专题05一元函数的导数及其应用（基础9种题型+能力提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新高考专用）含解析.pdf

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1、专题 05 一元函数的导数及其应用（基础 9 种题型+能力提升题）-【好题汇编】备战 2023-2024 学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新高考专用）专题 05 一元函数的导数及其应用一变化的快慢与变化率（共一变化的快慢与变化率（共 3 小题）小题）1（2022 秋河东区校级期末）已知函数 f（x）x2+2，则该函数在区间1，3上的平均变化率为（）A4B3C2D12（2022 秋晋城期末）有一机器人的运动方程为 s（t）t2+6t，（t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为（）A5B7C10D133（2022 秋武汉期末）2022 年 2 月，第 24 届冬季奥林匹

2、克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了 9 金 4 银 2 铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 l（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为，则当 t3s 时，该运动员的滑雪瞬时速度为（m/s）二导数及其几何意义（共二导数及其几何意义（共 2 小题）小题）4（2022 秋东城区校级期末）函数 yf（x）在点（x0，y0）处的切线方程 y2x+1，则等于（）A4B2C2D45（2021 秋南昌期末）曲线 yf（x）在 x1 处的切线如图所示，则 f（1）（）A1BCD1三导数的运算（共三导数的运算（共 7 小题）小题）6（2022

3、秋玄武区校级期末）下列求导结果正确的是（）A（12x）224xB（cos）sinCD（xcosx）cosxxsinx7（2022 秋香坊区校级期末）已知函数 f（x）的导函数为 f（x），且，则（）ABCD8（2022 秋咸阳期末）已知函数 f（x）的图象如图所示，则导函数 f（x）的图象可能是（）ABCD9（2022 秋咸阳期末）已知函数可导，且 f（x0）3，（）A3B0C3D610（2022 秋南平期末）函数，则 f（x）（）A2sin（2x）Bsin（2x）C+sin（2x）D2sin（2x）11（2022 秋河东区校级期末）下列求导运算正确的个数是（）个若 f（x）x2e2x1，则

4、f（x）2xe2x1（x+1）；若，则若 f（x）（2x3）sin（2x+5），则 f（x）2sin（2x+5）+（2x3）cos（2x+5）若 f（x）log2（3x2），则A1 个B2 个C3 个D4 个12（2022 秋安丘市期末）已知 f（x）x2+2f（1）x，则 f（1）四简单复合函数的导数（共四简单复合函数的导数（共 2 小题）小题）13（2021 秋 让 胡 路 区 校 级 期 末）已 知 函 数 f（x）的 导 函 数 为 f （x），若，则14（2021 秋合作市校级期末）求下列函数的导函数（1）yx2sinx；（2）y五利用导数研究函数的单调性（共五利用导数研究函数的单调

5、性（共 13 小题）小题）15（2022 秋未央区期末）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图象最有可能是图中的（）ABCD16（2023 春房山区期末）定义在区间上的函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数 f（x）在区间（1，4）上单调递增B函数 f（x）在区间（1，3）上单调递减C函数 f（x）在 x1 处取得极大值D函数 f（x）在 x0 处取得极大值17（2021 秋乌兰察布期末）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，且有 f（3）3，则 f（x）3e3x的解集为（）A（3，+）B

6、（1，+）C（，3）D（，1）18（2021 秋郑州期末）已知函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（）Ae2，+）B（e2，+）CD19（2022 春贺兰县校级期末）已知函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数 yf（x）在（，1）上是增函数Bf（1）f（3）Cf（3）f（5）Dx3 是函数 yf（x）的极小值点20（2022 秋长安区校级期末）已知函数 f（x）的定义域为（，），其导函数是 f（x），且满足 f（x）cosx+f（x）sinx0，则关于 x 的不等式 f（x）2f（）cosx 的解集为（）A（，）B（，）C（，）D（，）（多选）21（2

