？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由四抛物线的标准方程（共四抛物线的标准方程（共 2 小题）小题）16（2022 秋大丰区校级期末）抛物线 y22x 的准线方程是（）ABCD17（2022 秋广东期末）设抛物线 y2mx 的准线与直线 x1 的距离为 3，则抛物线的方程为五抛物线的性质（共五抛物线的性质（共 7 小题）小题）18（2022 秋攀枝花期末）对抛物线 yx2，下列描述正确的是（）A开口向上，焦点为（0，1）B开口向右，焦点为（1，0）C开口向上，

7、焦点为（0，）D开口向右，焦点为（，0）19（2022 秋阿拉善左旗校级期末）抛物线 x26y 的准线方程为（）AxBx3CyDy320（2022 秋长乐区期末）抛物线 y22px 上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A4B9C10D1821（2022 秋二道区校级期末）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 yax2的一部分，其焦点坐标为（0，2），校门最高点到地面距离约为 18 米，则校门位于地面宽度最大约为（）A18 米B21 米C24 米D27 米22（20

8、22 秋重庆期末）抛物线 C：y212x 的焦点为 F，P 为抛物线 C 上一动点，定点 A（5，2），则|PA|+|PF|的最小值为（）A8B6C5D923（2022 秋天河区校级期末）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 M 在抛物线 C 的准线 l 上，线段 MF 与 y 轴交于点 A，与抛物线 C 交于点 B，若|AB|1，|MA|3，则 p（）A1B2C3D424（2022 秋福州期末）如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm 时，水面宽度为 6cm，当水面再上升 1cm 时，水面宽度为六直线与抛物线的综合（共六直线与抛物线的综合（共 3

9、小题）小题）25（2022 秋南岗区校级期末）已知直线 l1：4x3y+60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是（）A2B3CD26（2022 秋南岸区校级期末）如图，设抛物线 y22px 的焦点为 F，过 x 轴上一定点 D（2，0）作斜率为 2 的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，记BCF 的面积为 S1，ACF的面积为 S2，若，则抛物线的标准方程为（）Ay2xBy22xCy24xDy28x27（2022 秋涪城区期末）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 到双曲线y21 的渐近线的距离为（

10、1）求抛物线 C 的方程；（2）过原点作两条相互垂直的直线交曲线 C 于异于原点的两点 A，B，直线 AB 与 x 轴相交于 N，试探究在 x 轴上是否存在异于 N 的定点 M，使得 x 轴为AMB 的角平分线，若存在，请求出 M点坐标；若不存在，请说明理由七双曲线的标准方程（共七双曲线的标准方程（共 3 小题）小题）28（2022 秋河东区期末）等轴双曲线的一个焦点是 F1（6，0），则其标准方程为（）ABCD29（2022 秋宿迁期末）体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为 yx，上焦点坐标为（0，

11、），那么该双曲线的标准方程为（）A1B1CD130（2022 秋阿勒泰地区期末）求下列各曲线的标准方程（1）与椭圆+1 有公共焦点，且离心率 e的双曲线的方程（2）抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点求抛物线方程八双曲线的性质（共八双曲线的性质（共 11 小题）小题）31（2022 秋徐州期末）双曲线的渐近线方程是（）ABCy3xD32（2022 秋大通县期末）已知双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1（4，0），F2（4，0），M 是双曲线上一点且|MF1|MF2|，则双曲线 C 的标准方程为（）ABCD33（2022 秋建邺区校级期末）过点（3，2）且与椭圆 3x2+8y22

12、4 有相同焦点的双曲线方程为（）ABCD34（2023 春柯坪县校级期末）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（）ABCD35（2022 秋南开区校级期末）已知 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P 是 C上位于第一象限的一点，且，则PF1F2的面积为（）A2B4CD36（2022 秋和平区校级期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1，F2，P 是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的最小值为（）ABCD337（2022 秋中山市校级期末）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）

