专题07 直线与椭圆-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析.docx

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1、专题07 直线与椭圆专题07 直线与椭圆-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析 椭圆的弦长问题1（2023上陕西宝鸡高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为A，离心率为，过且为线段的垂线交于两点，则周长为（）ABCD2（2023上浙江杭州高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知椭圆，过椭圆的左顶点A作直线，与椭圆和轴分别交于点和点，过原点且平行于的直线与椭圆交于点，则（）A，始终成等比数列B，始终成等比数列C，始终成等比数列D，始终成等比数列3（2023上北京丰台高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆，直线l与两个坐标

2、轴分别交于点M，N且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（）AB4CD24（2023上上海浦东新高二上海市进才中学校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（）A12B2C4D85（2023上浙江杭州高二校考期末）（多选题）已知圆与圆的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（）A曲线C的方程式B曲线C的方程式C过点且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为D曲线C上的点到直线的最短距离为6（2023上山东泰安高二统考期末）（多选题）已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且

3、M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，则下列结论正确的是（）A椭圆C的焦点坐标为，B椭圆C的长轴长为4C直线与直线的斜率之积为D7（2023上吉林通化高二梅河口市第五中学校考期末）（多选题）已知椭圆的左、右两个端点分别为，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的是（）A的周长为6B的最大面积为C存在点使得D的最大值为78（2023上江苏镇江高三扬中市第二高级中学校考期末）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 9（2023上北京丰台高二北京市第十二中学校考期末）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 10（2023上浙江宁波高二

4、校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 .11（2023上辽宁高二校联考期末）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为(1)求C的方程；(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值12（2023上四川凉山高二统考期末）已知椭圆的长轴为4，离心率为(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的右焦点F的直线与椭圆E交于A，B两点，直线x=4与x轴交于点C，求四边形OACB的面积S的取值范围（其中O为坐标原点）椭圆的中点弦问题13（2023上宁夏银川高二银川一中校考期末）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（）ABCD14（2023上湖北武汉高二华中师大一附中校

5、考期末）已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（）ABCD15（2023上江西赣州高二统考期末）椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，则的最小值为（）ABCD16（2023上四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期末）若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（）ABCD17（2023上云南昆明高二昆明一中校考期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 .18（2023上江西上饶高二统考期末）已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,则的方程为 .19（2023上

6、宁夏银川高二银川一中校考期末）已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为 .20（2023上内蒙古包头高二统考期末）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2(1)求M的轨迹方程；(2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？21（2023上甘肃庆阳高二统考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，P为C上一点，且，(1)求，的坐标(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率22（2023上陕西西安高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦

7、点的距离之和(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由23（2023上辽宁沈阳高二沈阳二十中校联考期末）已知椭圆的上顶点是，右焦点是，直线交于两点，恰是的重心，则的斜率是（）ABCD24（2023上四川德阳高二德阳五中校考期中）已知直线与椭圆：交于两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法正确的个数是（）椭圆的离心率为；以为直径的圆过点.A1个B2个C3个D4个25（2023上湖北高二统考期末）（多选题）已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（）A椭圆

8、的焦点坐标为，B椭圆的长轴长为C直线的方程为D的周长为26（2023上新疆乌鲁木齐高二乌市八中校考期末）（多选题）已知椭圆C：，分别为它的左右焦点，若点P是椭圆上异于长轴端点的一个动点，下列结论中正确的有（）A的周长为15B过椭圆C上一点的切线方程为C的最大值为12D若M是直线与椭圆C相交弦AB的中点，则方程为：27（2023上浙江舟山高二统考期末）（多选题）已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，则下列结论正确的是（）A若直线AB过右焦点，则B若，则直线AB方程为C若，则直线AB方程为D若动点满足，则点的轨迹方程为28（2023上江苏苏州高二统考期末）（多选题）在平面直角坐标系中

9、，已知椭圆的离心率为，直线与没有公共点，且上至少有一个点到的距离为，则的短轴长可能是（）A1B2C3D429（2023上上海闵行高二上海市七宝中学校考期末）若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是 .30（2023上江苏南通高二统考期末）已知点，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 31（2023上山东聊城高二统考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，且到直线l：的距离为(1)求C的方程；(2)与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；(3)P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围32（2023上内蒙古包头

10、高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8(1)求椭圆的方程；(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程33（2023上湖北黄冈高二统考期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的一条以为中点的弦所在直线的方程为.(1)求椭圆的方程；(2)点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，求的最大值，并求出此时点的坐标.专题07 直线与椭圆 椭圆的弦长问题1（2023上陕西宝鸡高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为A，离心率为，过且为线段的垂线交于两点，则周长

