专题02 空间角与距离的计算-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析.docx

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1、专题02 空间角与距离的计算专题02 空间角与距离的计算-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析 异面直线所成的角1（2023上新疆高二校联考期末）如图，在直三棱柱中，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD2（2023上陕西西安高二校考期末）如图，长方体中，E、F分别是线段和的中点，则异面直线与所成的角是（）ABCD3（2023上北京高二人大附中校考期末）如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD4（2023上辽宁丹东高二统考期末

2、）已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为 5（2023上浙江湖州高二统考期末）已知平面四边形中，现将沿折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时，异面直线与所成角的余弦值是 .6（2023上浙江湖州高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，.(1)用表示，并求的长；(2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值.直线与平面所成的角7（2023上广西防城港高二统考期末）如图所示的多面体，底面为长方形，平面，则与平面所成角正弦值为（）ABCD8（2023上广西北海高二统考期末）在直三棱柱中，则直线与平面所成角的余弦值为（）ABCD9（2023上山东济宁高二统考期末）已知

3、平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（）ABCD10（2023上山东枣庄高二枣庄市第三中学校考期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）ABCD11（2023上福建三明高二三明市第二中学校考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 12（2023上山西晋中高二统考期末）如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.(1)用表示，并求出；(2)求直线与平面所成角的正

4、弦值.面面夹角13（2023上山东聊城高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，若，则平面ABD与平面CBD的夹角为（）ABCD14（2023上江西吉安高二统考期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（）ABCD15（2023上广西钦州高二浦北中学统考期末）已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（）ABCD16（2023上广东深圳高二校考期末）如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为 .17（2023上浙江杭州高二杭师大附中校考期末）已知矩形ABCD，沿

5、对角线AC将折起，若二面角的余弦值为，则B与D之间距离为 18（2023上河北邯郸高二统考期末）如图，在直三棱柱中，且二面角为为45.(1)求棱AC的长；(2)若D为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值.点到直线的距离19（2023上湖北高二统考期末）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（）A3BCD20（2023上天津高二校联考期末）已知空间内三点，则点A到直线的距离是（）AB1CD21（2023上辽宁锦州高二统考期末）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（）ABCD22（2023上福建福州高二统考期末）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段P

6、A上的动点M到直线BE的距离的最小值为（）ABCD23（2023上山东青岛高二统考期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 .24（2023上山西临汾高二统考期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，是棱上一点，且.(1)求点到直线的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.点面距25（2023上河南新乡高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，则点到平面的距离为（）ABCD26（2023上福建福州高二福建省福州第一中学校考期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）A3BCD27（2023上安徽亳州高二安徽

7、省涡阳第一中学校考期末）在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点到平面的距离为（）ABC1D28（2023上山东聊城高二统考期末）如图，长方体中，若，则到平面的距离为 29（2023上甘肃天水高二统考期末）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆O的直径AB长为8，点C是圆上一点，点D是劣弧AC上的一点，平面平面，且(1)证明：(2)当三棱锥的体积为时，求点O到平面PCD的距离30（2023上广东清远高二统考期末）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A平面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点(1)证明：BCC

8、1E(2)设=（01），若C1到平面BB1M的距离为，求31（2023上河南驻马店高二统考期末）九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五商功中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”如图，在“阳马”中，平面，则直线与面所成角的正弦值为（）ABCD32（2023上浙江金华高二统考期末）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架上下水平纵向联结系桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB=BH，那么直线AH与直线IG

9、所成角的余弦值为（）ABCD33（2023上江苏连云港高二统考期末）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于（）ABCD34（2023上河南郑州高二统考期末）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，E为PD的中点，则下列结论不正确的是（）A平面PABB平面平面ABCDC点E到平面PAB的距离为D二面角的正弦值为35（2023上辽宁沈阳高二东北育才学校校考期末）如图，是棱长为1的正方体，若P平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（）ABCD36（2023上四川遂宁高二校考期末）如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是 .（将正确答案的序号

10、都填上）三棱锥的体积不变直线与直线的所成角的取值范围为直线与平面所成角的大小不变二面角的大小不变37（2023上河南驻马店高二统考期末）如图，在几何体中，底面为正方形，(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的余弦值专题02 空间角与距离的计算 异面直线所成的角1（2023上新疆高二校联考期末）如图，在直三棱柱中，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【分析】根据异面直线所成角的向量求法直接求解即可.【详解】由题意知：，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.2（2023上陕西西安高二校考期末）如图，长方体中，E、F分别是线段和的中点