13、；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）封闭曲线 E（如右图）是由椭圆 C1：+1和双曲线 C2：1 在 y 轴右侧的一部分（实线）围成光线从椭圆 C1上一点 P0出发，经过点 F2，然后在曲线 E 内多次反射，反射点依次为 P1，P2，P3，P4，若 P0，P4重合，则光线从 P0到 P4所经过的路程为38（2022 秋辛集市期末）已知双曲线的右焦点为 F，关于原点对称的两点 A、B 分别在双曲线的左、右两支上，且点 C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）ABCD239（2022 秋攀枝花期末）设 F2是双曲线的右焦点，O 为坐标原点，过 F2的

14、直线交双曲线的右支于点 P、N，直线 PO 交双曲线 C 于另一点 M，若|MF2|3|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为40（2022 秋湖北期末）P 是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A 为右顶点，如图圆 C 是PF1F2的内切圆，设圆与 PF1，PF2分别切于点 D，E，若圆 C 的半径为 2，直线 PF1的斜率为41（2022 秋城关区校级期末）已知双曲线 C：1（a0，b0）与双曲线的渐近线相同，且经过点（2，3）（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 经过 F2，倾斜角为，l 与双曲线 C

15、交于 A，B 两点，求F1AB 的面积九直线与双曲线的综合（共九直线与双曲线的综合（共 3 小题）小题）42（2022 秋攀枝花期末）已知双曲线 C 的离心率为，且经过点（1）求双曲线 C 的标准方程；（2）经过点 M（2，1）的直线 l 交双曲线 C 于 A、B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程43（2022 秋嘉兴期末）已知双曲线 C：1（a0，b0）的两个焦点坐标分别为、，C 的一条渐近线经过点（1，2）（1）求双曲线 C 的方程；（2）若 A 为 C 的右顶点，过原点 O 且异于坐标轴的直线与 C 交于 M、N 两点，直线 AM 与圆 O：x2+y2a2的另一交点为

16、P，直线 AN 与圆 O 的另一交点为 Q证明：直线 PQ 过定点44（2022 秋莲湖区校级期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为（1）求双曲线 C 的标准方程；（2）设 D 为双曲线 C 的右顶点，直线 l 与双曲线 C 交于不同于 D 的 E，F 两点，若以 EF 为直径的圆经过点 D，且 DGEF 于点 G，证明：存在定点 H，使|GH|为定值一十曲线与方程（共一十曲线与方程（共 2 小题）小题）（多选）45（2022 秋白云区校级期末）已知曲线 C 的方程为1（mR），则（）A当 m1 时，曲线 C 为圆B当 m1 时，曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆C当 m5 时，曲线 C 为

17、双曲线，其渐近线方程为D存在实数 m 使得曲线 C 为双曲线，其离心率为46（2022 秋营口期末）由曲线 x2+y22|x|+2|y|围成的图形的面积为一十一直线与圆锥曲线的综合（共一十一直线与圆锥曲线的综合（共 3 小题）小题）47（2022 秋铜梁区期末）已知 F1（3，0），F2（3，0），点 P 满足|PF1|PF2|4，记点 P 的轨迹为曲线 C斜率为 k 的直线 l 过点 F2，且与曲线 C 相交于 A，B 两点（1）求曲线 C 的方程；（2）求斜率 k 的取值范围；（3）在 x 轴上是否存在定点 M，使得无论直线 l 绕点 F2怎样转动，总有 kAM+kBM0 成立？如果存在，

18、求出定点 M；如果不存在，请说明理由48（2022 秋鼓楼区校级期末）在直角坐标平面内，已知 A（2，0），B（2，0），动点 P 满足条件：直线 PA 与直线 PB 的斜率之积等于，记动点 P 的轨迹为 E（1）求 E 的方程；（2）过点 C（4，0）作直线 l 交 E 于 M，N 两点，直线 AM 与 BN 交点 Q 是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由49（2022 秋潢川县校级期末）已知椭圆 C：1（ab0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过

