专升本高等数学复习资料.pdf

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1、第一章极限和连续 第一节极限 复习考试要求1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）o 会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必 要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大 量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用 等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性复习考试要求1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之 间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的

2、间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考试要求1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函 数在一点处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶 微分。第二节导数的应用复习考试要求L熟练掌握用洛必

3、达法则求08、-o d。&型未定式的极限的方法。2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用 函数的单调性证明简单的不等式。3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值 的方法，会解简单的应用题。4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2.熟练掌握不定积分的基本公式。3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根 式代换）。4.熟练掌握不定积分的分部积分法。5.掌握简单有理函数不

4、定积分的计算。第二节定积分及其应用复习考试要求1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2.掌握定积分的基本性质3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4.熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式。5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋 转所生成的旋转体的体积。第四章多元函数微分学复习考试要求1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念。3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶

5、偏导数的求 法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步复习考试要求L了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件 的概念。2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6.了解随机变量的概

6、念及其分布函数。7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续第一节极限复习考试要求L了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必 要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大 量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用 等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容(-)数列的极限1.数列定义按一定顺序排列

7、的无穷多个数公,町,勺，称为无穷数列，简称数列，记作仅不，数列中每一个数称为数列的项，第n项 x n为数列的一般项或通项，例如(1)1,3,5,，(2n-l),(等差数列)1 1 1 1(2)行广浮(等比数列)1 2 3 n”广石(递增数列)l+(-l)n+1(4)1,0,1,0,(震荡数列)都是数列。它们的一般项分别为1 n l+(-l)n41/r x 2 w+1 2(2n-l),o对于每一个正整数n,都有一个x n与之对应，所以说数列x n可看作自变量n 的函数x n=f(n),它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3一切 正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列x n

8、可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点Xl,X2,X3,.Xn，-O2.数列的极限定义对于数列x n,如果当nT8时x n无限地趋于一个确定的常数A,则称当 n趋于无穷大时，数列仅川以常数A为极限，或称数列收敛于A,记作 Em=月或勺 7月（当福一融寸）比如：无限的趋向01 2 3 n广G，无限的趋向1否则，对于数列x n,如果当n8时不是无限地趋于一个确定的常数，称数列仅不没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1,3,5,（2n-l）,L o,1,o,数列极限的几何意义：将常数A及数列的项租/依次用数轴上的点表 示，若数列仅川以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x n可以

9、无限靠近 点A,即点x n与点A之间的距离|x n-A|趋于0。比如：1 1 1 1 行广亍 无限的趋向01 2 3 n了了彳初 无限的趋向1U）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1（惟一性）若数列仅吊收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2（有界性）若数列出川收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：i+（-i）n+121,0,1,0,有界：0,12.数列极限的存在准则定理1.3(两面夹准则)若数列x n,yn,zn满足以下条件：(1)匕znS=l,2,3)lim”=limz”=月 Em?1=A(2),则定理1.4若数列Xn单调有界，则它

10、必有极限。3.数列极限的四则运算定理。定理1.5如果Hm a=4贝ij limy*=瓦则 X qd弱区士八)=黝4士煦八二月3(1)黝(/八)=陶/)(晚)=月用(2)Km三 3，旦 hm簿 BEmx*0(3)当 时，(三)函数极限的概念1.当XT0时函数f(X)的极限(1)当XT0时f(X)的极限定义对于函数y4(X),如果当X无限地趋于X0时，函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当XTO时，函数f(X)的极限是A,记作lim/(x)=Nf 或 f(x)T(当 XTlx Tx-1 1 1.01 1,001-1y-3.2 3.02 3 002-3(2)左极限当x-o时f(x)的左极限定义对于

11、函数y=f(x),如果当x从x o的左边无限地趋于x o时，函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当xo时，函数f(x)的左极限是A,记作 果x)r 或 f(X0_0)=A(3)右极限当X-0时，f(X)的右极限定义对于函数y=f(x),如果当x从X0的右边无限地趋于X0时，函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当xto时，函数f(x)的右极限是A,记作 lim f(x)=A f&或 f(x o+0)=A例子：分段函数x+l x0 求 x f 讨解：当x从0的左边无限地趋于0时f(x)无限地趋于一个常数1。我们称当x-0时，f(x)的左极限是1,即有lim_/(x)=lim_(x+l)=1当x

