专题14 导数的应用-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）含解析.docx

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1、专题14 导数的应用-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）含解析专题14 导数的应用函数的单调性问题1（2023上宁夏银川高二银川一中校考期末）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立.若，则的大小关系是（）ABCD2（2023上陕西西安高二校考期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（）ABCD3（2023上山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（）ABCD4（2023上山西阳泉高二统考期末）函数的单调递增区间为（）ABCD5

2、（2023上江苏南京高二南京师大附中校考期末）设m为实数，已知函数，则不等式的解集为 6（2023上浙江宁波高二统考期末）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 7（2023上福建福州高二福州三中校考期末）写出一个同时具备下列性质的函数： ； 8（2023上江苏南京高二南京大学附属中学校考期末）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处切线的方程；(2)试讨论函数的单调区间.函数的极值问题9（2023上湖南张家界高二统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（）ABCD10（2023上江苏高二统考期末）在等比数列中，是函数的极值点，则a5（）A或BCD11（2023上

3、北京朝阳高二统考期末）已知函数有两个极值点，则（）A或 B是的极小值点 C D12（2023上内蒙古赤峰高二统考期末）已知，则（）A在上单调递增B在上单调递减C有极大值，无极小值D有极小值，无极大值13（2023上宁夏银川高二银川一中校考期末）已知函数，则的极大值为 14（2023上四川资阳高二统考期末）函数在区间上的极大值点是 .15（2023上吉林高二校联考期末）若是函数的极大值点，则的取值范围是 16（2023上山西晋中高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数(1)求的单调区间；(2)求的极值函数的最值问题17（2023上北京高二北京市十一学校校考期末）已知函数，若成立，则nm的最小值为（

4、）ABCD18（2023上江苏徐州高二统考期末）已知，则（）ABCD19（2023上浙江杭州高二杭州高级中学校考期末）已知函数则下列结论中正确的是（）A函数既有最小值也有最大值B函数无最大值也无最小值C函数有一个零点D函数有两个零点20（2023上福建南平高二统考期末）已知函数的最小值为1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（）ABCD21（2023上陕西宝鸡高二统考期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（）A1B3CD22（2023上江苏常州高二常州市第一中学校考期末）已知正实数x，y满足，则的最大值为 .23（2023上陕西西安高二长安一中校考期末）若函数在

5、上有最小值，则实数的取值范围是 .24（2023上山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数，且.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的值域.25（2023上云南昆明高二昆明一中校考期末）定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（）ABCD26（2023上陕西商洛高二统考期末）已知函数的一个极值点为1，则（）A6BC3D27（2023上陕西高二校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（）ABCD28（2023上江苏苏州高二常熟中学校考期末）若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）ABCD29（2023上山西运城高二统考期末）若函数有小

6、于0的极值点，则a的范围是 30（2023上山西晋中高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为 31（2023上陕西西安高二长安一中校考期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 .32（2023上安徽高二校联考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值和最小值.33（2023上浙江杭州高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）(1)当时，求在处的切线方程；(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围34（2023上山西临汾高二统考期末）已知函数在处取得极小值1.(1)求实数的值；(2)求函

7、数在区间上的值域.专题14 导数的应用函数的单调性问题1（2023上宁夏银川高二银川一中校考期末）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立.若，则的大小关系是（）ABCD【答案】D【分析】由题可得的图象关于轴对称，令，可得是奇函数，利用导数可得单调性，由此能求出结果【详解】的图象关于直线对称，的图象关于轴对称，令，是奇函数，当时，在单调递减，则在也单调递减，故选：D2（2023上陕西西安高二校考期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（）ABCD【答案】A【分析】根据函数的奇偶性及单调性，判断导函数的奇偶性及函数值的正负即可求解.【详解】由函数图

8、象知为偶函数，则，因为的导数存在，两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故，即为奇函数，排除CD，由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B，故选：A3（2023上山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围.【详解】由已知，函数的定义域为，.由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，即，可转化为在上恒成立，所以因为，所以，所以因此实数a的取值范围是故选：D【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式

9、恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.4（2023上山西阳泉高二统考期末）函数的单调递增区间为（）ABCD【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，令，得或，又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，故选：C5（2023上江苏南京高二南京师大附中校考期末）设m为实数，已知函数，则不等式的解集为 【答案】【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性解不等式作答.【详解】函数的定义域为R，求导得：，而，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，因此，即函数在R上单调递增，则，所以不等式的解集为

