浙江省强基联盟2023-2024学年高一上学期12月综合测试数学试题含解析.pdf

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1、浙江强基联盟浙江强基联盟 2023 学年第一学期高一学年第一学期高一 12 月联考月联考数学试题数学试题一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.集合,a b的真子集个数为（）A.3B.4C.5D.62.若2:1,320pxxx，则p的否定为（）A.21,320 xxx B.21,320 xxx C.21,320 xxx D.21,320 xxx 3.若0a，0b，则“1ab”是“21ab”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.

2、充要条件D.既不充分也不必要条件4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（）A.3B.2C.3D.25.已知1,3P为角终边上一点，则2sincossin2cos（）A.7B.1C.2D.36.若mn，pq，且()()0pmpn，()()0qm qn，则（）A.mpnqB.pmqnC.nmpqD.pmnq7.已知函数 f(x)1331,log1xxxx则函数 yf(1x)的大致图象是（）A.B.C.D.8.已知关于x的一元二次不等式2310mxx 的解集为,a b，则3aabb的最小值是（）A.2B.2 2C.3D.3 3二二 多选题：本题共多选题：本题共

3、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知0a，0b，则下列各式正确的是（）A.4433B.3261abbaC.1mnmnaaD.121133332463b ab ab 10.已知3sin22，且22，则tan 的值可能是（）A.3B.33C.33D.311.已知定义在R上的偶函数 f x满足 20fxf x，则下列命题成立的是（）A.f x的图象关于直线1x 对称B.3

4、0fC.函数1fx为偶函数D.函数1f x为奇函数12.函数 lnf xx，已知实数0m，0n，且mn，则下列命题正确的是（）A.若 f mf n，则2mnB.若 f mf n，则1mnC.存在mn，使得22mnffD.22f mf nmnf恒成立三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.（其中第（其中第 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分）13.已知幂函数 1mfxmx的图象过点2,Ma，则a_.14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角

5、三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为 4，则该矩形周长的最大值为_.15.已知实数1ba，且17loglog4abba，则ln4lnba_.16.已知函数 221,0lg1,0 xxxf xxx，则函数 f x的零点为_；若关于x的方程 221 30f xmf xm 有 5 个不同的实数根，则实数m的取值范围是_.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知集合28,14AxxBx mxm|.（1）若1m，求AB；（2）若AB，求实数m的取值范围.18.在平面直角坐标

6、系xOy中，角以x轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆221xy交于第二象限内的点,P m n.（1）若35n，求tan及2sincoscos2cos2的值；（2）若7sincos13，求点P的坐标.19.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数关系式为2144yxx（13x，且*Nx）（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？20.函数 21axbfxx是定义在1,1上的奇函数，且13310f.（1）求 f x的解析式；（2）利用单调性的定义证明 f

7、x在1,1上为增函数；（3）解不等式120f xfx.21.已知函数 22,xf xxaaR.（1）当1a 时，解关于x的方程 0f x；（2）当3x时，恒有 1fx，求实数a的取值范围；（3）解关于x的不等式 0f x.22.设,a b mR，若满足22()()ambm，则称a比b更接近m.（1）设2 x比1x 更接近 0，求x的取值范围；（2）判断“21xymxy”是“x比y更接近m”的什么条件，并说明理由；（3）设0 x 且33,1xxyx，试判断x与y哪一个更接近3.浙江强基联盟浙江强基联盟 2023 学年第一学期高一学年第一学期高一 12 月联考月联考数学试题数学试题一一 选择题：本

8、题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.集合,a b的真子集个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】利用集合元素个数即可求出集合,a b共有 ,ab三个真子集.【详解】根据题意可知集合,a b中有 3 个元素，所以共有2213 个，即有 ,ab三个真子集.故选：A2.若2:1,320pxxx，则p的否定为（）A.21,320 xxx B.21,320 xxx C.21,320 xxx D.21,320 xxx【答案】D【解析】【分