11、，则异面直线与所成的角是（）ABCD【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角，由此可得异面直线与所成的角.【详解】因为，以点为原点，以为的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，所以异面直线与所成的角是.故选：B.3（2023上北京高二人大附中校考期末）如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】A【分析】根据题目条件可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值即可.【详解】根据题意可知，

12、即为平面与平面构成二面角的平面角，所以，设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，,所以即所以；即，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.4（2023上辽宁丹东高二统考期末）已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为 【答案】【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.【详解】设异面直线和所成角为，则.故答案为：.5（2023上浙江湖州高二统考期末）已知平面四边形中，现将沿折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时，异面直线与所成角的余弦值是 .【答案】【分析】由外接球的性质及外接球表面积最小确定球心在AD中点上，则可由半径确定C的位置，最后建系由向量法求线

13、线角的余弦值.【详解】设AD的中点为E，BD的中点为F，.，.四面体的外接球心在过E且垂直于面ABD的直线上，又四面体的外接球表面积最小，即外接球的半径最小，则当球心为E时，半径最小.，由平面ABD，平面ABD，则可建立空间直角坐标系如图所示，则，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.6（2023上浙江湖州高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，.(1)用表示，并求的长；(2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）用表示，计算，由向量法求异面直线所成的角【详解】（1），即，解得；（2）由（1）知设异面直线与所成角为

14、，则.直线与平面所成的角7（2023上广西防城港高二统考期末）如图所示的多面体，底面为长方形，平面，则与平面所成角正弦值为（）ABCD【答案】B【分析】适当建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，并利用，求出点F坐标，最后利用线面角公式求出答案.【详解】因为平面平面，所以，又为长方形，所以，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系因为，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，即，设，则，又，故.故.设与平面所成角为，于是，.故选：B.8（2023上广西北海高二统考期末）在直三棱柱中，则直线与平面所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【分析】建立空间直角坐

15、标系，利用空间向量求解线面角的正弦值，从而求出余弦值.【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且，所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示因为，所以，故设为平面的一个法向量，则，令，得设直线与平面，所成的角为，则，则故选：D9（2023上山东济宁高二统考期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（）ABCD【答案】A【分析】根据线面角的向量法求解即可.【详解】因为平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A.10（2023上山东枣庄高二枣庄市第三中学校考期末）阅读材料：空

16、间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角.【详解】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取，同理平面的法向量可取，平面的法向量可取，设直线的方向向量，则，令，则，则直线l与平面所成角的正弦值为.故选：A11（2023上福建三明高二三明市第二中学校考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 【答案】【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标

17、系，设，且，其中，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，易得不重合，设，其中，且，所以，所以，因为平面，所以，可得，所以，因为平面，所以的一个法向量为，设与平面所成的角为，则，当，可得，因为，所以 当，可得，因为，所以，所以与平面所成的角的范围是为.故答案为：12（2023上山西晋中高二统考期末）如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.(1)用表示，并求出；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）

18、先利用正四面体几何性质用表示，进而求得；（2）先求得直线与直线所成角的余弦值，进而得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）连接并延长交于，则为中点，则，则（2）根据题意，平面，因此，直线与平面所成角的正弦值即为直线与直线所成角的余弦值的绝对值.，且故.则直线与平面所成角的正弦值为.面面夹角13（2023上山东聊城高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，若，则平面ABD与平面CBD的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果.【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，由题意可得：，则，即，解得，由，可得，故平面ABD与平面CBD的夹

19、角为.故选：C.14（2023上江西吉安高二统考期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解.【详解】以为坐标原点，建系如图，因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线，又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段，设以的轨迹与轴的交点坐标为，由题意可得,所以,因为平面，所以平面的一个法向量为,设平面的法向量为，所以令则所以，因为二面角的平面角大小为，所以，解得，所

20、以当在线段BC上时，面积最大，最大值为，所以面积的取值范围是，故选:D.15（2023上广西钦州高二浦北中学统考期末）已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】根据坐标可求出，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案.【详解】解：由已知可得，所以.设为平面与平面的夹角，则，又，所以.故选：C.16（2023上广东深圳高二校考期末）如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为 .【答案】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可.【详解】设菱形的边长为2，取的

21、中点，连接，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，易知，平面的一个法向量为，所以，设二面角为，由图可知二面角为锐角，即，所以，所以二面角的余弦值为故答案为：17（2023上浙江杭州高二杭师大附中校考期末）已知矩形ABCD，沿对角线AC将折起，若二面角的余弦值为，则B与D之间距离为 【答案】【分析】过和分别作，由题意可得、，由二面角的余弦值为，得，再利用可求得结果.【详解】过和分别作，由，则，由等面积法知：，故，则，即，二面角的余弦值为，即，则，即与之间距离为.故答案为：18（2023上河北邯郸高二统

