2024年1月“七省联考”考前猜想卷数学试题2含答案.pdf

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1、 2024年1月“七省联考”押题预测卷02 数数 学学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小

2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的 1集合ln1Axx=，13Bxx=，则AB=（）A.B.e3xx C.e3xx 2已知复数(1 2i)z在复平面内对应点的坐标为3,1（），则z=（）A.17i55+B.1i5+C.1i5 D.17i55 36312xx展开式中10 x项的系数为（）A.240 B.20 C.20 D.240 4函数()()ee2cosxxxf xx+=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.5中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台 111

3、1ABCDABC D，上下底面的中心分别为1O和O，若1124ABAB=，160A AB=，则正四棱台1111ABCDABC D的体积为（）A.20 23 B.28 23 C.20 63 D.28 63 6公元 9 世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在三角学准则中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用 sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用 csc（角）表示，则3csc20sec20=（）A.3 B.2 3 C.4 D.8 7已知奇函数()f x

4、在R上可导，其导函数为()fx，且()()110fxfxx+=恒成立，则()2023f=（）A.1 B.12 C.0 D.12 8如图，已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab=的左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C分别在第一二象限交于,A B两点，2ABF内切圆半径为r，若1BFra=，则C的离心率为（）A.102 B.2 53 C.304 D.855 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 5 分，部分

5、选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 92023 年 10 月 3 日第 19 届杭州亚运会跳水女子 10 米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()1,2,3,4,5ix i=，平均数为x，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1,2,3,4iy i=，平均数为y，下面 说法正确的是（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差 B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C.若xy=，则新数据的方差一定大于原数据方差 D.若xy=，则新数据的第 40 百分位数一定大于原数据的第 40

6、百分位数 10已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+时，()f x与()g x有公切线，求实数a的取值范围.22已知椭圆T：2212yx+=，其上焦点F与抛物线K：24xy=的焦点重合.（1）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图 1 所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段AC大于BD长度的大小；（2）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G（如图 2 所示），试求四边形AEBG面积的最小值.2024年1月“七省联考”押题预测卷02 数数 学学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：

7、1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的 1集合ln1Axx=，13Bxx=，则AB=（）A.B

8、.e3xx C.e3xx【答案】C【解析】由ln1exx，即ee3Ax xABxx=时，cos 1,1x，则恒有()()ee02cosxxxf xx+=+，排除 D；故选：C.5中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCDABC D，上下底面的中心分别为1O和O，若1124ABAB=，160A AB=，则正四棱台1111ABCDABC D的体积为（）A.20 23 B.28 23 C.20 63 D.28 63【答案】B 【解析】因为1111ABCDABC D是正四

9、棱台，1124ABAB=，160A AB=，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cosABABAAA AB=，12AOAC=22 22AB=，1111222AOAB=，所以()2211112OOAAAOAO=，所以该四棱台的体积为()1 1 111 1 1111228 2(1648)333ABCDDABCA B CADDB CVOOSSSS=+=+，故选：B.6公元 9 世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在三角学准则中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用 s

10、ec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用 csc（角）表示，则3csc20sec20=（）A.3 B.2 3 C.4 D.8【答案】C【解析】依题意，20角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得11csc20,sec20sin20cos20=，所以313cos20sin202sin(6020)3csc20sec2041sin20cos20sin20 cos20sin402=.故选：C 7已知奇函数()f x在R上可导，其导函数为()fx，且()()110fxfxx+=恒成立，则()2023f=（）A.1 B.12 C.0 D.12【答案】B【解析】设1()()

11、2g xf xx=，则()g x为 R 上可导的奇函数，(0)0g=，由题意得()()111(11(1)22fxxfxx=+），得(1)(1)gxgx=+，所以()()()()211g xgxgxg x+=+=，()()()()4222g xg xg xg x+=+=+=，又(1)(1)gxgx=+，即()()gxgx=+11，所以(1)(1)gxgx+=，等式两边对 x求导，得()()gxgx+=11，令0 x=，()()gg=11，所以(1)0g=.由(4)()g xg x+=，两边对 x求导，()()g xg x+=4，所以()g x的周期为 4，所以()()gg=202310，因为1(