9、析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.【详解】命题2:1,320pxxx 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题p的否定为21,320 xxx.故选：D.3.若0a，0b，则“1ab”是“21ab”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断，注意基本不等式的应用即在0,0ab的情况下，判断两个命题121abab 和211abab.【详解】解：取1a，19b，满足1ab，但2213ab，充分性不满足；反过来，21abab成立，故必要性成立.故选：A4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的

10、边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（）A.3B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】画图设外接圆半径2r，利用正三角形性质可得圆弧长2 3l，再由弧度制定义可得3.【详解】不妨设正ABC的外接圆半径2r，圆心为O，取BC的中点为D，连接,AD OC，易知O在AD上，且30OCB，ADBC；如下图所示：在RtOCD中，112ODOC，所以3,2 3CDBC；依题意可知该圆弧长2 3lBC，所以圆心角2 332lr=.故选：C5.已知1,3P为角终边上一点，则2sincossin2cos（）A.7B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】先根据三角函数的定义求出tan3，再利用齐次化将弦化

11、切进行求解.【详解】1,3P为角终边上一点，故tan3，故2sincos2tan151sin2costan25.故选：B6.若mn，pq，且()()0pmpn，()()0qm qn，则（）A.mpnqB.pmqnC.nmpqD.pmnq【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件判断出p和m、n的关系以及q和m、n的关系，结合pq即可求解.【详解】因为()()0pmpn，所以m和n一个大于p，一个小于p，因为mn，所以mpn，因为()()0qm qn，所以m和n一个大于q，一个小于q，因为mn，所以mqn，因为pq，所以mpqn，故选：C.7.已知函数 f(x)1331,log1xxxx则函数

12、yf(1x)的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由 f x得到1fx的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数 f x133,1log,1xxx x，所以函数1fx1133,0log1,0 xxxx，当 x0 时，yf(1)3，即 yf(1x)的图象过点(0，3)，排除 A；当 x2 时，yf(3)1，即 yf(1x)的图象过点(2，1)，排除 B；当0 x 时，1311,(1)log10 xfxx，排除 C，故选：D8.已知关于x的一元二次不等式2310mxx 的解集为,a b，则3aabb的最小值是（）A.2B.2 2C.3D.3 3【答案】A【解析】

13、【分析】由一元二次不等式解集可知0,0ab,且满足113ab，将3aabb化简变形可得341aababb，利用基本不等式即可求得当1,12ab时3aabb的最小值是 2.【详解】由一元二次不等式2310mxx 的解集为,a b可得0m，利用韦达定理可得3010abmabm，即可得3abab，且0,0ab,113ab；所以可得3333141aabbababaababbb；易知111414115212131441334babababbaaabab ，当且仅当4baab，即1,12ab时等号成立；即3aabb的最小值是 2.故选：A二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5

14、 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知0a，0b，则下列各式正确的是（）A.4433B.3261abbaC.1mnmnaaD.121133332463b ab ab 【答案】ABD【解析】【分析】根据指数的运算公式分别判断各选项.【详解】A 选项：由30，得4433，A 选项正确；B 选项：1111113223 61 23126002222261aba bb aaba bba ，B 选项正确；C 选项

15、：1mnnmaa，C 选项错误；D 选项：112121101333333331246663b ab aaba bb ，D 选项正确；故选：ABD.10.已知3sin22，且22，则tan 的值可能是（）A.3B.33C.33D.3【答案】BC【解析】【分析】由3sincos22，结合22分情况讨论即可求解.【详解】由题意得3sincos22，tan tan，因为22，当02时，因为3cos2，所以21sin1 cos2 ，此时sin3tancos3，故 B 项正确；当02时，因为3cos2，所以21sin1 cos2，此时sin3tancos3，故 C 项正确.故选：BC.11.已知定义在R上

