2024届重庆育才中学、万州高级中学及西南大学附中高三12月三校联考数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学 高高 2024 届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试 数学试题数学试题（满分：（满分：150分：考试时间：分：考试时间：120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色

2、签字笔书毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足2ii0zz+=，则复数z的虚部为（）A.15 B.1i5 C.25 D.2i5

3、2.设集合1,0,1A=，1 2,xBy yxA=，则AB中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知2+=，则2214sinsin+的最小值为（）A.6 B.8 C.9 D.10 4.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AAa=，若侧面11AAB B水平放置时，水面恰好过AC，BC，11AC，11BC的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高为（）A.4a B.2a C.34a D.a 5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助

4、两名学生，则不同的安排方法共有（）种 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.90 B.125 C.180 D.243 6.x表示不超过x的最大整数，如2.32=，1.92=，已知数列 na满足11a=，25a=，2145nnnaaa+=，若21lognnba+=，nS为数列 nb的前n项和，则2023S=（）A.2023 2022 B.2023 2024 C.2023 2026 D.2023 2028 7.过双曲线22221xyab=上任一点()00,Pxy作两渐近线的平行线PE，PF且与两渐近线交于E，F两点，且1EFOPkk=，则双曲线的离心率为（）A.3 B.3 C.2 D.2

5、 8 已知1tan0.01sin0.01a=+，100b=，1051232c+=，则（）A.abc B.acb C.cba D.cab 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数()()sinf xxk=+0,22的图象中相邻两条对称轴的距离是2，现将()f x的图象向右平移个8单位长度，得到函数()g x的图象，若()g

6、x是偶函数，且最大值为 2，则下列结论正确的是（）A.()f x的最小正周期是2 B.()f x的图象关于直线8x=对称 C.()f x的图象关于点5,18对称 D.()f x在3 7,88上单调递减 10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C=.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A CP A C=.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C=B.()0.005P AC C.该组原始数据的标准分z的方差为 1 D.存在i

7、j，使得ijxx，ijzz，证明：()1231233coscoscoscos2nnaaaaaaaa+，()22212122212216 24 2213 2212213nnnnnnn+=，故()22112122log2,21nnnnaann+B.acb C.cba D.cab【答案】A【解析】【分析】由常用不等式与作差法比较大小,【详解】设()sinf xxx=，02x，即sin0 xx，则sin0 xx，且tan0 x.11sin xx，且tan0 x 所以11100,tan0.010sin0.010.01=，则1tan0.01100sin0.01ab=+=；因为225153533 57,22

8、22+=，则10822225151513 575112223525225 +=+=，则12355 57755 52322c+=，所以7755 512355 510022bc+=，由()2212315129,55 515125=，则12355 5，即bc.所以abc.故选：A 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数()()

9、sinf xxk=+0,22的图象中相邻两条对称轴的距离是2，所以函数()f x的最小正周期为222T=，所以2=，故 A 错误；()()sin 2f xxk=+，将()f x的图象向右平移个8单位长度，得到函数()g x的图象，则()sin 24g xxk=+，又()g x是偶函数，且最大值为 2，所以,Z4212kkk=+=，即3,Z41kkk=+=，又22，所以41k=，所以()sin 214f xx=+，由2+,42xkk=Z，得3,82kxk=+Z，即()f x图象的对称轴方程为3,82kxk=+Z，当8x=时，12k=Z，故 B 错误；由2,4xkk=Z，得,82kxk=+Z，即(

10、)f x图象的对称点为,182kk+Z，当1k=时，()f x的图象关于点5,18对称，故 C正确；当32 22,242kxkk+Z，解得：37,88kxkk+Z，所以当0k=时，()f x在区间3 7,88上单调递减，故 D正确.故选：CD 10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C=.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A CP A C=.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C=B.()0.005P AC C.()

11、0.05P A C=D.()0.1P C A=【答案】BC【解析】【分析】根据对立事件概率公式判断 AC，根据条件概率和全概率公式判断 BD.第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为(|)0.95P A C=，所以(|)1(|)0.05P A CP A C=，因为()0.005P C=，所以()0.995P C=，故选项 A 错误，C正确；因为()()()()()0.95 0.0050.004750.005P ACP C A P AP A C P C=C.该组原始数据的标准分z的方差为 1 D.存在ij，使得ijxx，ijzz，且ij，则ijzz，故选项 D错误.故选：AC 1