7、022 秋连云港期末）函数 f（x）的导函数 f（x）的图像如图所示，则（）A为函数 f（x）的零点Bx2 为函数 f（x）的极小值点C函数 f（x）在上单调递减Df（2）是函数 f（x）的最小值22（2022 秋建邺区校级期末）设 a 为实数，若函数有且仅有一个零点，则 a 的取值范围是（）ABCD23（2022 秋秦淮区校级期末）已知函数在上是增函数，则实数 a 的取值范围是24（2022 秋榆林期末）已知函数 F（x）xex（a0）（1）若 f（x）F（x）3ax，a，求函数 f（x）的单调区间；（2）若 g（x）F（x）ax3有三个极值点，求实数 a 的取值范围25（2022 秋建邺区

8、校级期末）设 a 为实数，已知函数 f（x）+9（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若过点（0，10）有且只有两条直线与曲线 y+ax+1 相切，求 a 的值26（2022 秋汉中期末）已知函数 f（x）ax2lnx2（1）当 a1 时，求曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性27（2022 秋碑林区期末）已知函数 f（x）axlnx1（1）若函数 f（x）在区间1，+）上递增，求实数 a 的取值范围；（2）求证：六函数在某点取得极值的条件（共六函数在某点取得极值的条件（共 2 小题）小题）28（2021 秋南昌期末）设 f（x）是a，b上的连续函数，且

9、在（a，b）内可导，则下面的结论中正确的是（）Af（x）的极值点一定是最值点Bf（x）的最值点一定是极值点Cf（x）在此区间上可能没有极值点Df（x）在此区间上可能没有最值点29（2021 秋仙游县校级期末）函数的最大值为（）ABe2CeDe1七利用导数研究函数的极值（共七利用导数研究函数的极值（共 5 小题）小题）30（2022 秋香坊区校级期末）对于函数 f（x）sinx+xex，x0，下列说法正确的是（）A函数 f（x）有唯一的极大值点B函数 f（x）有唯一的极小值点C函数 f（x）有最大值没有最小值D函数 f（x）有最小值没有最大值31（2022 秋兴庆区校级期末）已知函数 f（x）x

10、28x+6lnx+1，则 f（x）的极大值为32（2022 秋大同期末）已知函数 f（x）x（xm）2在 x2 处取得极小值，则 m33（2022 秋大通县期末）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c 在及 x1 处取得极值（1）求 a，b 的值；（2）若方程 f（x）0 有三个不同的实根，求 c 的取值范围34（2022 秋江都区校级期末）设函数 f（x）x3+x2x2（1）求 f（x）在 x2 处的切线方程；（2）求 f（x）的极值点和极值八利用导数研究函数的最值（共八利用导数研究函数的最值（共 2 小题）小题）35（2022 秋碑林区期末）已知对于恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A

11、（，1）B（，0C（，1D（，2）36（2022 秋淮安期末）已知函数 f（x）（1）若 f（x）在（0，e2上单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）若 f（x）xex+1 恒成立，求实数 a 的取值范围九利用导数研究曲线上某点切线方程（共九利用导数研究曲线上某点切线方程（共 7 小题）小题）37（2022 秋宿迁期末）若直线 l：x+y+a0 是曲线 C：yx2lnx 的一条切线，则实数 a 的值为（）A3B3C2D238（2022 秋鄠邑区期末）若曲线 yx2+ax+b 在点（0，b）处的切线方程为 xy+10，则 a+b（）A2B0C1D239（2022 秋丽水期末）若曲线 ylnx+

12、ax 在 x1 处的切线经过点 P（2，0），则实数 a40（2022 秋天心区校级期末）函数在其图象上的点（1，e+1）处的切线方程为41（2022 秋长沙期末）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计曲线 yf（x）在点（x，f（x）曲率的计算公式是，其中 y是 y的导函数则曲线 xy1 上点的曲率的最大值是42（2022 秋东城区校级期末）（）已知函数，求 f（1）；43（2022 秋临澧县校级期末）已知曲线（1）求曲线过点 P（2，4）的切线方程；（2）求满足斜率为 1