19、F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）一十二圆锥曲线的综合（共一十二圆锥曲线的综合（共 2 小题）小题）50（2022 秋老河口市校级期末）已知 F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段 PF1的垂直平分线经过点 F2，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则的最小值为（）A2B2C6D651（2022 秋青山区校级期末）已知椭圆 C1：与双曲线 C2：有相同的焦点 F1、F2，椭圆 C1的离心率为 e1，双曲线 C2的离心率为 e2，点 P 为椭圆 C1与双曲线 C2的交点，且，则

20、的最大值为（）ABCD一十三圆与圆锥曲线的综合（共一十三圆与圆锥曲线的综合（共 3 小题）小题）52（2022 秋吉水县校级期末）点 P 为椭圆 C：+1（a1）上的任意一点，AB 为圆M：（x1）2+y21 的任意一条直径，若的最大值为 15，则 a53（2022 秋信宜市期末）已知过椭圆 E：上的动点 P 作圆 C（C 为圆心）：x22x+y20 的两条切线，切点分别为 A，B，若ACB 的最小值为，则椭圆 E 的离心率为54（2022 秋增城区期末）已知圆 x2+y212 与抛物线 x22py（p0）相交于 A，B 两点，点 B 的横坐标为 2，F 为抛物线的焦点（1）求抛物线的方程；（

21、2）若过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为 P1，P2，P3，P4，求|P1P2|P3P4|的值一选择题（共一选择题（共 2 小题）小题）1（2022 秋西湖区校级期末）已知椭圆：内有一定点 P（1，1），过点P 的两条直线 l1，l2分别与椭圆交于 A、C 和 B、D 两点，且满足，若变化时，直线 CD 的斜率总为，则椭圆的离心率为（）ABCD2（2022 秋益阳期末）已知 F1，F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，过 F2的直线与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限）设点 H，G 分别为AF1F2，BF1F2的内心，则|H

22、G|的取值范围是（）A2，4）B2，）C（，2D2，）二多选题（共二多选题（共 3 小题）小题）（多选）3（2022 秋吉林期末）在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：x2+y2a2+b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆该圆由法国数学家 G Monge（17461818）最先发现若椭圆，则下列说法正确的有（）A椭圆 C 外切矩形面积的最小值为 48B椭圆 C 外切矩形面积的最大值为 48C点 P（x，y）为蒙日圆上任意一点，点 M（10，0），N（0，10），当PMN 取最大值时，tanPMN2+D若椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆 C 上一点 P 和原点作直线 l 与蒙日圆相交

23、于点M，N，则 PF1 PF2PM PN（多选）4（2022 秋保定期末）若直线 l 与抛物线 C：y22px 有且仅有一个公共点 P（x0，y0），且 l 与 C 的对称轴不平行，则称直线 l 与抛物线 C 相切，公共点 P 称为切点，且抛物线 C 在点 P处的切线方程为 y0ypx0+px已知抛物线 C：y24x 上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2）过点 A，B 分别作抛物线 C 的两条切线 l1，l2，直线 l1，l2交于点 Q（x3，y3），过抛物线 C 上异于 A，B的一点 D（x4，y4）的切线 l3分别与 l1，l2交于点 M，N，则（）A直线 AB 的方程为 y3y2x

24、+2x3B点 A，Q，B 的横坐标成等差数列C|QA|BN|QB|QM|D|MN|BN|QB|DN|（多选）5（2022 秋丽水期末）已知抛物线 C：y24x，点 A（1，0），B（0，m）（m0），过点 B 的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点，AP，AQ 分别交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为坐标原点，则（）A焦点坐标为（2，0）B向量与的数量积为 5C直线 MN 的斜率为 mD若直线 PQ 过焦点 F，则 OF 平分PAQ三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题）6（2022 秋香洲区校级期末）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线与 x 轴交于点 M，过 F 的直线