12、2.定义域为R的函数()f x，()g x的导函数分别为()fx，()gx，且()()fxg x=，()()0fxgx+=，则下列说法错误的为（）A.当0 x是()f x的零点时，0 x是()g x的极大值点 B.当0 x是()f x的零点时，0 x是()g x的极小值点 C.()f x，()g x可能有相同的零点 D.()f x，()g x可能有相同的极值点【答案】ABD【解析】【分析】结合导数，根据零点和极值点定义逐个判断抽象函数满足的条件即可.【详解】()()g xfx=，设()()h xfx=，则()()g xh x=，则()()g xh x=，所以()()fxh x=，AB 选项,若

13、()0f x=,则0 x不是()g x的极大值点,也不是极小值点，故 AB错误；第10页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 C选项,考虑32(),()3f xxfxx=，则2()()3g xfxx=，显然两者有共同零点 0，故 C正确；D选项,若()()g xfx=在0 x处取得极值,若1x处取得极大值,()10fx,则在1x左右两侧无限小的区间内()0f x,即()11,0 xxx+时,必有()0fx,所以()f x在()11,xx+上单增,不符合题意,同理()10fx,有()11,0 xxx+时,必有()0fx,所以不符合题意.若1x处取得极小值,同理可得也不符合题意,所以 D选项错误

14、.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数判断抽象函数零点和极值点的问题，属于中档题.常用方法有：（1）结合导数得出原函数表达式；（2）假设成立，判断命题真假；（3）转化思想应用.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量()()1,2,3,4maanaa=+=+，若()/mnm+，则实数 a_.【答案】54【解析】【详解】(2,6)mn+=，由()/mnm+，得()()612 20aa+=，解得54a=.14.已知,02，sintan2cos=，则tan=_.【答案】0【解析】【分析】利用同角三角函数的商数关系及正切的

15、二倍角公式计算即可.【详解】易知2sin2tantan2tancos1tan=，因为,02，若0=，显然tan0=，上式恒成立，第11页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 若,02，则tan0，所以2222tan2tan1tan11tan1tan=，无解，综上可知tan0=.故答案为：0 15.过直线2y=上任意一点P作圆O：221xy+=的两条切线，则切点分别是,A B，则OAB面积的最大值为_.【答案】34#134【解析】【分析】由,OAPA OBPB得出点,A B在以OP为直径的圆C上是关键，通过两圆方程相减得到直线AB的方程，从而求出OAB面积的表达式，运用函数思想求解即得.【详解

16、】如图，设点,2P t（），因,OAPA OBPB,故点,A B在以OP为直径的圆C上，因圆心(,1)2tC，半径为242t+，故圆C的方程为：2224:()(1)24ttCxy+=，又圆O：221xy+=，将两式左右分别相减，整理得直线AB的方程为：:210ABltxy+=，于是，点(0,0)O到直线:210ABltxy+=的距离为：214dt=+，222213|2 1()244tABtt+=+，故OAB的面积为：2222211313=|222444AOBttSAB dttt+=+，第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 不妨设23,mt=+则3m，且223tm=，故2111AOBm

17、Smmm=+，因1ymm=+在 3,)+上单调递增，故4 33y，此时34AOBS，即0=t时，点(0,2)P时，OAB面积的最大值为34.故答案为：34.16.已知四面体ABCD满足4 3BCCDBD=，它的体积为28 3，其外接球球O的表面积为100，则点A在球O表面的轨迹长度为_；线段AB长度的最小值为_.【答案】.9 .5 2【解析】【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径R，再根据勾股定理求出球心O到平面BCD的距离，再由锥体体积求出点 A到平面BCD的距离h，直观想象可得点 A在球O表面的轨迹，计算可得轨迹长度；由点 A在圆上运动，到定点B的距离最值转化为圆台母线最短求解即可.【详

18、解】设外接球半径为R，因为外接球的表面积为100，则24100R=，解得5R=，设BCD的中心为1O，则1324 3423BO=，如图过点B作球的轴截面，则222211543OOOBO B=，设点 A到平面BCD的距离为h，()21328 34 334A BCDVh=，解得7h=.则由题意知，点 A 在以5为半径的球面上，且距离平面BCD为7的平面内，则点 A在球O表面的轨迹为圆，设圆心为2O，且234OOh=则2222222549AOOAOO=，即圆2O的半径为3，所以点 A 在球O表面的轨迹长度为9；第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 由题意可看作点 A 在圆台12OO底面圆周

19、2O上运动，则当AB为圆台母线时，AB最小，即当12,A B O O四点共面时，AB取最小值，如图，2222min7(43)5 2ABAHBH=+=+=.故答案为：9；5 2.【点睛】方法点睛：对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线.常规解决方法有以下几种：1.几何法：根据对动点运动过程中点、线、面性质或位置关系的分析，进行判定；2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；3.交轨法：根据研究动点满足的不同条件分别确定动点所在空间几何体（线、面），再由公共（相交）部分确定轨迹；4.基底（建系）法：通过选择基底（