10、.故答案为：6（2023上浙江宁波高二统考期末）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 【答案】【分析】首先根据题意得到，再根据的单调性即可得到答案.【详解】，因为函数在区间上单调递减，所以，恒成立，即，.又在上单调递减，所以，故，即，所以m的取值范围为.故答案为：.7（2023上福建福州高二福州三中校考期末）写出一个同时具备下列性质的函数： ； 【答案】（答案不唯一）【分析】根据题目的要求分析函数的类型，再从中选一个.【详解】因为 是加变乘，所以考虑指数函数类型，又 是减函数， 满足要求；故答案为： （答案不唯一）.8（2023上江苏南京高二南京大学附属中学校考期末）已知函数

11、，其中.(1)当时，求曲线在点处切线的方程；(2)试讨论函数的单调区间.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.【详解】（1）当时，,则，又，在点处切线的方程为；（2）由题可得，令，解得或，若，当变化时，的变化情况如表：,00增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为；若，当变化时，的变化情况如表：,00增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为；若，则，函数的单调增区间为；综上，当时，的单调增区间为和,，单调减

12、区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.函数的极值问题9（2023上湖南张家界高二统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.【详解】函数的定义域为，因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同正根，即有两个不同正根，所以解得，故选:A.10（2023上江苏高二统考期末）在等比数列中，是函数的极值点，则a5（）A或BCD【答案】C【分析】根据题意可知：是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.【详解】因为，所以.又因为是函数的极值点，即是方程的两根，则有，由为等

13、比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，故选：.11（2023上北京朝阳高二统考期末）已知函数有两个极值点，则（）A或B是的极小值点CD【答案】A【分析】根据函数有两个极值点，则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数有两个极值点，所以有两个根,所以,故选项错误;因为有两个根,所以,即得,解得或,故选项正确;因为有两个根,在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;故选: A.12（2023上内蒙古赤峰高二统考期末）已知，则（）A在上单调递增B在上单调递减C有极大值，无极小值D有极小值，无极大值【答案】C【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单

14、调区间，从而求出函数的极值.【详解】因为，所以，则当时，当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时函数有极大值，无极小值.故选：C13（2023上宁夏银川高二银川一中校考期末）已知函数，则的极大值为 【答案】【分析】求出函数导数，令导数等于0，判断出极大值点，进而求得极大值，即得答案.【详解】由函数得函数，令，则或，当时，当时，当时，故为函数的极大值点，极大值为，故答案为：14（2023上四川资阳高二统考期末）函数在区间上的极大值点是 .【答案】【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点.【详解】因为，所以，令，即，解得，当时，当时，所以在上单调递增，在上

15、单调递减，所以在处取得极大值，即极大值点为.故答案为：15（2023上吉林高二校联考期中）若是函数的极大值点，则的取值范围是 【答案】【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两们的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围【详解】因为，令，解得或，当，即，则当或时，当时，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点，反之，当，即，则当或时，当时，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，所以是函数的极小值点，不符合题意；当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点综上得：，即的取值范围是故答案为：16（2023上山西晋中高二山西

16、省平遥中学校校考期末）已知函数(1)求的单调区间；(2)求的极值【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；(2)极大值为，极小值为0【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间，由得减区间；（2）由单调性得极值点，计算得极值【详解】（1）的定义域为，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又，所以的极大值为，极小值为0函数的最值问题17（2023上北京高二北京市十一学校校考期末）已知函数，若成立，则nm的最小值为（）ABCD【答案】A【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数

17、研究单调性并确定最值，即可求的最小值.【详解】令，则，即，若，则，有，当时，单调递减；当时，单调递增；，即的最小值为.故选：A.【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.18（2023上江苏徐州高二统考期末）已知，则（）ABCD【答案】B【分析】设，利用导数可得在上单调递减，从而有，即；令，利用导数可得在上单调递减，从而有，即，即可得答案.【详解】设，则有，所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以，即有，故；令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，即，故，综上所述，则有.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作

18、商法；(3)利用函数的单调性进行比较.19（2023上浙江杭州高二杭州高级中学校考期末）已知函数则下列结论中正确的是（）A函数既有最小值也有最大值B函数无最大值也无最小值C函数有一个零点D函数有两个零点【答案】C【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案.【详解】，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.故函数有最大值，无最小值，AB错误，设，则恒成立，函数单调递增，且，故函数有一个零点，C正确，D错误.故选：C20（2023上福建南平高二统考期末）已知函数的最小值为1，过点的直线中有且只有两条

19、与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解.【详解】因为，则，令可得当时，是增函数当时，是减函数所以当时，有最小值，所以，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，则切线方程为，又切线过点，所以，即，即过点的直线有两条与函数的图象相切，则，即，解得：或故选：.21（2023上陕西宝鸡高二统考期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（）A1B3CD【答案】B【分析】，先求得极值，再求得

