2024年“极光杯”线上测试（二） 数学试题含答案.pdf

《2024年“极光杯”线上测试（二） 数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年“极光杯”线上测试（二） 数学试题含答案.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学试题第 1 页（共 4 页）2024 年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若3cosi3sinz，则3zA1B1CiDi2设na是公差不为0的等差数列，2a，4a，10a成等比数列

2、，则511aaA3B25C511D23已知正方体1111DCBAABCD，平面CAB1与平面DDAA11的交线为l，则ADAl1/BDBl1/CDCl1/DDDl1/4若函数xxttxf2)12(4)(有最小值，则t的取值范围是A)21,0(B21,0(C),21(D),215设x，y，)2,0(z，10)cos3)(sincos2)(sincos(sinzzyyxx，则Azyx4Bzyx4Czyx4Dzyx46向量a，b满足1|b，302,baba，则|a 的取值范围是A 12,12B 13,13C 15,15D 16,167暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则

3、得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球记摸球停止时总得分为X，则)(XEA3B4C5D6数学试题第2页（共4页）二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。8对于数集A，B，它们的Descartes积,|),(ByAxyxBA，则AABBAB若CA，则)()(BCBAC)()()(CABACBAD集合R0表示y轴所在直线E集合AA表示正方形区域（含边界）9已知直线)1(xky经过抛物线pxyC2:2)0(p的焦点

4、F，与C交于M，N两点，与C的准线交于P点，若|FM，|MP，|FN成等差数列，则A2pBNFFP CMFFN3D3kE8|PN10存在定义域为R的函数)(xf满足A)(xf是增函数，)(xff也是增函数B)(xf是减函数，)(xff也是减函数C对任意的Ra，aaf)(，但xxff)(D)(xf是奇函数，但)(xff是偶函数E)(xf的导函数)(xf的定义域也是R，且xxff)(三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。11曲线xy1在点)21,43(处的切线方程是三生三世12写出一个正整数1n，使得nxx)2(3的展开式中存在常数项：三生三世13设双曲线1:222ayxC)0(a的左、右

5、焦点分别为1F，2F，6|21FF，点P在C的右支上，当21PFPF 时，|21PFPF三生三世；当P运动时，|1|21PFPF 的最小值为三生三世数学试题第3页（共4页）14已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2，则该圆台体积的取值范围是三生三世四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（10分）在ABC中，BABAcoscos)4sin()4sin(（1）求C；（2）若2AB，求CBCA的最小值16（10分）已知数列na和nb满足nnnbaacossinsin1，nnnabbsincoscos1（1）证明：)co

6、s(sin2cossin221212nnnnbaba；（2）是否存在1a，1b，使得数列cossin22nnba 是等比数列？说明理由17（15分）设0a，函数xxxfaln)(（1）讨论)(xf的单调性；（2）若xxf)(，求a的取值范围；（3）若1)(xf，求a18（15分）已知二面角l，点P，P与棱l的距离为13，与半平面所在平面的距离为3（1）求二面角l的余弦值；（2）设A，lB，1AB，动点Q，满足5PQ（i）求Q运动轨迹的长度；（ii）求四面体QABP 体积的最大可能值数学试题第4页（共4页）19（15分）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为kkxaXP)(，

7、kkyaYP)(，0kx，0ky，1k，2，n，111nkknkkyx指标)|(YXD可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为nkkkkyxxYXD1ln)|(设),(pnBX，10 p（1）若),(qnBY，10 q，求)|(YXD；（2）若2n，31)1(kYP，1k，2，3，求)|(YXD的最小值；（3）对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：0)|(YXD，并指出取等号的充要条件20（15分）本题分I、II两部分，考生任选其中一部分作答若多选，则按照I部分计分I（1）如图1，点A在直线l外，仅利用圆规和无刻度直尺，作直线lAB/（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）（2）证明：一簇平行直线

8、被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段（不含端点）；（3）如图2是一个椭圆C，仅利用圆规和无刻度直尺，作出C的两个焦点，简要说明作图步骤图1图2II已知点)7,4(A，集合11216|),(22yxyxS，点SP，且对于S中任何异于P的点Q，都有0PQAP（1）证明：P在椭圆1121622yx上；（2）求P的坐标；（3）设椭圆1121622yx的焦点为1F，2F，证明：21APFAPF参考公式：)()()(222222dcbabdacbcad数学答案 第 1 页（共 5 页）2024 年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学参考答案一、选择题1C2B3A4A5D6B7A二、选择题8BCD9AB

9、CE10ACD三、填空题11xy4512示例：51316；2914),1230(四、解答题15解：（1）由题设知BABBAAcoscos2)cos)(sincos(sin 若0coscosBA，则2A或2B当2A时，0)4sin(A，所以43B，此时 BA，不合题意同理2B亦不成立所以2)1)(tan1(tanBA，11tantantantan)tan(tanBABABAC，故43C（2）记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则2c，abCBCA22由余弦定理知222cos222abcbaC，所以222222abbaab，因此22ab，当22ba时等号成立故2122abCBCA，CBCA的最

10、小值为21数学答案 第2页（共5页）16解：（1）由题知nnnnnbabaacossin2cossinsin2212，nnnnnbaabbcossin2sincoscos2212，两式相加可得)cos(sin2cossin221212nnnnbaba（2）若0cossin1212aa，则cossin22nnba 不是等比数列若0cossin1212maa，则1222cossinnnnmba，当mn2log2时，2cossin22nnba，但1|sin|na，1|cos|nb，2cossin22nnba，矛盾！综上，不存在1a，1b，使得cossin22nnba 是等比数列17解：（1）)(xf

