广东省深圳实验湛江一中珠海一中2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司绝密启用前 试卷类型：A深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考 数学试题 数学试题 2023.12 注意事项：1本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟2答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码3作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑4非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液5考试结束后，考生上交答题卡一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选

2、项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合*|2AxxN，集合2|2By yx，则AB A1,4 B2,4 C1,2,3,4 D2,3,4 2.若复数z满足i12iz ，则z在复平面上所对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在梯形ABCD中，设AB a，AD b，若2ABCD ，则AC A1+2a b B12ab C1+2ab D12ab 4已知函数14e,1,()41,1xxf xxxx，则()f x的最大值为 A1 B4 C4e D5 5若tan2，则sin2A43 B43 C45 D456已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为 2 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面

3、半径为 1，则圆台的体积为A7 33 B5 33 C5 3 D7 37已知抛物线2:4C yx的焦点为F，直线1xmy与C交于A，B两点，与其准线交于点D，若AFFD ，则|BF A13 B1 C43 D4 8已知函数2()e2xxf x，过点(,)m n作()f x的切线l，若1nm（1n），则直线l的条数为A0 B1 C2 D3二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中,有学科网（北京）股份有限公司多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9某中学选派甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学参加数学竞赛，他们的成绩

4、统计如下：学生甲乙丙丁戊成绩8472806876则下列结论正确的为A这5位同学成绩的中位数是80 B这5位同学成绩的平均数是76C这5位同学成绩的第75百分位数是80D若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变10.将函数()tan2f xx的图象向右平移6个单位长度得到函数()g x的图象，则下列结论正确的为A()g x的最小正周期为2 B()g x的图象关于直线512x 对称C()g x在区间(0,)3上单调递减 D()f x的图象与()g x的图象关于(,0)12对称11已知圆221:9Cxy，点P在圆2222:()(8)(0)Cxayrr上，过P可作1C的两条切线，记切点分别为A，B

5、，则下列结论正确的为A当6a，2r 时，点P可是2C上任意一点B当6a，2r 时，APB可能等于2C若存在P使得APB为等边三角形，则r的最小值为2 D若存在P使得APB的面积为92，则r可能为312.已知点P在棱长为2的正方体1111ABCDA B C D的表面上运动，且四面体11PA B C的体积恒为23，则下列结论正确的为AP的轨迹长度为42 2 B四面体1PADA的体积最大值为43C二面角11PACB的取值范围为 5,66D当1PAC的周长最小时，22189APCP三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设等差数列na的前n项和为nS，若12a，530S，则公

6、差d 14某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为 15已知奇函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，若()(2)22f xfxx恒成立，则(2023)f 学科网（北京）股份有限公司16.已知双曲线C的离心率为e，左、右焦点分别为1F，2F，点M在C的左支上运动且不与顶点重合，记I为12MFF的内心，1221tantanIFFIF F，若2,4e，则的取值范围为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（10 分）已知

7、nS为数列na的前n项和，且满足13535(21)2naaanan（*nN）.(1)求数列na的通项公式；(2)记21nnabn，求数列na的前n项和nT18（12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 cosbcbA(1)求证：2AB；(2)若ABC的面积为15 7，且23ab，求b19（12 分）如图，在三棱锥ABCD中，ABD为等腰直角三角形，ABAD，BCD为等边三角形.(1)证明：BDAC；(2)若直线AC与平面ABD所成的角为3，点E在棱AD上，且2DEEA，求二面角EBCD的大小.学科网（北京）股份有限公司20（12 分）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之

8、间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为12，13，25，且每场比赛的胜负均相互独立.(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)若主办方在决赛的前两场中共投资m（千万元），则能在这两场比赛中共盈利2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资n（千万元），则能在该场比赛中盈利n（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的

9、投资额应为多少万元？21（12 分）已知函数2()(1)exf xxax，aR(1)讨论()f x的单调性；(2)当1a 时，若()f x的极小值点为0 x，证明：()f x存在唯一的零点1x，且10ln2xx22（12 分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(0,1)和(0,1)，设ABM的面积为S，内切圆半径为r，当3Sr时，记顶点M的轨迹为曲线C(1)求C的方程；(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为1k，2k(i)设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当12k k时，OGOH；(ii)若1243kk，当|E

10、FPQ最大时，求四边形EPFQ的面积学科网（北京）股份有限公司深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考数学答案及评分标准数学答案及评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）题号12345678答案DCABDACC二、多选题（每小题 5 分，共 20 分）二、多选题（每小题 5 分，共 20 分）题号9101112答案BCADACBCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.2 14.36 15.1

