河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高二上学期阶段考试（三）数学含解析.pdf

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1、河南省河南省环际大联考环际大联考“逐梦计划逐梦计划”20232024 学年度第一学期阶段考试（三）学年度第一学期阶段考试（三）高二数学试题高二数学试题注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答

2、题卡上.写在本试写在本试卷上无效卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.直线20200 x的倾斜角为A.0B.3C.2D.不存在2.已知双曲线2221(0)xyaa的离心率为3，则实数a的值为（）A.22B.12C.1D.23.A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数共有（）A.24B.120C.48D.604.已知点2,0

3、A，2,0B，如果直线340(0)xymm上，有且只有一个点P，使得PAPB，那么实数m的值为（）A.20B.4 5C.2 5D.105.若直线l过抛物线28yx的焦点，与抛物线相交于,A B两点，且|16|AB，则线段AB的中点P到y轴的距离为（）A.6B.8C.10D.126.已知直线1ykx与椭圆2215xym恒有公共点，则实数m的取值范围为（）A.m1B.m1或01mC.m1且5m D.05m且1m7.如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线方程为（）A.y29xB.y26xC.y2

4、3xD.y23x8.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M、N为线段1BD上的两个三等分点，动点G在1ABCV内，且16GMNS，则G点的轨迹长度为（）A.2 33B.36C.33D.34二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多有多个选项是符合题目要求的，全部选对得个选项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E为线段1DD的中点，则下列说

5、法正确的是（）A.四面体1EB BC的体积为16B.11AEBDC.向量1D B 在DC方向上的投影向量为DCD.1BD平面EAC10.已知曲线22:113xyCmmmR，则下列说法正确的是（）A.若13m，则C为椭圆B.若1m，则C为双曲线C.若C为椭圆，则其长轴长一定大于 2D.曲线C不能表示圆11.已知圆22:9C xy则下列说话正确的是（）A.圆C与直线10mxym必有两个交点B.圆C上存在 4 个点到直线:20l xy的距离都等于 1C.圆C与圆22680 xyxym恰有三条公切线，则21m D.动点,P x y在圆C上，则23 5,3 5xy 12.已知椭圆2222:1(0)xyC

6、abab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线l与C交于P，Q两点，若21:1:4:5F QPQFQ，则下列说法正确的是（）A.12PFPFB.12QF F的面积等于26aC.直线l的斜率为22D.C的离心率等于12三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知,1,0,2,3a b，则关于x的方程220axxb有实数解的有序数对,a b的个数为_.14.已知直线l过点3,4C，且1,1A，1,3B 两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为_.15.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E、F分别为11C D与AB

7、的中点，则点1B到平面1AFCE的距离为_.16.已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F，准线为l，若点P在C上，点E在l上，且PEF!是周长为 12 的正三角形.则抛物线C的方程为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的三个顶点分别为 A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求 BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求 BC 边上的高所在直线的方程.18.已知直线:10l xy 与圆22:440C xyx相交于A，B两点.（1）求

8、AB；（2）若,P x y为圆C上的动点，求1yx的取值范围.19.如图在边长是 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别为 AB，1AC的中点（1）求异面直线 EF 与1CD所成角的大小（2）证明：EF平面1ACD20.已知拋物线C的准线方程为1y ，过点4,2P作斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N.（1）求k的取值范围；（2）若OMN为直角三角形，且OMON，求k的值.21.如图 1，梯形ABCD中，/AB CD，过A，B分别作AECD，BFCD，垂足分别为E、F.若3ABAE，6CD，1DE，将梯形ABCD沿AE，BF折起，且平面ADE 平面ABFE（如图2）.