11、为（）ABCD【答案】A【分析】将椭圆方程化为,可求得的斜率,联立椭圆与直线方程求得的纵坐标,分别计算即可.【详解】如图:，椭圆可化为，又,，,，设直线即，由得，设， 不妨设,解得，所以，因为即，所以，由得,代入上式，同理可得，所以周长为.故选:A【点睛】关键点点睛:在求时并没有用弦长公式，因为计算时不能使用韦达定理，所以必需回到弦长的本质,即两点间的距离，故需要求出的坐标,由直线与椭圆联立是完全可以把方程的根表示出来的，当然后期的计算量也是惊人的.2（2023上浙江杭州高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知椭圆，过椭圆的左顶点A作直线，与椭圆和轴分别交于点和点，过原点且平行于的直线与椭圆交于点

12、，则（）A，始终成等比数列B，始终成等比数列C，始终成等比数列D，始终成等比数列【答案】A【分析】联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求得弦长，由等比中项性质判断等比数列即可.【详解】由题意知，直线l斜率存在，设OP方程为，则AM的方程为，则，.设直线或，则该直线必与椭圆存在交点，设为，由得，则，则直线与椭圆交得的弦长为.当时，该弦长为；当时，该弦长为，即.，成等比数列.故选：A3（2023上北京丰台高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆，直线l与两个坐标轴分别交于点M，N且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（）AB4CD2【答案】D【分析】根据题意首先设直线l方程为，和椭

13、圆方程联立结合韦达定理求得参数和之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解.【详解】若要直线l与两个坐标轴分别交于点M，N，则直线l的斜率存在，故设直线l方程为，代入到椭圆方程可得，根据提意可得，所以，根据题意对方程，所以令得，令得，所以，当且仅当时取等，所以面积的最小值是.故选：D4（2023上上海浦东新高二上海市进才中学校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（）A12B2C4D8【答案】A【分析】根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求解三角形面积即可.【详解】依

14、题意，周长，解得，而椭圆的离心率，则其半焦距，因此，椭圆C：，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，由消去x得：，设，则有，令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4，即，的面积，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为12.故选：A5（2023上浙江杭州高二校考期末）（多选题）已知圆与圆的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（）A曲线C的方程式B曲线C的方程式C过点且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为D曲线C上的点到直线的最短距离为【答案】BCD【分析】根据椭圆的定义即可判断A,B选项，对C，求出直线与椭圆的交点，即可得到弦长，对D，设与直线平行的直线，求出直线与椭圆相切时的

15、方程，再利用平行线之间的距离.【详解】对A,B，由题意知,所以,所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且,即,所以,所以曲线的方程为,故A错误，B正确；对C，过点,且垂直于轴的直线为,它与曲线相交于两点,所以弦长为,故C正确；对D，设与直线平行的直线，由，得，令，解得，此时直线与椭圆相切，易得，此时切点到直线的距离距离最短，直线的方程为，此时两平行线的距离为，故曲线上的点到直线的最短距离为，故D正确.故选：BCD.6（2023上山东泰安高二统考期末）（多选题）已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，则下列结论正确的是（）A椭圆C的焦点坐标为

16、，B椭圆C的长轴长为4C直线与直线的斜率之积为D【答案】BCD【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆，所以，所以焦点坐标为，A选项错误.长轴长，B选项正确.，C选项正确.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，直线的方程为，由消去并化简得，所以，所以.故选：BCD7（2023上吉林通化高二梅河口市第五中学校考期末）（多选题）已知椭圆的左、右两个端点分别为，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的是（）A的周长为6B的最大面积为C存在点使得D的最大值为7【答案】AC【分析】由焦点三角形的性质求出的周长可判断A；当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最

17、大，求出的最大面积可判断B；假设存在点使得，则由分析知点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，求出圆的半径知可判断C；由 可判断D.【详解】对于A，因为椭圆，所以，则，所以的周长为，故A错误；对于B，当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故B正确；对于C，假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆没有交点，所以假设不成立，即不存在点使得，故C错误；对于D，由选项A易得，又，所以，所以，故D正确故选：AC.8（2023上江苏镇江高三扬中市第二高级中学校考期末）已知椭圆，的上顶点为A，

