九师联盟2024届高三12月质量检测巩固卷 数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司高三数学高三数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2log0Axx，220Bx xx，则BA（）A.(,2)B.(1,0C.(1,2)D.1,01,22.已知复数11 iz ，2iza，若12zz为纯虚数，则实数a的值为（）A.2B.2C.1D.13.函数 cosexxxf x 的图象大致为（）A.B.C.D.4.已知,是空间两个不同的平面，,m n是空间两条不同的直线，则

2、下列说法正确的是（）A.若/m，/n，且/m n，则/B.若/m，/n，且mn，则C.若m，/n，且mn，则D.若m，n，且mn，则5.已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点(3,3)，将角的终边顺时针旋转3后得到角，则tan（）A.33B.33C.3D.36.已知抛物线2:2(0)E ypx p的焦点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，若3ABOF（O为坐标原点），且ABF的面积为12 2，则E的方程为（）九师联盟2024届高三12月质量检测巩固卷 数学试题第 2 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司A.24yxB.24 3yxC.28yxD.28 3yx7.一个轴截面是

3、边长为2 3的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为 1 的小球1O后，再放入一个球2O，则球2O的表面积与容器表面积之比的最大值为（）A 481B.127C.327D.338.已知函数()f x的定义域为3 3,44，且 sin2,sincossin,sincosxxxf xxxx，若关于x的方程()f xa有4 个不同实根1234,x x x x1234xxxx，则12341sin2xxxxf x的取值范围是（）A.12,22B.2 1,22C.(1,2)D.(2,1)二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，

4、有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图 1，2，3，4 分别为 2023 年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（）A.2023 年中国乡村旅游消费者中年龄在19 50岁之间的男性占比超过13B.2023 年中国乡村旅游消费者中月收入不高于 1 万元的占比超过70%C.2023 年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费 4 个范围占比的中位数为30.6%D.

5、2023 年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于 650 元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）.第 3 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司10.若矩形ABCD的所有顶点都在椭圆222:1(0)2xyEaa上，且2 2AB，2 3AC，点P是E上与,A B C D不重合的动点，则（）A.E的长轴长为 4B.存在点P，使得12PA PC C.直线,PA PB的斜率之积恒为12D.直线,PA PC的斜率之积恒为1211.已知正数,x y z满足5915xyz，则（）A.220 xzyzxyB.5915xyzC.22xyzD.9216xyz12.在棱长为 1 的正方体111

6、1ABCDABC D中，点P满足1CPCDCC ，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）A.若12，则P点轨迹所在直线与平面1ACD平行B.若1，则1ACBPC.若，则1DPAP 最小值为252D.若BP与平面11CC D D所成角的大小为4，则 的最大值为12三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数2()3f xxx，则曲线()yf x在点(1,2)处的切线方程为_.14.52221xyy的展开式中22x y的系数为_.（用数字作答）15.求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的 2 倍，这就是历史上有名的立方倍

7、积问题.1837 年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前 427公元前 347 年）的方法：假设已知立方体的边长为a，作两条互相垂直的直线，相交于点O，在一条直线上截取OAa，在另一条直线上截取2OBa，在直线,OB OA上分别取点,C D，使90ACDBDC（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点A，另一个直角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为,C D），则线段OC即为所求立方体的一边.以直线OA、OC分别为x轴、y轴建立直角坐标系，若圆E

8、经过点,A C D，则圆E的方程为_.的第 4 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司16.已知数列 na满足123nnaa，集合*sinNnSa n，若S恰有 4 个子集，则S _.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记nS为数列 na的前n项和，若13a，21(1)(21)2nnnanS.（1）求nS；（2）若21(21)nnbnnS，求数列 nb的前n项和nT.18.已知ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，A 为锐角，ABC的面积为S，2224bSa bc

9、a.（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图，若4ABC，5BC，O为ABC内一点，且1OC，34AOC，求OB的长.19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，116A AAC，116 2AC，平面1ABC 平面11AAC C.（1）求证：1BCCC；（2）若11ABAC，三棱锥1AABC的体积为 18，点D在棱AC上，且12ADDC，求平面11ADB与的第 5 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司平面ABC夹角的余弦值.20.2023 年 5 月 28 日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机 C919 开启全球首次商业载客飞行，C919 飞机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血

