专题09 抛物线-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析.docx

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1、专题09 抛物线专题09 抛物线-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析 抛物线的定义及应用1（2023上吉林辽源高二校联考期末）抛物线的焦点到准线的距离为（）A4B2C1D2（2023上广东深圳高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（）ABCD3（2023上四川凉山高二统考期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（）ABC3D4（2023上内蒙古巴彦淖尔高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上

2、，则的最大值为（）ABCD5（2023上陕西榆林高二统考期末）已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 .6（2023上北京密云高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于若，则抛物线的方程为 7（2023上湖南衡阳高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 .8（2023上江苏南京高二南京师大附中校考期末）设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则 .抛物线的焦点弦9（2023上浙江宁波高二期末）如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射

3、出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（）ABCD10（2023上山东威海高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，则（）AB3C6D1211（2023上重庆高二校联考期末）已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，则（）A1B2C3D412（2023上陕西高二校联考期末）已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（）ABCD13（2023上福建福州高二统考期末）(多选题)已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线过点F且与抛物线交于A、B两点，若是线段A

4、B的中点，则（）Am=1Bp=4C直线的方程为 D14（2023上云南昆明高二昆明一中校考期末）（多选题）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（）A直线的斜率为或B的中点到的距离为4CD（O为坐标原点）15（2023上四川凉山高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率 .16（2023上湖北高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为 .直线与抛物线17（2023上陕西西安高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（）ABC

5、D18（2023上山东聊城高二统考期末）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（）ABCD19（2023上福建福州高二福建省福州第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（）ABCD20（2023上四川绵阳高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为，若，则的面积为（）ABCD21（2023

6、上四川凉山高二统考期末）过点的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若.则 .22（2023上广东汕尾高二统考期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 .23（2023上山东潍坊高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则 .24（2023上上海闵行高二上海市七宝中学校考期末）过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出 条.25（2023上河南三门峡高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（）ABCD26（2023上四

7、川泸州高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（）A3.1mB3.3mC3.5mD3.7m27（2023上福建南平高二统考期末）过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（）A3BC6D28（2023上湖南长沙高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则（）ABCD229（2023上山东济宁高二统考期末）已知双曲

8、线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD30（2023上浙江湖州高二统考期末）已知抛物线，其焦点为是过点的一条弦，定点的坐标是，当取最小值时，则弦的长是 .31（2023上江苏苏州高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 .32（2023上上海浦东新高二上海市建平中学校考期末）抛物线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为 .33（2023上广西贵港高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐

9、标为，求直线的斜率.34（2023上云南大理高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点.(1)求抛物线C的方程；(2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值.专题09 抛物线 抛物线的定义及应用1（2023上吉林辽源高二校联考期末）抛物线的焦点到准线的距离为（）A4B2C1D【答案】B【分析】利用焦点到准线的距离为，即可求解【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以由抛物线可得，故选：B2（2023上广东深圳高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（）ABCD【答案】C【分析】利用抛物线的定义即可求解.

10、【详解】因为点到轴的距离为，所以点P的横坐标为，所以点P的纵坐标，抛物线的准线为.所以到抛物线准线的距离为，即点到该抛物线焦点的距离为.故选：C3（2023上四川凉山高二统考期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（）ABC3D【答案】C【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值.【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.故选：C4（2023上内蒙古巴彦淖尔高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（）ABCD【答案】B【分析】根据抛物线的

11、定义可得，利用，从而得到，即可求解.【详解】如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：，所以，而所以.当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1.故选：B5（2023上陕西榆林高二统考期末）已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 .【答案】2【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.【详解】抛物线的焦点为，准线为，因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，所以点P到抛物线C的准线的距离为，解得，故答案为：26（2023上北京密云高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点

12、，于若，则抛物线的方程为 【答案】【分析】根据抛物线的定义可得，然后在直角三角形中利用可得，从而可得答案【详解】根据抛物线的定义可得，又，所以，得，所以抛物线的方程为故答案为：7（2023上湖南衡阳高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 .【答案】3【分析】根据题意画图，再由抛物线的定义，即可得到的最小值为，知当三点共线且垂直于准线时取最小即可计算出.【详解】根据题意画图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，由于为上的一动点，则当三点共线时即，则，解得.故答案为：3.8（2023上江苏南京高二南京师大附中校考期末）设抛

13、物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则 .【答案】【分析】根据抛物线定义得，由点在抛物线上，代方程即可解决.【详解】由题知，抛物线的焦点，抛物线上一点到点的距离为6，所以，得，所以抛物线为，所以，解得，故答案为：抛物线的焦点弦9（2023上浙江宁波高二期末）如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（）ABCD【答案】A【分析】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，由此即可求得点A的坐标.【详解】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，此时，则，所以