25、 l 交 C 于 A、B 两点，交准线于点 D若 BM 平分AMD，|AB|6，则 C 的方程为7（2022 秋张家界期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点 A，若AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为8（2022 秋河北区校级期末）已知互不相同的三点 M、N、P 均在双曲线 H：上，PMPN，PDMN，垂足为 D，点 O 为坐标原点，若，则的最大值为9（2022 秋福州期末）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线 x22py（p0）旋转形成的抛物面，当放入一个半径为 1 的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的 A 点，当放入一个半径为

26、2 的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的 A 点，则 p 的取值范围为四解答题（共四解答题（共 13 小题）小题）10（2022 秋怀柔区期末）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|4，且 ab（）求椭圆 C 的方程；（）过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，求证：x 轴上存在定点 P，使得直线PA 与直线 PB 的斜率之和为零11（2022 秋绵阳期末）已知椭圆 C：的离心率为，其左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 P，且（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l：ykx+m（m0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点试求

27、当 k 为何值时，|OA|2+|OB|2恒为定值，并求此时AOB 面积的最大值12（2022 秋惠州期末）已知双曲线的右焦点为 F（2，0），O 为坐标原点，双曲线 C 的两条渐近线的夹角为（1）求双曲线 C 的方程；（2）过点 F 作直线 l 交 C 于 P，Q 两点，在 x 轴上是否存在定点 M，使为定值？若存在，求出定点 M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由13（2022 秋肇庆期末）已知椭圆，左顶点为 A，右顶点为 B（1）求椭圆的长轴长与短轴长的差值；（2）已知定直线，点 S 为椭圆上位于 x 轴上方的动点，直线 AS，BS 分别与直线 l 交于点 D 与 E当 DE 的长度最小

28、时，椭圆上是否存在这样的点 T，满足TBS 的面积为？若存在，确定点 T 的个数；若不存在，请说明理由14（2022 秋诸暨市期末）已知椭圆 C1：1（ab0），离心率为，右焦点为 F2，抛物线 C2：x22by 的焦点 F 到其准线的距离为 1（1）求 C1，C2的标准方程；（2）若过 F2作斜率为的直线交椭圆 C1于 B，D，交 y 轴于 A，BD 的中垂线交 y 轴于 E，记以弦 BD 为直径的圆 M 的面积为 S1，MAE 的面积为 S2，求 S1：S2；（3）已知 n2 且 nN*，若斜率为的直线与椭圆 C1相交于 P，Q 两点，且 PQ 中点 N 恰在抛物线 C2上记 N 的横坐标

29、为 xn，求 xn的最大值15 （2022 秋 奉 化 区 期 末）已 知 离 心 率 为的 椭 圆过 点（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l：yk（x1）与椭圆 C 交于不同的两点 E、F，直线 AE、AF 分别交直线 x3于点 M、N当AMN 面积为 8 时，求 k 的值16（2022 秋岳麓区校级期末）已知椭圆 C：1，A1，A2为椭圆 C 的左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，Q 为椭圆 C 上任意一点（1）求直线 QA1和 QA2的斜率之积；（2）直线 l 交椭圆 C 于点 M，N 两点（l 不过点 A2），直线 MA2与直线 NA2的斜率分别是 k1，k2且 k1k2，直线 A1

30、M 和直线 A2N 交于点 P（x0，y0）探究直线 l 是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；证明：x0为定值，并求出该定值17（2022 秋泸县校级期末）已知点 P（1，m）在抛物线 C：y22px（p0）上，F 为焦点，且PF3（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 T（4，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，求的值18（2022 秋海淀区校级期末）如图，椭圆的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60（）求该椭圆的离心率；（）设线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴

31、和 y 轴分别交于 D，E 两点记GFD 的面积为 S1，OED（O 为原点）的面积为 S2，求的取值范围19（2022 秋安丘市期末）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy+0 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 L：ykx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且 kOAkOB，求证：AOB 的面积为定值20（2022 秋兰山区校级期末）如图，椭圆 C：经过点 P（1，），离心率 e，直线 l 的方程为 x4（1）求椭圆 C 的方程；（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M

32、，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3问：是否存在常数，使得 k1+k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由21（2022 秋玄武区校级期末）如图，已知抛物线 y22px（p0），焦点为 F，准线为直线 l，P为抛物线上的一点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q当 P 的横坐标为 3 时，PQF 为等边三角形（1）求抛物线的方程；（2）过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交直线 l 于点 M，交 y 轴于 G若，求证：1+2为常数；求的取值范围22（2022 秋兴庆区校级期末）已知双曲线的中心在原点，离心率为 2，一个焦点 F（2，0）求双曲线方程设 Q 是双曲线

33、上一点，且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，若，求直线 l的方程专题 03 圆锥曲线的方程一椭圆的标准方程（共一椭圆的标准方程（共 3 小题）小题）1（2022 秋洛阳期末）“0t1”是“曲线表示椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断【解答】解：曲线表示椭圆，0t1 且 t“0t1”是“曲线表示椭圆”的必要而不充分条件故选：B【点评】本题考查充要条件的判断，椭圆的标准方程的形式，属于基础题2（2022 秋宁阳县校级期末）以双曲线1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是

34、+1【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程【解答】解：双曲线的顶点为（2，0）和（2，0），焦点为（4，0）和（4，0）椭圆的焦点坐标是（2，0）和（2，0），顶点为（4，0）和（4，0）椭圆方程为+1故答案为：+1【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质3（2022 秋渝北区校级期末）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，短轴长为 2（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l：ykx+m（k0）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线过定点（1，0），求实数 k 的取值范围【分析】（）由题意可知

35、：，解出即可得椭圆 C 的标准方程（）设 M（x1，y1），N（x2，y2），将 ykx+m 代入椭圆方程，消去 y 得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，可得0，利用根与系数关系及其中点坐标公式可得线段 MN 的中点 P的坐标，利用垂直平分线的性质可得线段 MN 的垂直平分线 l的方程，根据点 P 在直线 l上，可得方程，进而得出实数 k 的取值范围【解答】解：（）由题意可知：，得，故椭圆 C 的标准方程为（）设 M（x1，y1），N（x2，y2），将 ykx+m 代入椭圆方程，消去 y 得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，所以（8km）24（1+4k2）（4m24）0，即 m

36、24k2+1由根与系数关系得，则，所以线段 MN 的中点 P 的坐标为又线段 MN 的垂直平分线 l的方程为，由点 P 在直线 l上，得，即 4k2+3km+10，所以由得，4k2+104k2+19k2，所以，即或，所以实数 k 的取值范围是【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法、线段垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二椭圆的性质（共二椭圆的性质（共 9 小题）小题）4（2022 秋台江区校级期末）以椭圆+1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）Ay216xBy28xCy216xDx216y【分析】求出椭圆+1 的左焦点，即可

37、求出以椭圆+1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程【解答】解：椭圆+1 的左焦点为（4，0），以椭圆+1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是 y216x故选：C【点评】本题考查求以椭圆+1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程，考查椭圆的性质，属于中档题5（2022 秋道里区校级期末）椭圆的焦距为（）A4B6C8D10【分析】利用椭圆的标准方程及其即可【解答】解：由椭圆得 a225，b294，2c8因此椭圆的焦距为 8故选：C【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键6（2022 秋葫芦岛期末）设椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B 若|BF2|F1F2|4，则该椭圆