13、 的曲线的切线方程一选择题（共一选择题（共 1 小题）小题）1（2022 秋江都区校级期末）已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，且对于任意实数 x 都有 f（x）ex（2x1）+f（x），f（0）1，则不等式 f（x）5ex的解集为（）A（，2）（3，+）B（，3）（2，+）C（2，3）D（3，2）二填空题（共二填空题（共 1 小题）小题）2（2022 秋天宁区校级期末）已知正实数 x，y 满足 lnxyex+lny，则 yex的最大值为三解答题（共三解答题（共 13 小题）小题）3（2022 秋玄武区校级期末）已知函数 f（x）xlnx，g（x）ax2x（aR）（1）求 f（x）的单调区

14、间和极值点；（2）求使 f（x）g（x）恒成立的实数 a 的取值范围；（3）当时，是否存在实数 m，使得方程有三个不等实根？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由4（2022 秋城厢区校级期末）设函数 f（x）x+ax2+blnx，曲线 yf（x）过 P（1，0），且在 P 处的切线斜率为 2（1）求 a，b 的值；（2）证明：f（x）2x25（2022 秋海淀区校级期末）已知函数（）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求曲线 yf（x）与直线 yx1 的公共点个数，并说明理由；（）若对于任意 x（0，+），不等式 f（x）ax+2 恒成立，直接写出实数 a 的取

15、值范围6（2022 秋平江县期末）已知函数 f（x）exln（x+m）（1）已知点 P（1，e）在函数 f（x）的图象上，求函数 f（x）在点 P 处的切线方程（2）当 m2 时，求证 f（x）07（2022 秋宿城区校级期末）已知函数 f（x）lnxx+1，g（x）（x1）2，g（x）的导函数为 g（x）（1）若xe，e2，f（x）g（x），求实数 a 的取值范围；（2）若函数 F（x）f（x）+g（x），讨论 F（x）的零点个数8（2022 秋梁园区校级期末）已知函数 f（x）ex+mlnx（）若 f（x）在1，+）上单调递增，求实数 m 的取值范围；（）求证：m2 时，f（x）09（20

16、22 秋水磨沟区校级期末）已知函数 f（x）x2+alnx（）当 a2 时，求函数 f（x）的单调区间；（）若 g（x）f（x）+在1，+）上是单调函数，求实数 a 的取值范围10（2022 秋鼓楼区校级期末）已知函数 f（x）lnxa（x2）（aR）（1）试讨论函数 f（x）的单调性；（2）若函数 f（x）有两个零点 x1，x2（x1x2），求证：x1+3x2a+211（2022 秋滨江区校级期末）设 f（x）aex（x+1），g（x）x2+bx+2，已知 f（x）和 g（x）在处有相同的切线（1）求 f（x），g（x）的解析式；（2）求 f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（3）若对x

17、2，kf（x）g（x）恒成立，求实数 k 的取值范围12（2022 秋海淀区校级期末）已知函数 f（x）ex（2x1）ax+a（1）若 a1 且仅存在两个的整数，使得 f（x）0，求 a 的取值范围；（2）讨论 f（x）零点的个数；（3）证明，t（0，1），有 f（tx1+（1t）x2）tf（x1）+（1t）f（x2）13（2022 秋六合区校级期末）已知函数 f（x）lnx+ax2（a+1）x（aR）（1）当 a2 时，求函数 yf（x）的极值；（2）求当 a0 时，函数 yf（x）在区间1，e上的最小值 Q（a）；（3）若关于 x 的方程 f（x）ax2有两个不同实根 x1，x2，求实数

18、a 的取值范围并证明：x1x2e214（2022 秋长沙期末）设函数 f（x）ln（x+1）ax，aR，曲线 yf（x）在原点处的切线为 x轴（1）求 a 的值；（2）求方程的解；（3）证明：15（2022 秋蓝田县期末）已知函数 f（x）x2（a2）xalnx（aR）（）求函数 yf（x）的单调区间；（）当 a1 时，证明：对任意的 x0，f（x）+exx2+x+2专题 05 一元函数的导数及其应用一变化的快慢与变化率（共一变化的快慢与变化率（共 3 小题）小题）1（2022 秋河东区校级期末）已知函数 f（x）x2+2，则该函数在区间1，3上的平均变化率为（）A4B3C2D1【分析】利用函

