福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2023-2024学年高三上学期12月联考试题数学含解析.pdf

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1、“德化一中、永安一中、漳平一中德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作三校协作20232024 学年第一学期联考学年第一学期联考高三数学试题高三数学试题第卷（选择题，共第卷（选择题，共 60 分）分）一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合|12,NAx xx，|ln0Bxx，则AB的元素的个数是（）A.1B.2C.3D.42.复数5i1iz 虚部为（）A.12B.1i2C.12D.1i23.函数222sinlnxyxx

2、的图象可能是（）A B.C.D.4.设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若2 2,4,C45,ac则A 的值可以为（）A.30B.60C.120D.30或1505.若向量(0,2,2)a，(1,0,)b，且()2abb，则a在b方向上的投影向量是（）A.2bB.bC.bD.2b6.设202220232121a，202320242121b，则下列说法中正确的是（）A.abB.1122abC.222abD.2baab7.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将 1，2，3，9 填入3 3的方格内，使的.三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15一般地，将连续的

3、正整数 1，2，3，2n填入n n的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方记n阶幻方的每列的数字之和为nN，如图，三阶幻方的315N，那么9N（）492357816A.41B.369C.1476D.33218.函数 2ln,0sin,06xxxf xxx，若22()3()10fxf x 恰有 6 个不同实数解，正实数的范围为（）A.10,43B.10,43C.102,3D.102,3二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得分，在

4、每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.函数 2sin0,2f xx的部分图象如图所示，则（）A.2B.3C.点,06是函数 f x图象的一个对称中心D.直线1112x 是函数 f x图象的对称轴10.已知数列 na中，11a，12Nnnnaan，则下列结论正确的是（）A.413a B.na是递增数列C.101000aD.121nnaa11.已知函数 f x的定义域为R，若 1g xf x，且1,2g xfx均为奇函数，则（）A.01g B.10gC.21gD.03g12.如图，直

5、四棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD 为平行四边形，60BAD,11ABAA，点P 是经过点1B的半圆弧11AD上的动点（不包括端点），点 Q 是经过点 D 的半圆弧BC上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.四面体 PBCQ 的体积的最大值为13B.1BC AP 的取值范围是0,4C.若二面角1CQBC的平面角为，则1tan2D.若三棱锥PBCQ的外接球表面积为 S，则4,13S 第卷（非选择题，共第卷（非选择题，共 90 分）分）三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知角的顶点为原点，始边为x

6、轴的非负半轴，若其终边经过点1,2P，2sin2cos1_14.命题“Rx，210axax”为假命题，则实数a的取值范围是_15.设点1P，2P，3P在O上，若1230OPOPOP，则123PP P _16.已知无穷等差数列 na中的各项均大于 0，且21358aaa，则31113aaaa的范围为_.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数 22 3cos2sin cos32f xxxx（1）当,4 2x，求 f x的最值，及取最值时对应的x的值；（2）在ABC中，A

7、 为锐角，且()3,3,2 3f Aabc，求ABC的面积18.已知函数2()exf xxa，xR图象在0 x 处的切线为yax（1）设 2g xf xxx，求 g x的最小值；（2）若 f xkx对任意0,x恒成立，求实数k的取值范围19.已知数列 na的前 n 项和为nS，11a，且*12211NnnnSnSn nn（1）求证：数列nSn等差数列；（2）已知等差数列 nb满足35b，其前 9 项和为 63令1nnnca b，设数列 nc的前 n 项和为nT，求证：1334nT20.如 图，在 四 棱 锥PABCD中，PAB是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，BCAB，/ADBC，2BC

8、AD，ABBC，平面PAB 平面ABCD（1）设平面PAB平面PCDl，问：线段PB上是否存在一点E，使/l平面ADE？（2）平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值21.已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，(cos3sin)2cAAba，2c（1）求角C；的的为（2）若ABBC，在ABC的边AC和BC上分别取点D，E，将CDE沿线段DE折叠到平面 ABE后，顶点C恰好落在边AB上（设为点P），设CEx，当CE取最小值时，求PBE的面积22.已知函数1()lnf xxaxx（1）讨论函数()f x的单调性；（2）函数()f x有两个零点1212,()x xxx，求证：2122ex