10、，其中ABCDEF、等高校为 C919 大飞机做出了重要贡献，如 A 高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：项目气动总体结构强度航电飞控液压参与人数55343B 高校有 8 位教师参加了相关设计论证，具体如下表：设计论证气动总体设计论证气动外形设计论证结构强度论证航电设计论证液压系统论证起落架的论证参与教师a,b cd,e fgh（1）某科普博主准备从ABCDEF、共 6 所高校中随机选 3 所高校介绍其为 C919 大飞机做出的贡献，连续 3 天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3 天将选中的 3 所高校全部介绍完），求CD、被选到，且 C 在第 2

11、天被介绍的概率；（2）若从 A 高校参与设计的 20 人中随机选 3 人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率；（3）若从 B 高校参与6 个论证项目中随机选取 3 个，记这 3 个论证项目中 B 高校参与教师人数为 X，求 X 的分布列与期望.21.已知双曲线：222210,0 xyabab，1A，2A为 的左、右顶点，37,2P为 上一点，1PA的斜率与2PA的斜率之积为14过点3,0A且不垂直于 x 轴的直线 l 与 交于 M，N 两点（1）求 的方程；（2）若点 E，F 为直线3x 上关于 x 轴对称的不重合两点，证明：直线 ME，NF 的交点在定直线上的第 6 页

12、/共 6 页学科网（北京）股份有限公司22 已知函数21()(21)2ln(R)2f xaxaxx a.（1）若()f x有唯一极值，求a的取值范围；（2）当0a 时，若12()()f xf x，12xx，求证：124x x.第 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司高三数学高三数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2log0Axx，220Bx xx，则BA（）A.(,2)B.(1,0C.(1,2)D.1,01,

13、2【答案】D【解析】【分析】解对数不等式、一元二次不等式求集合，再应用补运算求集合.【详解】由题设|01Axx，|(1)(2)0|12Bxxxxx，所以 1,01,2BA 故选：D2.已知复数11 iz ，2iza，若12zz为纯虚数，则实数a的值为（）A.2B.2C.1D.1【答案】C【解析】【分析】应用复数乘法及纯虚数定义列方程求参数.【详解】12i(1ii)11)()(zaaaz为纯虚数，所以10110aaa .故选：C3.函数 cosexxxf x 的图象大致为（）A.B.C.D.第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排

14、除两个选项，再利用当(0,)2x时，函数值的正负即可判断作答.【详解】函数 cosexxxf x 的定义域为 R，coscoseexxxxxxfxf x ，即函数()f x是奇函数，排除 CD；当(0,)2x时，cos0exxxf x，即当(0,)2x时，函数()f x的图象在 x 轴的上方，显然 A 不满足，B 满足.故选：B4.已知,是空间两个不同的平面，,m n是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若/m，/n，且/m n，则/B.若/m，/n，且mn，则C.若m，/n，且mn，则D.若m，n，且mn，则【答案】D【解析】【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理

15、分别分析各个选项可得解.【详解】对于 A，若/m，/n，且/m n，则,可能相交或平行，故 A 错误；对于 B，若/m，/n，且mn，则,可能相交或平行，故 B 错误；对于 C，若m，/n，且mn，则,可能相交或平行，故 C 错误；对于 D，若m，mn，则n在平面内或/n，又n，所以，故 D 正确.故选：D.5.已知角始边为x轴非负半轴，终边经过点(3,3)，将角的终边顺时针旋转3后得到角，则tan（）的第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司A.33B.33C.3D.3【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义可得3tan3，依题意得3，结合两角差的正切公式运算求值.【详解】因角的