19、数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出该函数在区间1，3上的平均变化率【解答】解：f（3）11，f（1）3该函数在区间1，3上的平均变化率为故选：A【点评】本题考查函数在某区间上的平均变化率公式：平均变化率2（2022 秋晋城期末）有一机器人的运动方程为 s（t）t2+6t，（t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为（）A5B7C10D13【分析】利用导数的计算公式，导数的定义，求解即可【解答】解：s（t）t2+6t，s（t）2t+6，s（2）22+610，故选：C【点评】本题主要考查了导数的计算公式，导数的定义，属于基础题3（2022 秋武汉期末）

20、2022 年 2 月，第 24 届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了 9 金 4 银 2 铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 l（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为，则当 t3s 时，该运动员的滑雪瞬时速度为13.5（m/s）【分析】先求导，再利用导数的定义求解即可【解答】解：，l（t）4t+，则当 t3s 时，该运动员的滑雪瞬时速度为 43+13.5，故答案为：13.5【点评】本题主要考查了导数的计算公式和定义，属于基础题二导数及其几何意义（共二导数及其几何意义（共 2 小题）小题）4（2022 秋东城区校级

21、期末）函数 yf（x）在点（x0，y0）处的切线方程 y2x+1，则等于（）A4B2C2D4【分 析】根 据 导 数 几 何 意 义 得 f （x0）2，由 导 数 的 定 义 知 f （x0），由 此配出 分母 上的数 字2能够 求出的值【解答】解：f（x0）2，f（x0）224故选：D【点评】本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的极限形式，属于基础题5（2021 秋南昌期末）曲线 yf（x）在 x1 处的切线如图所示，则 f（1）（）A1BCD1【分析】根据图象可看出切线上的两点坐标分别为（2，0），（0，1），然后即可求出切线的斜率，进而根据导数

22、的几何意义即可得出 f（1）的值【解答】解：根据图象，切线上的两点坐标分别为：（2，0），（0，1），切线的斜率为：k故选：C【点评】本题考查了根据直线上两点的坐标求直线斜率的计算公式，导数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题三导数的运算（共三导数的运算（共 7 小题）小题）6（2022 秋玄武区校级期末）下列求导结果正确的是（）A（12x）224xB（cos）sinCD（xcosx）cosxxsinx【分析】根据基本初等函数、复合函数和积的导数的求导公式进行求导即可【解答】解：（12x）22（12x）（2）8x4，（xcosx）cosxxsinx，求导结果正确的是：D故选：D【点评】本题考

23、查了基本初等函数、复合函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题7（2022 秋香坊区校级期末）已知函数 f（x）的导函数为 f（x），且，则（）ABCD【分析】可求出，进而可求出的值，从而得出 f（x）的解析式，从而可求出的值【解答】解：，f（x）x+cosx，故选：D【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题8（2022 秋咸阳期末）已知函数 f（x）的图象如图所示，则导函数 f（x）的图象可能是（）ABCD【分析】根据函数的单调性和函数导数符号的关系即可找出 f（x）可能的图象【解答】解：根据原函数为减函数时，f（x）0，增函数时，

24、f（x）0，从而可判断只有选项 D 的图象符合故选：D【点评】本题考查了函数的单调性和函数导数符号的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题9（2022 秋咸阳期末）已知函数可导，且 f（x0）3，（）A3B0C3D6【分析】根据导数的定义即可得到结论【解答】解：f（x0）3，22f（x0）6，故选：D【点评】本题主要考查导数的定义，比较基础10（2022 秋南平期末）函数，则 f（x）（）A2sin（2x）Bsin（2x）C+sin（2x）D2sin（2x）【分析】根据导数的公式即可得到结论【解答】解：，f（x）2sin2x2sin2x，故选：D【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础11（

25、2022 秋河东区校级期末）下列求导运算正确的个数是（）个若 f（x）x2e2x1，则 f（x）2xe2x1（x+1）；若，则若 f（x）（2x3）sin（2x+5），则 f（x）2sin（2x+5）+（2x3）cos（2x+5）若 f（x）log2（3x2），则A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】由基本初等函数的求导公式及导数的运算法则逐一分析四个命题得答案【解答】解：若 f（x）x2e2x1，则 f（x）2xe2x1+2x2e2x12xe2x1（x+1），故正确；若，则 f（x），故正确；若 f（x）（2x3）sin（2x+5），则 f（x）2sin（2x+5）+2（2x3）cos（2