20、或建系）将几何问题数量化，得到动点满足方程（组），进而分析方程表示的轨迹；5.特殊值法：特别地，对于轨迹问题的选择题，根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 na中，2122aa=，且22,4,nnnanaa n+=为奇数为偶数.（1）求 na的通项公式；（2）求 na的前 10 项和10S.【答案】（1）1,2,nnn nan=为奇数为偶数；（2）707【解析】【分析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通

21、项公式计算即可；的 第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.【小问 1 详解】由题意可知当()21Nnkk=时，有221212nnkkaaaa+=，此时数列 na的奇数项成等差数列，由题意可知11a=，公差为 2，则()2112121kakk=+=，所以nan=，（n为奇数），当()2Nnk k=时，有22224nnkkaaaa+=，即此时数列 na的偶数项成等比数列，由题意可知22a=，公比为 4，则1212242kkka=，所以12nna=，（n为偶数），综上1,2,nnn nan=为奇数为偶数.【小问 2 详解】由上可知()()10

22、12101392410Saaaaaaaaa=+=+()()()()5392 1 41 951 39222707214+=+=+=18.记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2 coscoscos2caABbA=（AB）.（1）求A；（2）若AD是角A的内角平分线，且2AD=，求ABC周长的最小值.【答案】（1）3；（2）4 3.【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解;（2）由AD是角A的内角平分线，可得到ABCABDACDSSS=+，化简得到32bcbc=+，表示出周长，利用基本不等式计算即可.【小问 1 详解】第15页/共22页 学科网（北京）

23、股份有限公司 因为2 coscoscos2caABbA=，由正弦定理可得：()2 sin2 2 sincoscos2 sincos2RCRAABRBA=,所以sin2sincoscossincos2CAABBA=因为在ABC内，有ABC+=,所以()sinsinCAB=+，所以()()sinsin2 cossincos2sin 2ABABBAAB+=所以2ABAB+=,或2ABAB+=，即2AB=，或3A=，由AB，故3A=.【小问 2 详解】因为AD是角A的内角平分线，且2AD=，所以ABCABDACDSSS=+,即111sin2 sin2 sin232626bccb=+，整理得：32bcb

24、c=+，所以()2 32 3233bcbcbc=+，所以163bc，当且仅当4 33bc=时，上式取到最小值，在ABC中由余弦定理可得：222222cos3abcbcbcbc=+=+，所以ABC周长：223324 322ABCCabcbcbcbcbcbcbc ，当且仅当4 33bc=时，等号成立，所以ABC周长的最小值为4 3.19.已知三棱锥PABC中，2ABAC=，BAAC，3PACPAB=，4PA=.（1）求点P到平面ABC的距离；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.,第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）2 2 （2）105【解析】【分析】（1）利用线面垂

25、直的判定定理和性质定理证得PE 平面ABC，再利用勾股定理求得PE，从而得解；（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问 1 详解】取BC中点D，连接AD，PD，在ACP和ABP中，ABAC=，APAP=，PACPAB=，可得ACPABP，则CPBP=，所以PDBC，因为ADBC，且ADPDD=，,AD PD 平面ADP，所以BC平面ADP，在平面PAD中，过P点作PEAD，交AD延长线于点E，连接CE，BE，PE，因为BC平面PAD，且PE 平面PAD，所以BCPE，又ADBCD=，,AD BC 平面ABC，所以PE 平面ABC，即PE为点P到平面ABC的距离，

26、在PCA中，3PAC=，4,2PAAC=，由余弦定理可得2222212cos422 4 2122PCPAACPA ACPAC=+=+=，则2 3PC=，在RtABC中，122ADCDBC=，在Rt PCD中，2212210PDPCCD=，在RtPAE中，22222PEPAAEPDDE=，则()2216210DEDE+=，解得2DE=，则2221028PEPDDE=，即2 2PE=，所以点P到平面ABC的距离为2 2.【小问 2 详解】由（1）知,CDBD ADDE=，所以四边形ABEC是平行四边形，第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 又,ABAC ABAC=，所以四边形ABEC是正

27、方形，以 A 为原点，AB为x轴，AC为y轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,2,0)C，(2,2,2 2)P，可得(2,0,0)AB=，(2,2,2 2)AP=，(2,2,0)CB=，(0,2,2 2)BP=，设平面PAB法向量为(,)ma b c=，则20222 20m ABam APabc=+=，令2b=，则0a=，1c=，即(0,2,1)m=，设平面PBC的法向量为(,)nx y z=，则22022 20n CBxyn BPyz=+=，令1z=，则2x=，2y=，即()2,2,1n=，设平面PAB与平面PBC的夹角，则02，可得2 115coscos