9、图 1图 2（1）证明：AFBD；（2）若/CF DE，在线段AB上是否存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为1111，若存在，求出AP的长，若不存在，说明理由.22.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为32，且椭圆过点31,2.（1）求E的方程；（2）设过点0,2A的动直线l与E相交于P，Q两点，若O为坐标原点，当OPQ面积最大时，求l的方程.环际大联考环际大联考“逐梦计划逐梦计划”20232024 学年度第一学期阶段考试（三）学年度第一学期阶段考试（三）高二数学试题高二数学试题注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡

10、上答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试写在本试卷上无效卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个

11、选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.直线20200 x的倾斜角为A.0B.3C.2D.不存在【答案】C【解析】【分析】垂直于 y 轴的直线倾斜角为2.【详解】20200 x表示一条垂直于 y 轴的直线，故倾斜角为2.故选：C【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题.2.已知双曲线2221(0)xyaa的离心率为3，则实数a的值为（）A.22B.12C.1D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用离心率公式计算得到答案.【详解】曲线2221(0)xyaa的离心率为3，故213aa，解得22a.故选：A.3.A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B

12、必须相邻，那么排法种数共有（）A.24B.120C.48D.60【答案】C【解析】【分析】利用捆绑法以及分步计数原理求解.【详解】将A，B看成一体，A，B的排列方法有22A种方法，然后将A和B当成一个整体与其他三个人一共4个元素进行全排列，即不同的排列方式有44A，根据分步计数原理可知排法种数为2424A A48，故选：C.4.已知点2,0A，2,0B，如果直线340(0)xymm上，有且只有一个点P，使得PAPB，那么实数m的值为（）A.20B.4 5C.2 5D.10【答案】D【解析】【分析】依题意由直线和圆的位置关系，利用点到直线距离即可求得10m.【详解】根据题意可知，以AB为直径的圆

13、与直线340(0)xymm相切，如下图所示：所以圆心0,0到直线的距离等于半径，即22234md ，解得10m ，又0m，所以10m.故选：D5.若直线l过抛物线28yx的焦点，与抛物线相交于,A B两点，且|16|AB，则线段AB的中点P到y轴的距离为（）A.6B.8C.10D.12【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得12|4BxAx，再由中点坐标公式即可得解.【详解】由题意，抛物线的准线为2x ，设1122,A x yB xy，所以121|46xAxB，即1212xx，所以点P的横坐标为1262xx，所以点P到y轴的距离为 6.故选：A.6.已知直线1ykx与椭圆2215xym恒有

14、公共点，则实数m的取值范围为（）A.m1B.m1或01mC.m1且5m D.05m且1m【答案】C【解析】【分析】由直线1ykx，可得直线恒过定点(0,1)P，转化为只需点(0,1)P在椭圆的内部或在椭圆上，结合椭圆的性质，即可求解.【详解】由题意，直线1ykx，可得直线恒过定点(0,1)P，要使得直线1ykx与椭圆2215xym恒有公共点，只需点(0,1)P在椭圆的内部或在椭圆上，可得15mm，即实数m的取值范围为m1且5m.故选：C.7.如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线方程为（）

15、A.y29xB.y26xC.y23xD.y23x【答案】B【解析】【分析】分别过 A，B 作准线的垂线，交准线于 E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得 p，可得所求抛物线的方程【详解】如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由抛物线定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形 ACE 中，因为|AE|AF|6，|AC|63a，2|AE|AC|，所以 63a12，从而得 a2，|FC|3a6，所以 p|FG|12|FC|3，因此抛物线方程为 y26x.故选：B8.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC

16、 D中，M、N为线段1BD上的两个三等分点，动点G在1ABCV内，且16GMNS，则G点的轨迹长度为（）A.2 33B.36C.33D.34【答案】B【解析】【分析】先通过位置关系的证明说明N在平面1ABCV内，然后根据已知条件求解出NG的长度，根据NG的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.【详解】如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，11 1 13 BD，因为M、N为线段1BD上的两个三等分点，所以33BN，易知111111111,CBC C DCBC DBCCB，1BC 平面11BC D，11C D 平面11BC D，所以1BC 平面11BC D，则