26、x+5），故错误；若 f（x）log2（3x2），则，故正确正确的个数是 3 个故选：C【点评】本题考查导数的运算，考查运算求解能力，是基础题12（2022 秋安丘市期末）已知 f（x）x2+2f（1）x，则 f（1）2【分析】根据导数的公式即可得到结论【解答】解：f（x）x2+2f（1）x，f（x）2x+2f（1），f（1）2+2f（1），f（1）2，故答案为：2【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础四简单复合函数的导数（共四简单复合函数的导数（共 2 小题）小题）13（2021 秋 让 胡 路 区 校 级 期 末）已 知 函 数 f（x）的 导 函 数 为 f （x），若，则【分析】

27、由题意可得 f（x）3cos3x3sin3x，令 x可得3cos3sin3，由此解得的值【解答】解：，f（x）3cos3x3sin3x，令 x可得3cos3sin3，解得，故答案为【点评】本题主要考查简单符合三角函数的导数，属于基础题14（2021 秋合作市校级期末）求下列函数的导函数（1）yx2sinx；（2）y【分析】根据复合函数的导数的求导法则及和、差、积、商的导数的求导进行求解即可【解答】解：（1）y（x2sinx）2xsinx+x2cosx（2）y【点评】本题主要考查了和、差、积、商的导数的求导公式：（f（x）g（x）f（x）g（x）+f（x）g（x），的应用五利用导数研究函数的单调

28、性（共五利用导数研究函数的单调性（共 13 小题）小题）15（2022 秋未央区期末）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图象最有可能是图中的（）ABCD【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围，进而根据当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答】解：由 yf（x）的图象易得当 x0 或 x2 时，f（x）0，故函数 yf（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当 0 x2 时，f（x）0，故函数 yf（x）在区间（0，2）上单调递减；故选：A【点评】

29、本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减16（2023 春房山区期末）定义在区间上的函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数 f（x）在区间（1，4）上单调递增B函数 f（x）在区间（1，3）上单调递减C函数 f（x）在 x1 处取得极大值D函数 f（x）在 x0 处取得极大值【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断 A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断 C、D 的结论【解答】解：在区间（1，4）上 f（x）0，故函数 f（x）在区间（1，4）上单调递增，故

30、 A 正确；在区间（1，3）上 f（x）0，故函数 f（x）在区间（1，3）上单调递增，故 B 错误；当 x（0，4）时，f（x）0，可知函数 f（x）在（0，4）上单调递增，故 x1 不是函数 f（x）的极值点，故 C 错误；当时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（0，4）时，f（x）0，f（x）单调递增，故函数 f（x）在 x0 处取得极小值，故 D 错误，故选：A【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查运算求解能力，属于基础题17（2021 秋乌兰察布期末）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，且有 f（3）3，则 f（x）3e3x的解集为（）A（

31、3，+）B（1，+）C（，3）D（，1）【分析】构造函数 F（x）f（x）ex，应用导数及已知条件判断 F（x）的单调性，将 f（x）3e3x转化为 F（x）F（3）即可得解【解答】解：设 F（x）f（x）ex，则 F（x）f（x）ex+f（x）exexf（x）+f（x）0，所以 F（x）在 R 上单调递增，又 f（3）3，则 F（3）f（3）e33e3，所以 f（x）3e3x等价于 f（x）ex3e3，即 F（x）F（3），所以 x3，即不等式的解集为（3，+）故选：A【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题18（2021 秋郑州

32、期末）已知函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（）Ae2，+）B（e2，+）CD【分析】由 f（x）x+ae0（x），分离参数 a，可得a+e，利用基本不等式求得2，从而可得答案【解答】解：在上是增函数，当 x时，f（x）x+ae0 恒成立a+e，由基本不等式得：x+2（当且仅当 x，即 x1 时取“”），2，a+e2，解得 ae2，故选：A【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分离参数法的应用，考查数学运算能力，属于中档题19（2022 春贺兰县校级期末）已知函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数 yf（x）在（，1）上是增函数Bf（1）f（