20、端点值比较求解.【详解】解：令，解得或，当时，时，又，显然，所以，所以，故选：B22（2023上江苏常州高二常州市第一中学校考期末）已知正实数x，y满足，则的最大值为 .【答案】/【分析】把已知等式变形为，利用函数的单调性得的关系，从而将转化为的函数，再利用导数求得其最大值即可【详解】由得，所以，则，因为，所以，令，则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变形，从而利用函数的单调性得出变量间的关系，由此得解.23（2023上陕西西安高二长安一中校考期

21、末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算，得到，解得答案.【详解】，取得到，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；，取，则或，函数在上有最小值，则，解得，即.故答案为：24（2023上山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数，且.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.【详解】（1），解得：，则，在点处的切线方程为：，即.

22、（2）由（1）知：，则，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，又，的值域为.25（2023上云南昆明高二昆明一中校考期末）定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】根据题意分析可得，构建，求导，结合函数单调性解不等式.【详解】，且，可得，故原不等式等价于，构建，则，则恒成立，在定义域内单调递减，且，则对于，解得，故不等式的解集为.故选：B.26（2023上陕西商洛高二统考期末）已知函数的一个极值点为1，则（）A6BC3D【答案】D【分析】根据可导函数在极值点的导数为0求得，而，再利用导数的定义即可求解.【详解】求导得因为的一个极值点为1，所以，解得当

23、时，则1是函数的一个极值点.所以，此时.因为而所以故选：D27（2023上陕西高二校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（）ABCD【答案】A【分析】根据已知含导数的不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，即可得函数值大小，从而得答案.【详解】设函数，则，所以在上单调递减，从而，即，则.故选：A.28（2023上江苏苏州高二常熟中学校考期末）若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】求函数的极值点，由条件列不等式，求的取值范围.【详解】因为， 所以当时，即时函数取最大值，当时，即时函数取最小值，故函数的极大值点为，极小值点为，因为函数在区间上既

24、有极大值又有极小值，所以，故，所以的取值范围为.故选：A.29（2023上山西运城高二统考期末）若函数有小于0的极值点，则a的范围是 【答案】【分析】由函数解析式，求导，将问题转化为导数求零点问题，构造新函数，再求导，研究函数在小于上的值域，利用函数平移规律，可得答案.【详解】由函数，则求导可得，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故，由恒成立，则当时，恒成立，因此，当时，由函数有小于0的极值点，则有小于的零点，且零点的左右符号不同，根据函数的平移变换，可得，故答案为：.30（2023上山西晋中高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则

25、不等式的解集为 【答案】【分析】由已知构造函数，并得出函数在上单调递减，再求解不等式即可.【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递减.又，即，又，即，所以，解得，所以不等式的解集为故答案为：.【点睛】方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.31（2023上陕西西安高二长安一中校考期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】求

26、出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.【详解】，令得，时，时，所以在和上单调递增，在上单调递减，若函数在上有最小值，则其最小值必为，则必有且，解得，故答案为：.32（2023上安徽高二校联考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为，；递减区间为(2)最大值为59，最小值为-49【分析】（1）求出函数的定义域，然后求导，解不等式，得到单调区间；（2）根据函数的单调性求出极值和端点值，比较后确定最值.【详解】（1）的定义域为R，且.解得或，所以递增区间为，；解得，所以递减区间为.（2）由（1）可知，的变化如下表x-3（-3，-1）-1（

27、-1，1）1（1，3）3+0-0+-49单调递增极大值11单调递减极小值-1单调递增59所以函数在上的最大值为59，最小值为-49.33（2023上浙江杭州高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）(1)当时，求在处的切线方程；(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）将函数在区间上存在极值转化为，使得，两侧的导数异号，利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）当时，所以，所以，所以在处的切线的斜率为，所以在处的切线方程为，即.（2）因为，所以，因为函

28、数在区间上存在极值，所以，使得，两侧的导数异号，所以，即，令，由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，所以，即,所以实数k的取值范围为.34（2023上山西临汾高二统考期末）已知函数在处取得极小值1.(1)求实数的值；(2)求函数在区间上的值域.【答案】(1)a3，b9(2)【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）由（1）得到的解析式，利用导数研究其单调性，进而可求出最值，得到值域.【详解】（1）因为，所以，根据题意，即解得a3，b9.（2）由（1）知，令，解得或，当时，及的变化情况如下表：12028单调递减1单调递增8因此当时，取得最小值，当时，取得最大值，故的值域为.