16、终边经过点(3,3)，由三角函数的定义可得3tan3，又依题意得3，所以tantan33tan=tan331tantan3，故选：B.6.已知抛物线2:2(0)E ypx p的焦点为F，准线为l，过E上的一点A 作l的垂线，垂足为B，若3ABOF（O为坐标原点），且ABF的面积为12 2，则E的方程为（）A.24yxB.24 3yxC.28yxD.28 3yx【答案】C【解析】【分析】表达出AB和点A 坐标，利用ABF的面积求出p，即可得出E的方程.【详解】由题意，在抛物线2:2(0)E ypx p中，3ABOF，焦点,02pF，准线:2pl x 2pOF，32ABp，则,2A pp11 32

17、12 222 2ABFASABypp，解得：4p E的方程为：28yx.故选：C.7.一个轴截面是边长为2 3的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为 1 的小球1O后，再放入一个第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司球2O，则球2O的表面积与容器表面积之比的最大值为（）A.481B.127C.327D.33【答案】A【解析】【分析】由题设易知放入一个半径为 1 的小球1O后，圆锥轴截面中小球1O的截面圆为内切圆，要使比值最大，球2O的半径2r最大，利用内切圆性质求2r，进而求球体、圆锥表面积，即可得比值.【详解】由边长为2 3的正三角形的内切圆半径为1132 3132r，即轴截

18、面是边长为2 3的正三角形的圆锥内切球半径为1，所以放入一个半径为 1 的小球1O后，再放一个球2O，如下图，要使球2O的表面积与容器表面积之比的最大，即球2O的半径2r最大，所以只需球2O与球1O、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时21131(2 32)323rr，所以球2O的表面积为22449r，圆锥表面积为132 32 392，所以球2O的表面积与容器表面积之比的最大值为481.故选：A8.已知函数()f x的定义域为3 3,44，且 sin2,sincossin,sincosxxxf xxxx，若关于x的方程()f xa有4 个不同实根1234,x x x x1234xxxx，则1234

19、1sin2xxxxf x的取值范围是（）A.12,22B.2 1,22C.(1,2)D.(2,1)第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式得sincos2sin()4xxx，讨论其符号求x范围，进而写出()f x解析式并画出草图，数形结合得1234,2xxxx、12()12f x，即可得答案.【详解】由sincos2sin()4xxx，若sincosxx，则sin()04x，可得21 21,4kxkkZ，所以592 2,44kxkkZ,若sincosxx，则sin()04x，可得2 21,4kxkkZ，所以52 2,44kxkkZ，所以3sin

20、2,44()3sin,44xxf xxx，其函数图象如下图，要使()f xa有 4 个不同实根1234,x x x x1234xxxx，则212a，由图知：1234,2xxxx，故123424xxxx，且12()12f x，所以12341sin2xxxxf x的范围为12,22.故选：A【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出()f x的图象为关键.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得

21、分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司9.近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图 1，2，3，4 分别为 2023 年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（）A.2023 年中国乡村旅游消费者中年龄在19 50岁之间的男性占比超过13B.2023 年中国乡村旅游消费者中月收入不高于 1 万元的占比超过70%C.2023 年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费 4 个范围占比的中位数为30.6%D.2023 年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估

22、计值高于 650 元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）【答案】BC【解析】【分析】由图 1 和图 2 可判断 A 选项，由图 3 可判断 B 选项，由图 4 可判断 C、D 选项【详解】由图 1 和图 2 可知，2023 年中国乡村旅游消费者中年龄在19 50岁之间的男性占比为97.6%37.2%36.3%，故 A 正确；由图 3 可知，2023 年中国乡村旅游消费者中月收入不高于 1 万元的占比为60%，故 B 错误；由图 4 可知，2023 年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费 4 个范围占比的中位数为23.7%30.6%27.15%2，故 C 错误；由图 4 可知，2023 年中

23、国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为150 3.9%450 41.8%750 30.6%1050 23.7%672.3，故 D 正确.故选：BC10.若矩形ABCD的所有顶点都在椭圆222:1(0)2xyEaa上，且2 2AB，2 3AC，点P是第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司E上与,A B C D不重合的动点，则（）A.E的长轴长为 4B.存在点P，使得12PA PC C.直线,PA PB的斜率之积恒为12D.直线,PA PC的斜率之积恒为12【答案】ABD【解析】【分析】对 A，根据椭圆的对称性结合2 2AB 可判断椭圆焦点在x轴上，由此求得,A B C D坐