33、3）Cf（3）f（5）Dx3 是函数 yf（x）的极小值点【分析】根据导数图象，逐项分析即可求得结论【解答】解：对于 A，由 f（x）图象知，当 x1 时，f（x）0，此时函数 f（x）为减函数，故 A 错误；对于 B，当1x3 时，f（x）0，函数为增函数，则 f（1）f（3）成立，故 B 正确；对于 C，由图象可知 f（3）f（5），故 C 错误；对于 D，当1x3 时，f（x）0，函数为增函数，当 3x5 时，f（x）0，函数为减函数，则 x3 是函数的极大值点，故 D 错误，故选：B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键，是中档题20（

34、2022 秋长安区校级期末）已知函数 f（x）的定义域为（，），其导函数是 f（x），且满足 f（x）cosx+f（x）sinx0，则关于 x 的不等式 f（x）2f（）cosx 的解集为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【分析】令 g（x），结合题意求导可得函数 g（x）（，）上单调递减，进而将不等式 f（x）2f（）cosx 转化为 g（x）g（），结合函数的定义域、单调性即可求得答案【解答】解：令 g（x），x（，），则 g（x），因为 f（x）cosx+f（x）sinx0，所以 g（x）0，所以 g（x）在（，）上单调递减，所以 f（x）2f（）cosx 等价于，即 g（x）g（），

35、所以x，即不等式的解集为（，）故选：A【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数 g（x）是解题的关键，属于中档题（多选）21（2022 秋连云港期末）函数 f（x）的导函数 f（x）的图像如图所示，则（）A为函数 f（x）的零点Bx2 为函数 f（x）的极小值点C函数 f（x）在上单调递减Df（2）是函数 f（x）的最小值【分析】由 f（x）的图像可知，在（，2），（，2）单调递减，在（2，）单调递增，从而可得答案【解答】解：由 f（x）的导函数 f（x）的图像可知，在（，2），（，2）单调递减，在（2，）单调递增，故当 x2 或 x2 时，f（x）取得极小值，但 f（2）与 f（2

36、）的大小关系不确定，故 BC 正确，AD 错误，故选：BC【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查识图能力与逻辑思维能力，属于中档题22（2022 秋建邺区校级期末）设 a 为实数，若函数有且仅有一个零点，则 a 的取值范围是（）ABCD【分析】利用函数的导数，判断 x0 时，函数的单调性，判断函数的零点；然后利用函数的导数求解 x0 时，函数没有零点，推出 a 的范围即可【解答】解：当 x0 时，f（x）xex+2，f（x）1ex0，函数 f（x）是增函数，f（0）0，f（2）0，所以函数 f（x）xex+2，在 x0 时，只有一个零点；由题意可知 x0 时，函数没有零点，x0 时，f

37、（x）无零点，f（x）x24（x2）（x+2），f（x）0，可得 x2，x（0，2）时，f（x）0，函数是减函数，x（2，+）时，f（x）0，函数是增函数，可得 fmin（x）f（2），解得 a故选：C【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数与方程的应用，是中档题23（2022 秋秦淮区校级期末）已知函数在上是增函数，则实数 a 的取值范围是e2，+）【分析】由 f（x）x+ae0（x），分离参数 a，可得a+e，利用基本不等式求得2，从而可得答案【解答】解：在上是增函数，f（x）x+ae0（x），a+e，由基本不等式得：x+2（当且仅当 x，即 x1 时取“”

38、），2，a+e2，解得 ae2，故答案为：e2，+），【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分离参数法的应用，考查数学运算能力，属于中档题24（2022 秋榆林期末）已知函数 F（x）xex（a0）（1）若 f（x）F（x）3ax，a，求函数 f（x）的单调区间；（2）若 g（x）F（x）ax3有三个极值点，求实数 a 的取值范围【分析】（1）先求出导数，再解不等式即可（2）先得到 h（x）ex3ax 有两个不同的零点，求出 h（x）的最小值，再令 h（x）的最小值小于 0，即可求解【解答】解：（1）当 a时，则 f（x）F（x）3axxexx2x，f（x）ex+xexx1（x+1）（