18、两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 【答案】6【分析】由题意可知为等边三角形，为线段的垂直平分线，利用定义转化的周长为4a，即可求出a，b，c，设的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据弦长公式求解即可.【详解】如图，连接，因为的离心率为，所以，即，所以，因为，所以为等边三角形，又，所以直线为线段的垂直平分线，所以，则的周长为， 而，所以直线的方程为，代入椭圆的方程，得，设，则，所以，故答案为：6.9（2023上北京丰台高二北京市第十二中学校考期末）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求，令代入椭圆方

19、程求得即可得解.【详解】由，故，不妨令，代入可得，所以，故弦长为.故答案为：310（2023上浙江宁波高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 .【答案】【分析】根据联立后弦长公式和换元法以及二次函数得最值即可求解.【详解】当直线斜率存在时，设直线方程为：联立，得，即，所以，所以，令，则原式，令，则原式，当时取得最大值，此时，.当直线斜率不存在时，所以的最大值是.故填：.11（2023上辽宁高二校联考期末）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为(1)求C的方程；(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆

20、的方程.（2）根据直线的存在是否存在进行分类讨论，根据弦长公式求得的表达式，结合二次函数的性质求得的最大值【详解】（1）因为C的离心率为，所以因为C上的点到其焦点的最大距离为，所以，解得，因为，所以，故C的方程为（2）当l的斜率不存在时，可得当时，可得，则当时，同理可得当l的斜率存在时，设因为l与圆相切，所以圆心到l的距离为，即联立得设，则，令，则，当且仅当，即时，等号成立因为，所以的最大值为【点睛】利用椭圆的离心率求得椭圆的方程，关键点在于根据条件列方程，求得，是两个参数，所以需要两个条件（方程）来求解.求直线和椭圆相交所得弦长，需要到弦长公式，其中的是通过联立直线方程和椭圆方程，然后利用根

21、与系数关系来求得.12（2023上四川凉山高二统考期末）已知椭圆的长轴为4，离心率为(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的右焦点F的直线与椭圆E交于A，B两点，直线x=4与x轴交于点C，求四边形OACB的面积S的取值范围（其中O为坐标原点）【答案】(1)(2)【分析】（1）由长轴为4，得到a，再根据离心率为求解；（2）设，直线方程为，与椭圆方程联立，然后结合韦达定理，由求解.【详解】（1）解：由题意得，由离心率，椭圆方程为；（2）设，当直线斜率为0时，共线没有形成四边形，故设直线方程为，由，在E内：，令，令，由对勾函数的性质得：u在上单调递增，所以，则【点睛】方法点睛：分割法，结合韦达定理

22、求四边形的面积是常用方法，弦长公式在面积问题中常常用到，平时要勤加运算.椭圆的中点弦问题13（2023上宁夏银川高二银川一中校考期末）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（）ABCD【答案】B【分析】设，代入作差变形即可求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程【详解】设，直线斜率为，则有，-得，因为点为中点，则，所以，即，所以直线的方程为，整理得故选：B14（2023上湖北武汉高二华中师大一附中校考期末）已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（）ABCD【答案】C【分析】先求得直线所过点，然后利用点差法求得直线的斜率，进而求得正确答案.【详解】由于

23、，所以在椭圆上，设的中点为，则，则直线过点，且是的中点，设，则：，两式相减并化简得，所以，即直线的斜率为，所以直线也即直线的方程为.故选：C15（2023上江西赣州高二统考期末）椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，则的最小值为（）ABCD【答案】A【分析】设出的坐标，求得的关系式，利用基本不等式求得正确答案.【详解】设，则，两式相减并化简得，而，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：A16（2023上四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期末）若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（）ABCD【答案】A【分析】利用中点弦问题的点差法求解.【详解

24、】因为，所以为中点，设，因为在椭圆上，所以，两式相减得，即，即，因为直线过点，所以，所以，经检验C、D不满足，A、B选项均满足，但在椭圆外，不符合条件，故选：A.17（2023上云南昆明高二昆明一中校考期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 .【答案】【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率【详解】解：设，是线段的中点，两式相减可得，整理得，即，弦的斜率为，即故答案为：18（2023上江西上饶高二统考期末）已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,则的方程为 .【答案】【分析】设出点坐标,根据直线与椭圆交于第

25、二象限,可得坐标的正负,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,由可得,将坐标代入可得,用点差法将上式及斜率公式代入即可得,又有,可得,两式联立即可得两点坐标,进而求出直线方程即可.【详解】解:由题知,设,所以直线的斜率为,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,如图所示:因为,轴,轴,所以,所以有,即,解得:,因为在上,所以,两式相减可得:,即,两边同时除以,将代入可得:,即,因为,所以,联立可得: ,因为,所以,即,根据截距式直线方程可得:,化简可得:.故答案为：.【点睛】思路点睛:该题考查直线与椭圆的综合问题,属于难题,关于解析几何中有关中点和直线斜率的题的一般思路为:(