12、)()2g xf xx=，所以1()()2g xfx=，所以11(2023)(2023)22fg=+=.故选：B 8如图，已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab=的左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C分别在第一二象限交于,A B两点，2ABF内切圆半径为r，若1BFra=，则C的离心率为（）A.102 B.2 53 C.304 D.855【答案】D【解析】设ABx=，内切圆圆心为I，内切圆在22,BF AF AB上的切点分别为,U V W，则22,BUBWAVAWFUFV=，由1BFa=及双曲线的定义可知，()22222213,2BFa AFxa FUFVBFAFABar=+=，

13、故四边形2IUFV是正方形，得22AFBF，于是22222|BFAFAB+=，故2229()xaxa=+，所以5xa=，于()1223coscos 5FBFABF=，在12FBF中，由余弦定理可得222212121212682cos5FFBFBFBFBFFBFa=+=，从而226845ca=，所以855cea=.故选：D.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要是 求全部选对的得求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选

14、错的得分，有选错的得 0 0 分分 92023 年 10 月 3 日第 19 届杭州亚运会跳水女子 10 米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()1,2,3,4,5ix i=，平均数为x，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1,2,3,4iy i=，平均数为y，下面说法正确的是（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差 B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C.若xy=，则新数据的方差一定大于原数据方差 D.若xy=，则新数据的第 40百分位数一定大于原数据的第 40百分位数【答案】ABC【解析】对于 A中，若随机

15、删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以 A正确；对于 B中，不妨假设12345xxxxx的部分图象如图所示则（）A.()f x的图象关于,012中心对称 B.()f x在区间5,23上单调递增 C.函数()f x的图象向右平移6个单位长度可以得到函数 2sin2g xx的图象 D.将函数()f x图象所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(4)6h xx=+的图象【答案】ABD【解析】由图象可知2A=，51241264T=，解得,2T=，又26f=，所以2sin23+=，即2,Z32kk+=+，结合2，即()g x在(0,)+上递

16、增，所以()fx在(0,)+上递增，又0 x+，()fx ，x +，()fx +，.所以，0(0,)x+使()010001(1)e20 xfxxax=+=，且0(0,)xx时，()0fx，所以()f x在0(0,)x上递减，在0(,)x+上递增，所以()()01min000()e2ln0 xf xfxxax=由()001001001(1)e2e2lnxxxaxxax+=，得01200eln1xxx+=，令函数21()elnxt xxx=+，211()(+2)e0 xt xxxx=+，所以()t x在(0,)+上是增函数，注意到(1)1t=，所以01x=，所以1212aa=.故答案为：12 四、

17、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知正项数列 na的前n项和为nS，且满足21nnSa=+，*Nn.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足12nnnnbaaa+=+，求数列 nb的前n和nT.【答案】（1）21nan=，*Nn （2）2221nnnTn+=+【解析】（1）由21nnSa=+得()2114nnSa=+，则()211114aa=+，解得11a=，当2n 时，()211114nnSa=+，所以()()2211111144nnnnnaSSaa=+，整

18、理得()()()1112nnnnnnaaaaaa+=+，因为 na是正项数列，所以10nnaa+，所以12nnaa=，所以 na是首项为 1，公差为 2的等差数列，所以12(1)21nann=+=，*Nn.（2）由（1）可得，21nan=，所以122112121(21)(21)2121nnnnbannaannnn+=+=+=+，所以(121)111111213352121nnnTnn+=+21121nn=+2221nnn=+.18记ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知1 sinsincoscosABAB=（1）求2AB+的值；（2）若2222acb+，求的最大值【答案】（1）

19、2 （2）2【解析】（1）因为1 sinsincoscosABAB=，所以cossincossincosBABBA=，所以()cossinsinBABC=+=，sinsin2BC=，因为0C，222B，所以2BC=（舍），或2BC=，所以22ABCB+=+=（2）要使不等式2222acb+恒成立，只需要222min2acb+即可，由（1）可知2CB=，22AB=，由正弦定理得2222222sin2sinsinacACbB+=，222222sin22sincos 22cos22sinsinBBBBBB+=()()2222221 2sin2 1 sin34sin6sinsinBBBBB+=+，因为