17、11BCBD，同理可证1ACBD，又AC平面1B AC，1BC 平面1B AC，1BCACC，则1BD 平面1B AC，设点B到平面1B AC的距离为h，则三棱锥1BB AC的体积11B B ACBBACVV，则111131 1312133343 23B ACABCShShhBN ，所以N在平面1ABCV内，则GNMN，所以111313262363GMNSMNNGNGNG，所以平面内点G的轨迹是以N为圆心，33为半径的圆，如图，在正三角形1B AC中，N为中心，圆N的半径为33，即33NENF，111663326NTBT，所以在直角三角形ENT中323NENFNT，则42ENTENF，所以三个

18、虚线弧圆心角弧度数为3322，则三个实线弧圆心角弧度数为3222，所以G点的轨迹长度为33236.故选：B二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多有多个选项是符合题目要求的，全部选对得个选项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E为线段1DD的中点，则下列说法正确的是（）A.四面体1EB BC的体积为16B.11AEBDC.向量1D B 在DC方向上的投

19、影向量为DCD.1BD平面EAC【答案】ACD【解析】【分析】根据体积公式计算即可判断 A；以D为原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，利用空间向量法计算即可判断 B，C；根据线面平行的判定即可判断 D【详解】对于 A，因为111111111 1 13326E B BCB BCVSDC ，故 A 正确；以D为原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，如图所示，则0,0,0D，0,1,0C，10,0,1D，1,1,0B，11,0,1A，10,0,2E，11,1,1B，对于 B，因为111,0,2A E ，11,1,1BD ，则1

20、1102AE BD ，所以1BD 与1AE不垂直，即直线1AE与直线1BD不垂直，故 B 错误；对于 C，因为11,1,1D B ，0,1,0DC，则11DD BC ，1DC，13D B ，所以1D B 在DC方向上的投影向量为1|DCDCDDD BCC ，故 C 正确；对于 D，连接AC，CE，EA，BD，且BD交AC于O，连接EO，则O是AC和BD的中点，所以在1RtBDD中，1EOBD，又EO 平面EAC，而1BD 平面EAC，所以1BD平面EAC，故 D 正确故选：ACD10.已知曲线22:113xyCmmmR，则下列说法正确的是（）A.若13m，则C为椭圆B.若1m，则C为双曲线C.

21、若C为椭圆，则其长轴长一定大于 2D.曲线C不能表示圆【答案】BC【解析】【分析】A，B 项，求出1,3mm的范围，即可判断曲线的形状；C 项，求出C为椭圆时m的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D 项，通过 A 选项即可得出结论.【详解】由题意，在曲线22:113xyCmmmR中，A 项，当13m时，012,032mm ，但当13mm 即2m 时，曲线22:1RC xym为圆，故 A 错误；B 项，当1m时，10,32mm，为双曲线，B 正确；C 项，若C为椭圆，由 A 选项知，1,22,3m，当1,2m时，10,1,31,2mm，长轴为2 32m，当2,3m时，11,2,30,1mm

22、长轴为212m，故 C 正确；D 项，由 A 知当2m 时，曲线22:1C xymR为圆，D 错误.故选：BC.11.已知圆22:9C xy则下列说话正确的是（）A.圆C与直线10mxym必有两个交点B.圆C上存在 4 个点到直线:20l xy的距离都等于 1C.圆C与圆22680 xyxym恰有三条公切线，则21m D.动点,P x y在圆C上，则23 5,3 5xy【答案】ABCD【解析】【分析】根据直线10mxym过定点1,1，得到定点在圆内，进而即可 A；圆心到直线:20l xy的距离为21122r，即可得到有 4 个点满足进而即可 B；根据条件可知两圆外切，进而即可判断 C；令2bx