24、标，代入椭圆方程求得2a，得解；对 B、D，设点,P x y代入运算可判断得解；对 C，举反例可判断.【详解】因为矩形ABCD的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得,A C关于原点对称，,B D关于原点对称，由22212xya，2 2AB，可得22a，即椭圆焦点在x轴上，如图所示，又2 3AC，2BC，易得2,1A，2,1B，2,1C，2,1D.对于 A，将点2,1A代入椭圆方程可得22112a，解得2a，椭圆的方程为22142xy，所以椭圆的长轴长为 4，故 A 正确；对于 B，设点,P x y，且2224xy，2x ，则2,1PAxy，2,1PCxy ，所以222221131PA PCxx

25、yyxyy ，又22y，即当62y 时，12PA PC ，故 B 正确；对于 C，当点P是左顶点时，2,0P，则122PAk，122PBk，所以11122222PAPBkk，故 C 错误；对于 D，设点,P x y，且2224xy，2x ，则12PAykx，12PCykx，第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以22221112222PAPCyykkxy，故 D 正确.故选：ABD.11.已知正数,x y z满足5915xyz，则（）A.220 xzyzxyB.5915xyzC.22xyzD.9216xyz【答案】AB【解析】【分析】设15915,xyzt t，求出,x y z，

26、利用对数的运算及换底公式计算判断 A；利用作商法计算判断 B；利用作差法计算判断 CD.【详解】依题意，设15915,xyzt t，则log 5log 9log 151tttxyz，111,log 5log 9log 15tttxyz，对于 A，22592log 5log 92log 15)lo0122(g122)5(ttttxxzyzxyxyzxyzzyzyx，A 正确；对于 B，9555log 95log999log 5ttxy，而51046993933381()15555125，即有955log91，则59xy，又5393log 1593log 151555log 9ttyyzz，335

27、7155125193243 9，即有539log 151，则915yz，所以5915xyz，B 正确；对于 C，由选项 A 知，1220yxz，得22xyzxy，则2222222(2)8(2)22()02(2)(2)xyxyxyxy xyxyzxyxyxyxyxy，C 错误；第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司对于 D，232()(2)32(32)092921692222xyxyxyxyxyxyxyxyxxzyy，因此9216xyz，D 错误.故选：AB12.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P满足1CPCDCC ，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）A

28、.若12，则P点轨迹所在直线与平面1ACD平行B.若1，则1ACBPC.若，则1DPAP 的最小值为252D.若BP与平面11CC D D所成角的大小为4，则 的最大值为12【答案】ABD【解析】【分析】A、B、C 根据条件确定P点轨迹，结合线面平行判定、线面垂直的判定及性质、平面上两点距离最短判断；D 由条件得P在线段1C D上运动，令0,2DCP，则cos,sin，结合三角恒等变换及正弦型函数性质求最值判断.【详解】A：若,E F11,CC DD中点，当12时P在线段EF上运动，而/EFCD，EF 面1ACD，CD 面1ACD，则/EF面1ACD，A 对；B：由1，则P在线段1C D上运动

29、；在正方体中易知11BCBC，且11AB 面11BCC B，1BC 面11BCC B，则11AB 1BC，1111BCABB，111,BC AB 面11ABC，则1BC 面11ABC，1AC 面11ABC，为第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以1BC 1AC，同理可证BD1AC，又1BCBDB，1,BC BD 面1BC D，所以1AC 面1BC D，BP 面1BC D，则1ACBP，B 对；C：若，则P在线段1CD上运动；将面1CDD翻折至与面11BCD A共面，如下图，111111,135DDADDD A，所以1,D P A共线时1DPAP 的最小值为11 12cos13