9、x.“德化一中、永安一中、漳平一中德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作三校协作20232024 学年第一学期联考学年第一学期联考高三数学试题高三数学试题第卷（选择题，共第卷（选择题，共 60 分）分）一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合|12,NAx xx，|ln0Bxx，则AB的元素的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合,A B，根据集合的交集运

10、算，即可得答案.【详解】由题意得|12,N|13,N0,1,2,3Ax xxxxx，|ln0|01Bxxxx，故1AB，即AB的元素的个数是 1 个，故选：A2.复数5i1iz 的虚部为（）A.12B.1i2C.12D.1i2【答案】C【解析】【分析】根据i的性质、复数的除法运算可得答案.【详解】5i 1iii1i1i1i1i1i 1i222 z，所以z的虚部为12.故选：C.3.函数222sinlnxyxx的图象可能是（）A B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】因为 222sinlnxyf xxx定义域为0 x x，且 2222

11、22sinnilsnxxxxfxxxxf，所以222sinlnxyxx为奇函数，函数图象关于原点对称，故 B，D 都不正确；对于 C，0,x时，sin0 x，2222211xxx，所以222ln0 xx，所以222sinln0 xyxx，故 C 不正确；对于选项 A，符合函数图象关于原点对称，也符合0,x时，222sinln0 xyxx，故 A 正确故选：A.4.设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若2 2,4,C45,ac则A 的值可以为（）A.30B.60C.120D.30或150【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求出1sin2A，结合0,135A求出答案.【详解】由正弦

12、定理得sinsinacAC，即2 24sinsin45A，.故1sin2A，因为45C，所以0,135A，故30A.故选：A5.若向量(0,2,2)a，(1,0,)b，且()2abb，则a在b方向上的投影向量是（）A.2bB.bC.bD.2b【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算求出1，再根据投影向量的定义即可求解.【详解】(0,2,2)a，(1,0,)b，1,2,2ab，2(2,0,2)b()2abb，()22220abb，解得1，(1,0,1)b，a在b方向上的投影向量为222a b bbbbb .故选：C.6.设202220232121a，202320242121b，则下列说法

13、中正确的是（）A.abB.1122abC.222abD.2baab【答案】B【解析】【分析】根据,a b的结构特征构造函数 12121xxf x，判断其单调性，即可判断 A；结合指数函数的单调性，判断 B；根据,a b的范围判断 C，利用基本不等式以及等号成立条件判断 D.【详解】设 12121xxf x，则 11111121122221221xxxf x，因为12xy在 R 上单调递增，故 f x在 R 上单调递减，所以20222023ff，即20222023202320242121,2121ab，A 错误，因为1()2xy 在 R 上单调递减，故1122ab，B 正确；由于20222023

14、20232024212101,012121，即0,1a b，故222ab，C 错误；22bab aaba b，当且仅当ab时取等号，但ab，故2baab，D 错误，故选：B7.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将 1，2，3，9 填入3 3的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15一般地，将连续的正整数 1，2，3，2n填入n n的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方记n阶幻方的每列的数字之和为nN，如图，三阶幻方的315N，那么9N（）492357816A.41B.369C.1476D.3321【答案】B【解析】【

15、分析】直接利用等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质得：九阶幻方所有数字之和为81(1 81)33212，由于每列和对角线上的数字之和都相等，所以每列的数字之和为33213699，故选：B.8.函数 2ln,0sin,06xxxf xxx，若22()3()10fxf x 恰有 6 个不同实数解，正实数的范围为（）A.10,43B.10,43C.102,3D.102,3【答案】D【解析】【分析】把问题转化为1()12yf xyy与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数范围即可.【详解】由题知，22310fxf x 的实数解可转化为1()2f x 或()1f

16、 x 的实数解，即1()12yf xyy与或的交点，当0 x 时，22 1 ln2ln()xxf xfxxx所以0,ex时，()0fx，f x单调递增，e,+x时，()0fx，f x单调递减，如图所示：所以ex时 f x有最大值：max12()12ef x所以0 x 时，由图可知()1()1yf xyf x与无交点，即方程无解，11()()222yf xyf x与有两个不同交点，即方程有 解当0 x 时，因为0，0 x ，所以+666x，令6tx，则+,6 6t 则有sinyt且+,6 6t，如图所示：因为0 x 时，已有两个交点，所以只需保证sinyt与12y 及与1y 有四个交点即可，所以