23、y，可得2xy表示为直线122byx截距的 2 倍，再根据直线122byx与圆C相切时，直线的截距取得最值，进而即可判断 D 正确.【详解】对于 A，由10mxym，则 110m xy，即直线过定点1,1，又22119，则定点在圆内，所以圆C与直线10mxym必有两个交点，故 A 正确；对于 B，由圆229xy的圆心到直线:20l xy的距离为212，又圆C的半径为 3，则到直线l的距离为 1 的两条直线都与圆相交，所以存在 4 个点满足，故 B 正确；对于 C，圆22680 xyxym化简得到223425xym，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，即22(03)(04)253m，解得21m，

24、故 C 正确；对于 D，令2bxy，则122byx，则2xy表示为直线122byx截距的 2 倍，又动点,P x y在圆C上，则当直线122byx与圆C相切时，直线的截距取得最值，则2223112b，解得3 5b ，所以23 5,3 5xy，故 D 正确故选：ABCD12.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线l与C交于P，Q两点，若21:1:4:5F QPQFQ，则下列说法正确的是（）A.12PFPFB.12QF F的面积等于26aC.直线l的斜率为22D.C的离心率等于12【答案】AB【解析】【分析】由题意可设：设21,4,5,0F Qk PQk

25、 FQk k，由椭圆定义可得3ak，进而可得12FFPPa，分析可知点P为短轴的顶点，12PFPF，结合椭圆性质逐项分析判断.【详解】因为21:1:4:5F QPQFQ，设21,4,5,0F Qk PQk FQk k，则2162F QFQka，可得3ak，即2145,333aaaF QPQFQ，可得2221,2PQaPFPQFFaF Pa，可知点P为短轴的顶点，且22211PPQFQF，即12PFPF，故 A 正确；因为1 212111444236 QF FPQFaaSSa，故 B 正确；因为12PFPF，且12PFPF，则2145PF F，所以直线l的斜率为22tan1 kPF F，C的离心

26、率等于122cos2cePFFa，故 CD 错误；故选：AB.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知,1,0,2,3a b，则关于x的方程220axxb有实数解的有序数对,a b的个数为_.【答案】12【解析】【分析】分a是否为 0 判断即可.【详解】当0a 时，b取范围内任一实数均有实数解，此时有 4 对；当0a 时，有解则满足440ab，即1ab，当1a 时，b可取的值有1、0、2、3，当2a 时，b可取的值有1、0，当3a 时，b可取的值有1、0，共有 12 对.故答案为：12.14.已知直线l过点3,4C，且1,1A

27、，1,3B 两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为_.【答案】70 xy或2360 xy【解析】【分析】设出直线l的斜率，根据点斜式写出直线l的方程，根据点到直线的距离公式列方程求解即可.【详解】当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为43yk x，即430kxyk，由点到直线的距离公式可知2214334311kkkkkk ，解得1k 或23k，当1k 时直线l的方程为70 xy，当23k 时直线l的方程为2360 xy；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x，此时1,1A，1,3B 两点到直线l的距离不相等，所以此种情况不存在，故答案为；70 xy或2360 xy.1

28、5.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E、F分别为11C D与AB的中点，则点1B到平面1AFCE的距离为_.【答案】63#163【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.【详解】以D为坐标原点，1,DA DC DD所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则11111,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,1,122AFCEB，11,02CF，10,12CE，设平面1AFCE的法向量为,mx y z，则11,0,102211,1,0022m CEx y zyzm CFx y zxy ，令1x，则2,1yz，故平面1AFCE的法向量为

29、1,2,1m，又11,0,1CB，则点1B到平面1AFCE的距离为 11,0,11,2,16314 1CB mdm.故答案为：6316.已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F，准线为l，若点P在C上，点E在l上，且PEF!是周长为 12 的正三角形.则抛物线C的方程为_.【答案】24xy【解析】【分析】根据抛物线的定义知PEl，设准线l与y轴交于D，则PEDF，在Rt EDF中求得DFp，即可求解.【详解】由PEF!是周长为 12 的等边三角形，得=4PEPFEF，又由抛物线的定义可得PEl.设准线l与y轴交于D，则PEDF，从而60PEFEFD，在Rt EDF中，1cos422DFE