38、的方程为（）ABCD【分析】由已知求得 a 与 c 的值，再由隐含条件求解 b，则答案可求【解答】解：由|BF2|F1F2|4，得 a2c4，即 a4，c2，则 b2a2c216412椭圆的方程为故选：A【点评】本题考查椭圆的性质，考查椭圆方程的求法，是基础题7（2023 春海淀区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF2F1F2，过 P 作 F1P 的垂线交 x 轴于点 A，若，记椭圆的离心率为 e，则 e2（）ABCD【分析】由题意，利用椭圆的定义和性质，先求出 e，可得 e2的值【解答】解：由于椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆

39、C上，且 PF2F1F2，过 P 作 F1P 的垂线交 x 轴于点 A，记椭圆的离心率为 e，则由射影定理可得|F1F2|AF2|2cc2，|PF2|cRtPF1F2中，|PF1|c再根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|2a，即c+c2a，e，则 e2，故选：A【点评】本题主要考查椭圆的定义和性质的应用，属于中档题8（2022 秋潮阳区期末）已知 P，Q 是椭圆 3x2+6y21 上满足POQ90的两个动点（O 为坐标原点），则等于（）A45B9CD【分析】如图所示，直线 OP 的斜率存在时，设斜率为 k，其方程为：ykx，可得 OQ 的方程为：yx，设 P（x1，y1），Q（x2，y2

40、），联立，解得，可得，同理可得，即可得出的值，直线 OP 的斜率不存在时，验证即可得出结论【解答】解：如图所示，直线 OP 的斜率存在时，设斜率为 k，其方程为：ykx，则 OQ 的方程为：yx，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得，同理可得，+9，直线 OP 的斜率不存在时，上式也成立故选：B【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的思想方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（2022 秋信阳期末）已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，|PF1|2|PF2|，若 C 的离心率为，则F1PF2（）A150B120C90D60【分析】

41、由|PF1|2|PF2，|PF1|+|PF2|2a，解得|PF1|，|PF2|，根据，可得 ca，利用余弦定理即可得出结论【解答】解：|PF1|2|PF2，|PF1|+|PF2|2a，|PF1|a，|PF2|a，ca，不妨取 a3，则 c，|PF1|4，|PF2|2，cosF1PF2，F1PF20，180，F1PF2120，故选：B【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（2022 秋阳泉期末）设椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C上的点，PF2x 轴，PF1F230，则椭圆 C 的离心率等于【分析】由已知可得 P 点坐标，在 R

42、tPF1F2中，由PF1F230，可得 2cyP，结合隐含条件即可求解【解答】解：如图所示，F2（c，0），把 xc 代入椭圆方程可得：，解得 y，不妨取 yP，在 RtPF1F2中，PF1F230，2c，得 2ac（a2c2），整理得 e2+e10，e（0，1），解得 e故答案为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查运算求解能力，属于中档题11（2022 秋崂山区校级期末）已知椭圆 C1：1 的左右焦点分别为 F1、F2，双曲线 C2：1（a0，b0）与 C1共焦点，点在双曲线 C2上（1）求双曲线 C2的方程；（2）已知点 P 在双曲线 C2上，且F1PF260，求PF1F2的面

43、积【分析】（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义 2a|AF1|AF2|，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求|PF1|PF2|【解答】解：（1）由椭圆方程可知 c218144，F1（2，0），F2（2，0），在双曲线 C2上，2a|AF1|AF2|2，a22，b2c2a2422，双曲线 C2的方程；（2）设点 P 在双曲线的右支上，并且设|PF1|m，|PF2|n，mn8，PF1F2的面积 Smnsin602【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义与标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（2022 秋河北区期末）已知椭圆1（ab0

44、）的一个顶点为 A（0，1），离心率为，过点 B（0，2）及左焦点 F1的直线交椭圆于 C，D 两点，右焦点设为 F2（1）求椭圆的方程；（2）求CDF2的面积【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于 a、b、c 的方程，解出 a，bc1，从而得到椭圆的方程；（2）求出 F1B 直线的斜率得直线 F1B 的方程为 y2x2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1x2|，结合弦长公式可得|CD|，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线 BF1的距离 d，即可得到CDF2的面积【解答】解：（1）椭圆1（ab0）的一个顶点为 A（0，1），离心率为，b1，且，解之得 a，c1可得