17、只需1911+666 ，解得2103故选：D二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.函数 2sin0,2f xx的部分图象如图所示，则（）A.2B.3C.点,06是函数 f x图象的一个对称中心D.直线1112x 是函数 f x图象的对称轴【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，根据图象得到函数最小正周期，进

18、而得到22T；B 选项，将,212代入解析式，求出3；C 选项，06f，C 正确；D 选项，计算出21112f，故 D 正确.【详解】A 选项，设 f x最小的正周期为T，由图象可知，1511212122T，解得T，因为0，所以22T，A 正确；B 选项，将,212代入 2sin 2f xx中得，2sin26，故2,Z62kk，即2,Z3kk，因为2，所以只有当0k 时，满足要求，故3，B 错误；C 选项，2sin 23f xx，故2sin0633f，故点,06是函数 f x图象的一个对称中心，C 正确；D 选项，112sin2161123f，故直线1112x 是函数 f x图象对称轴，D 正

19、确.故选：ACD10.已知数列 na中，11a，12Nnnnaan，则下列结论正确的是（）A.413a B.na是递增数列C.101000aD.121nnaa【答案】BD【解析】【分析】根据题意，化简得到1111(1)22 2nnnnaa，得到12nna表为等比数列，进而求得数列的通项公式21nna，结合选项，逐项判定，即可求解.的的【详解】由12nnnaa，可得111122 22nnnnaa，则1111(1)22 2nnnnaa，又由11a，可得11122a ，所以数列12nna表示首项为12，公比为12的等比数列，所以11111()()2222nnnna ，所以21nna，由442115a

20、 ，所以 A 不正确；由11212120nnnnnaa ，即1nnaa，所以 na是递增数列，所以 B 正确；由10102110231000a，所以 C 错误；由1121nna，1212 22 121nnna ，所以121nnaa，所以 D 正确.故选：BD.11.已知函数 f x的定义域为R，若 1g xf x，且1,2g xfx均为奇函数，则（）A.01g B.10gC.21gD.03g【答案】ABC【解析】【分析】根据奇函数定义可得 2g xgx ，4f xfx，即可代值逐一求解.【详解】因为1,2g xfx均为奇函数，所以11,22g xgxfxfx ，即 2g xgx ，4f xfx

21、，因为 1g xf x，即 1f xg x，所以 114g xgx，即 42g xgx由，取1x 得 10g，由，令2x，得 21g；令3x，得 312gg，所以 32g由，令0 x，得 021gg 故选：ABC12.如图，直四棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD 为平行四边形，60BAD,11ABAA，点P 是经过点1B的半圆弧11AD上的动点（不包括端点），点 Q 是经过点 D 的半圆弧BC上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.四面体 PBCQ 的体积的最大值为13B.1BC AP 的取值范围是0,4C.若二面角1CQBC的平面角为，则1tan2D.若三棱锥PBCQ

22、的外接球表面积为 S，则4,13S【答案】ACD【解析】【分析】根据棱锥的体积公式可判断 A；根据向量的相等以及数量积的定义可判断 B；结合二面角平面角定义找出，结合解直角三角形判断 C；确定三棱锥PBCQ的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，求得其取值范围，即可求出三棱锥PBCQ外接球表面积取值范围，判断 D.【详解】由题意知在直四棱柱1111ABCDABC D中，半圆弧BC经过点 D，故2BC，点 P 到底面ABCD的距离为11AA，当点 Q 位于半圆弧BC上的中点时BCQS最大，即四面体 PBCQ 体积最大，则max1112 1 1323P BCQV ，故 A 正确；由于11BCADA

23、D，则1111BDC APAPA ，又在11RtAPD中，1111cosAPD APAD，故121111111111|cos4cosBC APADADD APD APAPAP ，因为11,02D AP，所以11cos0,1D AP，则 10,4AD AP，故 B 错误；因为1CC 平面ABCD，QB 平面ABCD，故1CCQB，而QBQC,11,CCQCC CQCC平面1C CQ，故QB 平面1C CQ，1C Q 平面1C CQ，故1QBC Q，所以1C QC是二面角1CQBC的平面角，则111tanCCC QCCQCQ，因为0,2CQ，所以11tan2C QC，故 C 正确；设线段 BC 的