12、从0的右边无限地趋于0时，f(x)无限地趋于一个常数-1。我们称当xT)时,f(x)的右极限是-1,即有%g)=j郛(x-i)=i场小)工细小)显然，函数的左极限之,右极限黑 与函数的极限li m/(x)XT飞之间有以下关系:定理L6当x f勺 X的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A,/-i/(x)=J(x wl)x-1lim f(x)=A 则必有x T 时 f(x)fx)=3(x+l)(x _l)=x+x i /一1、x-4f(x)limL=2x-1 X-1，当x T时，f(x)的左极限是2,右极限也是2。2.当X-8时，函数(x)的极限(1)当X-8时，函数(x)的极限

13、 y 二f(x)x-曲()f y=f(x)=l+xx撷)=1+，Tlim(l+)=1XT9 x定义对于函数y4(x),如果当x-8时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称 当x-8时，函数(x)的极限是A,记作 lim fix)=Af 或 f(x)T(当 x 78时)(2)当x f 8时，函数f(x)的极限定义对于函数y=f(x),如果当xf8时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称 lim f(x)=A当xf8时，函数f(x)的极限是A,记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中nf 8的1是正整 数；而在这个定义中，则要明确写出x f 8,且其中的(不一定是正整数，而 为任意实数

14、。y=f(x)x f 0?/(x)=2+二=2+11x f 8,f(x)=2+,-2期例：函数f(x)例+”,当xf8时,f(x)?i解：f(x)=2+e x=2+/,ix f 8,f(x)=2+7-2lim(2+1)=2所以(3)当XT8时，函数f(X)的极限定义对于函数y=f(x),如果当XT8时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当X-8时,f(x)的极限是A,记作x 蚂/（X）一XTOf(X)?1贝！Jf(x)=2+(x 0)1 f(x)=2+蚂Q+之)=2/(x)=2+(1=(x?解：当XT8时，-Xf8/(%)=2+-=4 应即有 典（2+表）=2由上述x-8,XT8时，函数f（X

15、）极限的定义，不难看出：X-8时（X）的极限是A充分必要条件是当Xf 8以及（f 8时，函数f（X）有相同的极限Ao例如函数为匕，当X78时,f（X）无限地趋于常数1,当Xf 8时,ff（x）=1+L（X）也无限地趋于同一个常数1,因此称当X8时 X 的极限是1,记作lim(1+)=1其几何意义如图3所示。f(x)=l+-lim(1+3=1 xlim(1+)=1X74C0、x lim(1+-)=128 xy 二a rct a nxlim a rct a nx=-,lim a rct a n x=-co 2 2:.lim a rct a n x不存在。但是对函数y=a rct a nx来讲，因为

16、有lim a rct a nx=-2lim a rct a n x=z-Ko 2即虽然当XT8时,f（X）的极限存在，当Xf8时,f（X）的极限也存在，但 这两个极限不相同，我们只能说，当Xf8时,y=a rct a nx的极限不存在。x)=1+彳lim(1+)=1Xlira(1+)=1lim(1+)=1 xy=a rct a nxlira a rct a nx=-,lim a rct a n x=x-co 2 2:.lim a rct a n x x-co不存在。但是对函数y=a rct a nx来讲，因为有lim a rct a n x=-x T-2lim a rct a nx=z-K 2

17、即虽然当XT8时,f（x）的极限存在，当XT8时,f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当Xf8时,y=a rct a nx的极限不存在。（四）函数极限的定理lim/（x）定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理1.8（两面夹定理）设函数/屈x）Mx）在点丽的某个邻域内（X。可除外）满足条件:()g(x)Xq X.Xq(Q 1 x-x x-%用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数 的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于XT的情形也都成立。(五)无穷小量和无穷大量1.无穷小量(简称无穷小)定义

18、对于函数尸了,如果自变量X在某个变化过程中，函数八，)的极限为零，则称在该变化过程中，“X)为无穷小量，一般记作hmx)=O.常用希腊字母“了,来表示无穷小量。定理1.10函数以 以A为极限的必要充分条件是：“X)可表示为A与一个无穷小量之和。lim/(x)=月=/(x)=A+a3为无穷小)注意：(1)无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋 势无限趋于为零。(2)要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也 不是无穷小量。(3)一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的 变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如

19、.二一0 sinx 7 0,co sx-1兀 -x T-sinx Tl2,一皿111振荡型发散向国(4)越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，”就越 变越小，但它不是无穷小量。(5)无穷小量不是一个常数，但数(T是无穷小量中惟一的一个数，这是因为li m 0=02.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量一河（或8）时,X）的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作“0 xx 0,oo x卜扣性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即:li