11、 16.5,33 四、解答题：本题共 6 小题，第 17 题 10 分，1822 题各 12 分，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：本题共 6 小题，第 17 题 10 分，1822 题各 12 分，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）解：(1)13535(21)2naaanan，当2n 时，135135(23)2(1)naaanan，2 分两式相减得(21)2nna，即221nan(2n)，3 分当1n 时，12a，符合上式，4 分na的通项公式为221nan(*nN)5分(2)21121(21)(21)2121nnabnnnnn，7分

12、1111113352121nTnn，9 分学科网（北京）股份有限公司1212121nnTnn 10 分18（12 分）解：(1)（方法一）由余弦定理，得222cos2bcaAbc，又2 cosbcbA，22222bcacbbcb，1 分bcba22，2 分2222cos2222acbcbccbaBacacab，3 分222222222cos12()12222aabbcbcbBbbbb ，4分coscos2AB，5 分又A，B(0,)，2AB6 分（方法二）由正弦定理，得BBCAsin2sinsincos，1 分BBACsinsincos2sin，2 分A，B，C为ABC的内角，ABC，BABA

13、BACsincoscossin)sin(sin，3 分BBABAsinsincoscossin，4 分即BBAsin)sin(，5 分又A，B(0,)，2AB6 分(2)（方法一）由(1)可知22abbc，7 分23ab，223()2bbbc，即54cb，8 分22222235()()924cos321622bbbabcCbabb，9 分(0,)C，sin0C ，25 7sin1cos16CC，10 分记ABC的面积为S，11 35 7sin15 722216bSabCb，11 分学科网（北京）股份有限公司8b 12 分（方法二）由正弦定理，得sinsinabAB，即2sincossinabB

14、BB，7 分,(0,)A B，sin0A，且sin0B，cos2aBb，8 分又23ab，3cos4B，27sin1cos4BB，21coscos22cos18ABB，3 7sin8A，9 分5 7sinsin()sincoscossin16CABABAB，10 分记ABC的面积为S，11 35 7sin15 722216bSabCb，11 分8b 12 分19（12 分）解：(1)证明：如图，取BD的中点O，连接OA，OC，1 分ABAD，BDAO，2 分BCD为等边三角形，BDCO，3 分又AOCOO，,OA OC 平面AOC，BD 平面AOC，4 分又AC 平面AOC，BDAC.5分(2

15、)（解法一）由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C作直线AO的垂线CQ交AO于点Q，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线AC在平面ABD内的射影为直线AQ，QAC为直线AC与平面ABD所成的角，即3QAC，3OAC6 分不妨设2BD，2BAD，O为BD的中点，1OAOBOD，BCD为等边三角形，3OC，在OAC中，由正弦定理sinsinAOOCOCAOAC,得1sin2OCA，6OCA，2AOC，即OAOC，由(1)知，ODOC，且ODOA，7 分OCADBE学科网（北京）股份有限公司以O为坐标原点，OC，OD，OA所在的直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得(0,0,

16、0)O，(3,0,0)C，(0,1,0)B，1 2(0,)3 3E，则有(3,1,0)BC ，4 2(0,)3 3BE ，8 分易知(0,0,1)n 为平面BCD的一个法向量，9 分设(,)mx y z为平面BCE的一个法向量，则00BC mBE m ，即3042033xyyz，32yxzy ，则平面BCE的一个法向量为(1,3,2 3)m，10 分2 33cos,1 42|n mn mn m ，11 分由图可知，二面角EBCD为锐角，二面角EBCD的余弦值为32，二面角EBCD的大小为6.12 分（解法二）过E作EFBD，垂足为F，过F作FGBC，垂足为G，连接GE，由(1)不难知道，在平面

17、AOC内，若过C作直线AO的垂线CQ交AO于点Q，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线AC在平面ABD内的射影为直线AQ，QAC为直线AC与平面ABD所成的角，即3QAC，3OAC6 分不放设2BD，2BAD，O为BD的中点，1OAOBOD，BCD为等边三角形，3OC，在OAC中，由正弦定理得1sin2OCA，6OCA，2AOC，即OAOC.结合(1)可知，二面角ABDC为直二面角，7分EF 平面BCD，又BC 平面BCD，EFBC,又EFFGF，,EF FG 平面EFG，BC 平面EFG，又EG 平面EFG，BCEG，EGF为二面角EBCD的平面角.8 分zyxOCADBEGHFOBDACE

18、学科网（北京）股份有限公司2DEEA，EFAO，2233EFOA，23DF，43BF，9 分取BC的中点H，连接AD，则DHFG，22 333FGDH，2243EGEFFG，10 分3cos2FGEGFEG，11分二面角EBCD的余弦值为32，二面角EBCD的大小为6.12 分20（12 分）解：(1)记“甲队获得冠军”为事件A，“决赛进行三场比赛”为事件B，由题可知121121()(+)=232355P AB，2 分121121111()(+)+=232352330P A，4 分当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为()6()()11P ABP B AP A.6 分(2)设主办方在决赛