11、的定义域是),0(，)1ln(ln)(111xaxxxaxxfaaa令0)(xf，得ax10e，所以)(xf在)e,0(1a单调递减，在),e(1a单调递增（2）因为0 x，所以xxf)(等价于1ln1xxa记函数xxxgaln)(1当1a时，1e2)e()1(22ag，不合题意；当10 a时，由（1）知1e)1(1)e()(11agxga，解得e1,0(1a综上，a的取值范围是e1,0(1（3）记函数)1ln()()(1xaxxfxha，12ln)()(22axaaxxha若21a，xxxhln41)(23，)(xh在)1,0(单调递增，在),1(单调递减，故1)1()(hxh，符合题意；若

12、)21,0(a，)(xh在)1,e(221aaa单调递减，故1)1()e(221hhaaa，不合题意；若)1,21(a，)(xh在)e,1(221aaa单调递增，故1)1()e(221hhaaa，不合题意；若),1 a，)(xh在),1(单调递增，故1)1()(hxh，不合题意综上，21a18解：（1）设P在l，所在平面的射影分别为M，N，则13PM，3PN易知l平面PMN，则MNl，故PMN或其补角即为二面角l的平面角，因此二面角l的正弦值为13133133，余弦值为13132或13132数学答案 第3页（共5页）（2）（i）因为PN，所以422PNPQNQ若Q，则以N为圆心，4为半径的圆在

13、中的部分是一段优弧，对应圆心角为34，因此Q运动轨迹的长度为316；若Q，则以N为圆心，4为半径的圆在中的部分是一段劣弧，对应圆心角为32，因此Q运动轨迹的长度为38所以Q运动轨迹的长度为316或38（ii）四面体QABP 的体积ShV31，其中3 PNh为P到平面QAB的距离，221ddABS为QAB的面积，d为Q到直线AB（或l）的距离由（i）知，若Q，则当lQN 时，d取最大值6；若Q，则当lQN 时，d取最大值2，所以四面体QABP 体积的最大可能值为319解：（1）不妨设kak，则knkknkppx)1(C，knkknkqqy)1(C所以nkknkknkknkknqqppppYXD0

14、)1()1(ln)1(C)|(nkknkknnkknkknppqpnppkpqqp00)1(C11ln)1(C)1()1(lnqpnpqqpnp11ln)1()1(ln（2）当2n时，2)2(pXP，)1(2)1(ppXP，2)1()0(pXP记2222)1(3ln)1()1(6ln)1(23ln)|()(ppppppppYXDpf，)1(2)1ln()1(4 1)1(2)ln42(2ln4)(ppppppppppf2ln)21()1ln(ln2ppp设2ln)21()1ln(ln)(ppppg，02ln2111)(pppg，)(pg单调递增而0)21(g，所以)(pf 在)21,0(为负数，

15、在)1,21(为正数，)(pf在)21,0(单调递减，在)1,21(单调递增，)|(YXD的最小值为2ln233ln 数学答案 第4页（共5页）（3）当0 x时，1ln xx，所以111lnxx，即xx11ln故0)()1(ln)|(11111nkknkknkkknkkkknkkkkyxyxxyxyxxYXD，当且仅当对所有的k，kkyx 时等号成立20解：I（1）如图（2）建立适当的坐标系，使椭圆C的方程为12222byax)0(ba若该簇平行直线斜率不存在，它们被椭圆所截弦的中点均在x轴上，因而轨迹是长轴（不含左、右顶点）；若该簇平行直线斜率存在且为k，与椭圆交于),(11yxA，),(2

16、2yxB两点，则有1221221byax（*），1222222byax（*），kxxyy1212（*）（*）（*）相减得0)()(2212122121byyyyaxxxx，结合（*）得222121kabxxyy，这表明，弦AB的中点在定直线xkaby22上，因而弦中点的轨迹是该直线被椭圆所截得的弦（不含端点）（3）参考步骤：任取椭圆C上4点A，B，D，E；过A，B作直线DE的平行线，分别与椭圆交于点F，G；Al数学答案 第5页（共5页）作弦AF，BG的垂直平分线，分别与弦AF，BG交于点H，I，则直线HI经过C的中心；同理过D，E作直线AB的平行线，重复以上步骤得到直线JK，JK与HI交于点O

17、，O即为C的中心；以O为圆心，适当半径作圆，与C顺次交于点1P，2P，3P，4P；作21OPP和32OPP的角平分线，它们所在直线即为C的两条对称轴，两直线与C交于4点，其中2个点为M，N，且|ONOM；以M为圆心，|ON为半径作圆，与直线ON交于1F，2F两点，即为C的焦点II（1）记11216:22yxC，若P不在C上，则在C内因为112716422，所以A在C外，所以线段PA与C有一交点Q，此时AP和PQ共线反向，0PQAP，不合题意，因此P在C上（2）0PQAP等价于2|APAPAPAQAP记AQ在AP上的投影向量为QA，则条件等价于2|APQAAP，|APQA，这表明P是C上与A距离

18、最小的点设),(00yxA，则48432020yx，20202)7()4(|yxAP因为)()()(222222dcbabdacbcad，)()(22222dcbabdac，所以20020202020)218(51)41()214(41)4(51)7()4(yxyxyx，64)131)(43()2(2020200yxyx，故20)818(51|22AP，此时)3,2(P（3）直线AP与x轴交于点)0,21(B，则21APFAPF等价于21BPFBPF不妨设)0,2(1F，)0,2(2F，则xPF 2轴，35|2121BFBFPFPF在BPF1和BPF2中，由正弦定理，2211sinsinsinsinBPFPBFBPFPBF，而1PBF和2PBF互补，所以21sinsinBPFBPF，从而有21BPFBPF