20、my7=0olim =0 cs=(1)如果 则称是比6较高阶的无穷小量，记作(2)如果/则称 与？为同阶的无穷小量；lim =1 a P a P(3)如果 则称 与 为等价无穷小量，记为；a olim=8 6 0 x 0,3芯+/70(4)如果B 则称,是比较低价的无穷小量。当11m 江二-=11m(3+幻=3 10 X*-o+J、li t n-=1101(3+)=0I。x 10lim=lim(l+x)=l 10 x-0 x+x2 x(x 0)等价无穷小量代换定理：如果当时%,均为无穷小量，又福m且a r a dlim hm =hm X-为 B x-、p x-x p(X38)go o)0-8)

21、存在，则 oa,/,4,/均为无穷小又有a”,N夕夕 7 a-,a-a-/?11m夕-夕，a-/ra?hmaa a7,a-夕 m(un-力 Eu 1 1.a7m这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意:等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当一。时，si nxx;t a nx;a rct a mx;a rcsi nxx;x1-co s x ;ln(l+x)x;/-1x,+x-（六）两个重要极限1.重要极限I重要极限I是指下面的求极限公式sin x,tan x,arc sin x.hm-=1 um-=1 hm-=1x-o x,x,x-0

22、x.tanx sinx 1litn=hm*-O X*-0 X CQSX.sin x 1=hm-hm-x-0 x wo cos x=1.arc sin x h m-=1x-0 xAt x rcsin x=t sin=xx-)0/-0arc sin x t.1.h：i-=lirn-=hm-=1xtO x 10 sin t t-0 sin/这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的：型的极限问题。hm吧哂=1 e x）-0 0（X）其结构式为：x-70Hm 吧0=1X-1 x-l.sin(x2-l)hm-x-l x-1.(x+1)-sin(x2-1)lim-1(x+l)(x-l)=lim(x+l)-X

23、-1sin(x2-l)(/-I)，.八，.sin(x-l)=hm(x+1)lim-=-21 5(X T)=22.重要极限II重要极限II是指下面的公式：lim+=e n-co yilim(1+3、=eX-8 x1lim(l+t)=e 1。其中e是个常数(银行家常数)，叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045其结构式为：1lim。+双x)“)=e 河-00 100重要极限I是属于型的未定型式，重要极限II是属于1 型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。(七)求极限的方法：L利用极限的四则运算法则求极限；2.利用两个重要极限求极限；

24、3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法则求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式=c Q)巴!=，0lim=0(3)lim(o+4工汽-1+a2xn2+-an)X-8(4)2 m-1 n-2=aoxo+a0+a2x0+%例1.无穷小量的有关概念(1)9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是,1 z C、1sin(x 0)-A.*b.。(0)InQ+x?)*-。)-A(x 3)C.D.3 答Ccl 1x 0,o o,sin 一A.X X 发散1八_ 1-B.x 0,8,0 x ix 0+,-y0,嫄Xx-3 x-3 I,1-z=-=

25、-(x-3)一D x2-9(x+3)(x-3)x+3 6(2)0202当2 B寸，如力 与x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量答B解:当。即+x)与x是x-O,ln(l+x)-xln(l+x)1.hm-=hm-ln(l+x)x-0 x 一 o x=lim ln(l+x)x=ln lim(l+x)x x-0 r-0=Ino=1 极限的运算：”+3x-l _ 0611 卜arr.22 o-hm(x+3x-l)八2=c dHm”+3x-1-Lo X.o fr-0 x+1 lim(x+1)0+1解：一。答案-1例2小型因式分解约分求极限+x-6 hm-

26、z-=-5(1)0208广 答z解：x 2+x-6(x+3)(x-2)x+3 5hm=hm-=hm =r-2 x2-4 r-2(x+2)(x-2)x-2 x+2 4x?一x.2(2)0621计算事K-一/丁一 2=hm(x2)(x+D-解:12 x2-4 r2(x-2)(x+2)4例3小型有理化约分求极限Km逅2 1(1)0316计算-2彳2 答殛.fx-y/2hm-x2 x-2解：Hm-鱼乂瓜+衣)X2(x-+1=limr-2122x-2(x 2)(+,)X-2(y/x+/2)1.J2x+1-3 lim-,=(2)9516-4g答320西中,(y/2x+1-3)(V2x+1+3)(yx2+/