16、的偶函数 f x满足 20fxf x，则下列命题成立的是（）A.f x的图象关于直线1x 对称B.30fC.函数1fx为偶函数D.函数1f x为奇函数【答案】BD【解析】【分析】由 20fxf x及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.【详解】因为函数 f x为偶函数，所以函数 f x关于y轴对称，且22fxf x，又 20fxf x，所以 20fxfx，且 222fxxf xff x ，所以函数 f x关于点1,0中心对称，且周期为4，所以函数 f x关于1,0对称，A 选项错误；310ff，B 选项正确；1fx由 f x向右平移一个单位得到，则1fx关于点0,0对称，为奇函数，C

17、 选项错误；1f x由 f x向左平移一个单位得到，则1f x关于点0,0对称，为奇函数，D 选项正确；故选：BD.12.函数 lnf xx，已知实数0m，0n，且mn，则下列命题正确的是（）A.若 f mf n，则2mnB.若 f mf n，则1mnC.存在mn，使得22mnffD.22f mf nmnf恒成立【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可判断 B，C 选项，结合基本不等式可判断 A，D 选项.【详解】由 lnf xx，可知函数 f x在0,上单调递增，若 f mf n，则 f mf n，即1lnlnlnmnn，可得1mn，A 选项：2mnmn，当且仅当mn时等号

18、成立，又mn，则2mn，A 选项错误；B 选项：1mn，mn，则01mn 或01nm ，B 选项错误；C 选项：若mn，则22mn，则22mnff恒成立，C 选项错误；D 选项：由ln22mnmnf，lnlnl2n2f mf nmnmn，又2mnmn，当且仅当mn时成立，又mn，所以2mnmn，则lnln2mnmn，即 22f mf nmnf，D 选项正确；故选：D.三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.（其中第（其中第 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分）13.已知幂函数 1mfxmx的图象过点2,Ma，则a_

19、.【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义可得2m，再根据函数图象过点2,Ma，可得a.【详解】由函数 1mfxmx为幂函数，得10m，即2m，所以 2f xx，又函数 f x过点2,Ma，则 2224af，故答案为：4.14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为 4，则该矩形周长的最大值为_.【答案】8 2【解析】【分析】确定222416ab，矩形周长为2 ab，根据均值不等式计算得到答案.【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则222416ab，,0

20、a b，矩形周长为2 ab，2222222222232abababababab，故4 2ab，当且仅当2 2ab时等号成立，故周长的最大值为8 2.故答案为：8 2.15.已知实数1ba，且17loglog4abba，则ln4lnba_.【答案】0【解析】【分析】通过换底公式可得lnln17lnln4baab，可得ln4lnba，即可得解.【详解】由17loglog4abba，换成以e为底，可得lnln17lnln4baab，设lnlnbta，则1174tt，解得4t 或14t，又1ba，lnln0ba，则ln1lnbta，所以4t，即ln4lnba即ln4ln0ba，故答案为：0.16.已知

21、函数 221,0lg1,0 xxxf xxx，则函数 f x的零点为_；若关于x的方程 221 30f xmf xm 有 5 个不同的实数根，则实数m的取值范围是_.【答案】.12x 和10 x.52,1,133【解析】【分析】结合分段函数性质令 0f x 即可解得 f x的两个零点为12x 和10 x，画出函数图象，利用换元法以及数形结合将方程根的问题转化成关于t的方程221 30tmtm 有两个不相等的实根12,t t且满足12,1t ，21t ；再由一元二次方程根的分布即可求得实数m的取值范围.【详解】根据题意可得当0 x 时，221f xxx，令 0f x，解得12x 或12x （舍）

22、；当0 x 时，lg1f xx，令 0f x，解得10 x，所以可得函数 f x的零点为12x 和10 x；因此可得 221,0lg1,0 xxxf xxx，画出函数图象如下图所示：令 f xt，则方程 221 30f xmf xm 可转化为221 30tmtm；结合图象可知，当2,1t 时，函数yt与函数 f x有三个交点，当2t 或1t 时，函数yt与函数 f x有两个交点，当2t 时，函数yt与函数 f x有一个交点；若关于x的方程 221 30f xmf xm 有 5 个不同的实数根，则方程221 30tmtm 有两个不相等的实根12,t t，且满足122,1,2tt 或21t ；若2