28、,5322 1m nm nm n+=+，221510sin1 cos155=，所以平面PAB与平面PBC的夹角的正弦值105.20.在直角坐标系xOy中，动点P到y轴的距离比点P到点()1,0F的距离少 1.（1）求动点P的轨迹方程W；（2）当0 x 时，过点()4,0M的直线与W交于,A B两点，连接AF，BF延长与W分别交于C、D两点，求FCD与FAB面积之和FCDFABSS+的最小值.【答案】（1）20,04,0 xyx x=；的 第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（2）514.【解析】【分析】（1）由点到直线及点的距离公式结合抛物线的定义计算即可；（2）设直线AB和,A B

29、坐标，利用直线过定点及焦点弦性质先得出,C D坐标，从而判定CD过定点，通过消元转化及基本不等式求面积最值即可.【小问 1 详解】设点(),P x y，则由题意可知：()2211xxy+=+，化简得222xyx=，若200 xy=，即0,0 xy=，若204xyx=，综上可知动点P的轨迹方程W为：20,04,0 xyx x=；【小问 2 详解】根据（1）知0 x 时，2:4Wyx=，由题意可设221212:4,44AByylxkyAyBy=+，22,44CDCDyyCyDy，不妨令A在第一象限，则,B C在第四象限，D在第一象限，如图所示，联立抛物线方程22441604yxykyxky=+，显

30、然12124,16yyk y y+=，同理可设过F点的直线为1xmy=+，与抛物线联立有2440ymy=，第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 则124,4CDy yy y=，所以2211224444,CDyyyy，若0k=时，易得124yy=，则11,1,144CD，即1:4CDlx=，若0k，则CD斜率存在，则2212211214444:44CDyylxyyyyy=+，化简得()121214164444ky y xyyyxkyxy=+=+，综上可知直线CD横过定点1,04G，所以()()121122FCDFABDCSSGFyyMFyy+=+1211213115116512324y

31、yyyyy=+=+，当且仅当14y=时取得最小值514.21.“大地”渔业公司从A、B两不同设备生产厂商处共购买了 80台同类型的设备.（1）若这 80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A处购买（台）从B处购买（台）运行良好（台）46 14 出现故障（台）14 6 试根据小概率值0.05=的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是 0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由 4个人维修，每个人各自独立负责 20台；乙方案是由 3个人共同维护这 80 台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修

32、的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：()()()()()22n adbcabcdacbd=+0.1 0.05 0.01 0.005 第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 x 2 706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）否 （2）甲方案下设备发生故障时不能及时维修的概率大，选择乙方案【解析】【分析】（1）根据2计算公式运算，对比临界值即可求解；（2）根据题意，分别求得甲方案和乙方案，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得设备发生故障时不能及时维修的概率，根据大小关系，即可得到结论.【小问 1 详解】假设设备故障情况与购买渠道无关联

33、，由题意，2280(46 6 14 14)0.3563.84160 20 60 20=，依据小概率值0.05=的独立性检验，可推断假设成立，即认为设备故障情况与购买渠道无关联.【小问 2 详解】对于甲方案：以 X 记“第 1人维护的 20台设备中同一时刻发生故障的台数”，以()1,2,3,4iA i=表示事件“第i人维护的 20 台设备发生故障时不能及时维修”，则知 80台设备发生故障时不能及时维修的概率为：()()()123412P AAAAP AP X=，而()20,0.01XB，故有()()()2019120211 0.01C1 0.010.010.0169P X=，所以()12340.

34、0169P AAAA；对于乙方案：以 Y记“80 台设备中同一时刻发生故障的台数”，此时()80,0.01YB，则 80 台设备发生故障时不能及时维修的概率为()()()()()8079782128080411 0.01C1 0.010.01 C1 0.010.01P X=()()773380C1 0.010.010.0087，可得0.00870.0169，证明：()1231233coscoscoscos2nnaaaaaaaa+（*Nn）【答案】（1）证明过程见解析，21,12 （2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，求出()()00f xf=；先得到()21cos2x

35、g xx=+为偶函数，考虑0,x时，求导，结合可知，()g x在0,x上单调递减，从而求出函数最值，求出值域；（2）先得到1123coscoscoscosnnaaaaa+=，故只需证明123123,Nnnaaaana+，由（1）可知122nnnaaa+，故只需证明123123,Nnnaaaana+，因为11a=，1cosnnnaaa+=，所以10cos1nnnnaaaa+=，由（1）可知12221cos212nnnnnnnaaaaaaa+=+，故122nnnaaa+，于是12312132122222232nnnaaaaaaaaaaa+11112222nnaaaa+=+=，Nn，所以()1231233coscoscoscos2nnaaaaaaaa+（*Nn）.【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.