39、ex1），令 f（x）0，则1x0，令 f（x）0，则 x1 或 x0，则函数 f（x）的单减区间为（1，0），单增区间为（，1），（0，+）；（2）g（x）F（x）ax3xexax2ax3，g（x）ex+xex3ax3ax2（x+1）（ex3ax），若 g（x）有三个极值点，则 h（x）ex3ax 有两个不同的零点，且零点不为1，h（1）+3a0，1 不为 h（x）的零点，h（x）ex3a，令 h（x）0，则 xln（3a），h（x）单调递增，令 h（x）0，则 xln（3a），h（x）单调递减，当 xln（3a）时，函数 h（x）取得极小值也为最小值为 3a3aln（3a）0，a，又x，h

40、（x）+，x+，h（x）+，当 a时，h（x）ex3ax 有两个不同的零点，实数 a 的取值范围为（，+）【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题25（2022 秋建邺区校级期末）设 a 为实数，已知函数 f（x）+9（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若过点（0，10）有且只有两条直线与曲线 y+ax+1 相切，求 a 的值【分析】（1）先求导，再分 a1，a1 及 a1，讨论导函数与 0 的关系，即可得出单调性情况；（2）先设切点，再求出切线的方程，得到 f（t）t3（a+1）t2+90 有两个不等的实根，再利用函数的单调性求解即可【解答】解：（1）f（x）+9，f（x）2x2（a+1

41、）x，令 f（x）0，则 x0 或 x，当0，即 a1 时，f（x）0，函数 f（x）的单增区间为（，+）；当0，即 a1 时，由 f（x）0，则x0，由 f（x）0，则 x或 x0，函数 f（x）的单增区间为（，），（0，+），单减区间为（，0）；当0，即 a1 时，由 f（x）0，则 0 x，由 f（x）0，则 x或 x0，函数 f（x）的单增区间为（，+），（，0），单减区间为（0，）综上，当 a1 时，函数 f（x）的单增区间为（，+），当 a1 时，函数 f（x）的单增区间为（，），（0，+），单减区间为（，0），当 a1 时，函数 f（x）的单增区间为（，0），（，+），单减区间为

42、（0，）（2）设切点为（t，t3（a+1）t2+at+1），y+ax+1，yx2（a+1）x+a，切线方程为 yt3（a+1）t2+at+1）t2（a+1）t+a（xt），将（0，10）代入整理得，t3（a+1）t2+90，则 f（t）t3（a+1）t2+90 有两个不等的实根，当 a1 时，函数 f（x）的单增区间为（，+），则 f（t）0 最多只有一个实根，不合题意，当 a1 时，函数 f（x）的极小值为 f（0）90，则 f（t）0 最多只有一个实根，不合题意，当 a1 时，函数 f（x）的极大值为 f（0）90，f（x）的极小值为 f（）90，a5综上，a5【点评】本题考查利用导数研究

43、函数的单调性，极值及方程根的个数问题，考查分类讨论思想及转化思想，属于中档题26（2022 秋汉中期末）已知函数 f（x）ax2lnx2（1）当 a1 时，求曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）先求出函数的导数，通过讨论 a 的取值范围求出函数的单调区间【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）x2lnx2，f（x）x，f（1）0，f（1），曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y；（2）f（x）（x0），a0 时，f（x）0，f（x）的单调递减区间为

44、：（0，+），a0 时，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增【点评】本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题27（2022 秋碑林区期末）已知函数 f（x）axlnx1（1）若函数 f（x）在区间1，+）上递增，求实数 a 的取值范围；（2）求证：【分析】（1）由题意可得在区间1，+）上恒成立，所以 a（）max，由单调性可得最大值，即可得到 a 的范围；（2）取 a1，由（1）有 f（x）在区间1，+）上递增，可得当 x1 时，f（x）f（1）0即 lnxx1，因为，所以，即，运用累加法，以及对数的运算性质即可得证【解答】解：函数 f（x）的定义