30、FEFD，即2p.所以抛物线C的方程为24xy.故答案为：24xy四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个顶点分别为 A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求 BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求 BC 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.【解析】【分析】（1）由中点坐标公式可得 BC 的中点为 M(4，2)，由两点式可得 BC 边上的中线所在直线的方程；（2）因为 BC 边上的高所在直线

31、与直线 BC 垂直，由直线 BC 的斜率，可得 BC 边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得 BC 边上的高的直线方程.【详解】（1）因为 B(1，1)，C(7，3)，所以 BC 的中点为 M(4，2).因为 A(2，4)在 BC 边上的中线上，所以所求直线方程为-24-2x=-42-4y，即 BC 边上的中线所在直线的方程为 x+y-6=0.（2）因为 B(1，1)，C(7，3)，所以直线 BC 的斜率为3-17-1=13.因为 BC 边上的高所在直线与直线 BC 垂直，所以 BC 边上的高所在直线的斜率为-3.因为 A(2，4)在 BC 边上的高上，所以所求直线方程为 y-4=-3(x-2

32、)，即 BC 边上的高所在直线的方程为 3x+y-10=0.【点睛】本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式、两直线垂直的关系的应用，及两点式、点斜式、一般式等直线方程的表示形式，属于基础题.18.已知直线:10l xy 与圆22:440C xyx相交于A，B两点.（1）求AB；（2）若,P x y为圆C上的动点，求1yx的取值范围.【答案】（1）30（2）2 2,2 2【解析】【分析】（1）利用直线和圆相交的弦长公式求解即可；（2）将1yx转化为圆上的任意点,x y与1,0连线的斜率求解即可.【小问 1 详解】圆22:440C xyx22(2)8xy，圆心为2,0，半径2 2r，则圆心到直线

33、:10l xy 的距离：20 1222d，22122 8302ABrd.【小问 2 详解】1yx表示圆上的任意点,x y与1,0连线的斜率，设1ykx，即0kxyk，则直线与圆有公共点，2202 21kkk2 22 2k1yx的取值范围为2 2,2 2.19.如图在边长是 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别为 AB，1AC的中点（1）求异面直线 EF 与1CD所成角的大小（2）证明：EF平面1ACD【答案】（1）60；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用111cos,EF CDEF CDEF CD 可得解；（2）利用10EF DA 和0EF D

34、C ，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系于是：(0,0,0)D，1(2,0,2)A，(0,2,0)C，(2,1,0)E，(1,1,1)F，1(0,0,2)D(1,0,1)EF ，1(0,2,2)CD ，1(2,0,2)DA ，(0,2,0)DC（1）1111 0021 21cos,222 2EF CDEF CDEF CD ，1,60EF CD 异面直线 EF 和1CD所成的角为60（2）11 20 0 1 20EF DA 1EFDA ，即1EFDA1 00 2 1 00EF DC ，EFDC 即EFDC又1DA，DC 平面1DCA且1DADCDEF平面1ACD20.

35、已知拋物线C的准线方程为1y ，过点4,2P作斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N.（1）求k的取值范围；（2）若OMN为直角三角形，且OMON，求k的值.【答案】（1）22k 或22k（2）12k 【解析】【分析】（1）由题意可得抛物线方程，设直线l方程为24yk x，联立方程，结合0运算求解；（2）由题意可得：12120 x xy y，解法一：利用直线方程消元，结合韦达定理运算求解；解法二：利用抛物线方程消元，结合韦达定理分析求解.【小问 1 详解】由题意可知：抛物线C的方程为24xy，直线l的斜率存在，设直线l方程为24yk x，联立方程组2424xyyk x，消去y得2416