22、考期末）如图，在直三棱柱中，且二面角为为45.(1)求棱AC的长；(2)若D为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由图及题意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的长；（2）建立以C为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【详解】（1）因平面ABC，平面ABC，则.又，平面，平面，则平面.又平面，则，故是二面角的平面角，则.又，则.（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.可得，.设平面的法向量为，则，取，得.设平面的法向量为，则，取，得由，得平面与平面的夹角为60，故平面与平面的夹角的正切值为.点到直线的距离19（2023上湖北高二统考期

23、末）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（）A3BCD【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，再根据向量公式计算得到距离.【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系. 则，点到直线BE的距离为.故选：C.20（2023上天津高二校联考期末）已知空间内三点，则点A到直线的距离是（）AB1CD【答案】A【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.【详解】空间内三点，所以，由，所以，所以点A到直线的距离.故选：A.21（2023上辽宁锦州高二统考期末）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（）ABCD【答案】B【

24、分析】根据直线的方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算代入空间中点到直线的距离公式即可求解.【详解】依题意，因为直线的方向向量为，所以取直线的一个单位方向向量为，由，可得，所以，所以.故选：B.22（2023上福建福州高二统考期末）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量在上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求其最小值.方法二：证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.【详解】连接，记直线的交点为，由已知平面，以点为原点，为轴的正方

25、向建立空间直角坐标系，由已知，所以，则，所以，设，则，所以在上的投影向量的模为，又，所以动点M到直线BE的距离，所以，所以当时，动点M到直线BE的距离最小，最小值为，故选：D.方法二：因为为等边三角形，为的中点，所以，由已知，所以，所以，所以为异面直线，的公垂线段，所以的长为动点M到直线BE的距离最小值，所以动点M到直线BE的距离最小值为，故选：D.23.（2023上山东青岛高二统考期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 .【答案】/【分析】以为轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得的重心的坐标，用空间向量法求点到直线的距离【详解】以为轴建立空间

26、直角坐标系，如图，则，设的重心是，则，即，则 是锐角，所以到直线的距离为故答案为：24（2023上山西临汾高二统考期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，是棱上一点，且.(1)求点到直线的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)2(2).【分析】（1）利用面面垂直得出线面垂直，建立坐标系，利用空间向量求解点到直线的距离；（2）分别求解平面与平面的法向量，利用法向量求解两平面的夹角.【详解】（1）取的中点，连接，并过点作的平行线，交于，则.因为，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

27、因为，则，直线的一个单位方向向量为，点到直线的距离.（2），设平面的法向量为，则令，设平面的法向量为，则令，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.点面距25（2023上河南新乡高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，则点到平面的距离为（）ABCD【答案】B【分析】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，所以，设是平面的法向量，则，令，得故点到平面的距离为故选：B26（2023上福建福州高二福建省福州第一中学校考期末）

28、已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）A3BCD【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量点到平面的距离公式计算作答.【详解】依题意，所以点到平面的距离.故选：B27（2023上安徽亳州高二安徽省涡阳第一中学校考期末）在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点到平面的距离为（）ABC1D【答案】D【分析】将点到平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系求解.【详解】如图所示，因为点E，F分别是，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，点到平面的距离即为点或到平面的距离.设到平面的距离为，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量为

29、，则有，得，可求得平面的法向量为，所以.故选：D.28（2023上山东聊城高二统考期末）如图，长方体中，若，则到平面的距离为 【答案】/【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距离.【详解】因为，所以，设平面的法向量为，由，可得，取，则，即到平面的距离为.故答案为：29（2023上甘肃天水高二统考期末）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆O的直径AB长为8，点C是圆上一点，点D是劣弧AC上的一点，平面平面，且(1)证明：(2)当三棱锥的体积为时，求点O到平面PCD的距离【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由及线面平行的判定定理可得平面PCD，根据线面平行的性质可得.根据可得，由线面垂

30、直的性质可得，故根据线面垂直的判断定理可得平面POD，从而可证明；（2）根据三棱锥的体积可求，以为坐标原点，以，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出及平面PCD的一个法向量，根据即可求解.【详解】（1）因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.因为平面ABCD，且平面平面，所以.因为，所以，所以，即.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.因为，平面POD，所以平面POD, 因为平面POD，所以.（2）因为，所以.如图，以为坐标原点，以，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.设平面PCD的法向量为，则，令，得.因为点O到平面PCD的距离，所以点O到