30、522DA ，C 错；D：若BP与平面11CC D D所成角的大小为4，连接1,BC BD，又BC面11CDDC，结合正方体性质14CC BCDB，要使线面角CPB恒为4，只需P在面11CDDC中以C为圆心，1CC为半径的圆弧1C D上运动；第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 如上图，令0,2DCP，则cos,sin，所以11sincossin222，当且仅当4时取等号，所以 的最大值为12，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据条件确定P点运动轨迹为关键.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数2

31、()3f xxx，则曲线()yf x在点(1,2)处的切线方程为_.【答案】10 xy【解析】【分析】应用导数几何意义求切线方程即可.【详解】由题设()23fxx，则(1)1f ，故点(1,2)处的切线方程为2(1)yx，所以10 xy.故答案为：10 xy 14.52221xyy的展开式中22x y的系数为_.（用数字作答）【答案】140【解析】【分析】要产生22x y可能是 1 个2x，1 个2y，3 个1或 1 个2x，2 个2y，2 个1，分别进行计算求解即可.【详解】52221xyy的展开式中要产生22x y可能是 1 个2x，1 个2y，3 个1或 1 个2x，2 个2y，2 个1

32、，故展开式中含22x y项为32212123122222543542CCC1CC2C1140 xyxyx y，第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司即展开式中22x y的系数为140.故答案为：140.15.求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的 2 倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837 年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前 427公元前 347 年）的方法：假设已知立方体的边长为a，作两条互相垂直的直线，相交于点O，在一条直线上截取OAa，在另一条直

33、线上截取2OBa，在直线,OB OA上分别取点,C D，使90ACDBDC（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点A，另一个直角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为,C D），则线段OC即为所求立方体的一边.以直线OA、OC分别为x轴、y轴建立直角坐标系，若圆E经过点,A C D，则圆E的方程为_.【答案】23322214(14)()24xaya【解析】【分析】根据题设有22OCOA ODODOCOB求OC、OD，再求出E坐标和圆的半径，进而写出圆的方程.【详解】由题设，222OCOA ODa ODODOCOBa OC，则43322OCa OCOCa，所以

34、34ODa，由=90ACD，要使圆E经过点,A C D，则圆心E为AD中点，所以314(,0)2Ea且半径为3142a，故圆E的方程为23322214(14)()24xaya.第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司故答案为：23322214(14)()24xaya16.已知数列 na满足123nnaa，集合*sinNnSa n，若S恰有 4 个子集，则S _.【答案】1 1,2或1,12【解析】【分析】根据题设sinna有且仅有 2 个对应值，结合等差数列定义得12 233naan，*Nn，根据正弦型函数周期性，只需研究123sinsin,sinaaa,是否相等，应用分类讨论求对

35、应集合S.【详解】由S恰有 4 个子集，故集合S共有 2 个元素，即sinna有且仅有 2 个对应值，由123nnaa，即 na是公差为23的等差数列，则12 233naan，*Nn，所以na的最小正周期为3T，则角na必与123,a a a中的一个终边相同，所以S中有且仅有123sinsin,sinaaa,且必有两个相等，若123sinsinsinaaa，则11sinsin)23(aa，整理得13cos()03a，所以1,Z32akk，则1,Z6akk，故121sinsin2aa，当121sinsin2aa时，不妨取16a，则256a，332a，此时1 1,2S 满足；当121sinsin2

36、aa 时，不妨取156a ，则26a ，32a，此时1,12S 满足；若132sinsinsinaaa，则11sinsin)43(aa，整理得13sin()06a，所以1,Z6akk，则1,Z6akk，故131sinsin2aa，当131sinsin2aa时，不妨取156a，则232a，3136a，此时1 1,2S 满足；当131sinsin2aa 时，不妨取16a ，则22a，376a，此时1,12S 满足；若231sinsinsinaaa，则22sinsin)23(aa，整理得23sin()06a，所以2,Z6akk，则2,Z6akk，故231sinsin2aa，当231sinsin2aa