45、椭圆的方程为；（4 分）（2）左焦点 F1（1，0），B（0，2），得 F1B 直线的斜率为2直线 F1B 的方程为 y2x2由，化简得 9x2+16x+60162496400，直线与椭圆有两个公共点，设为 C（x1，y1），D（x2，y2），则|CD|x1x2|又点 F2到直线 BF1的距离 d，CDF2的面积为 S|CD|d【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题三直线与椭圆的综合（共三直线与椭圆的综合（共 3 小题）小题）13（2022 秋西昌市期末）已知椭圆，离心率为点 P（x0，y0

46、）为椭圆 C 上一动点（其中 x00，y00），点 F1，F2为椭圆 C 左右焦点，直线 3x0 x+4y0y0 与直线PF2在一象限交于点 M，则线段 PM 长度为（）A2BC1D4【分析】椭圆，离心率为，可得，解得 a由点 P（x0，y0）为椭圆 C 上一动点（其中 x00，y00），可得 4123，直线 PF2的方程为：y（x1），与 3x0 x+4y0y0 联立解得点 M 的坐标利用两点之间的距离公式即可得出|PM|2【解答】解：椭圆，离心率为，解得 a2椭圆 C 的方程为+1点 P（x0，y0）为椭圆 C 上一动点（其中 x00，y00），4123，直线 PF2的方程为：y（x1），

47、与 3x0 x+4y0y0 联立解得：xM，yM|PM|2+4，线段|PM|2，故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、直线的交点、点与椭圆的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（2022 秋阳泉期末）已知 F1是椭圆的左焦点，上顶点 B 的坐标是，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，直线 l 过点 F1且与椭圆相交于 P，Q 两点，过点 F1作 EF1PQ，与直线 x3 相交于点 E，连接 OE，与线段 PQ 相交于点 M，求证：点 M 为线段 PQ 的中点【分析】（1）由已知可得：b，a2b2+c2，联立解得：b，a2，c，即可得出

48、椭圆的标准方程（2）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），线段 PQ 的中点坐标 G（x0，y0），直线 l 的斜率为 0 时，直线l 与 x 轴重合，EF1与直线 x3 平行，不符合题意，舍去设直线 l 的方程为 myx+2，与椭圆方程联立化为（m2+3）y24my20，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段 PQ 的中点坐标 G分别得出直线 EF1的方程与直线 OE 的方程，可得其交点 M 坐标，只要证明 G 与M 重合即可得出结论【解答】解：（1）由已知可得：b，a2b2+c2，联立解得：b，a26，c2，椭圆的标准方程为+1（2）证明：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），线段

49、PQ 的中点坐标 G（x0，y0），直线 l 的斜率为 0 时，直线 l 与 x 轴重合，EF1与直线 x3 平行，不符合题意，舍去设直线 l 的方程为 myx+2，联立，化为（m2+3）y24my20，0，y1+y2，y0（y1+y2），x0my02，线段 PQ 的中点坐标 G（，）直线 EF1的方程为 ym（x+2），E（3，m）直线 OE 的方程为：yx，即 mx+3y0，联立，解得 M（，），G 与 M 重合，因此点 M 为线段 PQ 的中点【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15

50、（2022 秋萍乡期末）已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，点 P 在椭圆 C 上，PF1F1F2，|PF1|（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知 M 是直线 l：xt 上的一点，是否存在这样的直线 l，使得过点 M 的直线与椭圆 C 相切于点 N，且以 MN 为直径的圆过点 F2？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由【分析】（1）由题意得 e，|PF1|+|PF2|2a，在 RtPF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|F1F2|2|PF2|2，联立，求解即可得出答案；（2）由（1）得椭圆 C 的标准方程为+1，设直线 MN 的方程为 ykx+m，联立直线