27、2)J杲=im/产 j j解.x-4 一 夜)(J2x+1+3)(#-2+0)2(x-4Xa/2+a/2)=hm-r-x 74(x-4)(j2x+l+3)=lim r-4(72x 4-1+3)2诉工+仓4应_ 2播6 3例4.当8时求三型的极限答x*2*-l/一1lim-=limXf8 3x+x 28lim-(1)0308-8 37+x一般地，有lim、-8比1产+瓦/1+、0(m).Xlim(1-与3+-hm(3+-)x r-co x13例5.用重要极限I求极限Hm吧之1,hm3=1x-0 x r()-0 p(x)(1)9603下列极限中，成立的是 sin xli m-=1A go xt a

28、 n x 一li m-=1B x 7 xlim 萼=1C XT。产.sin x2-lim-=1D.x答B.sin(x-l)lim=-0006+5i17.sin(x-l)sin(x-l).sin(x-l)1hm s-=lim-=lim-角刀-1+5x-6 xtI(x+6)(x-l)x-l x-1 x+6=11(彳1丁工 x-x 1 x-lx+67例6.用重要极限II求极限lim(l+工)，=erX-8 x lim(l+x)，=凡 10hm Q+L)武X)M)78 0(x)1lim(1+双X)=e 3(x)-02 hm(1+3(1)0416计算 x2解析解一：令2=,x=X 8/f 01原式=+=

29、lim(l+/)271 lim(l+Z)M2=e2 f-0解二:X X原式=hm (1+-)2 2=lim(1+2沟2 Xo o xx-x xhm(l+2产=/XfB Xb hm(l+ax)*=20_ _lim(1-)x=g 8 0306卜a 272 0601愣“芥=/lim(-)3j(2)0118计算x原式=hm(1二产”-6解：f*例7.用函数的连续性求极限lim ln(l+x2)z-00407 答0limln(l+x2)解:田/(x)=ln(l+x2)D(7)=(-od,-k)lim ln(l+x2)=ln(l+02)=0一。例8.用等价无穷小代换定理求极限.l-co sx h m:x-

30、o x+sin x0317 答0 x 0,1-co s x-解:当 2原式=lim-=-lim =0 x TOx+sinx 2 xtO 1 51nxx例9.求分段函数在分段点处的极限2x+l,x 0/(x)=0(1)0307设lim/(x)=_则x)在“的左极限7r答1解析/(0-0)=lim/(x)=lim(2x+l)=12厂 xtCT/(0+0)=lim/(x)=lim ln(l+x)=0 x-0+xto+x)=0406设d+i,x 0lim/(x)=，则2。答1解析/(0-0)=lim f(x)=hm(”+1)=1 xCT r-0-/(0+0)=lim/(x)=lim co sx=1x-

31、0+xtq+./(0-0)=/(0+0)=llim/(x)=1x 70例10.求极限的反问题(1)已知3则常数人？lim(x2+H+6)=0解析解法一：3,即1+发+6=。,得x=-7.解法二:冬 x 2+H+6=(x-l)(x+m)=X2+(m-T)x-mim-=k得一掰=6，解得八解法三：(洛必达法则)/+Az+6 2x+k.li m-=lim-=5,5 1-x 3-1即一(2+与=5,得.+ax+b-lim-z-=3,若3双心-1)求a,b的值.0解析F型未定式.当 XT1 时，sm(-D，i 八 一+a x+3=(x-l)(x+m)x2+ax+b (x-l)(x+洲 1+m.lim-=

32、lim-=-=3J sin(x 1)H(x-l)(x+l)1+1 彳导加=5即件+5)=办-5所以 a=4”-5.sin a x-m-=3,。=30402 xhm=80017r82-,贝卜二.（答:ln2）解析r（x+kX.。+勺/业 lim-=lim =-寸=ro o x-2A:/it s（_ 2上）r 屋2k x产=83Jt=ln8=ln 23=31n 2jt=In 2前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性复习考试要求1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与

33、极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容（-）函数连续的概念1.函数在点x o处连续定义1设函数y4(x)在点x o的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 A(初值为x o)趋近于0时，相应的函数的改变量今也趋近于0,即 杷网=0或蚂/(%+竭-砧=0则称函数y=f(x)在点X0处连续。函数y4(x)在点x o连续也可作如下定义：定义2设函数y4(x)在点x o的某个邻域内有定义，如果当xto时，函数 y4(x