26、1)设出点的坐标;(2)根据中点坐标和斜率公式建立等式;(3)将点分别代入圆锥曲线中,两式相减;(4)将中点坐标及斜率代入,化简即可得到等式.19（2023上宁夏银川高二银川一中校考期末）已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为 .【答案】【分析】利用“点差法”即可得出：,结合，求得，即可得出答案【详解】由题意可知直线的斜率，设，代入椭圆方程可得，而，两式相减得：，即得，即，又，联立解得，故椭圆M的方程为：，故答案为：20（2023上内蒙古包头高二统考期末）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2(1)求M的轨迹方

27、程；(2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？【答案】(1)(2)不能，理由见解析【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程；（2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可.【详解】（1）设，则，由得整理得所以，点M得轨迹方程为（2）设，可得两式相减得由题意，所以直线AB方程为代入得，不存在这样的直线l21（2023上甘肃庆阳高二统考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，P为C上一点，且，(1)求，的坐标(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率【答案】(1)，的坐标分别为，(2

28、)【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解.（2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，故，的坐标分别为，（2）设A，B两点的坐标分别为，则，两式相减得因为弦AB的中点在椭圆内，所以，所以直线l的斜率22（2023上陕西西安高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；（2）首先求线段

29、的中垂线方程，根据点在中垂线上，求，并判断是否满足.【详解】（1）椭圆的一个顶点为得椭圆上任一点到两个焦点的距离之和得即所以椭圆的方程为（2）设直线l与椭圆C两个不同的交点所以，点A在线段的中垂线，下面求的方程联立方程去y，可得由，解得设的中点为，有则的方程为即由于点A在直线的中垂线上，解得又所以不存在实数m满足题意23（2023上辽宁沈阳高二沈阳二十中校联考期末）已知椭圆的上顶点是，右焦点是，直线交于两点，恰是的重心，则的斜率是（）ABCD【答案】B【分析】设直线的方程为，联立直线与椭圆得交点坐标关系，结合重心坐标公式列方程即可求得直线的斜率的值.【详解】由题可得，若直线斜率存在，则直线的方

30、程设为，则，所以，得，所以，则因为恰是的重心，所以，则，解得.故选：B.24（2023上四川德阳高二德阳五中校考期中）已知直线与椭圆：交于两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法正确的个数是（）椭圆的离心率为；以为直径的圆过点.A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根据的关系可求离心率，根据两点斜率公式可判断，联立方程，根据斜率公式以及韦达定理即可判断.【详解】由椭圆方程可知：，因此离心率 ，故正确，设,则，由斜率公式可得 ,即，故正确,设，则直线的方程为，所以故 联立直线与椭圆：的方程可得，由根与系数的关系可得，将其代入中，又 ，故，所以 ,所以以为直径的圆过点，故正确，故正确

31、，综上，均正确，故选：D25（2023上湖北高二统考期末）（多选题）已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（）A椭圆的焦点坐标为，B椭圆的长轴长为C直线的方程为D的周长为【答案】BCD【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误；设，代入椭圆方程，作差，即可求出，进而求得直线的方程，即可判断C选项；又直线经过，结合椭圆的定义即可求得的周长，进而判断D选项.【详解】由椭圆方程知：焦点在轴上，且， 即，所以椭圆的焦点坐标为，故A错误；椭圆的长轴长为，故B正确；由题意，可设，则，两式作差得，即，所以直线的方程为，即，故C正确；由C知，直线过椭圆的上焦

32、点，根据椭圆的定义，所以的周长为，故D正确故选：BCD.26（2023上新疆乌鲁木齐高二乌市八中校考期末）（多选题）已知椭圆C：，分别为它的左右焦点，若点P是椭圆上异于长轴端点的一个动点，下列结论中正确的有（）A的周长为15B过椭圆C上一点的切线方程为C的最大值为12D若M是直线与椭圆C相交弦AB的中点，则方程为：【答案】BD【分析】A. 由的周长为求解判断；B.利用验证法判断； C. 求解判断；D.利用点差法求解判断；【详解】由椭圆C：，得a=5，b=3，c=4，A. 的周长为，故错误；B.易知点在直线上，也在椭圆C：上，联立，消去y得 ，因为，所以直线与椭圆相切，故正确；C. 当共线时，等