37、时，不妨取256a，则26a，332a，此时1 1,2S 满足；第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司当231sinsin2aa 时，不妨取26a ，则156a ，32a，此时1,12S 满足；综上，1 1,2S 或1,12.故答案为：1 1,2或1,12【点睛】关键点点睛：利用集合子集个数得sinna有且仅有 2 个对应值，根据等差数列定义、正弦型函数的周期性，转化为研究123sinsin,sinaaa,且必有两个相等为关键.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17

38、.记nS为数列 na的前n项和，若13a，21(1)(21)2nnnanS.（1）求nS；（2）若21(21)nnbnnS，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）221nnSn；（2）21nn.【解析】【分析】（1）由题设及,nna S关系得221(1)2nnnSn S，构造新数列并结合等差数列定义写出通项公式，进而可得nS；（2）应用裂项相消法求前 n 项和.【小问 1 详解】由题设21(1)(21)2()nnnnSSnS，则221(1)2nnnSn S，又12113Sa，故2nn S是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以232(1)21nn Snn，则221nnSn.【小问 2 详

39、解】由（1）得1111()(21)(21)2 2121nbnnnn，所以11111111(1)(1)2335212122121nnTnnnn.18.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，A 为锐角，ABC的面积为S，第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司2224bSa bca.（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图，若4ABC，5BC，O为ABC内一点，且1OC，34AOC，求OB的长.【答案】（1）直角三角形或钝角三角形 （2）2【解析】【分析】（1）利用面积公式及余弦定理代入化简，然后利用正弦定理边化角可得答案；（2）由（1）的结果得到ABC为等腰直角

40、三角形，然后解AOC，可得ACO，进而可得BCO，再解BOC即可求出OB的长.【小问 1 详解】2224bSa bcaQ，14sin2cos2bbcAabcA，即sincosbAaA，再由正弦定理边化角得sinsinsincosBAAA，sin0A，sincosBA，又A锐角，sinsin2BA，2BA或2BA，2BA或2BA，ABC为直角三角形或钝角三角形；【小问 2 详解】由（1）的结果以及4ABC，可得4BACABC，ABC为等腰直角三角形，又5BC，5ACBC，为第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司在AOC中，则21 52cos22AOAOCAO ，解得2AO，负值舍去

41、，又sinsinAOACACOAOC，22sin52sin55AOAOCACOAC，5coscossin25BCOACOACO，在BOC中，22252cos1 52545BOOCBCOC BCBCO ，2BO.19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，116A AAC，116 2AC，平面1ABC 平面11AAC C.（1）求证：1BCCC；（2）若11ABAC，三棱锥1AABC的体积为 18，点D在棱AC上，且12ADDC，求平面11ADB与平面ABC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）66【解析】【分析】（1）通过11A AAC以及平面1ABC 平面11AAC C，利用面面垂直

42、的性质得1A A 面1ABC，进而利用三棱柱的性质可得1BCCC；（2）先利用体积求出1BA，在利用111,AB AC A A两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法可求面面角.【小问 1 详解】第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司116A AAC，116 2AC，22221111A AACACAC，即1A AC为直角三角形，11A AAC，又平面1ABC 平面11AAC C，平面1ABC 平面111AAC CAC，1A A平面11AAC C1A A面1ABC，又BC面1ABC，1A ABC，又11A ACC，1BCCC；【小问 2 详解】由（1）得1A A 面1ABC，又11A

43、BAC，故111,AB AC A A两两垂直，则11111116 618332AABCAACVSBABA ，得13BA，如图建立空间直角坐标系，则110,0,0,6,0,0,0,3,0,0,0,6,6,3,0,4,0,2AABCBD，设面11ADB的法向量为,nx y z，且1114,0,2,6,3,0ADAB ，111420630n ADxzn ABxy ，取2y 得1,2,2n，设面ABC的法向量为000,mxyz，且6,3,0,6,0,6ABAC ，0000630660m ABxym ACxz ，取01x 得1,2,1m，1426cos,636n mn mn m ，即平面11ADB与平面