20、1 sinsincoscosABAB=，所以 A，B都为锐角，又因为22AB+=，所以04B 所以210sin2B即2 所以的最大值为 2 19如图，底面 ABCD是边长为 2的菱形，60BAD=，DE平面 ABCD，/CFDE，2DECF=，BE与平面 ABCD所成的角为45.（1）求证：平面BEF 平面 BDE；（2）求二面角 B-EF-D的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）64【解析】（1）DE平面 ABCD，AC平面 ABCD.DEAC.又底面 ABCD是菱形，ACBD.BDDED=，AC 平面 BDE，设 AC，BD交于 O，取 BE的中点 G，连 FG，OG，/OGCF，OG

21、CF=，四边形 OCFG是平行四边形/FGAC，AC 平面 BDE FG 平面 BDE，又因FG 平面 BEF，平面BEF 平面 BDE.（2）以 O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为 x、y、z轴建立如图空间直角坐标系 BE与平面 ABCD所成的角为45，60BAD=2DEBDAB=，3OA=()0,1,0D，()0,1,0B，(3,0,0)C，()0,1,2E，(3,0,1)F.(0,2,2)BE=，(3,1,1)BF=设平面 BEF法向量为(,)nx y z=，22030yzxyz+=+=，(0,1,1)n=(3,1,0)DC=，(0,0,2)DE=设平面CDEF的法向量(,)m

22、x y z=30(1,3,0)0 xymz+=设二面角BEFD的大小为.36cos|cos,|42 2n m=.20“村 BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风乡土味欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 女生 15 合计 100 附：()()()()22()n adbcabcdacbd=+.

23、0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）根据所给数据完成上表，依据0.005=的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2名男生和 1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求 3人进球总次数X的分布列和数学期望.的 【答案】（1）有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关 （2）分布列见解析，()116E X=【解析】（1）依题意，2 2列联表如下：喜

24、欢足球 不喜欢足球 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设0H：该中学学生喜欢足球与性别无关，2的观测值为()2210030 35 15 201009.09150 50 45 5511=，0.0059.0917.879x=，根据小概率值0.005=的独立性检验，推断0H不成立，所以有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，()()2212211221215011,1C11132183323218P XP X=+=，()()221222121842122C11,333232189329P X

25、P X=+=所以X的分布列为：X 0 1 2 3 P 118 518 49 29 数学期()15421101231818996E X=+=.21已知函数()()e0 xf xaxa=，()2g xx=.（1）求()f x的单调区间；（2）当0 x 时，()f x与()g x有公切线，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）1,0e【解析】（1）由函数()()0 xf xaxea=，可得()(1)exfxa x=+，当0a 时，可得(,1)x 时，()0fx，()f x单调递减，(1,)+x时，0fx，()f x单调递增；当0a 时，可得(,1)x 时，0fx，()f x单调递增，(

26、1,)+x时，()0fx+，设()2124,(0)(1)exxh xxx=+，可得()34(2)(1)(1)exx xxh xx+=+，当01x，()h x单调递增；当1x 时，()0h x，()h x单调递减，所以，当1x=时，函数()h x取得极大值，极大值为()11eh=，又由当0 x 时，()0h x；当x +时，()0h x，所以()10eh x，所以10ea，即ACBD.（2）设()11,A x y，()22,B xy，()55,E xy，()66,G xy，当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB方程为()10ykxk=+，则直线EG方程为11yxk=+，由（1）的过程可知：()222 2 12kkAB+=，由()24 1CDk=+，以1k替换k，可得214 1EGk=+，所以()()()22222222 2 14 2 11114 12222AEBGkkSABEGkkkk+=+=+四边形()()()2222224 2 14 211111kkk+=+，因为211k+，所以()()2210,11k+，()()22110,11k+，()224 24 2111AEBGSk=+；当直线AB的斜率不存在时，2 2AB=，4EG=，所以112 244 222AEBGSABEG=四边形；综上所述：4 2AEBGS四边形，所以四边形AEBG面积的最小值为4 2.