24、中点为 N，线段11BC的中点为 K，则三棱锥PBCQ的外接球球心 O 在 NK 上，在四边形1111DCBA中，1120AMK,111 1 2 1 1()32AK ,设,(03)PKtt，在RtOQN中21ONR，在Rt OPK中22OKRt，故22211ONOKRRt，整理得4244tR，所以2131,4R，所以外接球的表面积为2,44 13SR，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题的难点在选项 D 的判断，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面位置关系，确定外接球球心位置，进而找出等量关系，求得球的半径取值范围，即可求解球表面积取值范围.第卷（非选择题，共第卷（非选择题，共

25、90 分）分）三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点1,2P，2sin2cos1_【答案】23【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan2=-，利用二倍角公式和同角三角函数关系化为齐次式，化弦为切，代入求值.【详解】由题意得2tan21，2222sin22sincos2tan42cos12cossin2tan243.故答案为：2314.命题“Rx，210axax”为假命题，则实数a的取值范围是_【答案】0,4【解析】【分析】依题意可得“Rx，210axax”是真命题，

26、分0a、0a 两种情况讨论，分别计算可得.【详解】命题“Rx，210axax”是假命题，则它的否定命题“Rx，210axax”是真命题，当0a 时，不等式为10，显然成立；当0a 时，应满足2040aaa，解得04a，所以实数a的取值范围是0,4故答案为：0,415.设点1P，2P，3P在O上，若1230OPOPOP，则123PP P _【答案】3#60【解析】【分析】先根据平面向量的数量积运算律，得2132rOP OP ；再根据平面向量的数量积定义，得131cos2POP；最后根据圆的性质即可解答.【详解】记O的半径为r，则123OPOPOPr.1230OPOPOP132OPOPOP.131

27、322OPOPOPOPOPOP ，即2132rOP OP .131313cosOP OPOP OPPOP 1313131cos2OP OPPOPOP OP ，因为130,POP，在13POP中，1323POP，则123PPr，同理13233PPP Pr，所以三角形123PP P为等边三角形，1233PP P.故答案为：3.16.已知无穷等差数列 na中的各项均大于 0，且21358aaa，则31113aaaa的范围为_.【答案】1,)【解析】【分析】根据题意，设等差数列 na的公差为d，分析可得d的取值范围，由21358aaa求出3a，则有3111322811 42221aaddaadd，构造

28、函数1()411f xxx，利用导数可求出其最值，从而可得答案.【详解】根据题意，设等差数列 na的公差为d，由于无穷等差数列 na中的各项均大于 0，则0d，由于21358aaa，则233280aa，解得32a 或34a （舍去），所以3111322811 42221aaddaadd，因为132220aadd，所以0 1d，令1()41(01)1f xxxx，则21()4(1)fxx，由()0fx，得2140(1)x，得21(1)4x，解得12x 或32x（舍去）.当102x时，()0fx，当112x时，()0fx，所以()f x在10,2上递减，在1,12上递增，所以当12x 时，()f

29、x取得最小值11141112212f ，所以()f x 1,)，即31113aaaa的范围为 1,).故答案为：1,)四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数 22 3cos2sin cos32f xxxx（1）当,4 2x，求 f x的最值，及取最值时对应的x的值；（2）在ABC中，A 为锐角，且()3,3,2 3f Aabc，求ABC的面积【答案】（1）max()2fx,512x；in()1mfx，4x （2）3 34【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公

30、式结合辅助角公式化简可得 f x的表达式，根据,4 2x范围，结合正弦函数性质，即可求得答案；（2）结合（1）的结果可求出角 A，利用余弦定理可求出bc的值，利用三角形面积公式即可求得答案.【小问 1 详解】21 cos22 3sinsin232 3sin232xf xxxxsin23cos22sin(2)3xxx，2,242633xx，12sin(2)23x，当232x，即512x 时，max2f x；当236x，即4x 时，min1f x；【小问 2 详解】由()2sin(2)33f AA，即3sin(2)32A，而A 为锐角，102A，则22333A，2,333AA，又3,2 3abc，