23、2t 可得23250mm，解得11m，253m ；经检验当11m 时，方程221 30tmtm 即为220tt，解得121,2tt，不合题意；当253m 时，关于t的方程可化为232205tt，解得1211,23tt，不合题意；所以可知方程221 30tmtm 有两个不相等的实根12,t t需满足12,1t 且21t ；若12,1t ,故2222224 1 3011 30221 30mmmmmm ，解得513m 或213m，若11t，可得2320mm，即31m 或423m；检验当31m 时，关于t的方程可化为220tt，此时121,21tt ，满足题意；当423m 时，关于t的方程可化为232

24、10tt，此时1211,13tt ，满足题意；综上可知，实数m的取值范围为513m 或213m，所以实数m的取值范围是52,1,133.故答案为：12x 和10 x；52,1,133【点睛】方法点睛：求解方程根的嵌套问题时，经常利用换元法将方程转化，再结合函数图象利用根的分布情况得出参数满足的条件即可求得参数取值范围.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知集合28,14AxxBx mxm|.（1）若1m，求AB；（2）若AB，求实数m的取值范围.【答案】（1）|24ABxx（2

25、）23m【解析】【分析】（1）将1m 代入可得|04Bxx，由交集运算即可求得出结果；（2）根据集合间的包含关系即可求得23m.【小问 1 详解】由1m 可得|04Bxx，由28|Axx可得|24ABxx；【小问 2 详解】若AB可得1248mm，解得23m，所以实数m的取值范围是23m.18.在平面直角坐标系xOy中，角以x轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆221xy交于第二象限内的点,P m n.（1）若35n，求tan及2sincoscos2cos2的值；（2）若7sincos13，求点P的坐标.【答案】18.34；111019.5 12,13 13P【解析】【分析】（1）根据三角函数

26、的定义式，结合同角三角函数关系式及诱导公式化简可得解；（2）根据三角函数定义式列方程，解方程.【小问 1 详解】由已知角的终边与单位圆221xy交于第二象限内的点,P m n，则sinn，cosm，tannm，221mn，且0m，由35n，得2415mn ，则335tan445nm，再由诱导公式可得4212sincos2sincos2tan11134sin2costan210cos2cos1223 【小问 2 详解】由7sincos13，得713mn，0,0mn，又221mn，则2224921 2169mnmnmnmn，解得60169mn ，所以22212028921169169nmmnmn，

27、所以1713nm，所以513m ，1213n，即5 12,13 13P.19.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数关系式为2144yxx（13x，且*Nx）（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？【答案】（1）当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45（2）当运转2年时，这批机器的年平均利润最大【解析】【分析】（1）根据二次函数性质可得最大利润；（2）根据基本不等式可得年平均利润的最大值.【小问 1 详解】由22144745yxxx ，

28、13x，可知当7x 时，y取最大值为45，即当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45；【小问 2 详解】由已知可得年平均利润2144441414yxxsxxxxxx ，13x，则4142 41410sxx ，当且仅当4xx，即2x 时，等号成立，即当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.20.函数 21axbfxx是定义在1,1上的奇函数，且13310f.（1）求 f x的解析式；（2）利用单调性的定义证明 f x在1,1上为增函数；（3）解不等式120f xfx.【答案】（1）21,1,1xf xxx（2）证明见解析；（3）10,3【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性定义以及函

29、数值13310f可求得1a，0b 可得解析式；（2）根据单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可；（3）利用函数奇偶性和单调性，结合定义域得出不等关系即可解得不等式解集为10,3.【小问 1 详解】对于1,1x ，都有1,1x ，所以21axbfxx；又函数 21axbfxx是定义在1,1上的奇函数，所以 fxfx，即2211axbaxbxx，可得0b，所以 21axf xx；由13310f可得21133331010113afa，解得1a；所以 21xfxx，因此 f x的解析式为 21,1,1xf xxx【小问 2 详解】取12,1,1x x，且12xx，则221221121