45、域为（0，+）（1）由题意可得在区间1，+）上恒成立，所以 a（）max，又 y在区间1，+）上递减，所以（）max1，即实数 a 的取值范围为1，+）（2）证明：取 a1，由（1）有 f（x）在区间1，+）上递增，所以，当 x1 时，f（x）f（1）0 即 lnxx1，因为，所以，即，所以：，ln，ln，所以：，ln2ln1+ln3ln2+ln（n+1）lnn+ln（n+2）ln（n+1）1+，即，得证【点评】本题考查导数的运用：求单调性，注意运用转化思想，以及参数分离，考查不等式的证明，注意运用已知不等式，以及累加法和对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题六函数在某点取得极值的条件（共六

46、函数在某点取得极值的条件（共 2 小题）小题）28（2021 秋南昌期末）设 f（x）是a，b上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下面的结论中正确的是（）Af（x）的极值点一定是最值点Bf（x）的最值点一定是极值点Cf（x）在此区间上可能没有极值点Df（x）在此区间上可能没有最值点【分析】导数为 0 时，若方程无解，或方程有解时，在导数为 0 的左右附近，导数符号不改变，则函数无极值点；若方程有解时，在导数为 0 的左右附近，导数符号改变，则函数有极值点，与端点函数值比较，可知是否为最值点；从而可以判断【解答】解：设 f（x）是a，b上的连续函数，且在（a，b）内可导，则导数为 0 时，若方

47、程无解，或方程有解时，在导数为 0 的左右附近，导数符号不改变，则函数无极值点；若方程有解时，在导数为 0 的左右附近，导数符号改变，则函数有极值点，与端点函数值比较，可知是否为最值点；故选：C【点评】本题考查的重点是函数的极值与最值，解题的关键是利用极值的判断方法，容易误认为导数为 0 的点是函数的极值点29（2021 秋仙游县校级期末）函数的最大值为（）ABe2CeDe1【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；【解答】解：函数，（x0）y，令 y0，得 xe，当 xe 时，y0，f（x）为减函数，当 0 xe 时，y0，f（x）为增函数，f（x）在 xe 处取

48、极大值，也是最大值，y 最大值为 f（e）e1，故选：D【点评】此题主要考查函数在某点取极值的条件，利用导数研究函数的最值问题，是一道基础题；七利用导数研究函数的极值（共七利用导数研究函数的极值（共 5 小题）小题）30（2022 秋香坊区校级期末）对于函数 f（x）sinx+xex，x0，下列说法正确的是（）A函数 f（x）有唯一的极大值点B函数 f（x）有唯一的极小值点C函数 f（x）有最大值没有最小值D函数 f（x）有最小值没有最大值【分析】通过对原函数两次求导，考查原函数的单调性，进一步分析四个选项得答案【解答】解：f（x）sinx+xex，x0，f（x）cosx+1ex，x0，f（x

49、）sinxex0 在0，上恒成立，则 f（x）cosx+1ex在 x0，上单调递减，而 f（0）10，f（）e0，存在 x0（0，），使得 x（0，x0）时，f（x）0，f（x）单调递增，x（x0，）时，f（x）0，f（x）单调递减，又 f（0）1，f（）e1，则函数 f（x）有唯一的极大值点，且函数 f（x）有最大值和最小值故 A 正确，BCD 错误故选：A【点评】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，是中档题31（2022 秋兴庆区校级期末）已知函数 f（x）x28x+6lnx+1，则 f（x）的极大值为6【分析】函数 f（x）x28x+6lnx+1，x（0，+），利用导

50、数的运算法则可得 f（x），令 f（x）0，解得 x，通过研究函数 f（x）的单调性即可得出极值【解答】解：函数 f（x）x28x+6lnx+1，x（0，+），f（x）2x8+，令 f（x）0，解得 x1 或 3，x（0，1）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增；x（1，3）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；x（3，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增x1 时，函数 f（x）取得极大值，f（1）6故答案为：6【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题32（2022 秋大同期末）已知函数 f（x）x（xm）2在 x2