14、，则点A的坐标是.“轴时，最小”的证明：法一：设AB倾斜角为，由，当即轴时，；法二：设，与联立得，所以，所以，所以，又，当且仅当时取等号故选：A.10（2023上山东威海高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，则（）AB3C6D12【答案】B【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可.【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，所以，.又，所以，设，则.因为，所以，所以，所以，即.所以，抛物线为，焦点为，准线为，由得，解得，所

15、以，所以，直线的方程为所以，联立方程得，解得，所以，所以， 故选：B11（2023上重庆高二校联考期末）已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，则（）A1B2C3D4【答案】D【分析】确定,，确定过点，联立方程求得点M的横坐标，利用抛物线焦半径公式即可求得答案.【详解】由题意得,，准线方程为，当时，即过点，联立，即，解得或，由于M在第一象限，且斜率大于0，故取M横坐标为3，则，故选：D12（2023上陕西高二校联考期末）已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】如图，设点的坐标，准线与轴的

16、交点为A，根据抛物线的定义和勾股定理可得的周长为，令，利用换元法可得，解之即可求解.【详解】如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为A，则，所以的周长为.得，令，则，有，即，解得(舍去)或，所以，由解得.故选：A.13（2023上福建福州高二统考期末）（多选题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线过点F且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（）Am=1Bp=4 C直线的方程为 D【答案】BC【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由点在直线上可求得m，可判断A；利用弦长公式可判断D.【详解】由题知，故B正确；故抛物线方程为，设，易知，则，由点差法

17、可得又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率因为直线l过焦点，所以l的方程为，即，C正确；将代入可得，A错误；将代入得，所以，所以，故D错误.故选：BC14（2023上云南昆明高二昆明一中校考期末）（多选题）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（）A直线的斜率为或B的中点到的距离为4CD（O为坐标原点）【答案】ABC【分析】由题设直线的方程为，进而联立方程，结合向量关系得或，再依次讨论各选项即可.【详解】解：由题知焦点为，准线为，所以，设直线的方程为，所以，得，所以，因为，即，所以，所以，由得或，所以直线的斜率为，故A选项正确；所以，故的中点的横坐标为，

18、所以，的中点到的距离为，故B选项正确；当时，此时，故；当时，此时，故；故C选项正确；因为，故不成立，故D选项错误.故选：ABC15（2023上四川凉山高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率 .【答案】【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及，可求答案.【详解】设，直线与抛物线联立得，即；，因为，所以，所以，代入可得即，所以故答案为：16（2023上湖北高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为 .【答案】【分析】首先求出焦点坐标，即可得到直线的方程，设，联立直线与抛物线方程，消元、

19、列出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得.【详解】解：因为抛物线的方程为，所以焦点为，所以直线的方程为，设，由，消去整理得，所以，所以.故答案为：直线与抛物线17（2023上陕西西安高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（）ABCD【答案】B【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可.【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点，所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为，设，联立，整理得，所以所以，因为线段中点的横坐标为，所以，所以，所以，故选：B.18（2023上山东聊城高二统考期末）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经

20、过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（）ABCD【答案】A【分析】求出坐标，进而联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出点B的纵坐标.【详解】抛物线C：的焦点坐标为，设，因为点在抛物线上，所以，由题意可知，三点在一条直线上，直线的斜率为，即直线的方程为，联立，可得，因为.故选：A19（2023上福建福州高二福建省福州第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（）ABCD【答案】C【分析】本题首先可

21、设、，则、，然后两式相减，可得，再然后根据、两点在倾斜角为的直线上得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.【详解】设，则，两式相减得，即，因为、两点在倾斜角为的直线上，所以，即，因为线段中点的纵坐标为，所以，则，抛物线的方程是，故选：C.20（2023上四川绵阳高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为，若，则的面积为（）ABCD【答案】B【分析】根据抛物线的性质求出焦点坐标和准线方程，设点A、B的坐标，利用平面向量的坐标表示求出A、B的纵坐标，即可求解.【详解】由题意知，抛物线的焦点为，准线为，设，则，由，得，又，解得

22、，所以，所以的面积为.故选：B.21（2023上四川凉山高二统考期末）过点的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若.则 .【答案】/0.5【分析】设直线方程为与抛物线联立，结合，利用韦达定理计算可得点A，B的坐标，进而求出向量的坐标，利用向量夹角公式即得.【详解】设直线的方程为，将直线方程代入抛物线的方程，得，不妨设且，所以， 由抛物线的定义知，由可知，则，所以，则A，B两点坐标分别为，,所以，则.故答案为：.22（2023上广东汕尾高二统考期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 .【答案】/【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立