44、ABC夹角的余弦值为66.第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 20.2023 年 5 月 28 日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机 C919 开启全球首次商业载客飞行，C919 飞机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中ABCDEF、等高校为 C919 大飞机做出了重要贡献，如 A 高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：项目气动总体结构强度航电飞控液压参与人数55343B 高校有 8 位教师参加了相关设计论证，具体如下表：设计论证气动总体设计论证气动外形设计论证结构强度论证航电设计论证液压系统论证起落架的论证参与教师a,b cd,e

45、fgh（1）某科普博主准备从ABCDEF、共 6 所高校中随机选 3 所高校介绍其为 C919 大飞机做出的贡献，连续 3 天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3 天将选中的 3 所高校全部介绍完），求CD、被选到，且 C 在第 2 天被介绍的概率；（2）若从 A 高校参与设计的 20 人中随机选 3 人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率；（3）若从 B 高校参与的 6 个论证项目中随机选取 3 个，记这 3 个论证项目中 B 高校参与教师人数为 X，求 X 的分布列与期望.【答案】（1）115;第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（2）4592

46、;（3）X的分布列为X345P1535151313454555E X .【解析】【分析】（1）C、D 均被选到，且 C 在第 2 天被介绍有1124C A种情况，再由古典概型的概率公式即可求得结果；（2）从 A 高校参与设计的 20 人中随机选 3 人，选到航电设计人员，从对立事件求其概率；选到气动总体设计人员的情况，也从对立事件求其概率，再结合条件事件的概率公式 P BCP C BP B即可求得结果；（3）6 个论证项目中，其中有 4 个项目 B 高校参与教师人数为 1 人；有 2 个项目 B 高校参与教师人数为 2人，由分析可知，3,4,5X，进而写出X的分布列，求出E X.【小问 1 详

47、解】C、D 均被选到，且 C 在第 2 天被介绍记为事件 A，112436C A1A15P A.【小问 2 详解】从 A 高校参与设计的 20 人中随机选 3 人，选到航电设计人员记为事件 B，从 A 高校参与设计的 20 人中随机选 3 人，选到气动总体设计人员记为事件 C，332017320CC460C1140P B,332112321123203312312551251212320CCC CC CCC CC CC225C1140P BC,4592P BCP C BP B,第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率为45

48、92.【小问 3 详解】由题意知，3,4,5X，3436C13C5P X;214236C C34C5P X;124236C C15C5P X.X的分布列为X345P1535151313454555E X .21.已知双曲线：222210,0 xyabab，1A，2A为 的左、右顶点，37,2P为 上一点，1PA的斜率与2PA的斜率之积为14过点3,0A且不垂直于 x 轴的直线 l 与 交于 M，N 两点（1）求 的方程；（2）若点 E，F 为直线3x 上关于 x 轴对称的不重合两点，证明：直线 ME，NF 的交点在定直线上【答案】（1）2214xy；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题可

49、知12,0,0AaAa，根据条件列出方程组，进而即得；（2）设直线 MN 的方程为3,0 xtyt，联立双曲线方程求得1212,yyy y，再由直线ME和NF的方程，求得交点的横坐标，即可求解【小问 1 详解】由题意得12,0,0AaAa，又37,2P为 上一点，1PA的斜率与2PA的斜率之积为14，所以22731433122477abaa，解得224,1ab，第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以双曲线 的标准方程为2214xy；【小问 2 详解】设直线 MN 的方程为3,0 xtyt，由22314xtyxy，可得224650tyty，则240t，2262040tt，设11

50、,M x y，22,N xy，3,Em，3,Fm，0m，所以12122265,44tyyy ytt，直线MEl：1133ymymxx，NFl：2233ymymxx，联立两方程，可得：2122121212112264233335334tmyyymymymymtmxxxxtxxtytyty ytm，解得43x，当直线MN与 x 轴重合时，则2,0,2,0MN，MEl：25ymx，NFl：2ym x，联立可得43x，综上，直线 ME 与 NF 的交点在定直线43x 上.22.已知函数21()(21)2ln(R)2f xaxaxx a.（1）若()f x有唯一极值，求a的取值范围；（2）当0a 时，若