30、21212222222121212111111111xxxxxxx xxxf xf xxxxxxx，因为12,1,1x x ，且12xx，所以12120,1xxx x，即1210 x x，可得121222121011xxx xxx，所以120f xf x，即12fxfx；所以 f x在1,1上为增函数；【小问 3 详解】将不等式120f xfx转化为12f xfx，又 f x是定义在1,1上的奇函数,所以可得12f xfx，再根据（2）中的结论可知1211 1121xxxx ，解得103x；即不等式120f xfx的解集为10,3.21.已知函数 22,xf xxaaR.（1）当1a 时，解关

31、于x的方程 0f x；（2）当3x时，恒有 1fx，求实数a的取值范围；（3）解关于x的不等式 0f x.【答案】（1）2x 或0 x；（2）,7；（3）答案见解析；【解析】【分析】（1）将1a 代入即可解出方程 0f x 的根为2x 或0 x；（2）将不等式 1fx 恒成立问题转化为min12,3,2xaxx，再利用函数单调性即可得7a 满足题意；（3）对参数a的取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集.【小问 1 详解】当1a 时，方程 0f x 即为 2210 xf xx，解得2x 或0 x；【小问 2 详解】当3x时，不等式 1fx 可化为122xax，依题意可知，需满足min12,

32、3,2xaxx，由于函数2xy 在3,上单调递增，函数12yx 在3,上单调递增；所以函数122xyx在3,上单调递增，因此3min11227232xax，即实数a的取值范围是,7；【小问 3 详解】由 0f x 可得220 xxa，当0a 时，可得20 xa，不等式等价为20 x，此时不等式解集为2,；当04a时，方程220 xxa有两根，即1222,logxxa，且22log a；此时不等式解集为22,log a ；当4a 时，方程220 xxa仅有一根，即2x，此时不等式解集为R；当4a 时，方程220 xxa有两根，即1222,logxxa，且22log a；此时不等式解集为2log,

33、2a ；22.设,a b mR，若满足22()()ambm，则称a比b更接近m.（1）设2 x比1x 更接近 0，求x的取值范围；（2）判断“21xymxy”是“x比y更接近m”的什么条件，并说明理由；（3）设0 x 且33,1xxyx，试判断x与y哪一个更接近3.【答案】（1）0,1（2）充分不必要条件，理由见解析；（3）y更接近3【解析】【分析】（1）依据定义列出不等式，结合一元二次不等式解法即可求得x的取值范围；（2）根据已知条件分别判断充分性和必要性是否成立即可得出结论；（3）由0 x 且33,1xxyx利用函数单调性，分别对03x和3x 时3y 与3x的大小进行比较，即可得出结论.【

34、小问 1 详解】根据题意可得22201 0 xx，即3210 xx；可得3110 xx，解得01x；即x的取值范围为0,1；【小问 2 详解】充分性：显然xy，由21xymxy 可得 1xmymxy，若0 xy，则 xmymyx，可得0 xm；又0 xy可得xy，所以0ymxm；即可得22xmym，此时可以得出“x比y更接近m”；若0 xy，则 xmymyx，可得0 xm；又0 xy可得xy，所以0 xmym；即可得22xmym，此时可以得出“x比y更接近m”；因此充分性成立必要性：由x比y更接近m可得22xmym，即xmym，若0,3,1xym，此时2113xymxy ，即必要性不成立；所以

35、“21xymxy”是“x比y更接近m”的充分不必要条件；【小问 3 详解】当3x 时，显然32111xyxx 在3,上单调递减，所以3333131xyx，即3y；易知3133323331111xxyxxx，所以22332 3 12 3111yxxxxx，由对勾函数性质可知211yxx在3,上单调递增，所以221132 3131yxx，即可得2332 3101yxxx，即33yx；同理当03x时，由单调性可知3333131xyx，即3y；可知2332 311yxxx，又由对勾函数性质可知函数211yxx在0,21上单调递减，在21,3上单调递增；又222 31 00,2 31300 131，所以2332 3101yxxx 在03x时恒成立，即33yx；综上可得满足2233yx，即y更接近3.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论.