34、)的极限值存在，且等于x o处的函数值f(x o),即Em/(r)=/(r0)定义3设函数y4(x),如果的/:/，则称函数f(x)在点x o处左连 续；如果乎，则称函数f(x)在点x o处右连续。由上述定义 2可知如果函数y=f(x)在点x o处连续，则f(x)在点x o处左连续也右连续。2.函数在区间a,b上连续定义如果函数f(x)在闭区间a,b上的每一点x处都连续，则称f(x)在闭 区间a,b上连续，并称f(x)为a,b上的连续函数。lim/(r)=/这里，f(x)在左端点a连续，是指满足关系：,在右端点b lim/(r)=f(b)连续，是指满足关系：.，即f(x)在左端点a处是右连续，

35、在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3.函数的间断点定义如果函数f(x)在点x o处不连续则称点x o为f(x)一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若f(x)在点x o处有下列三种情况之一：(1)在点X。处，f(X)没有定义；(2)在点x 0处，f(x)的极限不存在；lim/(r)(3)虽然在点x o处f(x)有定义，且.存在，但 则点X。是f(X)一个间断点。犬-1,%0 x,0 x l2-x,l(x 0 x-0 x.G/x+4-2)G/x+4+2)=hm-=-川 x(JrH：+2)x 1=hm-=x(Jx+4+2)4/(0)=lim/(x):.k=-4答案B

36、/(X)例3 0209股e x o-/(0+0)=lim/(x)=lim(a+x)=a.f(0)=f(0-0)=f(0+0)为二1 答案1(-)函数在一点处连续的性质 由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到 下列连续函数的性质。定理1.12(四则运算)设函数f(x),g(x)在x o处均连续，则f(X):fg(X)在X0处连续f(x)-g(x)在X0处连续出若g(XQ)相，则g(x)在X。处连续。定理1.13(复合函数的连续性)设函数u=g(x)在x=x o处连续，y4(u)在U0=g(x 0)处连续，则复合函数y=fg(x)在x=x 0处连续。在求复合函数的极限时

37、，如果u=g(x),在x o处极限存在，又y=f(u)在对 与=lim g(r)应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即I q/hm g(x)=/(%)lim/g(r)=/lim g(r)=/(u0)定理1.14(反函数的连续性)设函数y4(x)在某区间上连续，且严格单调 增加(或严格单调减少)，则它的反函数x=f-l(y)也在对应区间上连续，且 严格单调增加(或严格单调减少)。(三)闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连续的函数f(x),有以下几个基本性质，这些性质以后都 要用到。定理1.15(有界性定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)必 在a,b上有界。定理1.16

38、(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则 在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理1.17(介值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且其最大值和最 小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数C,在a,b上至少 存在一个心使得推论(零点定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则在a,b内至少存在一个点心使得(四)初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而 得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间 内是连续的，可以得到下列重要结论。定理1.18初等函数在其定义的区间内

39、连续。利用初等函数连续性的结论可知：如果f(x)是初等函数，且x o是定义区间 内的点，则f(x)在X0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点 的函数值即可。0407limln(l+/)=ln(l+02)=0 0611r x1+3x-1lim-=_io x+1 一a2+3x-l在(-co,T)u(T,-H)内连续在x=0处连续1金也1=叱上=-120 X+l 0+例1.证明三次代数方程x 3-5x+l=0在区间(0,1)内至少有一个实根.证：设 f(x)=x3-5x+1f(x)在 0,1上连续f(0)=1 f(1)=-3由零点定理可知，至少存在一点旧W Q,1

40、)使得f=0,4-5什1二0即方程在(0,1)内至少有一个实根。本章小结函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是 微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习 打下良好的基础。这一章的内容在考试中约占15%,约为22分左右。现将本章的主要内容总结 归纳如下：一、概念部分重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是 一个确定的常数。函数在一点连续性的三个基本要素:(1)f(x)在点X0有定义。(2)存在。呼了(X)=/氏)，o常用的是 f(XQ-O)=f(XQ+O)=f(XQ)o二、运算部分 重点：求极限，函数的点连续性的判定。L求函数极限的常用方法主要有:(1)利用极限的四则运算法则求极限;对于“型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。(2)利用两个重要极限求极限;lim 竺=1 lim(l+=eXT%X XT9 X(3)利用无穷小量的性质求极限;(4)利用函数的连续性求极限;若f(x)在x o处连续，则(5)利用等价无穷小代换定理求极限;(6)会求分段函数在分段点处的极限;(7)利用洛必达法则求未定式的极限。2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证名方程的根的存在 性。