31、由余弦定理得2222cosabcbcA，即23()3bcbc，即3bc，1133 3sin32224ABCSbcA.18.已知函数2()exf xxa，xR的图象在0 x 处的切线为yax（1）设 2g xf xxx，求 g x的最小值；（2）若 f xkx对任意的0,x恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）0 （2）e2k【解析】【分析】（1）先根据导数的几何意义求出a，再利用导数判断函数 g x单调性进而求解最小值；（2）先将恒成立问题转化为 minf xkx，利用导数判断函数单调性进而求出函数最小值即可.【小问 1 详解】()e2xfxx，由题意知(0)1af，所以 2g xf xxx

32、=e1xx，()e1xg x令()00g xx得，当0 x 时，()0g x，函数()g x单调递减；当0 x 时，()0g x，函数()g x单调递增；故min()(0)0g xg，即 g x的最小值为 0.【小问 2 详解】令()()f xh xx，则min()kh x，2(1)(e1)()(0)xxxh xxx由（1）可知当0,x时e10 xx，所以当01x时，()0h x，函数()h x在0,1单调递减；当1x 时，()0h x，函数()h x在0,单调递增；所以min()(1)e2h xh，故e2k.19.已知数列 na的前 n 项和为nS，11a，且*12211NnnnSnSn n

33、n（1）求证：数列nSn为等差数列；（2）已知等差数列 nb满足35b，其前 9 项和为 63令1nnnca b，设数列 nc前 n 项和为nT，求证：1334nT【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得n 1n112SSnn，再结合当2n 时，1nnnaSSn求出即可；（2）用基本量法求出 nb，利用裂项相消法求出nT，适当放缩即可证明.【小问 1 详解】证明：*12211NnnnSnSn nn，n 1n112SSnn数列nSn是以 1 为首项，12为公差的等差数列111122nSnnn（）的可得n(1)2n nS当2n 时，1nnnaSSn当1n 时，也满

34、足上式，nan【小问 2 详解】证明：19559963,72bbbb（）53131,232nbbbdbbd等差数列的公差2nbn111 11()(2)22nnnca bn nnnn1111111111(1)()()()()232435112Tnnnn1 3112 212nn（）1130,124nTnn 1110,13nnnTTTnn数列是递增数列113nTT1334nT20.如 图，在 四 棱 锥PABCD中，PAB是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，BCAB，/ADBC，2BCAD，ABBC，平面PAB 平面ABCD（1）设平面PAB平面PCDl，问：线段PB上是否存在一点E，使/l平面

35、ADE？（2）平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值【答案】（1）存在E为PB的中点，使/l平面ADE （2）22【解析】【分析】（1）分别取PB、PC的中点E、F，证明四边形EFDA为平行四边形，/DFAE，从而/DF平面PAB，再由线面平行的性质定理得到/DFl，即/AEl，从而/l平面ADE；（2）由平面PAB 平面ABCD，得出PO平面ABCD，建立空间直角坐标系求解.【小问 1 详解】存在E为PB的中点，使/l平面ADE.分别取PB、PC的中点E、F，连接AE、EF、DF，/EFBC，12EFBC，/ADBC，2BCAD，/EFAD，EFAD，四边形EFDA为平行四边形，/DFAE，A

36、E 平面PAB，DF 平面PAB，/DF平面PAB，平面PAB平面PCDl，DF 平面PCD，/DFl，/AEl，AE 平面ADE，l 平面ADE，/l平面ADE.即线段PB上存在一点E，使/l平面ADE.【小问 2 详解】分别取AB、CD中点O、M，连接PO、OM，/OMBC，ABBC，ABOM，PAPB，POAB，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PO平面PAB，PO平面ABCD以O为原点，以OA，OP，OM分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,3)P，(1,2,0)C，(1,1,0)D，(1,1,3)PD ，(2,1,0)DC ，设向量(,)mx

37、 y z为平面PCD的一个法向量，则30,20,m PDxyzm DCxy 取1x，得(1,2,3)m，又0,1,0n 为平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面PCD的夹角为，22coscos,2143m n，平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为22.21.已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，(cos3sin)2cAAba，2c.（1）求角C；（2）若ABBC，在ABC的边AC和BC上分别取点D，E，将CDE沿线段DE折叠到平面 ABE后，顶点C恰好落在边AB上（设为点P），设CEx，当CE取最小值时，求PBE的面积【答案】（1）3 （2）14 324【解析】【分析】（1