33、号成立，故错误；D.设直线与椭圆C相交于，联立，两式相减得，则直线方程为，即，故正确；故选：BD27（2023上浙江舟山高二统考期末）（多选题）已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，则下列结论正确的是（）A若直线AB过右焦点，则B若，则直线AB方程为C若，则直线AB方程为D若动点满足，则点的轨迹方程为【答案】ABD【分析】求出椭圆的焦点坐标，根据直线过右焦点求出的坐标即可判A；设出直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量共线即可判断BC；结合选项，利用向量共线的坐标表示和椭圆方程即可判断D.【详解】对于A，因为椭圆的右焦点为，又直线过点，所以直线的方程为，所以或，当时，此时；

34、当时，此时，综上所述，当直线AB过右焦点，则，故选项A正确；对于B，由选项可知：直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立方程组，整理可得：，设，由韦达定理可得：，因为，所以，则有，也即，解得：，此时直线的方程为：，故选项B正确；对于C，同选项可得：，因为，所以，则有，则，解得，所以，化简整理可得：，显然不是方程的根，故选项C错误；对于D，设，因为，则，两式相乘可得：，同理可得：，则，也即，又因为在椭圆上，所以，根据题意可知：，所以，所以动点的轨迹方程为：，即，故选项D正确，故选：ABD.28（2023上江苏苏州高二统考期末）（多选题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线与没有公共点，且上

35、至少有一个点到的距离为，则的短轴长可能是（）A1B2C3D4【答案】BC【分析】根据给定的离心率，用b表示a，利用直线与无公共点及上至少有一个点到的距离为建立不等式，求出b的范围作答.【详解】依题意，椭圆的离心率，解得，椭圆的方程为，设椭圆上的点，直线与没有公共点，即方程组无实数解，因此方程无实根，有，即，解得，因为上至少有一个点到的距离为，则有点到直线的距离的最小值不大于，当且仅当，即时取等号，于是得，从而，有，显然选项A，D不满足，选项B，C满足.故选：BC.29（2023上上海闵行高二上海市七宝中学校考期末）若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是 .【答案】【分析】首先求出直线

36、过定点及方程表示椭圆时参数的取值范围，依题意定点在椭圆内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】解：因为表示椭圆，且，对于直线，令，解得，即直线恒过定点，因为直线与椭圆恒有两个不同的公共点，所以点在椭圆内部，所以，解得或，综上可得.故答案为：30（2023上江苏南通高二统考期末）已知点，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 【答案】20【分析】根据条件，运用斜率公式求出P点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值.【详解】设，由题意可知，整理得；得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点，显然当点位于上下顶点时面积取得最大值，因为，所以 ；故答案为：20.31（2023上山东聊城高二统

37、考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，且到直线l：的距离为(1)求C的方程；(2)与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；(3)P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【详解】（1）设，由题意得，解得，所以C的方程为（2）证明：设这组平行线的方程为

38、，与联立消去x，得，则，得设直线被C截得的线段的中点为，则，其中，是方程的两个实数根所以，消去m，得，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上（3）由（2）知，l与C相离，当直线与C相切时，解得或当时，直线与l的距离为，此时，当时，直线与l的距离为，此时，所以面积的取值范围为32（2023上内蒙古包头高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8(1)求椭圆的方程；(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程【答案】(1)；(2)；或.【分析】（1）根据的周长为求出，再根据离心率求出，从而求出椭圆方程.（2

39、）设出直线的方程为，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出依次成等比数列，进而求出的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出的面积，求解即可得到的值，从而得到直线的方程.【详解】（1）由题意，解得，所以.故椭圆的方程为（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得，且，所以由题意，故.此时，.又点O到直线的距离，故三角形的面积,解得或，所以直线l方程为或.33（2023上湖北黄冈高二统考期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的一条以为中点的弦所在直线的方程为.(1)求椭圆的方程；(2)点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，求的最大值，并求出此时点的坐标.【答案】(1)(2)，【分析】（1）由点差法得出，进而由得出椭圆的方程；（2）设，联立直线（）与椭圆方程，求出，再由面积公式结合相似三角形的性质得出，令，由二次函数的性质得出的最大值以及点的坐标.【详解】（1）设，则，两式相减得，所以，即即，又，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，则：，：联立，消去得同理，联立，消去得所以.令，则当且仅当，即，即时，取得最大值.综上所述，当时，取得最大值.