31、平面PCD的距离.30（2023上广东清远高二统考期末）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A平面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点(1)证明：BCC1E(2)设=（01），若C1到平面BB1M的距离为，求【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明直线垂直；（2）用空间向量法求点面距，根据条件列方程求出参数值【详解】（1）以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,所以=，=，所以=22+0+2=0，所以，故BCC1E；（2）因为=，=，

32、所以=+=+=，设平面BB1M的法向量为，则，令x=1+，则，因为=，所以C1到平面BB1M的距离，解得31（2023上河南驻马店高二统考期末）九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五商功中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”如图，在“阳马”中，平面，则直线与面所成角的正弦值为（）ABCD【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求出面的法向量，再求直线与面所成角的正弦值.【详解】因为平面，面，底面为矩形，所以两两垂直，设，以分别为轴建立空间直角坐标系如图，则 所以，设平面的法向量为，所以，令，则，所以取，直线与面所成角的正弦值为.故选：A32（2023

33、上浙江金华高二统考期末）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架上下水平纵向联结系桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB=BH，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解】以E为坐标原点，EB，ED，EI所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，设直线AH与直线IG所成角为，则，故直线AH与直线IG所成角的余弦值为.故选：D.33（2023

34、上江苏连云港高二统考期末）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于（）ABCD【答案】A【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、，则，所以，因为平面，平面，平面，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，直线到平面的距离为.故选：A.34（2023上河南郑州高二统考期末）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，E为PD的中点，则下列结论不正确的是（）A平面PABB平面平面ABCDC点E到平面PAB的距离为D二面

35、角的正弦值为【答案】B【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A；几何法找二面角的平面角，确定角度大小即可判断B；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C；根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D；【详解】对于A：取的中点为，连接，因为为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：取为，连接所以，且，又因为是等腰直角三角形，所以，且平面，且，所以平面，所以为平面与平面的夹角，又因为，所以平面，且平面，所以，而，所以，故B错误；对于C：以为原点，所在直线为轴，在平面内，作平面，建立如图所示空间直角坐标系，则 因为 所

36、以，所以，所以设平面的法向量为，则有即，令 则，所以，所以点到平面的距离为，故C正确；对于D：设平面的法向量为，则有即，令则，所以， 设二面角的大小为，则，所以.故D正确.故选：B35（2023上辽宁沈阳高二东北育才学校校考期末）如图，是棱长为1的正方体，若P平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（）ABCD【答案】C【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离.【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系，,则，则,，设平面的一个法向量，则，令，则，且面，则，即，得，故，所以，则，P到AB的距离为.故选：C36（2023上四川遂宁高二校考期末）如图，在正方体中，点在线段上运动

37、时，下列命题正确的是 .（将正确答案的序号都填上）三棱锥的体积不变直线与直线的所成角的取值范围为直线与平面所成角的大小不变二面角的大小不变【答案】【分析】根据三棱锥体积的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，：连接，设该正方体的棱长为，因为平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离相等，故，因此本序号说法正确；：因为，所以（或其补角）就是直线与直线的所成的角，由正方形的性质可知：当与或重合时，这时直线与直线的所成的角为，当是中点时，直线与直线的所成的角为，因此本序号说法正确；：建立如图所示的空间直角坐标系：，设，设，设平面的法向量为，所以有，因为，设直线与

38、平面所成角为，显然不是定值，因此本序号说法不正确；：设平面的法向量为，所以有，因为为定值，所以二面角的大小不变，因此本序号说法正确，故答案为：【点睛】关键点睛：解题本题的关键是利用空间向量夹角公式解决动态问题.37（2023上河南驻马店高二统考期末）如图，在几何体中，底面为正方形，(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的余弦值【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先证明平面平面，从而以的中点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离；（2）分别求平面和的法向量，利用法向量求平面的夹角.【详解】（1）由条件，且，平面，从而平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，取的中点为坐标原点，因为四边形为等腰梯形，所以连结与的中点的直线与垂直，则平面,如图，连结与的中点，则,以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：得，设平面的一法向量为，由，即，取，平面的一法向量为，因此点到平面的距离；（2）由于，设平面的一个法向量为，由，得，取，得设平面的法向量为，由，即，取，求得平面的一个法向量为因此平面与夹角的余弦值为即因此平面与夹角的余弦值为