23、，求出、，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值.【详解】易知点，设点、，因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，联立可得，解得，由抛物线的定义可得，可得，因此，.故答案为：.23（2023上山东潍坊高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则 .【答案】/【分析】点斜式设出直线的方程，联立抛物线方程，求出，两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出，即可得出结论.【详解】由题知，设直线的方程为：，联立可得，从而，.故答案为：24（2023上上海闵行高二上海市七宝中学校考期末）过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出 条.【答案】【

24、分析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率存在，当时符合题意；当时，过点的直线与抛物线相切符合题意【详解】解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，（2）当过点且直线与抛物线的对称轴平行，即斜率为时，显然与抛物线有且只有一个交点，当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程，消得：，由已知有，则 ，解得，即直线方程为，综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条故答案为：325（2023上河南三门峡高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动

25、点，且点在的右下方，则面积的最大值为（）ABCD【答案】A【分析】求出直线方程后，联立抛物线方程，求出弦长，再由点到直线距离得出三角形高，利用二次函数求最值即可.【详解】由知，则直线为，设，则D到直线的距离为，又点在的右下方，所以，联立方程，消元得，设，则，所以，所以故当时，有最大值.故选：A26（2023上四川泸州高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（）A3.1mB3.3mC3.5mD3.7m【答案】B【分析

26、】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.【详解】取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，则，设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得，抛物线方程为，行车道总宽度，将代入抛物线方程，则，限度为.故选：B.27（2023上福建南平高二统考期末）过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（）A3BC6D【答案】A【分析】利用中点关系求出E的轨迹方程，结合椭圆定义由数形结合可得最小值.【详解】设，E为线段AB的中点，则，又，两式相减得，由，E的轨迹为顶点在的抛物线

27、.如图所示，、EP垂直C的准线于N、P，则 ，则当与F重合时，最小，为.故的最小值为3.故选：A.28（2023上湖南长沙高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则（）ABCD2【答案】D【分析】根据抛物线的方程得出焦点的坐标，根据题意可知斜率，设直线的方程为：，其中，设，联立直线与抛物线的方程即可根据韦达定理得出，根据已知得出，即可根据向量运算化简代入得出，解得，即可得出答案.【详解】由抛物线：可得其焦点的坐标为，由题意可知斜率，设直线的方程为：，其中，联立，消去得，设，则，而，则，即，解得，故选：D.29（2023上山东济宁高二统考期末）已知双曲线，

28、抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】C【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用为正三角形，列方程解系数既可.【详解】双曲线的两条渐近线方程为，抛物线的焦点为，准线方程为，不妨取，为正三角形，由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，所以双曲线的两条渐近线方程为.故选：C30（2023上浙江湖州高二统考期末）已知抛物线，其焦点为是过点的一条弦，定点的坐标是，当取最小值时，则弦的长是 .【答案】【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，由图可知当三点共线时，取最小值，由此可得点的坐标，从而可得直线的

29、方程，联立方程求出点的坐标，即可得解.【详解】抛物线的焦点，准线为，如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，所以，当且仅当三点共线时，取等号，所以当取最小值时，点的横坐标为，当时，即，所以，所以直线的方程为，联立，消得，解得或，当时，即，所以.故答案为：.31（2023上江苏苏州高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 .【答案】/【分析】设，依题意表示出，即可得到动点的轨迹方程，再根据距离公式及二次函数的性质计算可得.【详解】解：设，则，所以，即，即动点的轨迹方程为，所以，所以当时.故答案为：32（2023上上海浦东新高二上海市建平中学校考期末）抛物

30、线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为 .【答案】/【分析】根据抛物线上动点满足的方程及抛物线的定义确定焦点与准线即可得解.【详解】抛物线C上任意一点都满足知，动点到定点和直线的距离相等，所以为抛物线的焦点，为抛物线的准线，故焦点到准线的距离为，故答案为：33（2023上广西贵港高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可；（2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率.【详解】

31、（1）由题可知，解得，故抛物线的方程为.（2）设，则，两式相减得，即.因为线段的中点坐标为，所以，则，故直线的斜率为2.34（2023上云南大理高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点.(1)求抛物线C的方程；(2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）将代入抛物线中，求出，得到答案；（2）联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由垂直关系得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出答案.【详解】（1）因为抛物线：经过点，则，解得，故抛物线的方程为.（2）设，联立，可得，则，得，且，所以，.因为，所以，可得，即，所以，即，解得或，所以，或，即有或.