38、）利用正弦定理化简已知条件，进而求得C.（2）利用正弦定理或余弦定理，结合基本不等式或三角函数的最值等知识求得CE取最小值时PBE的面积.【小问 1 详解】由正弦定理得sincos3sinsin2sinCAABA，sincos3sinsin2sinCAAACA，sincos3sinsincoscossin2sinCAAACACA，即3sinsinsincos2sinACACA，0,A，sin0A，2sin26C即sin16C，0,C，7,666C，62C，3C.【小问 2 详解】方法一：ABBC，3C，ABC为等边三角形，2ABBCAC，CEPEx，2BEx，BPm，0,2m，在BPE中，由余

39、弦定理得，2222cosPEBPBEBP BEB，即2221(2)222xmxmx，整理可得2244mmxm，0,2m，1212462464 3644xmmmm，当且仅当42 3m 时取等号，即42 3BP 时，CE取最小值4 36，此时84 3BE ，113sin42 384 314 3242322PBESBP BE方法二：ABBC，3C，ABC为等边三角形，2ABBCAC，CEPEx，2BEx，0,2x，设EPB，20,3，在BPE中，由正弦定理得，sinsinPEBEEBPEPB，即2sinins3xx，整理可得33sin2x，20,3，当且仅当2时，x取最小值4 36，当CE取最小值4

40、 36时，84 3BE，在RtBPE中，6BEP，142 32BPBE，113sin42 384 314 3242322PBESBP BE.22.已知函数1()lnf xxaxx（1）讨论函数()f x的单调性；（2）函数()f x有两个零点1212,()x xxx，求证：2122ex x.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数导数，结合一元二次方程的根，判断导数正负，即可得答案；（2）根 据12()()0f xf x推 出2121212212111lnln2ln1xxxxxxxxx xxx，结 合 换 元，证 明121212lnln22xxxxx x，继而

41、构造函数2()ln1s uuu，判断其单调性，结合零点存在定理推出122ex x，从而证明结论.【小问 1 详解】由题意知1()lnf xxaxx，定义域为(0,)，222111()axxfxaxxx，若0a，令()0fx得210axx，140,(0)aa ，故方程210axx 有两个实数根12114,11422aattaa（舍），当10 xt时，()0fx，当1xt时，()0fx，故()f x在114(0,)2aa上单调递增，在114(,)2aa上单调递减；若0a，则()0fx，故()f x在(0,)上单调递增，故当0a 时，()f x在(0,)上单调递增，当0a 时，()f x在114(0

42、,)2aa上单调递增，在114(,)2aa上单调递减；【小问 2 详解】证明：由（1）可知当0a 时，()f x在(0,)上单调递增，不可能有两个零点，0a由2121()()0,(0)f xf xxx得，11221211ln0,ln0 xaxxaxxx，21212121212111lnln()11lnln()(),xxxxxxa xxaxxxx，又12121211lnln()()xxa xxxx，2121212122121221111lnln2(lnln)()ln1xxxxxxxxxxxxx xxxxx令211,()ln1xttg ttxt，则1t，猜想()2g t，下面证明：要证明1()2l

43、n201tg ttt，即需证明2(1)ln1ttt，令2(1)()ln1th ttt，则22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)ttth tttt t，即()h t在(1,)上单调递增，故()(1)0h th，故()2g t 成立；121212lnln22xxxxx x，12121212121212442lnln2ln2lnxxxxx xx xx xx xx x，令12,(0)ux xu，则42ln20uu，即2ln10uu，令2()ln1s uuu，则212()0s uuu()s u在(0,)上单调递增，222112(2e)ln 2ln20,(e)10e22ess，故20(2e,e)u，使得0()0s u，即当02euu时，()0s u，即2ln10uu 成立，此时122ex x，即有2122ex x.【点睛】难点点睛：本题考差了导数知识的综合应用，综合性强，计算量大；难点在于结合函数的零点证明不等式问题，解答时要根据2121()()0,(0)f xf xxx推出2121212212111lnln2ln1xxxxxxxxx xxx，结合换元，证明121212lnln22xxxxx x，继而构造函数，判断其单调性，结合零点存在定理推出122ex x，从而证明结论.