19、前两场中共投资x（千万元），其中01x，若需进行第三场比赛，则还可投资1x（千万元），记随机变量为决赛的总盈利，则可以取2x，12xx，7 分11121()+=223232xP，12111(1)+223232xPx，9分随机变量的分布列为2x12xxP1212的数学期望111()+(1)=(1)2 2222xxExxx，10 分令1(01)txt，则221115()()2228ttEt ，11 分当12t，即34x 时，()E取得最大值，主办方在决赛的前两场的投资额应为0.75千万元，即750万元.12 分学科网（北京）股份有限公司21（12 分）解：(1)()e2(e2)xxfxxaxxa，

20、1 分若0a，由20 xea，则(0,)x时，()0fx，()f x单调递增；(,0)x 时，()0fx，()f x单调递减；2 分0a 时，令()0fx，得0 x 或ln(2)xa，若12a ，则(,0)x 或(ln(2),)xa时，()0fx，()f x单 调 递 增；(0,ln(2)xa时，()0fx，()f x单调递减；3 分若12a ，则()0fx在R上恒成立，()f x在R上单调递增；4 分若102a，则(,ln(2)xa 或(0,)x时，()0fx，()f x单调递增；(ln(2),0)xa时，()0fx，()f x单调递减5分综上，当0a 时，()f x在(0,)上单调递增，在

21、(,0)上单调递减；当12a 时，()f x在(,0)，(ln(2),)a上单调递增，在(0,ln(2)a上单调递减；当12a 时，()f x在R上单调递增；当102a时，()f x在(,ln(2)a，(0,)上单调递增，在(ln(2),0)a上单调递减.6 分(2)由(1)知，1a 时，()f x在(,0)，(ln(2),)a上单调递增；在(0,ln(2)a上单调递减，则()f x的极小值点为0ln(2)xa，7 分由极大值(0)10f ，(1)0fa且当x 时，()f x ，()f x存在唯一的零点11x，满足12111()(1)e0 xf xxax，8 分化简得，12112(1)e2xx

22、ax，111ln(22)ln(2)2lnxxax，即111ln(2)ln(22)2lnaxxx，10111ln(2)2lnln(22)xxxaxx，9 分设()2lnln(22)g xxx，1x，212()11)gxxxxxx，10学科网（北京）股份有限公司分当(2,)x时，()0g x，()g x单调递增，(1,2)x时，()0g x，()g x单调递减，11分从而当2x 时，()g x有最小值(2)ln2g，综上所述，()f x存在唯一的零点1x，且10ln2xx12 分22（12 分）解：(1)由题意得1(|)32ABMAMBrr，1 分易知|4|MAMBAB，2分由椭圆定义可知，动点M

23、在以A，B为焦点，且长轴长为4的椭圆上，又M不能在直线AB上，C的方程为：22143yx(0)x 3 分(2)(i)（法一）设11(,)E x y，22(,)F xy，00(,)G xy，易知直线EF的方程为11yk x，联立2211143yxyk x，得2211(34)690kxk x，11221634kxxk，4 分1122013342xxxkk，002114143ykk x，即122113434 3)4(,Gkkk，5 分同理可得，222223434 3)4(,Hkkk，6 分122212916(34)(34)OOk kGHkk，7分欲使OGOH，则0OG OH，即129169160k

24、k，169，存在唯一常数169，使得当12169k k 时，OGOH 8 分（法二）设11(,)E x y，22(,)F xy，00(,)G xy，易知EF的斜率1k不为零，否则G与A重合，欲使OGOH，则H将在x轴上，又H为PQ的中点，则PQx轴，这与PQ过A矛盾，学科网（北京）股份有限公司故10k，同理有20k，4 分则22112222143143yxyx，可得1212121243yyyyxxxx，5 分易知120=2xxx，120=2yyy，且121212120022OGykyyyyxxxxx，21121yykxx，143OGkk，即143OGkk，6 分同理可得，243OHkk，7 分

25、欲使OGOH，则1OGOHkk，1244()()133kk ，12169k k ，存在唯一常数169，使得当12169k k 时，OGOH 8 分(ii)由(i)易知11221634kxxk，且1221934x xk，112112121222221213636(34)4|1143434()4kxxxkkEFkxkk，即124|434EFk，同理可得，224|434PQk，9 分1243kk，212222224434|=|=|34344334EFPQkkkk，记220kt，347771|124334(43)(34)1222571225tEFPQtttttt，当且仅当1t，即21k 时取等，10 分由椭圆的对称性，不妨设此时21k，143k，且直线EF和PQ的夹角为，则4113tan47113，不难求得2sin10，11 分此时，易知22424|4347PQk，且12425|4347EFk，学科网（北京）股份有限公司四边形EPFQ的面积为112425230 2|sin22771049PQ EF 12 分