36、80 xkxk，要使直线l与抛物线交于不同的两点M，N，则2164 1680kk，即2420kk，解得22k 或22k，所以k们取值范围为22k 或22k.【小问 2 详解】设11,M x y，22,N xy，由（1）可知1x，2x是241680 xkxk的两个根，则124xxk，12168x xk，解法一：因为OMON，则0OM ON ，即12120 x xy y，可得 121212124242x xy yx xkxkkxk221212421(42)kx xkkxxk222168442()142kkkkk21640k，解得12k或12k ，结合（1）中k的取值范围可知：12k .解法二：因为

37、OMON，所以0OM ON ，即12120 x xy y，因为2221212124416x xxxy y，所以21212016x xx x，因为120 x x，所以1216x x ，即16816k ，解得12k ，此时满足（1）中k的取值范围，所以12k .【点睛】21.如图 1，梯形ABCD中，/AB CD，过A，B分别作AECD，BFCD，垂足分别为E、F.若3ABAE，6CD，1DE，将梯形ABCD沿AE，BF折起，且平面ADE 平面ABFE（如图2）.图 1图 2（1）证明：AFBD；（2）若/CF DE，在线段AB上是否存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为1111，若

38、存在，求出AP的长，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】利用面面垂直性质定理可得DE平面ABFE，（1）（法一）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得AFBD.（法二）以E为原点，EA，EF，ED分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出0 AF BD可得答案；（2）求出平面ACD的一个法向量，设在线段AB上存在一点3,0Pt且03t，则3,3,2CPt，设直线CP与平面ACD所成的角为，利用线面角的向量求法求出t再结合t的范围可得答案.【小问 1 详解】平面ADE 平而ABFE，DE平而ADE，平面ADE 平面ABFEAE，DEAE，DE平面AB

39、FE，（法一）又AF 平而ABFE，则DEAF，又正方形ABFE中，AFBE，且BEDEE，,BE DE 平面BDF，则AF 平面BDE，又BD平面BDE，则AFBD.（法二）DE平而ABFE，AEEF，以E为原点，EA，EF，ED分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0,0,0E，3,0,0A，0,3,0F，3,3,0B，0,0,1D，3,3,0AF ，3,3,1BD ，9900AF BD ，AFBD；【小问 2 详解】/CF DE，CF 平面ABFE，0,3,2C，3,0,1AD ，3,3,2AC ，设平面ACD的一个法向量为,nx y z，303320AD nxzAC nxyz 令1x，

40、则1,1,3n r，设在线段AB上存在一点3,0Pt且03t，则3,3,2CPt，设直线CP与平面ACD所成的角为，233611sincos,111113(3)tCP nCP nCPnt则113t，不满足03t，所以不存在点P满足题意.22.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为32，且椭圆过点31,2.（1）求E的方程；（2）设过点0,2A的动直线l与E相交于P，Q两点，若O为坐标原点，当OPQ面积最大时，求l的方程.【答案】（1）2214xy（2）722yx或722yx【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程，求得,a b c，从而求得椭圆E的方程.（2）设出直线l的方程并与椭

41、圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形OPQ面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值，并求得此时对应的直线l的方程.【小问 1 详解】由已知22222321314caabcba，解得213abc，22:14xEy.【小问 2 详解】由已知直线l的斜率存在，设直线:2PQ ykx，11,P x y，22,Q xy，联立方程可得：222224(2)444ykxxkxxy，整理后可得：224116120kxkx，方程有两个不等实根，22(16)48 410kk，解得：32k 或32k ，又1221641kxxk，1221241x xk，原点O到直线l的距

42、离为222211dkk，222121212114PQkxxkxxx x22222264484 43114141kkkkkk.22222222124 434 434143424141143OPQkkSkkkkkk 22444343kk，由均值不等式可得：2222444324344343kkkk，等号成立条件：2224743434243kkkk，1OPQS，此时72k，l的方程为722yx或722yx.【点睛】关键点睛：求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得,a b，a和b是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合222abc即可求得,a b，从而求得椭圆的标准方程.求解椭圆中面积的最值问题，可先求得面积的表达式，然后考虑利用基本不等式、二次函数的性质等知识来求面积的最值.